孩子數學學不好，抵觸情緒嚴重的，看這八集數學思維訓練，掌握底層思維，提高娃的學習力，無痛開竅 P6 - 06 填數遊戲 PART2 數陣圖

好,歡迎下半場回來 那我們一起繼續進行燒腦的數錢數遊戲吧 剛纔這個我們已經升級到了三個公公數,對不對 那我覺得蠻不快可以再升級 不但把它變成四個公公數 而且還要把它形狀變得更復雜一點 比如說像是這個樣子 誒,你可發現啊 對於這個圖形而言 它不再是像剛纔一種很簡單的結構了 它裏面不但有直線 還有什麼 還有一個圓弧線,對不對 那我們看一下它的要求是什麼 讓我們把六八十 也就是說依次遞增的偶數 七個數填到這些圓圈裏面 使得每一排上面的三個數 以及這個大圓圈上面的三個數啊 和都是32 這個難度感覺提升了不是一點半點 因爲我們除了要兼顧不同直線上面的 最後咱們還要考慮這個大圓圈上面的 是不是挺麻煩的 那你們現在有什麼想法嗎 我們應該怎麼去確定 到底應該先填哪個 還是應該先從公公數入手,對不對 那我們看一下 在這個圖上面有哪幾個公公數 首先公公數有這個 這個和這個不難看出來對吧 因爲它們分別在多條線裏面被使用了 那我現在問一個問題 它們幾個的地位是相等的嗎 換句話說 這些公公數到底貢獻了幾份力量 被多加了幾分嗎 我們舉個例子 上面這個它貢獻了幾份力量 兩份對不對 它在這一條線上面被用了一次 同樣它在大圓弧裏面被用了一次 兩次 但是再看左下角和右下角是不是和它類似 都被用了兩次 但是中間的這個數不同 它要更厲害一些 它被三條線各用了一次 換句話說 它可是被用了三次的 那麼我們來想想 這些公公數 它們既然功能有不同 我們是不是也要對它們進行區別對待 到底誰最強 中間的這個最強 我們要重點關注一下 好 那麼既然已經搞清楚了 每個數它被多加了幾次 我們就還是從數字和的角度來分析一下 它們到底應該貢獻多少力量 那我們先想一想 每條線上面和是32 一共幾條線 除了這邊有三條直線以外 遊戲升級還有一個大的圓 所以我們是不是一共有四條線 那麼如果我把所有的線都加起來 和是多少 我們這個地方是不是就可以用乘法算出來了 四條邊每條邊是32 那麼總數應該是128 天哪 它真夠多的 但是剛纔給了我們這麼多數嗎 好像從6一直到往上遞增老數 加起來遠遠沒有到達這個值 我們現在有的數是多少 6加8一直加到18 才84 離128差的還遠呢 那麼爲了把這個差距補充起來 我們需要怎麼辦 需要一些數挺身而出 承擔兩份甚至三份的工作 來貢獻更多的力量 好 那這些數是誰呢 我們怎麼去挑選 咱們還要通過一些精細的計算 首先我們可以看到128和我們剛纔的這個84之間的差距是44 也就是說呀 我們這四個數要貢獻額外的44 好 那我們想想 我們能不能從剛纔那些數里面找一個 找四個數合實44 你發現還不好找嗎 爲什麼 因爲 並不是每個數中額外貢獻了一份力量 比如說中間這個數字 我剛纔說了 它是老母啊 它貢獻 它一共出場三次 相當於比一般人多出場了兩次 所以我們是不是可以這樣理解 在這幾個數里面 如果我給它們起上名字 分別叫它小a小b小c和小d的話 那麼兩個小a加上小b加上小c加上小d 它們是不是完成了44的這個公關 其中這個小a最強 它貢獻了兩份 那麼我們接下來就可以用一些數對它進行拼湊了 比如說我發現了 如果用兩個6和一個8和一個10和一個14的話 它們湊起來剛剛好就是我們目標的44 那你再試一試 還有沒有別的組合呢 你可以看看你自己能不能發現一些其他的組合 那麼如果我把這幾個數已經用掉的話 我把用掉的數從上面的去除掉 還剩下多少 還剩下1216和18 那麼這三個應該填在哪 還是回到每條線具體來看了 比如說這裏有6 這裏有8和是14 那麼我們目標是32的話 還需要加上多少 還需要加上18纔行 那麼我們的18應該填在這裏 同樣的道理 這兩個位置是不是應該分別填上1012和16 那麼這道題目我們就前線完成了 所以這道題給了我們新的啓發 不光是因爲它公共數從三個變成四個 它有個更大的變化是什麼 中間的這個數是不是貢獻了額外多的力量 所以這個我們是要具體的去對待這種判斷 我剛纔也留了一個思考 我說你能不能找出其他組合 哎真的很困難 因爲你會發現6已經是最小的數了 我只要中間這個數變大 是不是對這個整體的影響是非常大的 所以就讓它老老實實的填一個6吧 我們不再進行更多的嘗試了 好了 這個就是關於多公共數的一些填法 我們總體的來複習一下思路 首先啊 我們先要確定我們的目標是填多少個數 比如說每一條線是32 那我們的目標是4條線 合起來一共128 那接下來我們的目標是什麼 我們要看看咱們有多少素材 發現我們的素材不多 只有84 那麼離目標還差44 這個就是我們首要攻克的難關了 那我們通過呀找不同位置的公共數 對它進行一個放大 把每個人貢獻兩份三份的力量 把這個差距的44給它補足 那麼最後再填入這些邊上的 只貢獻一次的數是比較容易的多了 所以呀 在這種填數 尤其是這種多公共數的複雜填數問題裏面 咱們一定要給它先後順序 貢獻越大的 我們越先填 好了 除了多公共數的這種填數 我們還能不能做一些變化 比如說這種問題 我們老是把數填在一些線上 對吧 讓這個線去構成一個圖案 並且它等格相等 那我們可不可能把這個數填在某一個空間 或者某一個面裏面 讓它有更多的變化和組合呢 當然是可以的 那麼接下來我們就看一下第三關 叫做套環填數 套環 說到套環的話 大家可能有兩種想法 第一個是小的時候喜歡玩那個遊戲 手裏拿一個圈 丟往地上一扔 套到什麼就得什麼 反正就叫套圈是吧 那另外還有一個是我小時候比較喜歡的 也是一箇中國的一個古典魔術 就叫做套環 不知道大家有沒有看過 兩個環本來是分開的 我這樣啪一下 它們兩個就套在了一起 再也分不開了 我從小就覺得這個魔術很神奇 到現在我也不太會變 但是關於套環填數的問題 我現在就搞得非常清楚了 比如說我們看這樣一個問題 這裏面有三個環 它們套在了一起 中間已經填上了一些數字 它給我們的要求是什麼呀 在圓的空白地方填上3、5、7和8 要求每個圓裏面四個數之和都是21 那麼你先觀察一下這道題 有沒有什麼思路 這道題裏面再也不是剛纔說的 每條線上面怎麼怎麼樣了 而變成了在一個圓圈裏面 它的和要是固定的值都是21 那麼我們先分析一下 這些圓圈裏面它們的特點 首先我們現在有四個空白 需要填四個數 你覺得哪個最特殊啊 我們剛纔已經做過這麼多練習了 是不是中間這個數尤爲特殊 爲什麼 這個區域既屬於左下角這個圓 又屬於上面這個圓 又屬於右邊這個圓 對不對 換句話說 它中間填入的是一個公共數 那麼即使在套還填數的問題裏面 我們的突破口依然是找這個公共數是多少 那我們先來想想看 咱們的目標是21 現在有什麼了 有2有4有6 這三個數都是偶數 那麼21是一個奇數 對不對 如果我想再加上兩個數的話 能不能再加兩個偶數 不行 兩個偶數再加兩個偶數 絕對是偶數 能不能再加兩個奇數 也不能 兩個偶數再加兩個奇數 也變成偶數 所以你會發現 在我們要求一個環式奇數的時候 已經填上兩個偶數 那麼我們剩下的目標數絕對是一個奇數和一個偶數 這樣我們才能保證和有可能是21 好的 那麼回想一下 剛纔他給我們的還剩了哪些數 三五七和八對不對 哪個數應該填在中間呢 你想想看 我這個地方要一擊有 這樣也要一擊有 但實際上三五七八里面有幾個偶數 只有一個偶數是半 那麼我三個圈裏面都需要一個偶數 我現在只有一個怎麼辦 這個大家應該已經非常清楚了 那我就把它填到正中間 讓它去當一個公共數對不對 所以你會發現在這三個數里面 八是最適合填在中間當個公共數的 而奇數呢 我們本來就有三個 誰也不用爭不用搶 每個圈裏面放一個就可以了 那麼在填的時候 我們首先把八放進去 然後三五七怎麼辦呢 我們有兩種思路 第一 我可以去湊數 我的目標數是27 我的目標數是21 那麼這有二有四有八 和已經是十四了 差幾差七 我們把七填進去 再看看這差五 再看一看這 再看一看這差三 再看一看這差五 那麼有沒有更快捷的方法 其實也是有的 你看這個圈裏面 它是二四八 是不是感覺比較弱 但它比較弱的話 就需要填一個大的來幫它 但像這個圈裏面有四六八了 是不是本來比較強 那麼我們只需要填入一個小的就可以了 而這裏面二六八 跟之前兩個相比比較居中 不太弱也不太強 那我也給它填個中間數填個五 這個就用到了 我們最開頭說的平衡的思想 跟鍛鍊身體一樣 你要均衡一些 才容易健康的發展 好 那麼把這三個數填進去之後 我們的這個套環就完成了 好 那我們在這個套環填數的問題裏面 咱們其實預先給放一些偶數進去 然後讓我們去分析 那如果它預置的一些數是奇數的話 答題的方式會不會有些變化呢 讓我們看它的一個遍體 在這個環裏面 它的擺放的位置還是一樣的 但區別是 它把三個奇數放到了三個地方 那麼接下來我們看 剩下還讓我們填一二四或者六 使得每個圓裏面四個數之和是15 每個圓啊 還是要和相同 那麼這個時候 咱們應該怎麼去填公共數呢 突破口是哪 突破口是不是還是中間這個公共數 應該選誰的問題 好 那我們分析一下 現在每個圓裏面要求是15 是不是還是奇數 雖然我這填了三個奇數 但是對於每個圓而言 比如對於上面這個三和五 是不是合成八 還是偶數 對於左下角這個而言 三和七是不是合成十 還是偶數 那麼目標就和簡直一樣 我還是要在這個圓裏面填上一奇一偶 對不對 那麼我們看一看 現在他給我們的一些素材是什麼 一二四和六 這次你看換市場了 現在偶數比較氾濫了 有三個 而奇數現在人人都想要 只有一個怎麼辦 那這次我們就不妨啊 把這個奇數填入正中間 讓他供三個圓 不供使用 那剩下的呢 我們只需要根據大小關係 比如五七很強 我再給他配一個比較小的二 比如三五這邊很弱 我再給他配一個比較強的六 那麼我們是不是就完成了 就是整個套環的填解 最後再檢查一下 每個圓裏面的四個數之和呀 確實是15 這個任務就完成了 所以我們會發現套環填數 相比於前面的兩種 也就是換湯不換藥嘛 把我們習慣的這種直線性的思維 變成了一個圖形 可能一開始有點摸不着頭腦 但是練習了一下之後發現 大同小異 方法還是找公共數 看它的特點 那麼其實這個就好像 我們在最強大腦上面 玩的一些遊戲一樣 看到一個新的問題 每個小小都覺得哇 好難 之前從來沒做過 但是如果你仔細分析 去理解它每道題的內涵 到底在考我什麼的話 那不外乎就是在考我的計算能力 記憶能力 空間想象能力等等這些嘛 那麼你在這方面做一些功課的話 就可以把項目完成的很好 好 那麼道理我都懂 方法我都教了 接下來我們就要實戰演練一下了 好 那麼看一下今天的boss題 一起來挑戰它 那麼我這條boss題是這樣的 也跟剛纔不一樣了 不再是圓的了 我把它拉直 好 現在我的要求啊 是把1到8填入這個方框裏面 要求啊 每條邊上的三個數字之和是13 那麼還記得我說看題的方法嗎 你可以用時光停止暫停來截圖 自己嘗試一下 那如果你要沒有思路的話 我也可以給你一些提示 根據我們之前做題的經驗 我們會想哪些事情呢 首先在這個圖案裏面 有哪些是公共數 有幾個就是說可以找一找 然後呢 我們有幾條邊 圖上面有四條 那麼這四條邊 它的數字之和應該是多少 我能不能算出來 再想題目給了我什麼素材 要填入的這些數1到8 它們之和是多少 那麼這些數到底夠不夠我四條邊使用呢 哎 如果不是不夠的話 這兩個和它的差距是多少 那麼再根據這個差距 我能不能想出來公共數要貢獻幾分力量 它們應該填入多少呢 這個是不是幾乎之前的每一道問題 我都是按照這個來的 那麼你也可以按照這幾邊 一步一步的把它想一下 好了這樣我就不給多多的時間 我們來依次回答 首先公共數有幾個 那很明顯對於這個正方形而言 四個角都是公共數 所以一共是有四個的 那四邊之和是多少 四邊之和的話 每條邊是13 13乘4就是52了 第三個問題 要填入的數字之和是多少 要填入的數從1到8 從1加到8 這個地方你可不要傻算啊 可以用高斯的方法倒序相加 是49 36 那麼這些數能不能滿足 我們對四邊之和的要求 很顯然是不夠的 需要它的差距是多少 需要我們額外提供16纔可以 那麼我們再反觀一下這些公共數 每個公共數是不是被用了兩次 換句話說 每個公共數提供了一份額外的力量 那麼四個公共數要提供額外的16 也就是說公共數之和要是16了 但通過這一通分析 我們是不是得出來了 我們每條邊上的 我們每條邊上這四個公共數的和 應該是16啊 但是四個數湊16 對於它給我們的12345678而言 好像還有挺多種湊法的 比如說隨便舉個例子 1加3加5加7 它是不是就是16啊 那麼我可能再換一下 依然有很多種 比如說2加3加4加7 那麼是不是一定是湊出16 就能夠填的出來呢 我也說不清 那接下來要使用一個史詩級的方法了 我把它叫做枚舉法 什麼叫做枚舉法 枚舉法就是把所有可能的情況都列出來 然後根據條件進行篩選 看看這個行這個不行 那枚舉法你注意啊 是在解決這種需要試數的問題裏面 最好用的一種方法 總共有十種可能性 我全部把它找出來了 再逐一的去排除 這個要這個不要 是不是最後的結果一定是比較完善的 那我們接下來就一起用枚舉法來嘗試一下 好首先我們問 四個角上的數之和是16的話 我們把它分成上下兩層吧 上層和下層是不是之和是16 那麼可不可能是上邊是8 下面是8呀 沒辦法 比如說我上面是1和7 下面是3和5 這兩個和是8 有可能嗎 其實它是不可能的 因爲你看看 我們每條邊上的和要求是13 我上面如果兩個加起來是8 是不是8加5纔會有13 我需要上面來個5 我下面如果兩個角之和是8 目標是13 我需要下面也來個5 5有幾個 5只有一個 它分身法數 所以的話 我們上下不可能分成8加8的組合 那麼能分成怎樣的組合呢 比如說我能不能分成9加7的組合呀 上面兩個數之和是9 下面兩個數之和是7 這個我覺得倒分出來不難 分成9的話 可能是18273645 分成7的話 可能是162534 但你注意呀 在同一個框裏面 是不是每個數只能用一次 所以你比如說上面有18 下面不能再是16了 但下面可以是25 也可以是34 對不對 你比如說上面我用了45 那下面既不能再用5 也不能再用4了 但下面依然可以選擇16 啊 那麼我們把左右給它進行搭配組合 大概就有這麼多種情況 你會發現它們每一組合都是16 那是不是說這六種情況都滿足我們的需求 也不一定 比如說第一種 我看一看就很好 我比較喜歡它 但是你注意第二種啊 它是有很大的bug 我們看一看1834 對不對 如果我把上面填出1和8 下面填出3和4的話 那麼問題來了 我們的目標是13 而1加8是9 離13還差幾啊 差4 我想在這填個4 但是問題來了 我下面已經有個4了 這還能再14嗎 是不是就做不到了 所以你會發現啊 有些時候它們之間還會互相爭搶這個數字 我們爲了避免這種事情發生 我們是不是要求這些數 首先加起來不要是13 比如說1加4加8 如果是13的話 它們能分開嗎 它們分不開 那麼這種我們就排除了 好 那麼除了前面這兩個 後面這四個可以填嗎 它們會不會因爲互相爭搶一些數字 導致沒辦法完成呢 這個就需要我們自己給它做一個判斷了 但你可以嘗試一下 在這四個之中 如果有三個數字之和爲13的話 它們就會因爲搶數而不能填到一行去 也就是說我們直接就把它淘汰掉 那麼下面的這四組到底有哪些是不能夠填的呢 我給你一點時間 可以自己來思考一下 實際上啊 你經過每一步的分析 你會發現中間大多數都會因爲搶數被淘汰掉 那實際上最後留下的也就只剩下1825 跟4516兩組了 那麼我們看1825對於這一組而言 我1跟8都是可以填上去的吧 那25應該怎麼填 可不是隨意填 如果左邊填個2 右邊填個5 你會發現 右邊5加8已經是13 太大了 左邊1加2比13還差 10差的有點遠 爲什麼這樣不行 是不是你沒有做到大小搭配啊 左邊中間有個1已經很小了 你還給它來個2 右邊有8已經比較大了 你還給它來個5 這樣就是一個不合理的做法 那麼合理的做法是什麼 我應該把5填在左邊 把2填在右邊 儘可能讓它左右大小平衡一點 那麼這邊在有1和5的情況下 和已經是6了 比13是不是隻差7了 那麼剩下的每一個格 我們都能夠比較輕鬆的判斷出來 最後它差的是什麼 那麼如果按照這個5 2填完的話 最後就是這兩個 好像除了這一組 我們剛纔說這一組也沒有被淘汰 留到了最後 那我們看看它行不行 我覺得也是可以的 比如這次我們換一下 4 5能不能換在一起 太接近了 我不好判斷 那我這1跟4放在一塊應該差不多 因爲你看1跟4加起來 是5它離13還差8 這個我們是可以滿足它的 來那我繼續 再往後填5跟6 那麼這個時候 我爲什麼沒有把6填在左邊 思考一下 那麼這樣如果填完的話 是不是會出現這邊填8這邊填2 那如果我把6填在左邊 你思考一下 1加6再加6才能夠13 是不是我需要兩個6 我這些數里面哪有兩個6啊 所以的話 這樣題目就不符合剛纔咱們說的大小搭配的情況 因爲你把6放在左邊 反而會讓它產生一些麻煩 而我把6放在右邊的話 4加6也不算太大 配上一個3依然能夠實現咱們13的小目標 那最後再檢查一下 這個邊框上面 看看是不是都是13就可以了 好了 那麼填完了嗎 已經填出了兩種方法 但是還未必完善 我們迄今爲止是不是隻討論了這兩個數相加和9 下面兩個數相加和7的情況 它可不可能有別的分類 我們最開始說了8加8肯定是不靠譜的 但是如果有兩個數合起來是10 另外兩個數合起來是6 有沒有這種可能 我們能不能按照這個邏輯來填出一些數呢 那我在這首先告訴你 是可以填出來的 那具體的做法 我就不在這一一解說了 你可以下去自己嘗試一下 還是我們老的套路 看一看在四個角填10的話 可以分成比如6加4 比如分成7加3等等等等 以及那些常識 這邊呢 我也可以嘗試 最後通過一些組合 看一看哪一種是可以留到最後 哪一些是不符合要求被淘汰的 那麼最後你依然可以填出一個完美符合要求的圖案出來 所以你有沒有發現這個buff關是非常非常難的 它並不難在找出一種答案 而是它的填法實在是太多了 我們很難給它找全 那麼解決這種問題 我們剛纔說用的最好的方法是什麼來着 就叫做每一舉法 我把每一種情況都給它找出來 8和8不行 9和7我們找出來了 10和6 後面是不是還會有11和5 那你就要自己去努力找一找 看看能不能一一的列舉出來 好 那我們最後總結一下 關於今天的填數問題 咱們到底有一些什麼技巧 首先是十字填數 我們從那種最簡單的圖形入手 理解了在十字填數里面 中間的公共數是很特殊的 而外圍的這些數 它們必須保證和相等 那在接下來這種多公共數的填數題裏面 由於公共數變多了 咱們很難去尋找一個特殊的數去放在中間 那麼這個時候我們的策略就是 來去找不同部分 它的總和是多少 我離目標的差距是多少 然後以此來設定公共數要貢獻多少力量 那麼當然在套環問題裏面 或者在這個地方我寫的是套圈問題 就是玩的那個遊戲 那麼它是不是可以和上面類似做一個比較 同樣的我們還可以從數的機偶性來分析 看一看什麼時候填奇數 什麼時候填偶數 如果你能活用這些的話 那麼在填數遊戲裏面 你肯定可以做到非常不錯 當然如果你想有更高一步的進展 填一些特別難的題目 而且找到多種方法的話 那別忘了適時的使用 我們最後提到了每一局卡 這樣就算再難的boss對你來講 不在話下 好那我們今天的填數遊戲就到這裏 我再做一個小小的預告 在下一期我們有一個更加騷擾的遊戲 叫做數足 那過去你見到數足可能只是在一些 高智商的考試題 或者說一些科學畫報的後面 那麼通過下面課程的學習 我會告訴你 高級數足並沒有那麼難填 每天你可以利用上學放學 甚至說在自己課間休息時間 就完成數足 那麼究竟什麼方法這麼神奇 想不想學 我們下節課一鍵分享 拜拜