【麻省理工】公開課《經典力學》 P2 - 2. 矢量 - 點積 - 叉積 - 三維運動

今天壞消息是會有很多數學 但好消息 是我們只會做一次 大概只需要半小時 在物理學中有一些量僅由一個數字即可唯一確定 質量就是其中之一 溫度就是其中之一 速度就是其中之一 我們稱這些為純量 有其他情況需要多個數字來表示 例如 在一維運動中 速度具有一定的大小 也就是速率 但你也必須知道它是這樣走還是那樣走 所以必須有方向 速度是向量 加速度也是向量 今天我們將學習如何處理這些向量 向量有長度也有方向 這就是我們實際上用箭頭來表示它的原因 你們都看到這是一個向量 記得這個嗎 這是一個向量 如果你正面觀察這個向量 你會看到一個點 如果你從後面看這個向量 會看到一個十字 這個就是向量 我們將用它來表示向量 想像一下 我正站在26 100的桌子上 這是一張桌子 我站在點O 然後沿直線從O點移動到P點 我就是這樣移動的 我現在的位置就在這裡 當你從26 100的位置看來 就會看到我 正好有人也將在同樣的時間內從這裡移到那裡 因此 這表示表格會向下移動 而我的點 P 也會以相同的方式向下移動 那麼你現在就會在點S看到我了 你會在點S的26 100處看到我 儘管我仍然站在桌子的同一個位置 這張桌子移動了 這現在是桌子的位置 整個表格已經改變 了現在 如果這兩種運動同時發生 那麼你從你坐的地方所看到的…… 你會看到我從O沿直線移動到S 距離為26 100 這就是向量相加背後的奧秘 我們這裡說向量 OS……我們在上面加一個箭頭…… 就是向量 OP 上面加一個箭頭 加上 PS 這定義了我們如何將向量相加 有許多種方式可以將向量相加 假設我這裡有一個向量A 這裡有一個向量B 那麼你可以這樣做 我稱之為頭尾技巧 我把 B 帶到 A 的頭部 所以這是B 這是一個向量 然後總結果是A加上B 這個向量 C 等於 A 加上 B 這是一種做法 你是否將 B 的尾端接到 A 的頭端都沒關係 或者你將A的尾端接到B的頭端 你會得到相同的結果 你還有另一種做法 而且我稱之為平行四邊形法 這裡你有A 你把兩條尾巴合在一起 這裡是B 所以尾巴接觸了 現在你完成這個平行四邊形 現在這個向量 C 就是這裡 的和向量 無論你喜歡哪種方式 你立刻會發現 A 加 B 和 B 加 A 是相同的 沒有差異 負向量的意義是什麼 說白話 A 減 A 等於零 向量 A 減去向量 A 等於零 所以這是向量 A 那麼我需要加上哪個向量才能得到零呢 我需要加上負A 好吧 如果你使用頭尾法 這就是A 你必須加上這個向量才能得到零 所以這是負A 而負A不過就 是與A方向相反180度的向量 我們會經常使用它 這就引出了向量減法的概念 如何進行向量減法 所以 A 減 B 等於 C 這裡我們有向量A 這裡我們有…… 讓我們在這裡記下來 這裡我們有向量B 這可以這樣看待 你可以說 A 減 B 等於 A 加上負 B 我們知道如何將向量相加 也知道負 B 是什麼 負B 是同一個向量但方向相反 所以我們這裡寫上負B 因此這個向量現在等於 A 減 B 這個向量 C 等於 A 減 B 當然 你也可以用不同的方式來做 你也可以把它想成A加上…… 就像C加B等於A一樣 對吧你可以說……你可以把這個移到另一邊 你可以說C加B等於A C加B等於A 也就是 我必須加上哪個向量才能得到 A 然後你又會用到平行四邊形的方法 有很多種方法可以做到這一點 頭尾法可能是最簡單且最安全的方法 所以你可以添加無數個向量 一個接一個 再接下一個 而且你最終得到的是五個、六個或七個向量的總和 這時可以用一個向量來表示 例如 當你將純量五和四相加時 那麼答案只有一個 那是九 五加四等於九 假設你有兩個向量你對它們的方向一無所知 但是你知道其中一個的大小是四 另一個的大小是五 你所 知道的就只有這些 那麼這兩 個向量的總和的大小可能是九 如果它們方向相同 那就 是最大值 如果方向相反 則可能只有一個 因此 你會有許多不同的可能性 因為你不知道方向 向量的加法與減法 比純量複雜得多 正如我們所見 向量的總和可以用另一個向量來表示 同樣地 我們能否用一個向量 來替換為其他向量的總和呢 我們稱這種向量的分解 而且這在8 01中將 會非常重要 請密切跟 隨這個內容 我有一個位於三維空間中的向量 這是我z軸的設定 這是我設定的x軸、y軸與z軸 這是原點O 這裡有一個點P 我有一個向量OP 那是向量 我現在所做的 是將這個 向量投影到x、y和z三個軸上 這樣就可以了 每一個都有其獨特的方法來完成這一點 我們完成了 我稱這個向量為向量 A 現在 這個角為θ 這個角為φ 請注意 A 在 y 軸上的投影 這裡有一個數字 我稱之為 A的y 這個數字是 A 的 x 而這個數字則是 A 的 z 向量在三個軸上的投影 我們現在介紹我 們所稱的單位向量 單位向量總是沿著正軸的方向 以及x方向的單位向量就是這個 它的長度為一 我們寫作x的 roofroof總是代表單位向量 這是指y方向的單位向量 這是指z方向的單位向量 現在我要重新寫出向量A 就我們這裡的三個組成部分而言 對於向量 A 我將寫成A 的 x 倍的 x 方向 加上 A 乘以 y 的 y 矢量 加上 A 乘以 z 的 z 矢量 而這個 A 乘以 x 的 x 矢量 真的是一條從原點到這個點的矢量 因此 如果你想的話 可以將其作為向量輸入 這就使其成為一個向量 這就是那個向量 y 的 A 哦 對不起 是 x 的 A就是這個 y 的 A 乘以 y 的屋頂就是這個 而且A的z次方的z次方根就是這個 因此 這三個綠色向量相加後完全 等同於向量 OP 我們已經將一 個向量分解成三個方向 我們將會看到 這在很多情況下都非常有用 這對801來說非常有幫助 向量的大小 是A x平方 加上A y平方 加上A z平方的平方根 因此我們可以舉一個簡單的例子 例如 我取一個向量 A 這只是一個範例 你會看到它實際運作 我們稱之為 A 3x 屋頂 因此 x 的 A 是 3 減 5 y 的屋頂 加上 z 軸正方向的 6 單位 這表示在這個方向上有三個單位 在這個方向上有五個單位 負 y 方向 和正 z 方向的六個單位 這就形成了一個向量 我稱這個向量為A 那個向量的大小是多少 我總是用垂直 線來表示 垂直線的 兩條線就是它的大小 有時候我乾脆就不加箭頭 但為了萬無一失 我比較喜歡這個想法 就是你知道這其實是大小 當你這麼做時 它就變成一個純量 那應該是 平方根 三的平 方是九 五的平方是二十五 六的平方是三十六 所以那是七零的平方根 而且假如我問你 什麼是θ當 然θ是唯一確定的 這個 向量在三維空間 中是唯一確定的 所以你應該能夠找出φ和θ 餘弦值為θ…… 看這個角度 90度 投影 因此 θ的餘弦值為A在z軸上的分量除以A本身的大小 因此 θ 的餘弦值等於 z 的 A 除以 A 本身 在我們的情況下 就是六除以根號 70 你可以計算 φ 這只是操作一些數字的問題而已 我們現在來探討向量中更為困難的一部分 也就是向量的乘法 我們還不需要這個直到十月份 但我想我們乾脆現在就處 理掉吧 既然我們已經引入了向量 你可以進行加法和減法 你不如學點乘法 這工作算是完成了 就像去看牙醫一樣有點痛 但對你有好處 當它在你身後時 痛苦就會消失 所以我將談論向量的乘法 這會在十月份 以及課程後續部分才會出現 向量的乘法有兩種方式 一種稱為點積 通常也稱為點積 A 點 B粗點 這被定義為……它是一 個純量 A 的 x 值乘以B 的 x 值 只是一個數字 加上 A 在 y 方向上的分量乘以 B 在 y 方向上的分量 這是另一個數字 加上 A 在 z 方向上的分量乘以 B 在 z 方向上的分量 這是另一個數字 這是一個純量 它不再有方向 那是點積 這就是第一種方法 這完全合法 你可以一直使用它 還有另一種方法可以求出點積 根據你所得到的資訊 問題的呈現方 式也會有所不同 如果有人給你向量A 以及向量 B 而且你恰好知道這兩個之間的角度 這個角度θ它 與那個角度θ毫無關係 它是這兩個之間的角度 然後點積也是以下結果 你可以嘗試證明這一點 你將向量 B 投影到 A 上 這就是該投影 這個向量的長度是 B 乘以 cosθ 接著點積等於 A 的大小 乘以 B 的大小 乘以 cosθ 兩者完全相同 現在 你可能會問我 你可能會說 哎呀 我怎麼知道θ是什麼呢 我怎麼知道我應該採用這個角度 的θ呢 還是應該採用那個角度的θ呢 我意思是 A 跟 B 形成什麼角度 這沒差 因為這個角度的餘弦值 跟 360 度減去 θ 的餘弦值是一樣的 這樣一點差別都沒有 有時這會更快 根據問題以什 麼方式呈現給你而定 有時另一 種方法更快 你一看到這個就 能馬上看出來 比看這裡更容易 向量的點積可以大於零 可以等於零 也可以小於零 A 和 B 根據定義永遠是正數 它們就是幅度 但是這是由θ的餘弦值決定 的如果θ的餘弦值大於零 那麼它就大於零 θ的餘弦值可以等於零 如果角度θ為π /2 也就是說當兩個向量互相 垂直時 點積為零 如果這個角度θ在90度到180度之間 餘弦值就會是負數 我們將會看到這一點的應用 這裡沒有雙關語的意思 當我們要處理物理學中的工作時 你會發現我們可以做正功 也可以做負功 這與點積有關 功與能量都是點積 我可以和你做一個極其簡單的例子 我能想到的最簡單的例子…… 也許幾乎是一種侮辱 這並不是這個意思 假設我們有A點B 而且A就是你已經寫在那塊黑板上的那個 就在這裡 這個就是A 但是B只是把2y去掉 2y的屋頂 那就是全部了 那麼 A 點乘 B 是什麼 A 點乘 B B 沒有 x 分量 所以這部分變為零這個項變為零 B只有y分量 所以 是負5乘以正2 因此 我得到負10 因為沒 有z分量 就這樣簡單 那麼是負10度 我可以給你另一個例子 第二個例子 假設 A 本身是 y 方向的單位向量 而 B 是 z 方向的單位向量 那麼 A 點 B 是什麼 我想要聽得清楚明白 對 零 它就是零 你甚至不需要思考任何事情 你知道這兩個是呈90度角的 如果你想要浪費時間並想用這 個來取代 你會發現結果是零 這應該是可行的 因為明顯地 y 的 A 意味著這…… 這是一 那就是它的意思 而Z的B 那代表Z的B…… 這是一 其他都不存在 好吧 祝你運氣好 接下來我們將進入一個更加困難的乘法部分 也就是向量乘法 稱為向量積 或稱為…… 通常我稱之為向量積 向量積的寫法如下 向量A乘以向量B等於向量C 這是一個十字架 一個非常清晰的十字架 我會告訴你我是如何記住的 這是第一種方法 我會教你們 就像點積一樣 有兩種方法 我會告訴你第一種方法 這是一種永遠有效的辦法 雖然耗時 但永遠有效 你在這裡寫下一個有三行的矩陣 第一行是x屋頂、y屋頂、z屋頂 第二行是x的A、y的A、z的A 如果A先出現在這裡 那第二列必須是A 第三列則是B x的B y的B z的B 因此這六個是數字 而這些是單位向量 我在此逐字重複這句話 你馬上就會明白我為什麼需要它了 而且我也會在這裡這麼做 好的 現在來到食譜部分 你從左上角出發 往這個方向走 把這三個相乘 就是加號 所以你得到 Ay 所以 C 也就是交叉 A 交叉 B 等於 Ay 乘以 Bz 再乘以 x 方向的單位向量 但目前我還不打算加入 x 方向的單位向量 因為我必須減去這個 減號 其中包含 Az By 所以是減去 Az By 這是在 x 方向 下一個是這個 Az Bx 減去這個 Ax Bz 在方向 y 最後但同樣重要的是 Ax By 減去 Ay Bx 沿單位向量 z 的方向 所以這部分我們稱為 x 的 C 它是這個向量的 x 分量 而這部分我們稱為 y 的 C 這部分我們稱為 z 的 C 因此你也可以寫出這個向量 也就 是C 等於 C 的 x、x方 加上C 的 y、y 方 再加上 C 的 z、z 方 A 與 B 的叉積 我們將有許多練習 第二個作業中你將有許 多機會來實際操作一下 現在我來介紹我的第二種方法 第二種方法同樣是 如同點積一樣 是一種幾何方法 讓我試著在這塊板子上進行運算 如果你知道向量A和向量B 且你知道角度是θ 那麼叉積C就等於A叉乘B 向量 A 的大小乘以向量 B 的大小再乘以角度 θ 的正弦值 而不是餘弦值 就像我們之前在點積中所看到的那樣 是角度 θ 的正弦值 因此你可以馬上看出 當θ為0度或 180度時 這將等於零 而點積則為零 當它們之間的角度為90度時 這個數字可以大於零 正弦θ大於零 也可以小於零 現在我們只有向量的大小 而且現在來到了最困難的部分向量的方向是什麼 而且這件事你必須牢記在心永遠不要忘記 方向 是這樣找到的 你先選擇 A 因為它是首先被提到的 並讓 A 繞最短的可能角度轉到 B 如果你手中有一個軟木塞開瓶器 我馬上就會展示給你看 那麼你將開瓶器順時針轉動 就像你看到的那樣 而且螺旋釘會釘入黑板 如果螺旋釘釘入黑板 你會看到向量的尾端 而且你會看到一個十字 一個小的加號 所以我們這樣標示 叉積總是垂直於A和B 但這會給你兩個選擇 它可能從黑板上出來 也可能進入黑板 而我剛剛已經告訴你該使用哪種慣例 我想讓你看看 以一種可能更吸引你的方法 這是我之前使用過的 我在麻省理工學院進行的電視教學協助 課程我有一個蘋果……不是蘋果 這是 番茄不是番茄 這是馬�鈴薯 我這裡有一個馬�鈴薯 這裡有一個軟木塞開 瓶器有一個軟木塞開瓶器 我要從你的角度看來 順時針方向轉動這個軟木塞開瓶器 而且你會看到螺旋鑽會鑽進馬�鈴薯裡 那就是向量的方向 如果我們有B cross A 那麼你就拿著B 並朝向A點以最短的角度翻轉 接下來你必須逆時針旋轉 當你逆時針旋轉時 螺絲釘會朝你過來 那就是 所以這個向量現在是朝這個方向的 如果這個向量是朝向你的 那我們會用一個圓圈和一個點來表示 換句話說 對於這個向量B跨乘 A 的大小會 完全相同 沒有差異 但 方向會朝向離開黑板的方向 換句話說 A 跨乘 B 等於負的 B 跨乘 A 雖然A點B等同於B點A 當我們處理力矩時會遇到叉積 以及當我們處理角動量時 這不是8 01課程中最容易的部分 讓我們以一個極其簡單的例子為例 再說一次 我並不是想 用這樣簡單的例子冒犯你 但你將會在你的作業中獲得更多進階的機會 假設我給向量 A 指定了 x 軸的單 位向量 這表示 A的 x 分量為 1 當 y 的 A 值為 0 且 z 的 A 值為 0 假設 B 是 y 的屋頂 這表示 y 的 B 值為 1 當x的B為0 且z的B為0時 點積與A與B的叉積為何 好吧 你可以應用那個 配方 但這裡我們 有更簡單的x、y、z軸 A是在x方向的單位向量 和 B 在 y 方向 我拿起 A 旋轉最小的角度 也就是 90 度到 y 方向 那麼我的螺旋鑽就會向上 所以我已經知道整個事情了 我知道這個叉積必須是0 其大小必須是1 這立刻就很明顯但我也立刻知道其方向 透過右手法則 現在 如果你非常聰明 你可能會說啊 你發現了正負號z 只 是因為你使用了這個坐標系統 如果這根軸是x 而這根是y的話 則x與y的叉積會是負z方向 你說得對 但如果你真的那樣做 我會殺了你 你永遠都必須使用我 們所稱的右手坐標系 右手坐標系的定義 是x與y的叉積為z 而且不是 y 減 z所以當你未來接觸到叉積、力矩和角動 量時始終要為自己畫一個 x、y、z 的圖示 對於 x 跨乘 y 等於 z 的情況 永遠不要讓 x 跨乘 y 等於負 z 你會自食其果 因為這樣做根本行不通 所以要非常小心 它必須有效 如果你使用右手螺旋法則 請確保你使用右手坐標系統 好的 現在最糟糕的部分已經過去了 接下來我想為你寫下…… 我們現在開始收穫一些果實 雖然這會慢慢滲透進來 我想為你寫下一個 描述運動粒子的方程式 一個在三維空間中運動的物體 這是一個非常複雜的運動 我幾乎無法想像它會是什 麼樣子 這是一個在空間 中移動的點 這個點就是P 這一點 P 將在空間中移動 我稱這個向量 OP 我現在稱它為向量 R 並給它加上下標 t 這表示它隨著時間而改變 我稱這個位置為 y 的 A 我將稱它為 t 的 y 它隨時間而改變 我稱這個為 t 的 x 它將隨時間而改變 並稱這個點為 t 的 z 這個點會 隨著時間而改變 因為點P 將會移動 因此我要寫下向量 R 在我所能達到的最一般形式 這個隨時間變化的向量 R 現在是 x(t) 也就是 x 之前所說的 A 次數乘以屋頂 + y 的 t y 屋頂 + z 的 t z 屋頂 我已將我的向量 R 分解成三個獨立的向量 其中每一個都會隨著時間而改變 這粒子的速度是多少 動量是位置的首階導數 也就是dr dt 就是這樣 首先 這個的導數 dx dt x roof 我將寫成 dx dt x dot 因為我懶得寫 我將寫成 d2x dt squared x double dot 這是很常見的做法 但不會出現在你的書裡 這是我經常會使用的註記 因為否則方程式看起來會很笨拙 加上 y 點乘以 y橫線 加上 z 點乘以 z橫線 所以 z 點是 dz/dt 加速度如何隨時間變化 加速度作為時間的函數 等於dv dt 也就是x對時間的二階導數 因此成為 x 雙點乘以x 橫線加上 y 雙 點乘以 y 橫線加上 z 雙點乘以 z 橫線 而且看看我們現在完成了什麼 看起來很小 但以後會變得很大 我們有一個點 P 在三維空間中 以及這裡我們看到物體的完整行為 當它沿x軸移動其投影時 這是它的位置 這是它的速度 這是它的加速度 這裡你看到的是 z 軸上的全部行為 這是 z 軸上的位置 這是 z 方向的速率分量 這就是z軸方向的加速度 這裡是y軸方向 換句話說 我們現在有了三維的運動 我們將其分解為三個一維的運動 這是一維的運動 這是一種僅沿x軸的行為 這是一種僅沿y軸的行為 這是一種僅沿z軸的行為 以及三者共同構成了該粒子的實際運動 我們現在得到了什麼看起來像……這看起來像一個數學動 物園你會 說好吧 如果情況真的會變成這樣* 這將會是一場地獄 好吧 並非完全如此 實際上 這會對你有很大的幫助 首先 如果我像這樣在課堂上扔出一個網球 那麼整個軌跡是…… 整個軌跡是在同一個平面上 在垂直平面上 所以即使它處於三維空間中 我們總是能用兩個軸來表示它 也就是兩個維度 一個 y 軸和一個 x 軸因此 原本的三維問題 通常會變成一個兩維的問題 我們將成功地透過分解這極 其複雜的運動來分析這些軌跡 想像一下那是多 麼複雜的一條弧線 然而我們將要將它分解 成為一個在 x 方向的運動 它有著自己的生命 與 y 方向的運動無關 它也有著自己的生命 當然 你總是需要將這兩者結 合起來 才能知道粒子在做什麼 我們對上課時所學的恆定 加速度一維運動方程式非 常熟悉 第一行告訴你位置x如何隨時間變化的函數 這個指數t告訴你它隨著時間而改變 當t等於零時的位置 加上當t等於零時的速度 乘以t再加上二分之一A乘以t的平方 如果在x方 向上有加速度 則速度立即來自於 對此函數求導 而加速 度則來自於對此函數求導 現在 如果我們有一種更複雜的運動 這種運動延伸到二維或三維 我們可以將運動分解成三個垂直的軸 你可以將這裡的每個 x 都替換成 y 這樣就能得到 y 方向上的完整行為 如果你想知道 z 方向上的行為 你把這裡的每個 x 都替換成 z 這樣你就把運動分解成三個方向了 它們都是線性的 那就是我現在想做的事 我將扔出一個物體 一顆高爾夫球或一個蘋果 在26 100 而且我們知道它位於垂直平面內 因此我們只需要處理一個二維問題 這就是我所稱的x軸 而且我要把這稱為我的 y 軸 我稱這為 x 值增加的方向 我稱這為 y 值增加的方向 我也可以稱這為 y 值增加的方向 今天我決定將這個增加的y值稱為y 我有權這樣選擇 我以某個角度拋出一個物體 然後我看到這樣的運動軌跡 「啵」的一聲 它又回到地面 我扔出它的初始速度是v0 這裡的角度是 α 那個初始速度的x分量是 v0乘以cosα 而y分量 則是v0乘以sinα 所 以這就是x方向的初始速度 以及這是y方向的初始速度 稍後 這個物體來到了點 P 這就是現在的位移向量 我們稱之為 r(t) 這是這個向量 那是正在穿越空間的向量 此時此刻 t 的 x 在這裡 t 的 y 現在你將第一次看到我 們如何將兩個軸線分割 使其各自獨立運作所帶來 的顯著效益 首先 x軸 我想知道所有關於x必須知道的事情 我想知道它在任何時間點的位置 速度和加速度 僅限於x方向 首先 我想知道在t等於零的時候 好的 在時間t等於零的時候 我看看 那裡x0 那是……我可以選擇它為零 所以我可以說x0是零 那是我的自由選擇 現在我需要v0x 什麼是速度 在t等於零時的速度 我們稱之為v0x 就是這個速度 v0乘以餘弦α 而且不會改變 為什麼不會改變 因為 x 沒有 A 所以這個項是零 我們只有這一個 因此 在任何時間點x 方向的速度為v0乘以 cos α 而 x 的加速度為零 現在我想在時間t的x方向上做同樣的事 好吧 在時間 t 時 我看看第一個方程式 那就是 x0 為零 我知道 v0x 那就是 v0 乘以 cos α 所以 x(t) 為 v0 乘以 cos α 再乘以 t 但沒有加速度 就這樣了 t 的 vx 是什麼 在任何時間點 x 方向的速度 就是這個方程式 那是簡單的 v0x 它不會隨時間改變 因為沒有加速度 所以在 t0 時的初始速度與 t 秒後的速度相同 而加速度為零 現在我們將對y方向進行此操作 現在你開始看到分解的好處了 在 y 方向 我們將 x 改為 y 因此我們首先在 t 等於零時進行 好吧 看那裡 這變成了 y 零 我稱它為零 我可以永遠稱我的原點為零 我得到 v0y 乘以 t 好吧 v0y 是這個數量 v0 正弦 α 這是v0乘以正弦α 那是時間零時的速度 而這是零 在零時刻 這是在零時刻的零 在零時刻 y方向的加速度是多少 加速度是多少 這與重力有關 在x方向上沒有加速度 但你絕對不能懷疑在y方向上存在加速度 因此只有在處理y方向的方程式時 這個加速度才會出現 我們在處理x方向時完全不需要考慮 好吧 如果我們將重力加速度稱為 g 等於正9 80 而我總是稱它為g 如果我稱這個 y 值的增加為那麼 y 方向的加速度會是什麼 負9 80 我還要說…… 始終稱為負g 因為我的g始終是正的 所以是負g 這樣就講述了在 y 方向 t 等於零時的狀況 現在我們必須在 t 等於 t 時完成它 在時間 t 等於 t 時 我們有第一行 y 零等於零 所以我們有 y 作為時間的函數 y 零是零 所以我們不需要處理 這個我的……在哪裡 這是零 所以我得到 v 零 y 乘以 t 所以我在時間 t 的 y 方向速度是 v 零乘以 sine alpha 乘以 t 減去一半的 g t 平方 現在我得到了時間 t 的 y 方向速度 那是我的第二條線 那將是 v 零乘以 sine α 減去 gt 而 y 方向的加速度 在任何時刻都等於負 t 現在 我已經盡我所能將這個 複雜的運動完全分解成兩個完 全獨立的一維運動 下一次課堂 我們將再次使用這個方法 一再地 這場講座還沒有結束 但我希望你們知道 我們將會持續應用這個方法 在未來許多場講座中 複雜軌跡分解成 兩個簡單軌跡現在 當你看到這個時 會發現 一些非常引人注 目的地方 而引 人注目的地方在於x方向的速度 在整個飛行路徑中 如果沒 有空氣阻力 也沒有摩擦力 速度的大小不會改變 只有y方向的速度在改變 這表示如果我將這個高爾 夫球拋起 我會這樣拋起 它在x方向上具有一 定的分量 一定的速度 如果我以相同的速度移動 以相同的水平速度移動 我就能在這裡接住球 球 必須精確地回到我的手中 那是因為只有 y 方向的加速度但y 方向的運動與x 方向完全獨立 x 方向甚至一點都不知道 這在 y 方向發生了什麼 在 x 方向 如果我這樣丟出一個物體 x 方向只是非常單調地 以恆定速度移動 時間並不會影響它 而Y方向則自己進行自己的運動 它向上移動 然後停下來 最後停止 而實際的運動 這是兩者總和 是兩者的疊加 我們嘗試找出一種方法 來展示這種相當奇怪的行為 這並不是很直觀 那X方向真的有它自己的生活 我們想要這樣做 我們這裡有一顆高爾夫球和一把槍 我們可以射擊這顆高爾夫球 我們這樣做是為了讓高爾 夫球在正確操作的情況下 它確實會回到這裡 這並不容易 這需要花上數小時的調整 高爾夫球會向上飛然後回到這裡 不是這裡 不是那裡 那太容易了 你可以稍微傾斜著射出高爾夫球就會回來這裡 一旦我們達成了那一點那顆高爾夫 球就會回到那裡 然後我要推這輛車 當它通過這個開關的瞬間 高爾夫球就會射出 高爾夫球 會筆直向上飛 從車內看起來是這樣 但其實它有水平速度 與汽車相同的水平速度 所以汽車…… 我喜欢我的手 當高爾夫球這樣飛行時 汽車總是正好位於高爾夫球下方 永遠位於高爾夫球的正下方 如果一切順利 球會再次精準地落在汽車上 讓我先給你看…… 否則 如果這樣不行 當然就全完了…… 如果我們把球直直地往上扔 它會回到這裡 如果它不這樣做 我甚至不需要嘗試這個更複雜的實驗 這裡是高爾夫球 我現在要開槍了 接近 相當接近 好吧 既然只是相當接近 那麼…… 也許給它一點點空間會有幫助 槍響了 球來了 這只是以防萬一 把它拿下來 我現在要推動它了 請也推動一下 當車子中間到這裡時 槍就會被觸發 你已經看到那個球飛得多高 了所以那個球會飛到……而根據我推它的 力道它可能在這裡相遇 也可能在那裡相遇 你準備好了嗎 你準備好了嗎 我準備好了 物理學是有效的周三見