【同濟大學】《鋼結構基本原理》（全79講）趙憲忠 P27 - 28. 4.13 格構柱的穩定

今天這節課我們開始講一下 這個格構式的軸心壓感 它的整體穩定和不感的質感的穩定 講這一節的內容 那麼在本章開始的時候 我們已經講了截面的一些特點 我們講用作軸心受壓構建的時候 一個我們說按它的截面 行星軸是雙軸對稱還是單軸對稱 還是沒有對稱軸 我們有一種分類 另一種分類我們也講過 就是十腹式的構建和格構式的構建 那比方說我們現在在屏幕上所看到的 右上方的這個圖就是一個格構式的構建 那麼這個為什麼要有格構式的構建 前面大家都已經學了 我們這個壓感整體穩定這一個概念 比方說我們有一個弓之形的截面 如果單個拿來做軸心壓感 感見的長度一定兩個主軸方向 繞著兩個主軸方向 假如說它的約束條件也都是一樣的 繞著X軸彎曲繞著Y軸彎曲 都是一樣的 那麼明顯看出來這根構建 如果它要發生彎曲失穩的話 它肯定是繞著 假如我們看這個構建 這個水平軸 它的整體穩定承載力要來得大 而繞著它的這個通過副板的 這個行心主軸彎曲失穩的時候 它的穩定承載力要來得小 而且還差得比較懸殊 如果我們算過這個矮小矮 我們就知道 為什麼這個兩個方向 它的慣性距相差很大 而它的面積是一樣的 對不對 所以在這種情況底下 如果我們想要它在兩個主軸的方向 整體穩定承載力差不太多的話 比較接近的話 那麼這樣呢 我們就考慮到單個行綱截面來說 它既然差得這麼大 我們能不能用兩個行綱的組合 來解決這個問題 那麼這樣呢 從整體穩定這個需要出發 我們就可以構造這個格構式的這種構建 當然格構式的構建 還不僅僅是為了滿足整體穩定性的需要 它還有構建承載力的需要 還有構建的剛度的需要 我們從整體穩定這個概念出發 我們知道它有這個需要 那麼這個格構式的構建 它的類型是怎麼樣的呢 剛才這個簡單的介紹 我們就知道 通常它是由兩根或兩根以上的行綱也好 綱板焊接截面也好 所組成的支桿 這個支桿 你看在這個截面裡 它有兩個支桿 兩個公字型的行綱 那麼它的數量呢 這個支桿的數量 可以是兩個 也可以是三個 或者四個 等等 那麼在我們這一章 從基本概念出發 我們重點介紹的是兩個支桿 像這種情況 我們叫它雙支格構式的構建 那這個截面有兩個或兩個以上的行綱 或者綱板焊接截面組成的話 它們互相之間要有聯繫 對吧 如果這個互相之間沒有聯繫 就像兩個單個的桿一樣 它不能起到共同作用的 這樣一種受力方式 那麼怎麼把這兩個支桿連接起來呢 我們就有所謂的錐材 錐材從它的幾何構型來說 大體有兩種類型 一種我們把它叫做錐條 所謂錐條 我們看這個下方左側的這個圖 這個圖我們看到 把這兩個灰色的支桿 聯繫起來的綠色的小構件 我們把它叫做錐條 這個錐條是錐材的一種 它的特點就是說 在這個連接面上 它形成一個一個的三角形的區隔 將來我們也會看到 比方說我可以沒有這個橫錐條 但是要保留這個斜錐條 它還是形成一個一個的三角形的區隔 那另外一種方式就是 它把聯繫兩個支桿的這些連接件 做成水平向的佈置 那麼形成了叫四邊形的區隔 這個情況我們把它叫做錐板 這樣我們說 格構式的構件從它的質感來區分 它有雙支、三支、四支乃至更多 從它的連接材料的幾何佈置 我們知道它有錐條和錐板 這兩種方式 那麼這個錐板或者錐條 它的不同的連接方式 影響到後來我們對它做計算 那麼另外我們還要引進一個 比較重要的定義 叫做實軸與虛軸 什麼是實軸、什麼是虛軸呢 我們看 如果我們截一個橫截面下來 是這樣一個橫截面 我現在用灰色表示這個支桿 我們看它的截面行星在中間 通過這個行星有一對截面的行星主軸 我們看到有一根主軸 在它的主軸線上 是和支桿相交的 這一根軸和支桿相交的 有交點的這一根軸 我們把它叫做實軸 那麼另外一個 不通過支桿 你看這一個主軸 它不通過支桿 雖然它通過罪裁 我們把它叫做虛軸 這兩個名詞兩個定義 我們要引進來 那麼如果說這一個截面 它繞著實軸發生彎曲式紊 繞著實軸發生彎曲式紊 那麼它的性質 它的計算和我們前面所介紹的 十佛寺的構建都是一樣的 而如果說它要繞著虛軸發生彎曲式紊 那麼就會有所不同 所以我們要這一節 專門來講一講這個格構式構建 它的一些特點 好 接下來 我們就講它的這個和十佛寺構建的不同 最大的區別在什麼地方呢 就是說我們需要考慮剪切變形 所以這一段我們來講一下 叫考慮剪切變形的穩定平衡方程 我們看看這個平衡方程 它是怎麼建立的 通過前面關於整體穩定的平衡方程 它的介紹我們已經知道 如果我們要建立有關穩定的平衡方程 必須在這個構建變形以後的位置來建立 像我們說 如果它原來有一根直桿 受到軸壓力N的作用 當這個N達到一定的臨界狀態的時候 這根構建就有彎曲變形的可能 我們說它發生了整體失穩 彎曲失穩 那麼我們現在所謂建立平衡方程 就在這個彎曲變形的狀態底下來建立 和前面討論十佛寺構建的時候一樣 我們任意截一個截面下來 這個時候我們知道構建有一個撓曲變形 我們把任意一個截面上的撓度記作V 這個V 大家看 實際上有兩部分所組成的 我們說一個叫V1 它是構建因為彎曲變形所產生的撓度 第二個我們把它記作為V2 它是構建由於剪切變形所引起的撓度 關於這個概念 其實我們原來在材料力學裡的時候也曾經碰到過 現在我們就來看一看 當它移到剛構建來的時候 會產生什麼樣一個變化 對我們的穩定承載力有什麼影響 我們看一看 我們首先看這個V1 V是彎曲引起的撓度 它的二階導數是這個截面上 由於彎曲變形引起的曲率 從材料力學我們已經知道了這個公式 沒有問題 我們知道這個公式 這個公式就是它繞著X軸 繞著出平面的這一根軸 有一個彎距 Mx 然後和截面的抗彎剛度做一個比值 就是這個V1兩撇 那麼這個Mx 在我們這根軸心受壓構建裡是什麼東西呢 根據前面幾節課我們所學到的知識 我們知道它就是這個軸力和這個撓度的乘積 對吧 和這個撓度的乘積 這個引起彎曲變形 如果我們從這個構建上取一個小單元出來 就在這個剖開來的截面近旁 取一個微小單元 它的長度是dz 那我們剛才知道 它的這一段微小的變形 總的來說就是dz 分為兩部分 前面我們講了這個V1是怎麼來的 那我們現在看看V2是怎麼來的 這個V2我們看 dv2這一塊 這一段小的變形 前面提到了 它就是剪切引起的變形 這個小變形 它和微段的長度dz的比值 這個比值 實際上就是一個剪切變形角 我們用γ這個記號來表達它 是一個剪切變形角 γ 這個圖有問題沒有 這個γ值剪切變形角 我們把它變一個形 寫位叫γ1乘上了V 在這裡 這個γ1是什麼呢 它是單位簡歷作用下的剪切角變形 單位簡歷作用的時候 就是γ1 現在總的這個γ是多少呢 是這個單位剪切角變形 乘上了實際作用的簡歷V 對吧 我們可以寫成這個樣子 那這個V又等於什麼呢 我們還是由材料力學的知識 我們知道 如果這個構建上 沿著構建的軸線 它的彎距不是一個常量 那麼對於彎距的微分 實際上就是這個簡歷值 這是材料力學的工具 所以我們從這個式子又變到這個式子 然後我們再進一步來看 因為在我們這個構建上 mx 你看這個mx 就是m乘上了V 現在我們要對它求關於dz的導數 而我們知道 在這個mx等於mV裡面 m是一個常量 它沿著構建的軸線是不變的 兩端作用一個軸理 而這個牢區函數 它是變化的 V是變化的 所以我們知道 我們對彎距求導 就變成對牢區函數的求導了 這樣我們就得到最後這一個表達方式 你看 dv2比上了dz 就等於γ1mV' 我們把這個量導出來 導出來以後 我們進一步可以看 我們對它再求一次導 那就相當於再有兩階導數 對不對 好 那麼到了這一步 我們可以看到 如果我們對第一個式子 對著誰走這個座標 求兩次導的話 它就等於V1的2'加V2的2' 而V1的2' 上面就是這個式子 而V2的2' 就是這個式子 所以我們完整地說 在這個構件上 它的變形有這兩個量 分量所組成 那麼在軸力作用下 如果發生彎曲失穩變形 那麼它的表達式 就可以寫成這個樣子 現在我們把這個式子 這個最左端的一項 和最右端的兩項 整合一下變變形 我們把關於V2'的合成一項 搬過來 把這個搬過來 那就有一個 V2'乘上了一個括弧 1-γ1的N 然後這個是第二項 搬到左邊來的話 我們看是NV去除上了EX 然後我們把這邊搬過來的 那個1-γ1N 搬到這個分母上來 這樣我們就形成了這個式子 這個就是說 我們把減缺變形引進來了 體現在這一項上 它的穩定平衡方程 針對彎曲失穩以後的變形 所建立的方程 就寫成這個樣子 這個樣子 它的解釋是什麼呢 實際上我們看 我們前面不考慮 減缺變形的時候 無非是這一項等於零 對一個給定受軸力的構建 γ1它是個單位變形角 實際上是這個截面參數 就已經把它給決定了 所以這個還是 對V來說 它還是一個係數 還是一個係數 所以它就可以跟 我們前面求解 不考慮減缺變形的 穩定平衡方程的時候 一樣來求 求出來我們所得到的 就是這麼一個式子 這個大家也可以用 微分方程的方式去求一下 或者簡單的用一個比擬的方式 來求一下 就把這個式子求出來了 那滿足這個式子的軸力N 就是構建它失穩時候的 臨界承載力 所以我們把這個N 用NCR來表達 臨界承載力 critical 臨界的這一個值 那這個值 對我們做工程設計的概念 判斷是不方便的 因為你看這個NCR 在等式的兩邊都存在 所以我們要把這個式子變變形 那一變變形以後 我們用NCR等於EA π平方EA 除上了λX這個代進去 變變形 我們最後就變成這個樣子 這個式子 我們先把NCR移到一邊 然後你看 我們變變形 得到這樣一個式子 這個式子 和我們前面討論的 十腹式軸心受壓構建的 歐拉臨界力相比 大家熟悉這個式子 已經背得出來應該 對吧 一看就是多了這一項 對不對 多了這一項 這一項是什麼呢 就是考慮了這個減缺變形 我們有單位減缺角變形 這個因子在這個裡面 對不對 就有這個 這個我們就說 如果考慮減缺變形 我們建立起來的平衡微分方程 應該具有這個形狀 它的解是這個結果