【台灣大學】《邏輯學》（全100講）傅皓政 P35 - 35. Ⅴ：5.6.簡易真值表法

因此這個邏輯學家就想到一個方法 這個方法是什麼呢 這個方法我們把它稱之為簡易真值表法 一般來講我們就把它叫 shortcut shortcut 當然就是捷徑的意思 就是說為什麼它叫做簡易真值表法呢 為什麼它是一個 shortcut 呢 是這樣的 它的證明方法跟剛剛不太一樣 各位想想看 在真值表法裡面我們是怎麼做的呢 在真值表法裡面我們做的方式是說 我們把所有的可能情況都列出來 我們剛剛是不是把所有可能情況都列出來 這個是我們在真值表法裡面的想法 就是我們把所有可能情況都列出來 那當然這個很多 但是呢 簡易真值表法的想法不太一樣 簡易真值表法的想法是說 我們不要從所有的可能情況都列出來之後 我們再去做比較 我們反過來想 反過來想什麼呢 如果它是一個無效論證的話 那麼我一定可以找到一個情況 使得前提皆真 結論為假 先不要想像它是有效或無效 因為剛剛我們在做真值表法的時候 我們一開始沒有預設它是有效論證還是無效論證 我們就很老老實實地把所有情況都列出來 現在我們在做 shortcut 的時候 我們想法是說 我們呢 設法去找出 反例 如果我可以找到反例 意思就是找到前提皆真 結論為假的情況 如果我可以找到這個情況 就表示它應該是一個什麼論證 無效論證 對吧 意思就是說 你看喔 如果是無效論證它一定會有一個反例 意思就是 我一定可以找到一個情況是 前提皆真 結論為假 那如果你找不到的話呢 顯然它就是一個有效論證 大概是這樣的想法 所以我們的演算步驟是這樣 所以第一步我們要先做這件事 我們先假設 任何一個給我們的論證 就是一個無效論證 那既然是一個無效論證 那一定會存在某個情況 使得前提皆真 結論為假 到這裡沒有問題 接下來 我們就來檢查這個假設 如果這個假設呢 有矛盾出現 意思是說 這個假設導致矛盾了 這個假設導致矛盾的意思就是 你找不到任何情況 使得前提皆真 結論為假 那如果你找不到任何情況使得 前提皆真 結論為假 就表示它是一個有效論證 那萬一這個情況沒有矛盾呢 如果它沒有矛盾的話就表示什麼 這個情況如果不出現矛盾就表示 你找到了前提皆真 結論為假的情況 那既然你可以找到前提皆真 結論為假的情況 那當然它就是一個無效論證 而你找到那個情況 剛好也就會是它的反例結構 那接下來我們來看看 我們怎麼樣來做這個題目 第一個範例是說 我們可以做 P or Q Q 則 R negation R 看能不能推出 P 第二個是 P or Q R 則 Q negation R 可不可以推出 P 第一個例子呢 我們要怎麼做呢 首先步驟第一個就是我們把 所有的語句先列出來 各位發現 我們把所有的語句都列出來 一個一個列出來會是這個樣子 注意一下就是有時候同學們在做的時候 會有一個麻煩是各位 常常會在列出來的過程裡面 順便把這個 double-turn style 這個符號寫上去 那個不需要 各位記得我們不需要寫那個符號 因為我們現在的目標是要找反例 所以各位不需要把這個 double-turn style 這個符號寫在 P 的前面 或者寫在 negation R 後面都不用 double-turn style 這個符號是可以不用出現的 那接下來呢 我們要來做假設 假設什麼 我們要假設前提皆真 結論為假 請注意 我們在假設的時候 我們要把前提皆真跟結論為假放在哪裡呢 放在主要連接詞的位置 所以呢 各位可以看到 我們第一個要假設是放在 or 的底下 因為這個是主要連接詞 再來 這個是 conditional 也是主要連接詞 所以是假設它為真 再來我要放在 negation 底下 因為這是主要連接詞 那我會建議各位在寫的時候呢 盡量要寫在跟連接詞的同樣的一個位置 因為很多同學寫的時候 會寫得歪歪扭扭的 再回來看的時候 有些同學會搞不清楚 比如說 像這個 T 你如果寫在 negation 跟 R 中間的時候 你會搞不清楚你是在寫 negation 還是寫 R 所以 這個時候我會建議各位同學呢 在做這個的時候呢 盡量能夠寫在主要連接詞的底下 你比較不會搞混 那這三個是前提 所以各位看到我都假設真 既然我要假設它是一個無效論證 所以結論要假設什麼呢 結論當然要假設它為假 所以各位可以看到 我們這個 P 就假設它為假 接下來我要一步一步來做 第一步是什麼呢 我們來觀察一下 第一步是什麼 我們可以用現在假設出來的真假值 反過來 去決定所有的命題符號的真假值 比如說我們看到這個 negation R 是為真 所以各位就可以告訴我 這個 R 應該是什麼呢 真假值應該為假 為什麼 因為 negation R 為真 所以 R 這個真假值應該為假 那再過來 既然這裡的 R 已經確定是假 因為同一個結構 命題符號的真假值應該都一樣 所以既然在同一個結構裡面呢 這個 R 是為假的話 那這個 R 當然也要為假 纔是在同一個結構裡面 那當這個 R 為假的時候 我們有沒有決定了 Q 的真假值呢 有 為什麼 因為 conditional 就是這個 arrow 這個箭頭 它的真假值為真 意思是什麼 意思是不可以出現前真後假 那你現在已經確定它的後件 R 是假 所以前提不可以是真 所以 Q 一定會是什麼 Q 一定會是假 所以我們可以根據 R 的真假值 來決定 Q 的真假值 那跟剛剛的想法一樣對不對 既然它在同一個結構裡面 那你這個 Q 既然為假 我們就知道第一個前提的這個 Q 應該也為假 那各位看到 如果這個 Q 為假 那這個是 OR 根據這個為真 我們會知道 OR 的話呢 如果它的真假值 最後的真假值為真 那兩個值都不可以同時為假對不對 所以不可以同時為假 這個 P 就必須要什麼 這個 P 就必須要為真 但是各位仔細觀察 當我最後決定出來這個 P 為真的情況的時候呢 它跟原來我們假設這個 P 為假 是矛盾的 那矛盾的話我們會把這兩個連起來 先把這兩個連起來 然後畫上一個 Close 的符號 就是一個叉叉的符號 這個符號其實是 兩個箭頭相對的意思 就是它是 contradiction 的意思 一般我們兩個箭頭相對就是 產生矛盾的意思 我們這樣子就表示說它產生矛盾 什麼意思呢 意思就是說 我如果假設 前提皆真結論為假 會導致矛盾 我們剛剛講過導致矛盾嘛 那如果導致矛盾的話 我們剛剛說過 導致矛盾的話是表示它是什麼 表示它是一個有效論證 因為找不到任何的結構 使得前提皆真 結論為假 接下來我們再來看 第二個例子是 P or Q R 則 Q negation R 可不可以推出 P 呢 同樣的第一個我們先把 所有的句子列出來 一樣 一樣再提醒同學 Doubleton style 不要進來 因為很多同學會忘記這件事 接下來我們要做的事情是 我們要把 假設前提皆真 結論為假 那假設前提皆真呢 就是 P or Q 為真 R 則 Q 為真 negation R 為真 P 為假 這是前提皆真 結論為假 那接下來我們就要 按照剛剛的步驟再來一次 看看有沒有導致矛盾的情況出現 一樣我們先從 R 開始來看 各位發現 這個 R 呢 它會是假的 為什麼 因為 negation R 為真嘛 所以 R 就為假 那你當這個 R 為假的時候 你發現這個 R 是假的 這個時候有趣的事情來了 各位發現說 如果箭頭就是這個 conditional R 則 Q 要為真 那在 R 為假的情況下 Q 是真還是假呢 不一定 對不對 為什麼 因為 根據 conditional 的寓意就是 只有在前真後假的時候為假 所以當這個前件為假的時候 你會發現 Q 真假都可以 那這個時候如果 Q 真假都可以怎麼辦呢 我們的方式是說 我們就先把 Q 呢 先暫時擱置 我們先不要去做 Q 我們先來看看哪一個也被決定了呢 各位可以看到 這個 P 也被決定了 對不對 所以我們先來做做 P 這個 P 是什麼 這個 P 是假 那這個 P 為假的情況之下呢 這個 Q 有沒有被決定呢 有的 為什麼 因為 這個 or 要為真 一定不可以兩個都為假 所以當 P 為假的時候 Q 一定要為真 所以在這裡 我們就可以 把這個 Q 呢 為真的寫上去就是 我們可以決定 這個 Q 最後是要為真的 那當我們這個做出來之後 你會發現這裡面都沒有矛盾 為什麼 因為 R 這個值為假 P 這個值為假 Q 這個值為真 對不對 所以這裡面通通都沒有產生矛盾 所有的命題符號 都保持同樣的真假值 所以呢 它沒有矛盾出現 那沒有矛盾出現就表示它是一個無效論證 換言之 這個呢 並不是一個有效論證 所以我們要加上一個 反例 這個反例是什麼呢 剛好各位看到哪一個是反例 就是這個 P 為假 Q 為真 R 為假的情況 在這個時候呢 它就是一個反例 所以就可以寫出是一個 這個蘊涵其實是不成立的對不對 因為它是一個無效論證 ok 那以上是我們的第五單元