【國家級精品課】《金融學基礎》(全40講)瞭解金融的本質，掌握資本市場的規律！ P8 - 8.8.2.2.1 複利、計息頻率與有效年利率.

我們再來看一個更爲實際的例子 大家都會去銀行存錢 那去銀行存錢的時候呢 銀行的電子屏幕或者是他的工作人員會告訴你不同的不同的存款方式以及不同的利率 那我們現在呢 舉一個 最常見的情況 假如說你想這個cbc中國建設銀行 你去開了個賬戶 打算從這個一萬塊錢 打算存多久呢 存五年 存的方式呢 你選擇這個叫自動轉存或者是自動滾存 什麼意思呢 你每年結束的時候 連同這一年的利息加本金繼續存一年 連續這麼五次 最終到五年 我們來看看你五年之後 你初始的一萬塊錢會有多少錢 這是一種方式 自動轉存的方式 還有一種方式呢 很簡單 就是你直接存一個五年的定期 也就是我們說的死期 那最終之後 你賬戶裏又有多少錢呢 我們比如說我們去建設銀行 你去他的官網 可以看到這麼一張各種存款方式下 他對應的利率 而且這個利率大家可以看到都是叫連利率 那我們剛纔舉的例子中呢 我們對應我們這兒 你比如說這個整存整取 你比如說你整存一年連利率2.9% 你轉存五年什麼意思呢 你存完一年 按照2.9%的利率得到利息 緊接着第二年開始 第一年的利息加本金 繼續在2.9%的利率再滾動一年 一直這樣五次 這就是我們剛纔說的轉存五年 這是一種方式 還有一種方式呢 直接存一個五年的定期 利率呢是4% 那我們怎麼去計算這兩種存款方式下 你最終的賬戶資金的餘額呢 我們看第一個 五年轉存的這個方式 其實很簡單 就像我們剛纔舉的這個 存一千塊錢這銀行 按10%的利率三年期限 這個例子一樣 你第一年存了一萬塊錢進去 按2.9%的利率 就得到290塊錢的利息 等到第一年結束的時候 就有10,290塊錢 等到第二年開始的時候 在第一年的利息本金之和 10,290 重新作爲新的本金 按2.9%的利率來繼續 第二年的利息就得到了298塊四毛一 等到第二年結束的時候呢 10,290加上298塊四毛一 總共呢你就得到了10,588塊四毛一 類似的 我們下一年開始的時候 以上一年累積的利息跟本金之和 作爲新的本金 繼續按2.9%的利率存一年 這樣一次我們直到五年結束的時候呢 我們資金總額就會是11,536.57 當然了 如果說用數學公式來表示的話 就是這個一萬乘以一加2.9%的五次方 這就是我們剛纔說的複利 我們每年複利了一次 總共複利了五次 當然了 這個過程同樣可以在Excel中操作 也就是我們已值限值一萬塊錢 年利率2.9% 計息的次數五次 我們來計算這個將來值FV 當然這兒有個PMT 我們暫時不管它 空的或者是田林 當然了 如果這是我們剛纔說的一種方式 另外一種方式呢 我們作爲對照 你直接存一個五年的定期會是什麼樣呢 剛纔注意到五年的一個定期 建設銀行官網改的利率是4%一年 如果是五年定期呢 銀行會這麼跟你算 一萬乘以一加5乘以4%的這麼一個結果 一萬二千塊錢 這兒大家可以看到五年定期年利率4% 那五年期利率就是五倍的4% 5乘4% 所以算下來是一萬乘以一加20% 也就一萬二千塊錢 這兩種計算方式大家可以對比一下 好像我們自動轉成這種方式是 每年按照2.9% 複利了五次 而下面這種五年的定期呢 似乎是一個單利 而單利的利率呢 年利率是4% 五年期利率那就是四倍的 而5乘以4% 20% 難道這種方式就不考慮利息的利息了嗎 仔細想一想 在第二種這種方式下 只有你存款買了五年 纔可以按照5乘以4%的五年期利率水平獲得利息 換句話說 這種存款方式只計息一次 五年內計息一次 如果只計息一次 那麼我們複利和單利實質上沒有什麼區別 也就是單利是複利的一種特殊情況而已 通過兩種存款方式的比較 我們可以發現 計息的頻率十分的重要 那爲什麼叫掛配年利率呢 因爲這個利率雖然它叫年利率 但是它沒有考慮到底我一年之中計了幾次息 你比如說鋼鐵力之中 五年期定期存款 它其實是五年計了一次息 但是它對應的那個利率4% 我們只能叫做掛牌年利率 它是五年計了一次息 假如說大家想象一下 假如我來一個三年的定期存款 它對應的也會有個掛牌的年利率 也就是它是三年統一計一次息 這樣的話給我們實際中就帶來一個很重要的問題 當你不同的存款方式 當然了 或者是你的投資 當你每年計息的頻率不一樣的時候 儘管都叫年利率或者掛牌年利率 其實這兩種存款方式或者投資方式 它又不同致了 是不可比的 當然了 在這種不可比的情況下 我們首先會想到說 那我儘量把不可比的不同致的東西呢 給它換算的同質化 這就產生了我們接下來要介紹這個概念叫有效年利率 舉個例子來看 假設你投資一百萬 在一份大額存單CD上面 在相當於存款掛牌年利率APR爲6% 但是計息頻率是一個月計息一次 那麼一年之後 我們利息跟本金之後爲多少呢 由於年APR是6% 那麼月利率就應該爲6%除以12 一年呢 總共就會計息12次 這樣的話 一年之後的本息之和 按照複利的計算方式就應該爲FA等於一百萬乘以一加6%除以12之後的12次方 等於106.168萬 相應的有效年利率就應該爲106.168萬 減掉一百萬除一百萬爲6.168% 這個就是我們的EFF 把一個計息12次的利率轉換成了一年計息一次的利率 可以想象 由於複利的作用呢 當給定一個掛牌年利率 隨着計息頻率的增加 利股利的作用最終就會使得有效年利率會增加 這個表中大家看到計息頻率從一次兩次一直到無群次 我們換算出來的一年計息一次的有效年利率逐漸的增加 當然 這兒有一個特殊的情況 如果一年只計息一次呢 那掛牌年利率就是有效年利率 如果將掛牌年利率和有效年利率之間寫成一個通式的話 就應該爲EFF等於一加APR除以M之後 M次減一 公式中M就是我們計息的次數 一個集團情況 如果計息頻率很高 也就是這兒M區無群大 EFF有效年利率就可以表示爲這個公式的極限 爲E的APR次減一 我們將這個連續考慮複利的情況計算的利息稱之爲連續複利計息 也就是隨時隨刻都在計算利息 也就是說把一年計息很多次或者是不止一次的這種計息的利率換算成一年計息一次的那個利率 那麼這個利率我們就叫有效年利率 大家這兒要特別強調一下 在我們金融裏邊 只要是資金 絕大多數情況 除非是我們在簡化的一些情況 可能說計息頻率一年考慮一次三次五次 按道理來講 嚴格來講 或者理論上來講 只要是資金 它任何時刻都會產生價值 那我們計算複利的時候就應該是這個連續複利這個計息方式 我們在金融裏邊到處會看到這樣的一個易得多此的表達