Spécialité Terminale Math Etude de Convexité avec polynome degre 5 ex18bis

Bonjour à tous, aujourd'hui je vous propose l'étude de convexité de fonctions avec une fonction polynomial de degré 5. La particularité, c'est que vous savez, pour étudier la convexité on est obligé de dériver deux fois ce qu'on appelle calculer la dérivée seconde. Et quand on dérive quelque chose de degré 5 deux fois, on arrive sur un polynomial de degré 3. Le souci, c'est qu'on a des formules pour trouver les racines En tout cas, ça peut être vraiment trop difficile pour un élève de terminale parce que les formules existent, mais alors vraiment elles sont ingérables dans la plupart des cas. Donc, c'est pour ça que dans la question 2 je vais vous donner la factorisation de notre dérivée seconde, vous allez juste la vérifier et comme ça on pourra faire l'étude du signe. Bien sûr, j'ai choisi le polynôme f pour que sa dérivée seconde puisse se factoriser. C'est pas mis au hasard parce qu'au hasard, on tombe en général sur un degré 3 qui ne se factorise pas. Donc voilà, ça c'est pour la petite histoire. On est parti, on est donc dans la recherche de convexité. On pourrait regarder la fonction, en tout cas sa courbe pour voir un petit peu ce qu'on attend. Regardez là, sa courbe. Il y a pas mal de mouvements là-dedans. Ici, si on regarde les cordes, vous voyez ici, quand je relie deux points, la corde, le segment que je viens de tracer est en dessous de la courbe. Donc ça, c'est ce qu'on appelle une zone où la fonction est concave. Autrement dit, si je trace les tangentes, sur cette zone, les tangentes sont au dessus de la courbe. Vous voyez, c'est deux façons de caractériser la concavité. On a aussi une petite concavité très très légère ici. Il faut la voir, quand on trace les segments ici, on est légèrement en dessous. Donc là, vous avez une deuxième zone où les cordes sont en dessous de la courbe, donc une deuxième zone concave. Et après, vous avez deux zones convexes. Ici, vous voyez, si je trace une corde, elle est au dessus. Et aussi ici, vous voyez. Donc, on a une alternance et on regardera vraiment sur ce que vous allez voir, une alternance entre concavité, convexité, concavité, convexité. Donc on doit trouver quelque part trois points d'inflexion. Alors ici, on expliquera vraiment en détail, vous devez en trouver un par ici. Parce que vous avez une zone concave, puis convexe. Ensuite, vous avez ici, certainement, par ici, un deuxième point d'inflexion. Convexe, concave. Et ici, un troisième, je ne sais pas exactement par où, on verra bien, quand on va factoriser. Donc, voilà ce qu'on attend, on attend trois points d'inflexion, quatre zones différentes, on est parti. Première question, donc calculer f prime et f seconde. Alors, il n'y a pas grand chose à dire, on dérive des polynomes, il n'y a pas de grande difficulté. 3x5, c'est peut-être détaillé, ça fait 3 fois 5x4, donc dessous, tout de suite, 15x4, moins 10 fois 4x3, moins 40x3, moins 10 fois 3x2, donc moins 30x2, plus 60 fois 2x, ça fait 120x. Donc ça, c'est f prime, c'est degré 4, on dérive, on va passer à du degré 3, donc 15 fois 4x3, ça donnera donc 4 fois 15, 60x3, moins 40 fois 3x2, donc moins 120x2, moins 30 fois 2x, moins 60x, plus la dérivée de 120x, qui est 120. Vous voyez bien, ici, on peut factoriser si on veut par 60, on va avoir ça dans la deuxième question. Donc là, on a notre f seconde, qui est sous une forme développée, degré 3, donc les racines, il y en a, très très compliqué à trouver, donc on va vous aider. On va vous donner la forme factorisée, à vous de vérifier qu'elle est bonne. Pour ça, on va développer, donc on va partir de 60 fois x plus 1 fois x moins 1, fois x moins 2. Alors comment développer ça ? On va faire 2 par 2, ce que je vous conseille moi, c'est de faire x plus 1 fois x moins 1, ça c'est Colu, c'est une vedette des maths, une identité remarquable, ça fait x carré moins 1 au carré, donc x carré moins 2. C'est même, je dirais, à connaître par cœur, x plus 1 fois x moins 1, ça fait x carré moins 2. Il nous reste donc à développer ceci, je garde le 60 en réserve, et je développe donc x carré moins 1 fois x moins 2. Double distributivité, x x3 moins 2 x2 ensuite moins 1 fois x moins x, moins 1 fois moins 2 plus 2 ça donne donc 60 fois x3 alors là j'ai juste à développer donc 60 fois x3 moins 2 fois 60 120 x2, vous voyez on est en train de reconstituer ce qu'on a trouvé tout à l'heure moins 60 x plus 120, et donc ici vous reconnaissez f seconde de x qu'on a calculé quel que soit x appartenant à r donc on a bien démontré ce qu'il fallait démontrer. La forme factorisée elle a deux avantages, d'abord on sait où est-ce que s'annule f seconde, et ça va nous donner justement accès aux signes assez rapide. On a donc 4 facteurs, j'ai mis un tableau avec une ligne pour x plus 1, une ligne pour x moins 1 une ligne pour x moins 2 on fera un tableau pour la convexité après, donc on est sur r alors 60 une constante positive donc on ne va mettre que des plus, d'accord, x plus 1 ça s'annule en moins 1 x moins 1 s'annule en 1 et x moins 2 s'annule en 2, c'est meilleur dans l'ordre j'ai donc 4 zones comme prévu on va remplir les unes après les autres alors 60, une constante positive donc on met des plus, d'accord x plus 1, fonction affine et 3 sont des fonctions affine croissante on met bien le 0 donc ici affine croissante c'est donc le signe moins 0 plus donc on fait le produit moins 0 plus 0 moins 0 plus voilà, on a le signe de la seconde on est prêt pour parler de convexité. Notre tableau alors ici je vous ai dit f second c'est donc moins 0 plus 0 moins 0 plus alors ici, la ligne de la convexité donc la dérivée seconde est négative après le cours, on a une zone où f est concave quand f seconde est négative sur l'intervalle la fonction y est concave on l'a autrement dit, les pentes sur cette zone vont diminuer les tangentes sont au dessus de la courbe ici on a des zones convexes une ici entre moins 1 et une entre 2 et plus l'infini les trois endroits où la dérivée seconde s'annule, il y a un changement de signe donc on va écrire pour x égale 1 enfin moins 1, 1 et 2 f seconde de x s'annule en changeant de signe donc on a trois points d'inflexion qui sont dapsis moins 1, 1 et 2 donc voilà on appelle l'étude de la convexité on va regarder tout de suite ce que ça implique sur la courbe de cette fonction on place d'abord nos trois points d'inflexion donc je vous ai dit il y en a un en dapsis moins 1 donc ici, voilà un dapsis 1 l'autre dapsis 2 celui d'apsis 2 on le voit un petit peu moins c'est assez flou ici si on n'a pas vraiment fait les calculs alors, on va regarder ça veut dire que la courbe est divisée en quatre parties séparées ici par nos trois points d'inflexion la partie je dirais la plus nette c'est la première si on parle des cordes autrement dit des segments qui relient deux points de la courbe quand on fait une corde ici quelconque la corde est toujours sous la courbe ça on dit qu'on a de la concavité donc la fonction C est concave autre façon de caractériser ça on trace les tangentes et les tangentes sont toujours au dessus sur cette zone de moins d'infini à 1 quand on arrive en 1 on a une tangente très très particulière je vais la tracer pour que vous puissiez bien voir ce qu'il se passe c'est très important de comprendre ça la tangente ici on est à peu près comme ça et à peu près comme ça l'idée c'est que la courbe arrive par dessous la tangente et sort par dessus, on a un changement de position relative entre la tangente et la courbe au niveau du point d'inflexion comme si la tangente traversait et ça c'est vraiment caractéristique des zones concaves on a une deuxième zone concave un peu plus légère ici entre 1 et 2 alors je vais tracer une tangente, si vous tracez une tangente elle va plutôt être comme ceci et la courbe est en dessous, c'est très léger on a légèrement bombé vers le bas et donc ça c'est une zone où F2 est négative, on l'a prouvé donc c'est une zone où la fonction est donc concave donc deux zones où les tangentes sont au dessus de la courbe et où les cordes sont en dessous et après il vous reste, vous avez compris deux zones convexes c'est à dire des zones où la courbure est vers le haut autrement dit, si vous tracez des cordes et bien vous voyez, elles sont toujours au dessus de la courbe sur chacun des deux intervalles vous avez cette propriété là, ou alors si vous tracez les tangentes, elles sont toujours sous la courbe c'est pareil sur ma zone de 2A plus l'infini donc voilà mes quatre zones alors je demandais donc de tracer les tangentes correspondantes, j'en ai déjà tracé une, il me reste deux à tracer la tangente en 1 donc ici on va la faire en bleu on doit arriver d'une zone convexe, donc on arrive par dessous et on doit ressortir par dessus donc ça il faut bien le faire quand vous les tracez pour qu'on ait vraiment cette impression d'arriver par dessous, de ressortir par dessus pour la dernière tangente, on arrive d'une zone concave à une zone convexe, on doit donc ici ressortir par dessous et arriver par dessus voilà à peu près, c'est pas parfait mais l'idée c'est bien de respecter ces positions relatives qui changent entre la courbe et sa tangente, voilà l'exercice est terminé, j'espère que ça vous a plu à très bientôt