Suite convergente ♦ Théorème de la limite monotone ♦ Un+1=0,3Un+1 ♦ raisonnement récurrence spé math

Bonjour et bienvenue sur j'ai compris.com Dans cette vidéo, on va traiter un type d'exercice qui est très classique. Il s'agit de montrer qu'une suite est convergente. Et vous allez voir, cet exercice est très complet. Déjà, on va utiliser notre calculatrice pour conjecturer, c'est-à-dire pour deviner, le sens de variation de la suite est aminorant. Ensuite, il faudra démontrer ces conjectures par récurrence. Et enfin, il faudra conclure que cette suite est convergente. Et donc vous voyez, c'est un exercice qui est très complet. Donc maintenant, comme d'habitude, appuyez sur pause. Essayez de faire tout seul cet exercice. Et on se retrouve juste après pour la correction. Donc allons-y, corrigeons cet exercice. On nous demande de conjecturer. Conjecturer, ça veut dire dire sans le démontrer, à l'aide de la calculatrice, le sens de variation de cette suite. Et on nous demande aussi un minorant de cette suite. Donc déjà, on va rentrer cette suite dans la calculatrice pour faire apparaître les valeurs. Alors, pour cela, je vais dans Récurrence. Donc on y va. Voilà, j'appuie sur Enter. Et là, il faut rentrer ma suite. Ici, elle s'appelle AN plus 1. Et nous, c'est UN plus 1, mais c'est exactement pareil. Donc on y va. Donc ça fait 0,3. Et c'est UN. Donc ici, c'est AN. Donc ici, je clique sur F2 pour avoir AN. Et il me reste plus 1. Plus 1. Et voilà, c'est aussi simple que cela. Maintenant, reste à rentrer la valeur de U0. Pour la calculatrice, ça correspond à A0. Pour cela, je vais dans Réglages. F5. Et je descends au niveau de A0. Voilà. Et là, il faut mettre A0, c'est 3. Donc ici, je mets 3. Et j'appuie sur Enter. Maintenant, il n'y a plus qu'à afficher les valeurs. Pour cela, je sors. J'appuie sur Exit. Et là, je clique sur Tableau. Donc sur F6. Et regardez, ici, j'ai les valeurs. La première valeur, A0, c'est 3. Ensuite, 1.9. Ensuite, 1.57. Donc ici, sur la deuxième colonne, vous avez les valeurs de la suite. Et qu'est-ce qu'on remarque ? 3, 1.9, 1.57, etc. Il semble que les valeurs diminuent. On va vérifier en descendant. Regardez, 1.47, 1.44. Il semble que les valeurs diminuent. Et donc, d'après la calculatrice, il semble que les valeurs de la suite diminuent. C'est-à-dire que la suite semble décroissante. Alors, on ne l'a pas démontré. Et donc, c'est ce qu'on appelle une conjecture. Quelque chose que l'on pense, mais qu'on n'a pas démontré. Maintenant, on nous demande de conjecturer un minorant de la suite. C'est quoi un minorant ? C'est un nombre qui est plus petit que tous les termes de la suite. Donc, on cherche un nombre qui est plus petit que tous les termes de la suite. Et bien, avec la calculatrice, on va descendre dans le tableau vers le bas pour voir ce qui se passe quand n augmente. On y va. Regardez. Et je peux avancer. Il semble que tous les termes de la suite soient plus grands que 1.4. Je peux continuer. Moi, je me suis arrêté à 20. Mais jusqu'à 20, déjà, il semble que tous les termes de la suite soient plus grands que 1.4. Alors, on pourrait aller un peu plus loin. Il suffit d'aller dans Réglages. Dans Réglages. Et au lieu de m'arrêter à 20, par exemple, je peux m'arrêter à 100. J'appuie sur Exit. Et je réaffiche mon tableau. Et je vais aller un peu plus loin. J'ai un peu plus loin. Et regardez. Et bien, toujours pareil, même si je vais un peu plus loin, il semble que les termes de la suite soient tous plus grands, par exemple, que 1.4. Donc, moi, comme mineurant, je propose 1.4. Mais j'aurais pu aussi, par exemple, proposer 1. Il semble que tous les termes de la suite soient plus grands que 1. Donc, le mineurant, il n'est pas unique. Et regardez dans la question. On ne vous dit pas le mineurant. On vous dit proposer un mineurant. Et donc, comme mineurant, moi, je vais proposer 1.4. Et donc, sur ma copie, j'écris il semble, puisqu'on ne l'a pas démontré, que UN est décroissante et que 1.4 est un mineurant de UN. Et vous l'avez compris, dans la question suivante, on nous demande de démontrer ces deux conjectures. Et on nous demande de le faire par récurrence. Donc maintenant, on va démontrer ces conjectures par récurrence. Et première chose, comment ces conjectures s'écrivent mathématiquement ? Comment on écrit que la suite est décroissante ? Et bien, ça veut dire, si la suite est décroissante, que le terme d'après, UN plus 1, est inférieur ou égal à UN. Ça, ça traduit que la suite est décroissante. Et comment on traduit que 1.4, c'est un mineurant ? Ça veut dire que tous les termes de la suite, UN et aussi UN plus 1, ils sont tous supérieurs ou égaux à 1.4. Donc voilà. Donc voilà comment se traduit mathématiquement ces deux conjectures. Donc maintenant, on va essayer de démontrer ceci par récurrence. Et je me permets d'insister, parce que c'est important de l'avoir en tête, dire qu'une suite est décroissante, ça veut dire que UN plus 1 est toujours inférieur ou égal à UN. Donc cette propriété, on va la démontrer pour tout entier naturel N. Et pareil, dire que 1.4 est un mineurant de UN, ça veut dire que 1.4 est toujours inférieur ou égal à UN plus 1 et à UN. Et donc, il faut bien avoir en tête que cette propriété, on va la démontrer pour tout entier naturel N. Et première chose à faire, cette propriété qu'on va essayer de démontrer par récurrence, on va lui donner un nom, on va l'appeler PN. Donc voilà, c'est ce que j'ai écrit ici. Et donc maintenant, on peut attaquer la première étape du raisonnement par récurrence, l'initialisation. Il faut vérifier que cette propriété, elle est vraie pour la plus petite valeur de N possible. Et comme N, c'est un entier naturel, ça commence à partir du rang 0. Donc il faut vérifier que quand on remplace N par 0 là-dedans, c'est vrai. Alors on va le faire au brouillon, je remplace N par 0, donc ça me donne P0, et bien 1,4. Et inférieur ou égal, je remplace N par 0, donc ici ça me fait 0 plus 1, donc ça me fait U1. Inférieur ou égal, je remplace N par 0, ça fait U0. Donc maintenant, il faut vérifier que ceci est vrai. Alors U0, on connaît sa valeur, c'est 3. Mais U1, on ne connaît pas sa valeur, mais on peut reprendre sa calculatrice, et regarder U1, c'est 1,9. Donc ici, je peux mettre 1,9. Et on a bien que 1,9, c'est bien inférieur ou égal à 3, et 1,9, c'est bien supérieur ou égal à 1,4. Et donc ça veut dire que cette inégalité, elle est donc vraie quand on remplace U1 et U0 par leur valeur, et donc ça veut dire que P0 est vrai, ce qui termine l'initialisation, et maintenant il n'y a plus qu'à rédiger ce qu'on vient d'expliquer au brouillon. Donc voilà, c'est ce que j'ai écrit ici. Et dernière chose, U1, on l'a calculé à la calculatrice pour trouver 1,9, mais U1, on aurait pu le calculer à la main, c'est ce qu'on va faire maintenant. Pour avoir U1, on utilise la définition de la suite, et ici, on remplace N par 0, et donc ça nous donne U1 égale 0,3, que multiplie U0, mais U0, c'est 3, plus 1, et 3 fois 0,3, ça fait 0,9, plus 1, ça fait bien 1,9 à la main, on retrouve bien le résultat de la calculatrice. Donc maintenant, on peut passer à la deuxième étape, l'hérédité, mais avant, je vais effacer un petit peu pour avoir plus de place. Donc nous, on veut démontrer que cette propriété PN, elle est héréditaire. Ça veut dire quoi ? Ça veut dire qu'il faut démontrer que si PN, si ceci est vrai, alors cette propriété, elle est encore vraie, au rang d'après, autrement dit que PN plus 1 est vraie. Et moi, ce que je vous conseille, c'est que comme PN est écrit ici, eh bien, je vous conseille d'écrire au brouillon PN plus 1. Donc on y va, ici, sur mon brouillon, j'écris PN plus 1. Et comment je fais pour avoir PN plus 1 ? Eh bien, je prends PN, et partout, quand j'ai N, je mets plus 1. Donc ici, je mets plus 1, plus 1, et plus 1. Et donc, ça me donne que PN plus 1, c'est quoi ? C'est 1,4 inférieur ou égal. Alors faites attention, ici, ça fait N plus 1, plus 1. Donc ici, ça me fait N plus 2. Donc ça fait UN plus 2 inférieur ou égal, ici, à UN plus 1. Et donc, voilà, ici, on a PN plus 1. Maintenant, ici, je vais enlever les petits plus 1 que j'ai rajoutés. Et donc maintenant, regardez, ici, j'ai à nouveau PN. Et donc maintenant, la question, c'est comment faire pour passer de PN à PN plus 1 ? De PN, c'est-à-dire de ceci à PN plus 1, cela. Donc la question, c'est comment faire pour passer de là à là ? Et l'intérêt d'avoir écrit PN plus 1, c'est que regardez, ici, vous avez UN plus 1, alors que là, on a UN. Et donc, la question, c'est comment faire pour passer de UN à UN plus 1 ? Eh bien, la réponse, elle est ici, dans la définition de la suite. Ici, on a UN et là, on a UN plus 1. Comment faire pour passer de UN à UN plus 1 ? Eh bien, on prend UN, on le multiplie par 0,3 et on rajoute 1. Donc on va partir de PN. Donc ici, je recopie PN. Pour le moment, je suis au brouillon. Donc j'écris 1,4 inférieur ou égal à UN plus 1, inférieur ou égal à UN. Donc ici, j'ai PN et il faut que j'arrive ici. Et donc, pour passer de UN à UN plus 1, je pars de UN. Je vais multiplier par 0,3 et ensuite, je vais rajouter 1. Et là, je suis sûr de tomber sur UN plus 1. Donc allons-y, on multiplie tout par 0,3. Donc ça fait 1,4 que multiplie 0,3. Et si vous prenez votre calculatrice, vous verrez, ça fait 0,42. Ensuite, quand on multiplie par un nombre positif, ça reste dans le même ordre. Donc ça reste inférieur ou égal. Et donc, si on multiplie par 0,3, ça fait 0,3 UN plus 1. Ça reste dans le même ordre, inférieur ou égal à 0,3 UN. Maintenant, je rajoute 1. Donc 0,42 plus 1, ça fait 1,42. Rajouter le même nombre partout, ça reste dans le même ordre. Et donc ici, ça me fait 0,3 UN plus 1. Plus loin, plus 1, inférieur ou égal à 0,3 UN plus 1. Et regardez ce qu'on a ici, c'est exactement ce qu'on a là. Autrement dit, c'est UN plus 1. Donc ici, on a UN plus 1. Et vous l'avez compris, si ici, on a UN plus 1, là, on a le cran d'après. On a UN plus 2. Donc ici, on a UN plus 2. Et 1,42, c'est bien supérieur ou égal à 1,4. Donc ici, je peux bien mettre 1,4. Et regardez ce qu'on a obtenu, c'est exactement ce qu'on voulait. Ici, on a PN plus 1. Et donc, on a démontré que si ceci est vrai, c'est-à-dire si PN est vrai, alors PN plus 1 est vrai, ce qui termine l'hérédité. Maintenant, il n'y a plus qu'à mettre au propre ce qu'on vient d'expliquer au brouillon. Donc voilà, je vous ai tout remis au propre ici. Et donc, je commence par écrire soit un entier. J'insiste bien UN entier N supérieur ou égal à 0. Alors pourquoi 0 ? Parce qu'on veut montrer cette propriété à partir du rang 0. Ensuite, j'annonce ce que je vais faire. J'écris supposons PN vrai et montrons que PN plus 1 est encore vrai. Et donc ici, j'ai mis PN que j'ai supposé vrai. Et comme j'ai fait une supposition, c'est-à-dire une hypothèse, je l'ai écrit ici. Ensuite, j'ai remis exactement le calcul qu'on a fait et on débouche sur PN plus 1 est vrai, ce qui termine l'hérédité. Et j'insiste encore une fois. Pourquoi j'ai pensé à multiplier par 0,3 et rajouter 1 ? Parce que j'ai écrit sur mon brouillon PN plus 1. Et c'est ça qui m'a donné l'idée que pour passer de PN à PN plus 1, ça revient de passer de UN à UN plus 1. Et c'est ça qui m'a donné l'idée de multiplier par 0,3 et de rajouter 1. Donc j'insiste. Pour avoir l'idée de comment passer de PN à PN plus 1, j'insiste. Pensez à écrire sur votre brouillon PN plus 1. Et là, il faut comprendre qu'on a terminé à l'initialisation. On a montré que P0 est vrai. Et là, on vient de démontrer que la propriété est héréditaire. Autrement dit, qu'elle se transmet d'un rang au suivant. Et donc, comme P0 est vrai et que la propriété est héréditaire, elle va se transmettre au rang d'après. Et donc, P1 est vrai. Puis, toujours grâce à l'hérédité, elle va se transmettre au rang d'après. Et donc, P2 est vrai. Et ainsi de suite. Et donc, cette propriété, elle est vraie tout le temps. Et maintenant, il n'y a plus qu'à faire une phrase de conclusion que j'ai écrite ici. P0 est vrai et PN est héréditaire. Donc, par récurrence, c'est le raisonnement qu'on est en train d'utiliser. Pour tout entier, N supérieur ou égal à 0, notre propriété PN est vraie. Ce qui termine de la démontrer par récurrence. Passons à la dernière question. On nous dit en déduire que la suite est convergente. Et quand on vous dit en déduire qu'une suite est convergente, vous devez absolument penser au théorème de la limite monotone qui dit que quand on a une suite croissante majorée ou décroissante minorée, dans ces deux situations, on peut en conclure que la suite est convergente. Et bien, c'est exactement ce qu'on a ici. On vient de démontrer cette inégalité qui correspond au fait que la suite est décroissante et que la suite est minorée. Et donc, comme la suite est décroissante minorée, on peut en conclure directement que cette suite est convergente. Donc voilà, je vous ai remis au propre ce qu'on vient d'expliquer. Et avant de terminer, j'aimerais faire deux remarques. Nous, on a démontré que cette suite est convergente. Cela veut dire quoi ? Cela veut dire qu'elle a une limite finie. Mais le problème, c'est que ce théorème de la limite monotone, il permet de justifier que la suite a une limite finie, mais il ne permet pas de donner la valeur de cette limite. Pour trouver cette valeur, on l'expliquera dans une prochaine vidéo. Et deuxième chose importante, il ne faut pas croire que comme la suite est décroissante minorée par 1,4, il ne faut pas croire que cette suite va forcément tendre vers 1,4. La seule chose qu'on puisse dire, c'est que la limite de cette suite est supérieure ou égale à 1,4. On ne peut rien dire de plus. En fait, dans une prochaine vidéo, on va démontrer que la limite de cette suite, c'est 17e et vous pouvez vérifier 17e, c'est bien supérieur à 1,4. Donc voilà, cette vidéo est terminée. J'espère que vous avez bien compris. Et pour continuer à vous entraîner, je vous propose cet exercice. Donc cherchez-le bien et vous aurez la solution dans la prochaine vidéo. Et en attendant, comme d'habitude, si vous avez apprécié cette vidéo, n'hésitez pas à la liker et à vous abonner à la chaîne pour ne pas rater les nouvelles vidéos.