【麻省理工】公開課《微分方程》 P15 - 15. 傅里葉級數簡介(續)

好的 這就是今天所要講的內容 傅立葉級數與 f(t) 的傅立 葉展開所以 如果 f(t) 看起來像這樣 應該是週期性的 且 2π 應該為一個週期 有時人們會粗略地說週期為 2π 但這有點模糊 因此 這個週期也可能是 π 或者 π 的一半 或者類似這樣的事情 也沒關係 並根據這些公式計 算出a n和bn 很快我們將需要那些的結果 公式 這一點並不隱晦 是因為存在 a n 和 b n 的公式 一旦你知道 f(t) 就會得出結果 a_n 和 b_n 都已被確定 或者換句話說 一個函數不能有兩個不同的傅立葉級數 或者用另一種方式來說 如果函數 f 與 t 相等 你會發現我為何要用這種相當特 別的格式來寫 那麼它們的傅立葉級數對於 f 來說是相同的 如果 f 等於g 那麼這個含有f 的積分就和含有 g 的積分相同 因此 a n 的結果是相同的 同樣地 b n 的 結果也是相同的 傅立葉級數在每一係數上都是相同的 對於 f 和 g 現在 我的 最終目標是 讓我們都放下爭論 因為有公式 因為我們有 a n 和 b n 的公式 現在 這帶來的一個後果是 讓我先說 我所要 表達的是 你會驚訝於我 達到這一點需要多長時間 我只想計算傅立葉級數 這是一個相當簡單 的週期函數 看起來會 是這樣 所以 這是π 而且這是負的π 所以 一個函數在這兩個之間看 起來像t 所以它上升到 這是一個大約為t的函數 這裡的值會增加到π 那裡則減去π 但當然 它必須是週期性的 周期為2π 那麼 它就會重複 它之後就是這樣 所以 之後就是這樣 依此類推 這些端點發生什麼事情有點模糊 目前我們不用擔心這個 而且 坦白說 這其實不會有太大影響因為 積分並不關心單獨點上發生了什麼所以 這裡就是我的 f(t)當然 我現在就可以開始進行了 遠離它 但如果你開始解 決這些問題並進行一些實驗 就會發現這些計算看起來非常冗長 因此 在這段時間的前半段 我想告訴你如何簡化計算 而在這段時間的後半段 在我們完成這項計算之後 成功地 我希望向您展 示如何解除這些功能上 的各種限制 以及如何擴展傅立葉級數的範圍 嗯 首先明顯的例子是 假 設這個函數不是週期為二π的 週期函數 假設它有其他週期這是否意味著沒有公式呢 當然不是 有一個公式 但我們需要知道它到底 是什麼 特別是在這些應用中 週期很少是二π 通常是一或類似的情況 但首先 我確定你會欣 賞計算過程如何被簡化 現在 縮短它們的主要方法是 利用偶數和奇數 我所主張的是如果 f(t) 是一個偶函數 請記住那個意思 意思是 f(-t) 等於 f (t) 一個很好的例子 當然是 cos(nt) 所有這些函數都 是偶函數 如果 f(t) 是偶函數 那麼它的傅立葉級數只包含餘弦項 換句話說 如果你從一 個偶函數開始 你一半的 計算就不必進行了 這就是我所說的節省工作量 這裡沒有奇數項 沒有正弦函數 或者說 我們正面地說 所有 bn 都是零 現在 一種做法是說 那麼 為甚麼bn是零呢 我們有公式 並對bn的公式進行一些調整 並仔細思考一下 最後決定那個值 必須等於零 這是一種不錯的方法 它會讓你想起積分的一些基本事實 但我不會這麼做 我會運用我的小原則 如果兩個函數相同 那麼它們的傅立葉級數必須相同 因此 我將提出的論點是這樣的 因此 我現在要嘗試證明這個陳述 我將使用黑板上的事實來完成 那麼 f 關於 -t 的值是什麼呢 如果那等於 f關於 t 的值 那麼在傅立葉級數中 我該如何得到傅立葉 傅立葉級數中 f(-t) 的級 數是什麼 嗯 我取 f(t) 的傅立葉級數 並代入 t 等於 -t 這樣做之後會發生什麼情況呢 因此 這個的傅立葉級數看起來像是一半的零加上 求和什麼 嗯 這個a n乘以cosine n t 這不會改變 因為當我把t替換成 負的t 餘弦nt不會改變 它保持不變 因為它是偶函數 正弦項會怎麼樣呢 其實負的n t的正弦值 等於負的n t的正弦值 因此 其他的正弦項 改變符號 因此 這就是將 f(t) 中的 t 替換為 負t所得到的結果 另一方面 f(t) 本身是什麼 好吧 f(t)本身就是在那之前發生的事情 現在 它出現了加號 因為對 系列什麼都沒有做 如果這個函數是偶函數 那麼這兩個右邊的表達式就是同一個函數 換句話說 它們就像我 的 f(t) 等於 g(t ) 因此 左邊的傅立葉級 數必須相同 如果這些相等 因此 它們也必須相等 現在 餘弦項沒有問題 它們看起來相同 另一方面 正弦項的符號已經改變 因此 b n 必定始終等於 -b n 對所有n而 言這就是這個級數與那個級數相同的唯一方式 現在 如果 bₙ 等於負的bₙ 這表示 bₙ 為零 零是唯一等於自身負數的數字 因此 根據這個論證 換句話說 利用傅立葉級數的獨特性 我們得出結論：如果這個函數 是偶函數 那麼它的傅立葉級數中 只能包含餘弦項 現在 你說 嘿 這很明顯 餘弦不過是邏 輯中的一個點而已 但畢竟 這是數學課程 不只是關 於計算 你們中很多人會說 當然 這很明顯 因為餘弦是偶函數 而正弦是奇函數 我說 對吧 那麼這為什麼是正確的呢 好吧 餘弦函數是偶函數 你明白的 你所要證明的是其逆命題 逆命題是明顯的 是的 明顯 我才不在意 如果右邊是 偶函數的和 左邊也是這樣 但我是反過來說的 如果左邊是偶函數 右邊為何只能有偶數項 這是使這一 點成立的論點 現在 還有進一步的 因為如果你有一個 偶函數 順便一提當然 奇函數也是一樣的 我應該把這一點記下來 因此 如果 f(t) 是奇函 數那麼我想其中一個證明就足夠了 另一個你可以自己補上 而且 這將意味著所有的 a n 都為零 即使包括這第一個 一個零 以及相同的推理 因此 偶函數在傅立葉展開中只使用餘弦函數 傅立葉展開 奇函數則只使用 正弦函數 好 但我們仍然需要 好的 假設我們有一個偶函數 我們仍然需要計算這個積分 好吧 連這一點也可以簡化 因此 簡化過程的第二階段 再次假設我們有 一個偶函數或奇函數 而且這完全是未經授權的 因此 如果 f(t) 是偶函數 我 們現在想要做的是稍微簡化一下這個積分 而且 有一種簡單的方法可以做到這一點 因為 如果 f(t) 是一個偶函數 那麼 f (t) 也是一個偶函數 對嗎 想像我們可以為偶函數制定一 些小規則 偶函數乘以偶函數 還是偶函數 這樣的通用規則存在 其中一些你們已經知道 而且它們非常有用 但是 我們就隨機處理這裡吧 如果 我插入 這裡如果我把t改成 負的t 我就不會改變這裡的 函數因為是偶函數 所以我不會改變 餘弦因為那是偶函數 所以 如果我把 t 改為 -t 我就不會改變函數 將該函數因式分解 因此我不会改變這兩個東西的乘積 也是一樣 所以 它也 是偶函數 那麼 當你對一個偶函數進行積分時會怎麼樣呢 這裡有一個看起來很典型的 偶函數 比如 我也不知道 搖晃 搖晃 搖晃 這有很多偶函數 好的 從負π到π 即使t軸有些彎曲 這仍然是一個偶函數 重點是 如果你從負的π積分到π 我想你們都明白 即使從微積分課堂 上學到的內容來看 也應該避免那樣做 相反地 應該從零積分到π 然後將答案乘以二 為什麼要這樣做呢 答案是因為在積分的限 制中始終有零總是件好事 我信任你的經驗 我不需要去推銷這一點 負的π是積分的一個特別 討厭的下限 因為你肯定會 因為負號而惹上麻煩 至 少會有三個負號在那裡浮動 如果錯過其中一個 你 會得到錯誤尺寸的解答 解答會有錯誤的符號 因此 來自的公式方式 這樣做簡化了問題 即 不用從負的π積分到π我 可以只從0積分到π 然後將結果乘以二 因此 我們更好的公式是這樣 如果這個函數是偶函數 你就應該使用這個公式 從零到π ∫f(t)cos(nt)dt 當然 我不 必告訴你bn應該是什麼 因為bn將會是零 而且 同樣地 如果 f 是奇數 同樣的推理顯示 b n 當然 a n 這次將為零 但將是 b n 會是 二乘以π的倒數乘以從零到π的f(t)乘以正弦n t的積分 也許我們最好簡 單說明一下 為什麼會這樣 如果它是奇函數 那不是代 表東西會變成零嗎 你知道 如果這樣整合一個奇函數 從負π到的積分會是 π 你得到零 不過 這不是一個奇函數 這是一 個奇函數 這也是一個奇函數 但兩個奇函數的乘積 函數是偶函數 奇數乘以奇數是偶數 我說過我不會給你這些規則 但因為這是讓所有人困惑的那個規則 也許我應該說出來 就因為看起來不對 對吧 這很奇怪 這真奇怪 想一想 如果我把 t 改為負的 t 這會乘以負一 這也會乘以負一 因此 積會乘以負一 換句話說 它會乘以正一 什麼事都沒發生 所以它還是原來的樣子 為什麼會這樣 難道沒人相信嗎 即使這是真的 那是 因為他們在考慮數字 大家都知道 奇數乘以奇數還是奇數 因此 我這裡並不是在進行數字的乘法運算 我會把它們放在方框裡 以表 示它們不是數字 這樣怎麼樣 一種全新的創新型符號 這個方框代表 警告裡面的內容不是數字 而是單字「奇數」或「偶數」 這只是象徵性的陳述 即一個 奇函數與另一個奇函數的乘積是 偶函數 偶數乘以偶數還是偶數 那麼奇數乘以偶數會是什麼 奇怪 是的 它必須獲得同等 的時間 明顯地 必須有什麼出 現來成為奇怪的 對吧 好了 那麼現在我們已經有了我們的 我們提出兩種簡化方式 我們 準備這麼做 而不是用原來的 公式來解決這個問題 我們將 會用更好的公式來思考並解決它 現在 我們將計算f(t) 的傅立葉 級數我看到的第一件事是 f(t) 就是我們這裡的這個函數 好吧 首先 這是什麼類型的 函數奇函數、偶函數 還是都不是 大多數函數都不是 當然 但幸運的是 在應用中 功能往往不是這一個就是那一個 或 者可以轉換成這一個或那一個 也許如果我有機會 我會讓你看看所有背誦的內容會是怎樣的所以 這個函數很奇怪 好吧 一半的工作 剛剛就消失了 我根本不需要計算任何東西 a n 的值將為零 因此 我只需要計算 b n 我將用我更好的公式來計算它們 因此 是二除以π乘以從零到π的積分 然後 我需要積分的東西 現在 終於 你必須積分某樣東西 從零到π 這是函數t 因此 我必須計算 t 乘以 sin(nt) 對 t 的 積分好吧 這就是你學習分部積分的原因之一 這也是你學習分部積分的許多原因之一 讓你不必拿出小計算器來計 算這個 好 現在我們來做吧 因此 答案是二除以π 我 們把它記下來 然後就可以 忘掉它了 接下來剩下的就是計算積分在極限之間的值 因此 如果我使用分部積分法 我會想對t 進行微分 並對正弦函數進行積分 對嗎所以 第一步是 你不要做 差異化 你只需要進行整合 所以 這會整合成 cos n t 除以 n 大概是這樣 唯一要注意的是 如果我對此進行微分 會得到負的正弦n t 因此 我想在所有這些內容前面加上一個負號 而且 我會在零到π的 範圍內進行評估 然 後減去你同時進行微分和積分後得到的結果 因此 我從零到π進行積分 我現在對t進行微分並進行積分 好吧 我剛才已經進行了積分 答案是負的餘弦nt除以n 你看到負號是如何累積的 如果這是負的π而不是零 那就是它開始失去信心的時刻 你看到三個負號 然後 當你代入時 你還得 再放入另一個負數 你會覺得自己可能會犯錯 而且 你會的 好的 現在我們要做的就是一個 小小的評估 讓我們看看 在下限 我這裡得到零 所以 我們馬上把它寫成二除以π 在下限處 我得到零 這很好 在上限處 我得到負的π除以n乘以nπ的餘弦 現在 最後一次 nπ的餘弦 如果你喜歡把每件事都分成獨立的步驟 好的 這次就讓你做吧 但長遠來看 記得 那是負一的n次方 餘弦函數的值為負一 餘弦函數的值為正一 三倍的圓周率為負一 依此類推 所以 在上限處 我們得到負的 π 除以 n 乘以 哦 我還沒算完 乘以 n π 的餘弦 這等於負一的 n 次方 那麼 那個其他人呢 我們在腦中進行嗎 好吧 我可以在腦中完成 但 我不確定你們的腦中是否也能 也許這次我們就不這樣做了 那麼 這是什麼 是正弦函數 對吧 所以 我把兩個負號合併了 把一個這樣放 另一個 那樣放 然後 如果我现 在進行積分 結果是正 弦nt除以n平方 對嗎 而且這是在零到π之間進行評估的當然 正弦函數在兩端都為零 因 此那一部分 simply 為零 因此 最終的答案是 bn 等於 嗯 π 被消去了 這個減號與這些 n 合併成一個 因此 答案是二乘 以負一的n加一次方 因此 最終的結果是 我 們的傅立葉級數 也就是 f(t) 的傅立葉級數 那個奇怪的函數是 傅立葉級數是求和 bn 把二放到前面 因為它 出現在每一項中 沒有必 要重複 負一的n加一次方 正弦函數的 n 倍的 n 倍 然後從一加到無限 讓我們停下來仔細看一下 這樣看起來對嗎 好的 這是我們的函數 這個的第一項是什麼 當 n 為一時 這就是加一 因此 第一項是正弦 t 什麼是下一個項目 當 n 為二時 這會是負數 所以 這是負一的三次方 所以 這是一除以二的負數 因此 是負的二分之一正弦2t 然後顯然以同樣的方式繼續 加上三分之一正弦3t 現在 仔細觀察 因為我接下來要說的內容是傅立葉級數 的核心 我給了你這個視覺圖形 希望幫助你理解這個概念 辛西雅 但這真的非常重要 你自己去車站做那項工作 雖然很簡單 現在注意聽 現在 如果你認為傳統的 也就是如果你想到泰勒級數 你一定不會相信這件事 因為你會說 嗯 讓我們看看 這些一直持續下去 明顯地 最重要的是第一項 那是兩個正弦t 現在 導數 兩個正弦t 正弦函數t會完全沿著粉紅曲線 正弦函數t會看起來像這樣 兩個正弦函數t以錯誤的角度上升 第一個術語 換句話說就是這樣 它正在 以錯誤的斜率離開 這 就是傅立葉級數的重點 傅立葉級數並不是像泰勒級數那樣試 圖在零點或中心起始點附近逼近函數 傅立葉級數試圖處理整個區間並 在整個區間內盡可能精確地逼近 該函數 在這個情況下 是從 負π到π 泰勒級數則聚焦於該點 它目前盡最大努力 然後嘗試下一個 詞語以做得更好一點 再做得更好一點 整體的哲學觀完全不一樣 泰勒級數用來分析當你緊貼 基點時函數的樣子 傅立葉級 數則用來分析函數在整個區 間上的樣子 為了做到這一點 你應該因此努力做到這樣 第一次的近似看起來會是這樣 你會得到完全錯誤的斜率 但下一次會減去一些東西* 這對修復它有點幫助 我畫不出這個 所以我把你送到 視覺圖像 因為視覺圖像能漂亮地畫出它們 並說明每個後續項如何 修正傅立葉級數 使總和 更接近你最初設定的值 因此 下一位研究者會 讓我們看看 這是2t 所以我減去它 我只是猜測 但可能結果是 看 我不敢畫這個 我還沒準備畫它 而且我知道我會畫錯 好的 你的練習 但是 這樣看起來會更好 它會去 也許 像這樣 讓 我們看看 它最終必須到那裡 所以 其中一些會被減去 關閉 我不知道它長什麼樣 當您使用電腦終端機上的視 覺介面時 請注意 我已經要 求您在多種功能上使用它三次 我想這也許就是其中一個 請注意你可以設定這個參數 你可以獨立設定係數 換句話說 你可以回去更正 您作品中改善了先前的係數 這不會影響您之前所做的任何事情 但是 最生動的做法是嘗試去獲得 從視覺上 透過移動滑塊盡可能取得第一個係數的 最佳值 並觀察曲線 然 後取得第二個係數的最佳值 並觀察這如何改善近似效果 第三個 依此類推 重點是 注意近似值在整個區間內漸漸逼近函數 而不是集中在某個區域 他們最初的善良 就如同泰勒級數一樣 現在 還有一個數學觀點尚未說明 就是那個等號 這是錯誤的 為何是錯誤的呢 我的意思是 如果我將這個級數加起來 它總和為 f(t) 現在 它幾乎是這樣 但還不完全如此 而且 我最好告訴你這個規則和定理 在這門課程中所有未被證明的定理裡 這一個最超出本課程範圍 我最想證明的那個定理 事實上 只是因為我是一名數學家 但卻不敢 這個定理告訴你什麼時候 傅立葉級數會收斂到你原來的函數 而且 其本質就是這樣 如果 f 是連續函數 那它就是一個連續函數 讓我們給這 個點一個名字 僅僅稱它為 t 會令人混淆 如果你喜歡的話 將其稱為 t 但我認為稱為 t 零會更好 僅用來表示我正在觀察一個特定的點 因此 如果函數在那裡連續 然後 f(t) 的值等於傅立葉級數 收斂 並等於其傅立葉級數 傅立葉級數在 t 等於零時的和 而且 我能使用「和」這個詞 這 表示傅立葉級數是收斂的 換句話說 當你把所有這些加起來時 你不 會得到無限大 也不會得到一個 瘋狂地來回波動的東西 它們確實會加起來得到某個具體的數值 現在 如果 f 在 t 零處不連續 這絕對不會是這樣的情況 它肯定不會 但遠遠超出 出現的不連續類型 這些應用程式就像圖片中所示 其中的不連續處都是間斷不連續 這些幾乎都是間斷不連續 換句話說 在這種情況下 他們是孤立的 這個功能在這 裡看起來很好 但這裡有個斷裂 通常 電氣工程師不會隨 意留下空隙 我不知為什麼 但電氣工程師及其同類會這樣繪製這個功能 像鋸子一樣鋭利的牙齒 即使這些垂直線也毫無意義 但它 們讓人看起來更開心 因此 在t 等於零處存在間斷點 而且 如我所說 這是最重要的一點 這類函數 然後是 t 的 f 隨後傅立葉級數會收斂 而且它會收斂到跳躍的中點 讓我用文字這樣寫出來 跳躍的中點 這就是我們將會採用的方式 在這門課程中使用它 這有一個註解 在你的書裡 但 那些對這 類事物感興趣的人當然會知道 那麼 我們就稱之為跳躍的中點吧 那麼 如果我問你這個收斂到什麼 也就是說這個級數 這顯示這個級數兩次 我會以簡寫形式寫出來 總和從 n 等於一到無限大 (－1) 的 n 加一次方除以 n 乘以正弦 n t 什麼是這個級數的總和 我們稱它為大寫 F(t) 我想知道F(t)的圖形是什麼 嗯 首先 它必須和你 一開始畫的函數圖形一樣 不過我的答案幾乎是 但不完全正確 事實上 它的圖形會是什麼樣子呢 無論我如何定義那些 粉紅線的端點 這個 函數都會收斂到以下結果 從這裡到這裡 我會畫出來 我不會畫上 負π這個就留給你的想像吧 所以 這裡最後有一個洞 換句話說 這一行的結尾 並未包含在內 而這一行 的結尾 無論一開始是否被包含在內 都沒有改變 現在不是 這裡也一樣 我從這裡開始有一個洞 然後往下走 像函數t的平行線 斜率為一 現在 我該如何填寫呢 所以 缺失的地方是 這是 點π這是點 −π 而隨著我繼續往外 還有類似的點 當然 由於這裡的函數是連續的 傅立葉級數將收斂到這條橙色線 但這裡存在一個間斷點 因此 傅立葉級數 這個功能會收斂到跳躍的中點 換句話說 就是這裡 這個函數 換句話說 收斂到這 個看起來不連續的函數 這些點竟 然孤立存在 這實在很奇怪 不過 在這種情況下 我可以向你證明它 這裡透過計算得出收斂點看 這是點π 當你代入t 等於π時 你會得到所有這些 項都為零 因此 總和為零 因此它當然收斂 而且收斂於零 這是一個一般性的定理 證明起來相當困難 你再次會發現 我必須修讀一門分析課程 但我甚至還沒有機會接觸到我在其中授課 的分析課程 所以 如果我還有另 一個學期的話 我就能夠接觸到它了 但是 好吧 我不能做所有的事情 無論如何 這個學期我們是不會學到這部分的 這對你來說應該是無比欣慰的事 但你應該知道這個定理 不管怎樣 人們會期待你了解它 好吧 那是半 個時期 在剩下的半個時期裡 你將會待很長時間 時間到了 好吧 不 別慌張 我必須擴展傅立葉級數 好吧 讓我快速告訴你相關內容 它需要擴展的兩種方式 擴展數字一 這個週期 不是二π 而是二倍 我 會保留二這個數字 以使公式盡可能與舊的相似 一個 例如 週期是兩倍的L而不是兩倍的 π現在 我想到目前為止 你已經了解足夠的數學知識了 我希望你大概能猜到 嗯 不過就是像在 t 軸上改變單位一樣嗎 你只是在拉伸而已 對吧 只要改變一個變數即可那麼 我們是否應該把它弄得漂亮一點呢 我 想我會給你最終的答案 然後我再試著做決定 我會盡力讓這個論點更有力 首先 最重要的是 如果這個週期不是π而是L 那自然的版本會是什麼呢 餘弦和正弦該用哪一種 使用自然函數 自然並沒有意義 但卻在心 理上很重要 換句話說 應 該用什麼功能來取代它呢餘弦 我當然會在這裡有個t 我該放什麼在前面 我會保留n 問題是 我該修復什麼 我應該在這裡放什麼才能讓 的東西出現 使其成為帶有兩個 L 的句點 你可能也應該學會以正式的方式來做這件事 一種是自我暗示後猜測 一種是記住答案 如果這是t軸 這裡是t和L 零和L 你想要做的是將變數變換到u軸上 其中軸 是相同的 這仍然是該點 但現在在u坐標中 名叫π 所以 我只是在描述軸上的 變數變換 哪一個能完成這個變換呢 當t為L時 u應該是π 因此 t 應該是 L 除以 π 當 u 為 π 時 t 為 L 反之亦然 那麼 u 如何用 t 來表示呢 那麼 u 就等於 π 除以 L 再乘以 t 那是寫法的反向形式 或是正向形式 取決於你如何思考這些事情 因此 餘弦應該是 π 除以 L 乘以 t 為了使當 t 為 L 時 它應該像 cosine 為 nπ 這就是我們所得到的 因此 如果 t 等於 L 換句話說 這個函數在哪裡 我想表達什麼 那是這個函數 這個可能更 容易看出 這個在哪裡是零 我們之前使用的正弦函數在零處為零 圓周率 兩倍圓周率 三倍圓周率 這個是零嗎 在零處是零 當 t 等於 L 時 是零 當 t 等於 2L 時 因此 這是正確的做法 它是週期性的 在零、正負 L、正負 2L 處為零 事實上 從嚴格意義上來說 你可以驗證它的週期為 2L 因此 換句話說 我們希望我 們的傅立葉級數使用這些函數 作為在那裡所會有的週期函數的自然類比 我們函數的週期 是2L 公式是 我來告訴你這個公式 它是f(t)等於相同的求和a n 除了你會使用這些作為自然函數 而不是 cosine n t 和 sine n t 所以 n π t 除以 L 加上 b n 好吧 我累了 但還是寫上吧 pi t 位於 L 之上 嗯 當然 那麼對於n的公式呢 上面有人在看著我們 這些就是公式 它們正是 你聽到有人說時所猜到的 在十秒內產生公式 你最好正確而且 你沒有時間計算你說嗯 一定是這樣 不管我在哪裡看到 自從…… 我們來做餘弦級數吧 好的 我們來做一個 好吧 我們不要做餘弦 級數 所以 是1除以L乘以 負的 L 的積分 換句話說 當你看到 L 時 當你看到 π 時 只要替換成 L 乘以 f(t) 乘以餘弦 而且現在我們將使用我們的新功能 而不是舊功能 我認為如果知道第一個公式 這會是個容易的問題 那麼這會是個容易記住的問題 你所要做的就是把所有的π都改成L 除了你必須要改變的地方 請記住這部分 使其成為週期的函數 兩個L 而不是兩個π 同樣地 bn也是類似的 看起來完全一樣 而且 同樣的奇偶性問題也適用 因此如果 f(t) 是偶函數 週期為 2L 那麼…… 然後函數 然後最佳公式為a n 將不是那個 它將是2 除以 L 並在你只從零積分到 L 的地方 f(t) 的餘弦 以及 t dt 因此 b n 的值將為零 你只會得到正數 依此類推 同樣地 奇數也是如此 正如我所說 這是一個重要的案 例特別是如果週期是二的話 換句話說 如果半週期是ㄧ 因 為在文獻中 通常會使用一作為 標準常態參考 不是π π在數學上很便利 因為它讓餘弦和 正弦看起來更簡單 但實際計算時 它通常是在L為一的地方 所以 通常這裡會有一個π 你不會只有一個nt 嗯 我應該做一個 計算 而是讓我 想給你另一個擴展 幸運的是 你的書中有許多計算 所以 讓我在最後幾分鐘內 告訴你另一個延伸 這將是非常 這次對我們來說很重要 通常在應用中 嗯 我的意思是 第一件事是 說起來 週期函數很好 但我們必須承認 大多數函數並不是週期性的 我同意你的看法 所以 所有這些理論只是 談週期函數而已 不 實際上 這是指你在有限區間 內感興趣的函數 這個區間是 有限的 而不是函數趨向無限的 對於那些情況 你必須使用 傅立葉轉換 而不是傅立葉級數 但是 如果你對一個有限區間上的函數感興趣 那麼你可以使用傅立葉級數 即使這個函數 它不是週期性的 因為你可 以讓它變週期性 所以 你 所做的就是 如果 f(t) 是開啟的 讓我們取從 從零到l的範圍是一個範圍有限的區間 我 總是可以改變變數 使 其成為從零到l的區間 我可以從零做到一 但那有點太特別了 會 有點尷尬 所以 函數 是在有限區間上定義的 將傅立葉級數應用於它的方 式是進行週期性延伸 而現在 由於我時間這麼少 我只能偷偷摸摸地直接畫出來 圖片 那麼 讓我給你一個函數 這是我在零到 l 上定義的函數 用彩色粉筆 如果可以的話 我們讓這個函數為 t 平方 讓 l 等於一 該函數不是週期性的 如果讓它繼續下去 它將會無限延伸且永遠不會重複其值 除了左側之外 但我甚至不會讓 它出現在左側 它只定義從零到 一、就我而言 好的 這個函數有個週 期性的延伸 它的圖形看起來是這樣的 將其延伸為偶函數 好的 現在 這意味著從零到負的 l 你必須讓它看起來與它在的樣子完全一樣 右邊 否則就不會是平的 現在 我該做什麼呢 嗯 現在我從負數開始 從 l 到 l 所以 我只能不斷重複這些值 換句話說 就是將傅立葉 級數理論應用在這個東西上 使用餘弦級數 因為它是一個偶函數 然後你想要做的一切 你說 好吧 這一切的其他部分都是垃圾 我只從這裡到這裡真正關心 這就是你將其代入 微分方程右邊的部分 那麼奇延拓會是什麼樣子呢 好的 這個奇數延伸 我這樣開始 現在 要把它延伸成一個奇函數 我必須讓它以完全相同的方式向下延伸 那我這裡該做什麼呢 我必須讓它重新 開始重複這些值 這樣看起來就會是這樣 因此 這種情況下的延伸部分將是不連續的 傅立葉級數將收斂到什麼呢 而在每種情況下 都是收斂到平均值 也就是跳變中點 而奇數延拓看起來像是 像這樣 這將給我一個正弦級數 好的 你有很多問題要解決