【北京大學】《變分學》精品課 P22 - 22. 第22講 弱下半連續性（2）【變分學（北京大學）】

很大程度上我們是要靠突性 不管是用到什麼程度的突性 反正是要用到突性 這樣的話把我們問題就解決了 就本來就是若脫口我們很怕它 不大會碰它 但實際上能夠躲當然就躲了它 所以剛纔有那個定理 而實際上大多數問題當然這個也是可以 也是夠用的 但是還有很多問題 突性是不滿足的 而且這個問題不是憑空想像的 而是在無論是力學還是幾何裡 也還經常會出現 譬如說我考慮這樣一種方案 這個Iu呢 U就是兩個變量 U是這個U等於U1XY U2XY 就是平面到平面的一個映射 這種映射是會有的 那麼我來考慮Dr.Jacobi Pen U Pen Z Z是XY 這是Jacobi 考慮行列式就可以吧 這種問題它當然反映一種形變 在幾何上反映 這是一個Jacobi行列式 當然反映到面積的比啦等等 所以跟這種的函數 譬如說 或者它的平方 它的極次方 這不突了 你去驗證它肯定對U不突了 這種問題是有的 但是我們 這種方案還能不能處理 變分方法還能不能做 那麼所以就說 突還是不夠 還要嚮往前走一步 我們就對什麼樣一種泛含 它是若下半連續的 當然在Lagrangian給了之後 什麼樣是若下半連續的 就是看看這個概念 突的概念還要往前推廣 要想去推廣 現在我們躲不開若熟練了 前面我們是繞著它走 你不好處理 我就靠突來補償 現在沒有突了 那我只有對若突破 多些瞭解 對若突破 對若熟練有什麼瞭解呢 我們一上來 給你們舉過兩個例子 一個是L2從負無窮到正無窮的函數 一點點平移 一個有緊直接的函數 平移就平移掉了 那當然是若熟練的零 還給你們舉過一個例子 就是Riemann-Lagrangian定理 就是sin nx的函數 在零到π 這段n震動震動震動 它若熟練 在L2或者Lp 都是各種變異的 若熟練 那麼我們現在要在sober的空間上 我們下面不都在W1Q上來嗎 那你能不能給我舉個若熟練的例子 不常熟練的若熟練的例子有沒有 你們總得把這個地方深入研究一下吧 是吧 好 所以在這個意義上呢 我們現在回過來 對若熟練做一些瞭解 就在研究一下這個 我們原來知道在LQ裡頭 這個若熟練上次會了 這是零到π的 我們會知道sin nx 這個系列是 這是若熟練到零的 這個定理主要是靠的是Riemann-Lagrangian定理 我先把這個定理推廣一下 Riemann-Lagrangian定理當時 怎麼講 像負累積數理 是什麼 大家在什麼地方學這個東西 在數學分析裡學的 當時用什麼 用逼近函數還是什麼等等 你們反正有各種技巧 就這 反正給我純分析證明 現在呢 我想給你們一個也是分析 但是比那個一般而又簡單的證明 我考慮任何一個函數φx 我現在就考慮這個 0到1曲線好了 這個函數φx 我來再做 把這個函數週期開拓 是吧 把它開拓 開拓完了之後 得到一串序列 叫φx φx就是 你本來 x的 1的地方 它就是這兒 對不對 它在0到1的地方就跑遍一下這個了 所以就等於一次次重複過來 這就毛刺兒一樣的 毛刺兒一樣的 來回這麼動的函數 它是這樣一個隨便這麼一個函數 你說它弱處點是什麼 你說L2也好 L2也好 L2也好 L2也好 Q也好 所以你說 你說它弱處點是什麼 這函數抖得很厲害 是吧 往哪兒收 先呢 先我看這個函數如果是 平均值是0的話 假定這個是0的話 我說它弱處點是0 如果不是0的話呢 那就把這函數 去減掉它一個平均值 是吧 我把這個叫做φ減1 bar 就定義成這個0取減φx dx 那我考慮φ1等於φ減著φ1 bar 它不是平均值是0了嗎 是吧 然後同樣地去做φ1的極限 φ1就是它 這函數怎麼也不動的 它最弱處點到底呢 是φn 所以它就應該弱處點是它了 好 所以這時候我知道 如果等於0的話能會做 那麼如果等於0的話能夠推出 這是φn是弱處點到0的話 那麼你現在就可以說 這是φn就弱處點到φ1 所以就不等於了 會吧 好 但是我這件事還沒證 這件事情就相當於 我來重新給你們證明一下 黎曼的Lebesgue定理 怎麼證明黎曼的Lebesgue定理呢 這個證明其實很簡單 這是週期的 是吧 這是週期的 現在呢 我先看看這個第一件事情呢 這個φn的模 Q模 是什麼 φn的Q模都要算的話呢 你就把它變成是0到1 等於φnxQ次方dx 那你就算一算呢 就是φnx定義Q次方dx0 你分析變量一下 這是n分之1的0到n的 是吧 那麼週期函數 算了半天繞回來了 沒有變化嘛 你本來放大n倍 放大n倍 等於相當於 這邊積分擠進來一點 那好了 積分還是量它 這是第一件事情我們知道了 第二件事情 我不是想證明它是0嗎 想證明它是0 我就實際上 若是論到0 什麼意思啊 若是論到0的話 是對應認給一個 我現在簡單一點說 不去說 我先講0是L1好了 我就說L1好了 跟其他是一樣的做法 就講成Q是1好了 那我就考慮 這個對應認給一個 就說L2好了 簡直簡單說 跟其他是一樣的 那我就譬如對應一個L 這L應該是Q片 要想證明這個收斂的話 就是F乘上反n 17 是不是啊 要想證明這個是不是去0 那麼最簡單的辦法就是 我不要考慮整個的F 是吧 我就要考慮一些 它的逼近的好函數 來處理就行了 對吧 藍白給定理證明就這樣吧 用簡單的函數逼近 好這個函數什麼來做呢 我們先給階梯函數好了 如果我這樣Q好一點的話 那麼這是階梯函數 是吧 一串階梯函數 這種函數可以在這裡籌密 只要在這裡籌密 那你只要能證明這個就行了吧 是吧 只要它在這裡籌密 那你只要能證明 這個對n去0就對了 因為你相差是可以事先控制的 然後n值不大 所以好 如果認為這個東西去0就夠了 那麼你這本來是有限性組合嗎 那你只要對一個 只要能夠證明一個 就夠了是不是 只要能證明出一個就夠了 那一個你就算一算吧 還有什麼好說的 一個階梯函數 這個東西是什麼呢 那這個東西無非是 我叫delta去叫做cd好了 對不對 那麼這就是cd 這是phi nt dt對吧 那麼這等於什麼 這是nc nd對吧 這是phi t dt除n 是不是 好了 這個積分會不會去0呢 cd是一個 本來cd很小一點 一乘n倍 這是01期間 一乘n倍是吧 那變成這個 這nc nd 這是cd 是不是 一乘很大了 乘很大這個積分會不會 會不會大 我說別忘了一件事情 別忘了一件事情 01期間積分平均值是0 所以01期間是0 12期間是0 再過去反正這一個整點 兩個整點 各點的點都是0 cd不管你怎麼樣 n足夠大 nc nd當中會跨好多好多各點 只有兩個各點 只有兩段 頭上尾上可能不跨過點 那頂多是兩個 剩下都消掉了 這個東西無非是小於等於 這個二倍的01 phi t dt 對吧 70 這個n分之一在這 這簡單證明吧 所以一般的黎曼律定律都對 而實際上這個證明過程中 是幫我們找極限 是不是 那我們把這個極限怎麼樣 先這個函數平均值是0就好了 平均值0 黎曼律定律照搬 過來 然後對應任何函數不是0 扣掉是0 所以這樣我們發現 這個函數怎麼樣 抖來抖去 這個函數越來越抖 越來越抖 抖的結果若收斂什麼 若收斂到它的平均值 看見沒有 所以平均值有很大的意義 它若收斂是抖來抖去的東西 抖到最後 平均一個函數 這是它若收斂的極限 好 記者你們慢慢就是說 從這個例子你可以看到 若收斂的實質 慢慢就知道一些 當然這是一種 將來還會有各種不一樣的 但是這個來說 不管怎麼說 這個還是LP空間的 LQ空間的 這個空間 我們以前已經有了 Riemann的這個定理的例子 你不過是把它推廣一點而已 那我有興趣的 不光是這個 我當然要想 我要研究 WEQ 我還是01吧 咱們就先是01 將來再考慮一般的 那麼你在這個空間當中 你能不能給我造出一個 若收斂的例子 不強收斂 但若收斂的例子 能不能造出來 如果你連例子都做不出來 你還想研究它嗎 是吧 你還想了解它什麼性質嗎 你總得有個例子 你給我看看 我才能往下想 是不是 那麼通過這個例子和這個空間 我們能夠想出些什麼呢 WEQ是什麼 WEQ當中是自己是LQ 還有自己導數也是LQ 是吧 那麼自己這部分 說實話 不太麻煩了 因為LQ當中 就是如果它若收斂 在LQ就強收斂了 是吧 自己沒什麼問題 我們已經有了 子序列強收斂 已經有了 所以麻煩就是導數怎麼樣 就是導數有界 導數模式有界 但是導數不收斂 不強不磨收斂 對吧 那麼技術若收斂 這種例子 那麼好了 有這個例子 給我們借鑒一下 我現在考慮任何一個 Phi這個函數 那麼我可以造出一個這個函數 當然我叫它PhiX 是吧 我再造出一系列PhiNX PhiNX如果就是剛才那樣 PhiNX的話 那它在這個LQ裡頭都不好 是吧 LQ裡頭都收斂了 這是若收斂 強收斂都沒有 所以給導數沒法管 那導數討厭 討厭我就給它除一個就完了嘛 為什麼呢 你這樣才能保證有 它求導除N 就是它的導數 它的導數它要想有 L1有介嘛 所以要除一個 不除一個它的L1就無介了 對吧 就導數就W1 W1就無介了 所以要想必須除一下 好 我現在考慮這個序列 這個序列 是不是W1的若收斂序列 是不是 先我們說 它在W1裡頭是有介序列 是吧 W1有介 那麼至少有子序列是若收斂 是吧 好 但是是不是 W1 對 這個 不一二就好了 子序列若收斂 那麼這種東西是不是 真的有自己收斂呢 若收斂呢 那我們再看一下 我們來看看它自己 當然這個函數當然一直收斂到零 這個函數怎麼一直收斂到零 這個函數是有介嘛 C1嘛有介 所以一直收斂到零 但是是不是若收斂到零呢 在W1Q裡是若收斂到零呢 那就來看看 這個 PhiPierNX 這個等於什麼呢 等於PhiPier的NX 是吧 這個是PhiPierNX 現在拿PhiPier 做我剛才的這個 Phi 好吧 那麼 這個東西應該當 隨著N走 要若收斂到什麼 收斂到什麼 它是PhiPier的平均值 PhiPier的平均值是什麼 是什麼 零啊 兩端都是零嗎 零啊 所以它應該若收斂到零 所以知道這個東西是 PhiPierNX 是若收斂到零的 是吧 好 它所導數是若收斂到零的 它自己是一直收斂到零的 這個函數列 作為序列來說 在W1Q裡頭來說 是不是若收斂到零 我們上一堂課講過 W1Q的共和空間是什麼 你要說若收斂 必須靠若共和空間來說 是吧 好 也就是說對於認給的一個F 屬於W1Q的共和空間來說 是吧 那麼我要看F Phi N 這個配對 這是W1Q 這是W1Q共和 是吧 這個是不是去零 但是對於一個這個 我怎麼掌握它 上次堂上怎麼講的 它有一個函數 CSI0 還有一個CSI1 屬於L1 差成L1 LQPier 差成LQPier 是吧 好 那麼這個的表示就是 積分CSI0乘上Phi N 加上積分CSI1 Phi NPier 對吧 我要看它是不是去零 那就看這個是不是去零 這個Phi N是一致去零的 這個L1函數 這個它是 它是L 不是LPier 這是LQ 這是一致去零的 這是LQPier的 這個也是LQPier的 這個是LQ裡頭的 弱受點的零 會了吧 好 所以 現在我們對W1Q裡頭的弱受點 我也能掌握一點了 是吧 就隨便造一個 E0函數拿來 我給它振動 怎麼振動 就把它乘 乘多少次方 乘多少倍 尺度給它縮小 尺度縮小不就振動了嗎 週期擴張就振動了 週期縮小 就是週期縮小把它集起來 就是集起來 那麼讓本來一個函數一次一次 週期擴張之後就變成振動 振動來振動去的函數 振動的函數 如果振動的太厲害不行 就不在W1Q裡頭了 所以還得把它壓下來 尺度大了之後 集起來再壓一下 這樣的話 使得W1Q的膜不增加 W1Q還是同樣的 剛纔不是 同樣的 同樣的好了 這樣的話 弱受點 現在大家腦子裡 應該東西豐富一些了 你沒有粒子就不能瞭解它 現在你通過這個粒子 你就瞭解了 現在的這個 現在所說的弱受鏈 W1Q的弱受鏈 實際上幅度是 這種振動的東西 幅度是越來越小的 它當然可以靠攏到某一個好的函數 但是它振動的幅度 應該是 這個 這是叫做什麼 叫做振幅 這是頻率 頻率增長的時候 振幅要縮小 我們知道強受鏈 當然是包含 就能推出弱受鏈 而且這些是 不強受鏈的弱受鏈 是不是 不強受鏈的弱受鏈 好 那麼下面我就 有了這個粒子 當然 同樣的 對多維 大家也可以去 類似的構造 我不在這做了 你剛才 方塊 週期開拓 你X Y方向兩邊都來 是吧 高維的話 各個方向都來 都一樣振動 都一樣弄 是可以的 我不在這做了 我就講 舉一元的例子 因為那些都是 就這樣 你技術夠 你就往前推就是了 但是你概念上 講清楚一維就行 所以有了這些之後呢 我關鍵就是要想 把這個 序列若下半連續 我要研究這個東西 也就是我假定 L 我現在省得寫 懶得寫X和U了 我就寫個P的函數好了 當然有X和U也是可以的 但是討論就增加很多複雜性 我就考慮是P的函數 那麼以前假設P的 對P來說是2的 那就一定若下半連續了 現在我說如果 這個 這個給定這個函數之後 這個泛函IU 就是這個L 這個TU DX 如果對這個泛函是 序列若下半連續的 我現在問 L應該滿足什麼條件 把這個問題 再說一遍啊 過去是L2 那麼它序列若下半連續 現在我問 假定它是對於 對於這個泛函來說 是序列若下半連續 那麼L應該滿足什麼條件 序列若下半連續 用這個表示 當然在什麼空間 當然我一般就去L EQ空間 這個問題提在這 我們不會給它 一上來 在一般高位空間 一般這麼做 那樣的話你 看不清楚的實質 我就詳細的 寫起來很囉嗦 我就講一維 一維講清楚 多維的思想是一樣的 其他都是細節的 技巧上的事情 所以我就講一維 現在就是一個一維 ωI就是01 簡單體現就是01 這個P就是 這個U當然是廣義的 是廣義的導數 也就是在我們一維的話 就是PP導數 等價的 糾錯的導數 是絕對連續的 糾錯的導數 這個東西如果是 如果是UNT UN我不寫了T 這是什麼意義的弱受點呢 我就說是W1無窮的 新型弱受點 或者說W1Q Q小於無窮的弱受點 一樣 反正我都不在這裡仔細說 我不會去詳細去觀察 因為現在我們 關鍵是推我們的這個條件 我就寫一無窮 那麼就新型弱受點 那麼由這個 我要想得什麼呢 想得這個的條件 看見沒有 從這個要想推出 它應該滿足什麼條件 那我就要去看 通過新弱受點 能夠說明些什麼事情 我就構造一串特殊的函數 以及特殊的函數序列 它是新弱受點的 就是有這個事情 我來看L應該滿足什麼條件 怎麼構造 最簡單點 剛才把事情弄簡單一點 我把U這個函數先定下來 它是什麼呢 就是一個U0 加上一個P0 U0和P0都是屬於RN的向量 UNT是什麼東西呢 現在就是UT 加上一個 剛才我們碰到過的那一串序列 抖抖抖抖抖 但是政府越抖越低 頻率越抖越快 這樣的函數 現象函數在W17一無窮起 是不是新弱受點的 這是新弱受點的0 這個呢 它自己不動 那當然新弱受點的 是UT 是吧 好 我把它帶到裡頭去 我帶到裡頭去 U求導數 常值求導數 右邊這就是 是吧 左邊呢 先不取極限 極限我不寫不寫 這個東西是什麼東西呢 這個東西是 I這個幾分L UNT 它求導數 這個東西PIR呢 剛纔算過了 就是P0 再把它算一算呢 這個東西定義是知道的 就它 抖的函數 我現在充分利用抖的函數 這個是LP0 加上5PIR的 這是NTDT 再來分離變量 再來這個變量替換 N分之一 0到N LP0 加上5PIR TDT 這是週期的開拓的 N個週期之後 除掉它 就是 看見沒有 我算了一個粒子 是吧 剛才我們得到 給造了一個粒子 就拿這個粒子套進去 套進去 發現一個什麼事 發現如果這個東西 這個泛函 給定這個L 這個L 對應的這個泛函是 若下半 序列若下半連續的話 那麼就應該有 一個重要的關係 這個關係 是 積分 0 1 L P0 加上 5PIR T DT 要大於等於 L P0 對什麼樣函數呢 剛才我隨便取一個 4E0函數 當然對任何一個 W 一無窮函數 都對 實際上對任何一個 W 一無窮函數 在邊上是0 這可不是隨便任何一個函數 都能這樣的 這實際上對L有限制了 對L的這樣一種限制 事實上 和圖形有一定的聯繫 剛才這樣一種推理 同樣的 可以推廣到高位去 就是說 不一定限制一個變兩的 也可以是多個變兩的 剛纔是向兩值的 剛才我們也說了 本來就是向兩值的 所以推廣到高位去 那麼 我們把這個條件 事實上 只要是若下面聯繫的 都能推出這件事情 就是 L 積分 ω 這是 P0 加上 T到5 X EX 大於等於 LP0 乘上這個側度 因為剛才我們是01了 這側度就沒有了 剛才你要剛才積分的過程 你看說 剛才那右邊的時候 是跟積分的 大小有關係 區域關係 或者說 它這個東西的平均值 對它對 所以對一切都 φ 屬於W 一無窮 0 事實上 如果這個 L引起 Lagrangian引起的泛含 它是 在W一無窮裡頭來說 是序列若下半聯繫的話 序列若下半聯繫的話 那麼 就一定有這個條件 這個條件 是Maury引進來的 叫做逆突 Quasi-convex 逆突的概念 反正把突的概念往前推 有很多很多 各加各的 都可以推 你也叫逆突 我也叫逆突 很多種逆突的定義 所以為了準確起見 我們有人又把這個叫做 Maury以下的逆突 或者我們叫Maury以下的逆突 那麼在我們變分裡頭 我們講逆突就是它 那麼 逆突 和我們原來說的突 有什麼關係 大家想一想 如果這個東西 對P是突的 能不能推出 能推是吧 怎麼弄 你就把這個除過來 基本你就變成求和 求和 這就變成一個突組合 是吧 如果突函數的話 是吧 這是突組 這個先做 先把它 放在這 去突組合 是吧 現在算出來的突組合 跟原來的函數之比 是不是 所以 這個無非就是 這個就是 這邊無非 把它除過 除過來 就是 這是mω 這是ω Lp0 加上5dx 應該大一點 這個Lmω P0 加上T5x dx 這是突函數的 不等式 就有個名字叫什麼 叫Yensen不等式 實際上就是突函數 你去分嘛 就把它 分割求和就完了 是吧 分割求和就是突的 然後極限就是了 是吧 這個從突的 直接一下看過來了 那這是什麼呢 這個5x變上是0 是吧 5x變上是0 所以5x這個積分當中 邊上 它是個 偏微窗算三個字 偏微窗算三個字的話 就分佈 弄到邊上去了 那麼邊上都是0了 所以這下沒有了 所以就是L 這一項積分 邊上積分擠掉了 所以P0 P0這一項消掉了 Lp 所以你看 就它了 突的就能推出逆突的 那麼摩瑞的逆突 有沒有比突往前走一步呢 有沒有推廣呢 還就是說搞了半天就是突呢 這個事情是這樣 反過來一般講起來 不對 摩瑞有例子 例子就是剛才我們上來提的那個例子 賈寇比行列式 賈寇比行列式不突 但是是逆突 我講義上我有個證明 就算一算 我不去算了 大家自己去算一算就知道了 去驗證一下 這對於2乘2的 N是2 大N也是2的時候 那個賈寇比很容易算 就是那個算之後 你放在行列式 放進去 行列式展開 一項一項削削削 削最後就是這個 我不去驗證了 這時候賈寇比就是偏U1 U2 偏XY 賈寇比行列式 這個東西就是逆突 但是不突 所以摩瑞舉這個例子 他就往前說 我這個是真的比那個廣 而且這個是有意義的廣 但是另外一個方面 也是非常有意思的事情 是無論是小N等於1 還是大N等於1 如果是小N等於1 就空間是一維的 這個大N是1 就是數量函數 不是向量函數 這兩種情況下 逆突一定是突 那麼這件事情證明起來也不難 也不難 我就是 我現在不想在黑板上算了 因為算起來的話 也就是大家自己都能算得到的 就要取一個特殊的函數 就是5T 剛才我們這邊那個5T 就是隨便一個 剛才那個5T的函數 實際上在兩端是零的函數 就是C10的函數就可以了 所以我 其實不一定是C10 叫這個W1無窮零就行了 剛才我們選的是W1無窮零 所以我選的就是這麼一個函數 這樣湊一湊 一湊的話 你就帶進去 就一刻能驗證出來 這是T1-λ 這是1-Tλ 這是在0的λ區間裡頭 這是λ到1的區間裡頭 取這個 把取這個帶到那個 然後可以乘上任何一個向量 對任何一個向量n Rn的函數 就是對n等於1的時候 小n等於1的時候 我們就拿這個來做試探 這個函數 當然圖畫起來就是這樣 這是0 1 中間一個λ 這個函數大概是這樣起來 這樣一個函數 那麼這個函數兩端是零的 拿這個函數做週期開拓 然後做序列帶進去 當然是剛才那麼做的 但現在我就取GT取YT取這個 那麼你在這個裡頭 你在這個裡頭 放進去 就能反過來推出 你一突 在這個特殊的情況下 就推出 大家算一算 你算一算 就作為你看書 講義上也寫了 你自己去算一算就是了 好 我想今天呢 我們就到第二堂課呢 我就主要講這個逆突的概念 逆突的概念是從 保證序列若下半連續出來的 所以它是跟序列若下半連續 最緊密的連接的一個條件 事實上剛才說 這個由序列若下半連續 能夠推出逆突 反過來 就是相當於我今天在上一堂課 講的Tornelli-Morris定理的時候 那個對P2這個概念 可以換成逆突 就真的是把那個突字換成逆突 結果再加一些 也不是很重要的條件 都是對的 所以在某種意義上來說 逆突是序列若下半連續的 充分必要條件 是描寫序列若下半連續的充分必要條件 這樣我們就在 研究變分問題當中 又引進了一個新的概念 叫逆突 它是為了保證序列若下半連續的 那麼在變分學來說 我們現在事實上出現了 所有的事情都是對於 Lagrangian當中的P來說的 很多事情 判斷序列若極小的充分必要條件的時候 涉及到它的二階倒數 也涉及到 我們當時說叫做 得安達瑪條件 我們又換一種話說 叫做赤一的一種鎮定性條件 當然有個赤 用矩陣來寫 那矩陣赤是一的 現在這個逆突 逆突也是涉及到 這個二階倒數的一種概念 它比突往前走了一步 那突的概念呢 突的話實際上是涉及到二階倒數 因為我們突的概念都用二階倒數來 假如二階口音都用二階倒數來描寫 那二階倒數 就是我們所謂的強一致橢圓條件 上次我們也講過這個強一致橢圓條件 就是矩陣換成任意矩陣 不是赤一的矩陣 所以 但是在n等於1 或者小n等於大n等於1的時候呢 這些東西都是一樣的 都是一樣的 只有在這個小n和大n不等於的時候 這裡纔出現差異 而這些差異 大家會看到 這是很深刻的一種聯繫 這裡當時極小的存在性 極小的判定 和極小的存在 以及這個下半連續等等之間 都和這個二階倒數的關係 將來我們還要說涉及到正則性 也有這個問題 所以 至於這個L對於X和U都不是重要的 這些重要性自然會 該加什麼條件很自然的 但是對P的條件是極為重要 你對研究變分問題來說 這是一個非常關鍵的條件 這個條件涉及到你能不能找到極小 極小的判定 以及極小的正則性 等等一系列問題 所以 這個條件就是我們所謂 實際上是橢圓條件 為什麼橢圓性方程式變分法 能夠研究 而其他變分法不見得能夠很好的研究 根據直接的 深刻的內在聯繫 我今天講到這 下一堂課我們再講 存在性和正則性 下課