【對外經濟貿易大學】《計量經濟學》【全101課】 P16 - 16.16.[3.2.1]--3.1.2係數顯著性檢驗與母體均值檢驗的比較

同學你好 今天我們來學習係數顯著性檢驗與母體均值的檢驗的一個比較 今天這一節的學習是溫故知新的一個學習 我們通過係數顯著性檢驗與母體均值檢驗的一個比較 然後呢 再回顧我們的母體均值的一個檢驗過程 來達到學習如何進行係數顯著性檢驗 那麼首先我們來回顧一下 在統計裏邊關於母體均值檢驗的這個步驟 正如我前面講過的 我們計量經濟學裏邊的邏輯結構與統計學裏邊是非常相近的 那麼關於母體均值的比較 首先呢 我們是有一個關於母體均值的原假設和備則假設 第一步 我們是對於我們要檢驗的參數去給他提供一個估計 那麼在這個均值裏邊呢 我們關於母體均值的估計呢 就是用簡單的這個樣本均值來估計的相應的 在計量裏邊關於係數的顯著性檢驗 我們首先也有我們的原假設和備則假設 它是關於這樣一個母體參數的假設 所以呢 我們的第一步也是估計 只不過說在這裏呢 我們是用的最小二乘法去提供了我們的迴歸係數的一個估計 第二一步呢 在統計裏邊 我們要得出y bar的一個抽樣分佈 當然首先我們需要理解爲什麼我們的樣本均值是一個隨機變量 因爲你在不同的抽樣的時候呢 你可能會得到不同的樣本均值 所以呢 它是一個隨機變量 而且這個樣本均值呢 我們在統計裏邊推導過它的無偏性 我們知道呢 y的期望是等於μ的 而且呢 不管是在小樣本的時候 我們假定我們的母體有正態分佈 或者大樣本的時候 我們有中心極限定理 我們都能得出y bar的這個分佈呢 是一個正態分佈 它的方差的公式呢 是這樣的一個公式 在σ方未知的時候呢 我們可以用樣本的這個方差去估計這個σ方 同樣在計量裏邊 在估計出我們的這個β1 hat以後 我們通過我們的無偏性或者一致性 還有我們的這個漸進正態性 或者說關於μ有正態分佈 我們可以得出β1 hat有正態分佈 那關於它的方差呢 我們也推導了它的公式 而且呢 在σ方未知的時候呢 在一元迴歸當中 我們也可以用我們的殘差平方和除上n-2 去估計這個未知的σ方 這樣呢 我們就得出了我們的這個分佈的知識 第三步呢 當然就是構造我們的檢驗統計量 並且根據我們的拒絕法則來得出結論 那麼同樣我們在計量裏邊呢 在你得出了這個β1 hat以及它的分佈以後呢 我們也要構造我們的檢驗統計量 然後確定我們的拒絕法則 最後呢 得出拒絕或者不能拒絕的假設 所以你可以看到 在思路上講 我們的這個關於係數的顯著性檢驗 和我們關於母體均值的這個檢驗 是非常非常接近的 那現在呢 我們就來回顧一下 在統計裏邊 關於我們的母體均值的假設是如何進行的 在這裏呢 我們首先要給出一些個這個關鍵的或者重要的術語 然後呢 分別介紹使用臨界值的方法 和使用P值的這個檢驗方法 關於這個倍折假設 可能大家已經很熟悉了 那麼除了原假設以外 比如說我們的原假設是μ等於μ0 那麼我們的所謂的倍折假設可以是單側的 也可以是雙側的 單側的倍折假設就是我們的μ大於0 或者說μ小於0 在我們拒絕的時候呢 拒絕也僅僅發生在分佈的一側 而雙側的倍折假設呢 就是我們的μ不等於0 或者說當我們的y bar太大或者太小的時候 我們都會拒絕這樣一個原假設 所以它是雙側的 再一個呢 就是我們所謂的這個顯著性水平 在引入顯著性水平之前呢 我們知道在假設檢驗當中 我們是可能犯兩類錯誤的 一類錯誤呢 叫做第一類錯誤或者說拒真的錯誤 就是當你的h0是對的 但是呢 你的結論是拒絕h0 第二類錯誤呢 叫做納爲 就是你的原假設是錯的 但是呢 你得出來的結論是你不拒絕原假設 而所謂的顯著性水平呢 就是我們犯第一類錯誤的概率 因爲呢 有的時候 儘管我們有很小的概率會去犯拒真的錯誤 但是呢 我們值得提出一個統一的拒絕法則來進行我們的假設檢驗 那這就是我們的第一類錯誤的水平 通常呢 它可以選1% 5% 或者10% 在沒有特殊說明的情況下呢 我們通常是用5% 好 接下來呢 我們來看一下我們雙側的這個假設檢驗是如何進行 那由於呢 我們的y bar是μ的無偏估計量 所以呢 我們的直覺就是當y bar和μ的距離太大或者太小了 我們就認爲說我們的μ和這個μ0的距離太大或者太小了 所以首先呢 我們去研究y bar和μ0的距離 那這個距離呢 需要用y bar的這個標準差去給它這個加以標準化 這就是我們的t統計量 對於這樣一個雙側的檢驗 那麼你可以看到當y bar遠遠的小於μ0的時候 它是一個很負的一個數 當y bar遠遠的大於μ0的時候 它是很正的一個數 所以呢 對於雙側的檢驗的話 我們往往去給這個統計量加一個絕對值 這樣的話呢 當絕對值太大的時候 就說明y bar遠遠大於μ0或者遠遠小於μ0 那在這樣的一個圖當中 你就可以看到我們的拒絕是可以發生在這個分佈的雙側的 這個地方就說明y bar遠遠的小於了這個μ0 而這一側呢 就是我們的y bar遠遠的大於了我們的μ0 所以當我們的這個t統計量跑到這一側或者這一側的時候 我們都認爲y bar和μ0的距離太遠了 而相應的y bar又是μ的普偏估計量 我們就可以認爲說μ和μ0的距離太遠了 所以呢 我們就給出了這樣的拒絕域 就是這一邊有2分之α的概率 這邊有2分之α的概率 而中間呢 就認爲我們認爲說y bar和μ0之間的距離是一個可以接受的一個距離 那麼在我們統計裏邊 我們分了這個y的方差已知或者未知兩種情況去推導分佈 在σ方已知的情況下呢 那很顯然 因爲y bar是有一個正態分佈的 所以我們可以直接用正態分佈 但在大多數時候 我們的σ方都是未知的 所以呢 我們要去估計我們的這個y的方差 然後呢 如果這個分母是一個估計的方差 再開一個根號的話 那麼呢 它就是一個t分佈 當然呢 在t分佈的自由度比較大的時候 我們是可以用正態分佈去近似這個t分佈的 那麼事實上呢 在大多數計量的教科書裏邊 我們是可以爲了簡單起見 在樣本比較大的時候 我們就直接用正態分佈去代替t分佈的表了 因爲畢竟正態分佈只有一張表 而t分佈呢 你不同的自由度 你是需要用不同的表的 那麼這個圖上顯示的呢 是一個自由度爲25的這個雙側的檢驗的臨界值 也就是2.06和負的2.06 所以呢 當你的t統計量的絕對值大於這個2.06的時候 我們就認爲這個y bar離μ0的距離太遠了 類似的 我們單側的倍折假設可以拒絕 可以發生在比如說倍折假設是μ大於μ0 那我們的這個拒絕呢 就發生在當y bar遠遠的大於μ0了 而對於這樣的倍折假設μ小於μ0呢 我們的拒絕就發生在y bar遠遠的小於μ0的情況下 所以我們拒絕域分別是這一塊和這一塊 那簡單的總結一下我們的t檢驗的步驟 嗯 第一步是列出我們的原假設和倍折假設 然後第二步是確定我們的自信水平 也就是給出我們的r分 第三一步是構造我們的檢驗統計量 它是在我們估出了這一個參數的估計量以後 再去構造我們的統計量 第四一步呢 是如果我們是使用這個t統計量的 那麼呢 我們就給出這個拒絕域 如果t值落在這個拒絕域當中 我們都去拒絕原假設 比如說這個自由度很大的時候 如果我們用正彈分佈去近似這個t分佈 我們得到了這樣一個臨界值的這個表 比如說對於這樣的雙側的倍折假設 α等於0.05 每當你的t統計量的絕對值大過1.96的時候 你就拒絕原假設 再比如說對於這樣的一個倍折假設 α等於0.1 那就是你的t統計量小於負的1.28的時候 你就拒絕原假設 需要強調的是對於雙側的時候 你的這個t統計量是打了絕對值的 因爲不管你的t統計量太大或者太小 你都會拒絕原假設 而對於兩個單側的情形的話呢 你的t統計量是不需要絕對值的 第二種方法呢 是使用p值的方法 首先我們來看一下p值的定義 它其實是一個概率 它定義的是當原假設爲真的時候 你使用你的數據去計算出一個t統計量 然後呢 你可以看一下這個t統計量出現的概率 比如說下面這個圖當中 我們得出了一個t統計量是等於1.85 那相應的我們的這個t大於1.85 或者說t小於負的1.85 對應的這個概率 兩個概率加起來就是你的p值 這是一個雙側的情形 那當p值很小的時候 意味着什麼呢 意味着說如果你的原假設爲真 你觀測到這麼大的一個t統計量的概率是非常小的 但事實上你又觀察到了 意味着說一件本不應該發生的事情發生了 原因是什麼呢 原因是你用以計算p值的那個原假設錯了 所以使用p值的拒絕法則是非常簡單的 任何時候當p值小於你的顯著性水平的時候 你就拒絕原假設 OK 我們來看一下這個p值的計算的表格 我們來總結一下 當然我們使用p值進行假設檢驗的步驟 前幾步都是一樣的 列出原假設 確定這個顯著性水平 然後去計算你的t統計量 第四步呢 就是計算我們的p值 首先呢 我們在這個t統計量上面加了一個下標 是因爲呢 我們在計算這個p值的時候呢 我們是計算一個標準的t分佈 大過這個t-act的這樣一個概率 它的這個公式呢 和我們t統計量是一樣一樣的 因爲我本來就是在計算這個t統計量 對於不同的備則假設 雖然我們的拒絕法則非常非常的簡單 但是我們計算p值的公式是不一樣的 那麼對於這樣一個雙側的備則假設 我們的p值呢 也是兩頭的這個概率 就是t統計量大於一個t分佈 大於這個t-act的probability 再加上左邊的那一側的概率 所以它是兩邊的這個概率加起來的 對於兩個單側的檢驗 這種情形 我的拒絕只是發生在我們分佈的右側 所以這個p值呢 就是probability of t大於這個t-act的這樣一個值 那麼體現在我的表當中呢 因爲我們的t分佈是對稱的 所以這個概率呢 就是等於我們的一個t小於這個-的t-act的絕對值 因爲這樣的話我就保證了它是一個負數 或者說它是在我們的分佈圖的這個左側 同樣對於我們這樣的一個單側假設 我們的拒絕發生在我們的這一個分佈的左側 所以呢 這一個概率的計算就用這樣的一個公式來計算 最後呢 我們的拒絕法則非常簡單 就是我們的任何時候 p值小於我們的顯著性水平的時候 我們就拒絕一個假設 好的 那我們的複習就到此爲止 這節課也到此爲止 我們下次見