清華附小數學趣味動畫全集：探索勾股定理、面積計算、排列組合等多個主題，輕鬆學習，提升數學成績！ #清華附小 #數學趣味 #勾股定理 31 五年級計算1

大家在之前的學習中已經認識了分數 比如把一頭野豬平均分成三份 其中的一份是三分之一 把一個圓平均分成四份 其中的兩份是四分之二 像這樣把單位一平均分成若干份 其中的一份或幾份可以用分數表示 平均義詞通常和除法聯繫在一起 說明分數和除法有着內在的聯繫 把八個蛋糕平均分給四個人 那麼每個人可以拿到八除以四 也就是兩個蛋糕 那麼如果是把一個蛋糕平均分給四個人 每個人拿到的個數就是一除以四 而這正好是四分之一個 所以一除以四等於四分之一 這說明每個除法都對應一個分數 此時只要把被除數放到分數線上方 除數放到下方即可 例如三除以七等於七分之三 十一除以四等於四分之十一 根據分子和分母的關係 分數可以分爲兩類 像三分之一五分之二這樣 分子比分母小 叫真分數 真分數都小於一 像四分之四五分之六這樣 分子大於或等於分母 叫假分數 假分數都大於或等於一 除了這兩類 還有類特殊的分數 例如今天中午我吃了一個半燒餅 這裏的一個半無法直接用真分數或假分數表示 於是爲了表示這樣的分數 數學家創造出代分數 這裏一個半等於一加二分之一 省略加號後就是代分數 讀作一又二分之一 像一又二分之一這樣 把整數和真分數寫到一起的數 叫代分數 在上面三類分數中 根據需要可以把假分數轉化爲其他形式 比如四分之四和三分之十二 根據分數和除法的關係 四分之四等於四除以四等於一 三分之十二等於十二除以三等於四 由於除得盡就可以化爲整數 但如果除不盡呢 例如三分之七等於七除以三除不盡 想象一下把七個蛋糕平均分給三個人 因爲七除以三等於二於一 所以每人除了拿到兩個完整的蛋糕外 還得平分剩下的一個 也就是每人得再拿三分之一 於是每人就拿了二加三分之一 也就是二又三分之一個 因此三分之七就等於二又三分之一 於是對於除不盡的假分數 只需用分子除以分母 把所得的商寫到整數部分 餘數寫到分子處 分母保持不動 就可以把它轉化爲代分數 例如四分之十三 十三除以四等於三於一 把三寫到整數部分 餘數一寫到分子處 分母還是四 於是四分之十三等於三又四分之一 假分數可以轉化爲代分數 那麼反過來 代分數也可以轉化爲假分數 例如二又四分之一 如果把前面的二也都四等分 那麼一共有二乘以四等於八份 加上後面的一份共九份 所以等於四分之九 也就是說分母還是四 分子變爲二乘四加一等於九 於是劃假分數時 只需用整數部分稱分母 再加上分子 然後寫到分數線上方即可 例如三又五分之二 分母還是五 分子是三乘五加二等於十七 所以等於五分之十七 介紹這麼多概念 是不是有點感覺吃不消 那就去做做練習 鞏固一下吧 上次課我們學習了 如何解有一個位置數的方程 這次課我們將會學習 如何解有兩個位置數的方程 如果一個方程中有兩個位置數 就是二元方程 像x加y等於十 叫二元一次方程 而像x方減y方等於十 叫二元二次方程 二元二次方程解起來非常麻煩 不過不用害怕 大家在小學階段 只會見到二元一次方程 單獨的二元一次方程有很多解 對剛纔的例子 因爲九加一等於十 八加二等於十 七點五加二點五也等於十 所以x等於九 y等於一 x等於八 y等於二 以及x等於七點五 y等於二點五 都是方程的解 正因爲二元一次方程的解不確定 所以通常大家遇到的是二元一次方程組 這個組字說明方程不止一個 例如在前面的例子中 添一個x減y等於六 就是一個二元一次方程組 它包含兩個二元一次方程 這時呢解就唯一了 在剛纔的三組數中 只有八減二等於六 所以x等於八 y等於二 纔是方程組的解 瞭解了方程組的概念 那二元一次方程組該如何求解呢 它有兩個位置數 所以解起來比較麻煩 但如果能去掉一個位置數 變爲一元方程 就可以用上次課的知識進行求解了 去掉位置數的過程就叫消元 接下來我們介紹加減消元法 加減消元是對方程組中的方程進行加減 去掉一個位置數 把二元變成一元 例如下面兩個例子 第一個例子中 在等號左邊 上面有兩個x和一個y 下面有一個x和一個y 上下y的個數一樣 而上面比下面多一個x 所以把等號左邊相減 就只剩下x 等號右邊是7和5 相減後剩2 說明x就等於2 此時再根據x加y等於5 可以知道y等於3 第二個例子中 等號左邊是一個x加兩個y 三個x減兩個y 這是做加法 兩個y一加一減抵消 還剩x加3x 也就是4x 等號右邊是5加7 合併後是12 說明4x等於12 於是x等於3 再根據x加2y等於5 可知3加2y等於5 於是y等於1 從這兩個例子可以看出 當有一個位置數上下的數量相同時 將上下相加或相減可以把它消掉 從而變成一個一元方程 那麼如果兩個方程中 x和y的數量都不同怎麼辦 x和y的數量都不同時 直接加減不能消掉位置數 不同是麻煩 相同是簡單 那我們把其中一個變相同不就可以了嗎 那到底是變x還是變y 都可以 但一般是變簡單的那個 在這個例子中 變x的話 5和3最小公分數是15 變y的話 3和2最小公分數是6 6比15簡單 所以把y都變成6個 3到6要乘2 所以把第一個方程兩邊都乘2 5x乘2變成10x 3y乘2變成6y 13乘2變成26 2到6要乘3 那就把第二個方程兩邊都乘3 3x乘3變成9x 2y乘3變成6y 4乘3等於12 此時上下都是6y 而且是一加一減 上下合併相加 得到19x等於38 所以x等於38除以19等於2 然後在第二個方程中把x換成2 得到6-2y等於4 可以解出y等於1 於是方程組的解釋x等於2 y等於1 上面就是利用加減消陰法解二元一次方程組的基本步驟 下面我們總結一下 第一步 擴倍 把x和y的數量變相同 第二步 通過加減 消掉一個位置數 解除另一個位置數 第三步 利用前面的方程 解除前一個位置數 大家已經學過了分數基本預算 這集課我們來學習分數巧算 常見的巧算技巧有兩種 同分母湊整和剔除公因數 今天我們學習第一個 同分母湊整 在對多個分數進行加減預算時 把同分母分數放到一起可以提高計算速度 例如這個例子 三分之二和三分之一相加爲1 五分之二和五分之三相加也是1 所以答案是2 如果加減預算中出現括號 爲了把同分母分數放到一起計算 需要先把括號去掉 如果括號前面是加號 直接去掉 如果括號前面是減號 去掉括號之後裏面要變號 例如在下面這個例子中 有三個括號 第一括號前面是加號 直接去掉即可 變爲七分之一加三分之二 第二括號前面是減號 去掉括號后里面要變號 變爲減五分之一加三分之一 第三括號前面有個乘二 先把二和括號裏面相乘 二乘七分之二等於七分之四 二乘五分之三等於五分之六 變成七分之四減五分之六 再去掉括號 注意前面也是減號 裏面要變號 變爲減七分之四加五分之六 這時三括號都去掉了 接下來同分母分數湊整 分母爲七的有三個 七分之一加七分之三減七分之四等於零 分母爲三的有兩個 三分之二加三分之一等於一 分母爲五的也有兩個 減五分之一加五分之六等於五分之五 也就是一 最後一加一等於二 答案爲二 在上面的例子中 在去第三個括號時非常容易出錯 很多同學會省略第二步直接去括號 然後就忘記變號 得到減七分之四減五分之六 所以大家平時在做計算時千萬不要跳躍 一步一個腳印慢慢做 這樣可以避免很多粗心的錯誤 好了 同分母湊整就講到這裏 大家趕緊去闖關賺金幣吧 在學完同分母湊整後 我們來學習剔取公因數 剔取公因數的基礎是乘法分配率 利用乘法分配率 不僅可以把一個乘法拆開 例如在下面的算式中 把十二分別和三分之一四分之一相乘 也可以把兩個乘法合併 例如在這個算式中 剔取公因數法 大家在整數計算中就已經學過了 那爲什麼還要在分數里再學一遍呢 這是因爲分數會變深 例如五分之六 它可以化爲代分數變成一五分之一 也可以變成小數 變爲一點二 甚至還可以把乘法變成除法 把乘五分之六變爲除以六分之五 所以一個分數最多可以有四種不同的樣子 大家在解題時要注意看出它們的真面目 例如下面這個例子 首先通過倒數 把四除以六分之五變爲四乘五分之六 之後由於一又五分之一 五分之六一點二相等 把它們都變成五分之六 然後把五分之六提出來 得到五分之六乘六加三加二加四 等於五分之六乘十五 五和十五約分 剩三 三六十八 答案等於十八 在分數計算中 剔取公因數是很常用的巧算技巧 使用時一定要注意私下分數的僞裝 找出它們的真面目 在學完分數巧算之後 我們來看看分數比較大小 當分母相同時 比較大小非常簡單 只需要比較分子即可 分子越大 分數越大 例如五分之三和五分之四 分母都是五 比較分子 三小於四 所以五分之三小於五分之四 除了這種情況 分子相同的分數也容易比較大小 例如三分之一和四分之一 三分之一表示一個東西平均分給三個人 四分之一表示一個東西平均分給四個人 很明顯 分的人越少 每個人分到的就越多 於是三分之一大於四分之一 這說明分子相同時 分母小的分數大 分母大的分數小 分子分母中有一個相同時 比較大小非常簡單 那如果分子分母都不相同 只需要利用通分 把其中一個變相同即可 至於是變分母 還是變分子 根據情況靈活選擇 例如下面兩個例子 第一個例子中 分母是七和十一 通分不麻煩 那麼把分母變相同 七和十一的最小公倍數是七十七 七到七十七要乘十一 所以三也乘十一 等於七十七分之三十三 十一到七十七要乘七 所以五也要乘七 等於七十七分之三十五 因爲三十三小於三十五 所以左邊小於右邊 說明七分之三小於十一分之五 而第二個例子中 分母是十三和三十七 通分的話數太大 而分子是一和三 數小簡單 所以這裏選擇把分子變相同 一和三最小公倍數是三 把十三乘三得到三十九分之三 因爲三十九大於三十七 而分母大的分數小 所以三十九分之三小於三十七分之三 於是十三分之一小於三十七分之三 通分母和通分子可以解決大部分比較大小問題 但由於它要同時兼顧分母和分子 所以不那麼方便 那怎麼改進會方便些呢 觀察第一個例子 來看看最後的三十三和三十五怎麼來的 三十三等於三乘十一 三十五等於五乘七 三和五是原分數的分子 十一和七是原分數的分母 於是我們發現 只要用分子乘另一個分數的分母 然後比較兩個乘積即可 這個方法叫交叉相乘 在交叉相乘中 左右位置不能弄反 這裏大家可以記個口訣 母隨子動 意思是分子不動 把分母移到分子處 利用七分之三和九分之四 分子三和四不動 把七和九分別乘過去 左邊是三乘九等於二十七 右邊是四乘七等於二十八 左邊小於右邊 所以七分之三小於九分之四 交叉相乘簡單實用 大家今後會經常用到 但它有個致命缺陷 交叉相乘只能用於兩個分數單挑的情況 如果是多個分數群毆 還是通分的方法更好用些 至此我們學習了三種比較大小的方法 通分母 通分子和交叉相乘 好了 趕緊做做練習鞏固下吧 上次課我們學習了 如何利用通分和交叉相乘比較分數大小 這些方法能解決大部分分數比較大小問題 但有時候這些方法都不好用 例如下面這個例子 如果通分母需要計算18和23的最小公位數 不好算 如果通分子需要計算19和24的最小公位數 也不好算 如果交叉相乘 需要計算19×23和18×24也很麻煩 三個方法全軍覆沒都不好用 那有沒有簡單方法呢 有的 仔細觀察 19%比1大一點 23分之24也比1大一點 都變成代分數 19%等於1又18分之1 23分之24等於1又23分之1 把它們都減去1 得到18分之1和23分之1 分子相同 分母小的分數大 所以18分之1大於23分之1 由於都減1並不改變大小關係 於是19%大於23分之24 這說明 當兩個分數都和1接近時 可以先和1做差再比較 能夠簡化運算 這個例子裏的兩個分數都比1大 減去1後不改變大小關係 那如果都比1小呢 看這個例子 兩個分數都比1小 不能減1 那反過來 用1去減它們 1-18%等於1 1-23分之24等於23分之24 比較19分之1和23分之1 分子相同 分母小的分數大 所以19分之1大於23分之1 這裏是左邊大 那原分數也是左邊大嗎 答案是NO 設想一下 張三和李四比賽吃蛋糕 同樣的蛋糕 張三吃了18分之19 剩下1分之19 李四吃了23分之24 剩下1分之24 由於1分之19大於1分之24 說明張三剩的蛋糕多 張三剩的多 說明他吃的少 李四剩的少 說明他吃的多 所以19分之18小於24分之23 這說明當兩個分數都比1小時 大小關係前後相反 從上面兩個例子可以看出 如果分數和1比較接近 那麼可以先不用急着比較 先把它們和1做差 然後比較這個差的大小 利用這個差的大小關係 就可以知道原來分數的大小關係 如果這兩個分數都比1大 那麼大小關係是一樣的 如果這兩個分數都比1小 那麼大小關係要反過來 和1接近的問題搞明白了 那如果題目中的分數不是和1比較接近 而是和某個分數比較接近 可以通過乘一個數 把它們變成和1接近的數 例如13分之4和22分之7 這兩個分數都和1分之3比較接近 所以都乘3 13分之4乘3等於13分之12 22分之7乘3等於22分之21 現在都和1比較接近 和1做差 1-12%等於1 1-21%等於1 1 因爲1 1大於1 1 而剛纔的兩個分數 12%和21%又都比1小 所以大小關係相反 於是12%小於21% 這說明4 4小於7 7 以上就是基準數法 這個方法在比較大小接近的分數時非常好用 OK 接下來就是做練習賺金幣的時間了 上次課我們學習了分數 把單位1平均分成若干份 其中的一份或幾份可以用分數表示 分數有一點和整數不同 不同的整數表示不同的大小 但不同的分數大小可能相同 例如同樣的蛋糕 把它平均分成兩份吃一份 和平均分成四份吃兩份 都是吃了半個 說明1 2等於2 2 正因爲不同的分數可以表示相同大小 所以今天我們就來學習 如何在保持分數大小不變的前提下 給分數變深 繼續剛纔的例子 同樣的蛋糕 無論是二等分取一份 還是四等分取兩份 還是十二等分取六份 都是拿走半個 說明1 2等於2 4等於6 12 從1 2到2 4 分子乘2 分母也乘2 從2 4到6 12 分子乘3 分母也乘3 這說明把一個分數的分子和分母同時乘上相同的數 分數大小不變 而反過來 從6 6到2 4 分子分母同時除以3 從2 4到1 2 分子分母同時除以2 所以同時除以相同的數 分數大小也不變 這個例子告訴我們 分數的分子和分母同時乘或除以相同的數 分數大小不變 這就是分數基本性質 當然 無論是乘還是除 這個數都不能是0 不然會出錯 利用分數基本性質 我們可以方便地把一個分數的分子分母同時變大或變小 把分子分母同時變大的過程叫擴分 同時變小的過程叫約分 例如18分之12 分子分母可以都乘2 擴爲36分之24 也可以同時除以2 約爲9分之6 9和6還可以繼續除以3 約爲三分之二 在約分時 通常要求約到不能約爲止 在上面的例子中 三分之二就無法繼續約分 像三分之二這種不能繼續約分的分數 叫做最簡分數 大家在做題時 最後答案一定得約到不能約爲止 也就是必須寫成最簡分數 擴分的一個用處是對分數通分 通分是指利用擴分 把多個分數的分母變相同 因爲對分母不同的分數來說 無論是比較大小還是做價錢運算都比較困難 但對分母相同的數就很簡單 例如三分之一和五分之二大小不好判斷 但如果把它們通分成15分之5和15分之6 就很容易看出來誰大誰小 在通分時通常把分母變成它們的最小公倍數 在剛纔的例子中 三和五的最小公倍數是15 所以一個變爲15分之5 一個變爲15分之6 再比如四分之一和六分之一 四和六的最小公倍數是12 於是在通分時 可以把四分之一的分子分母都乘三變爲12分之三 把六分之一的分子分母都乘二變爲12分之二 於是最後就通分成12分之三和12分之二 通分和約分是分數計算的基礎 怎麼樣 你掌握好了嗎 上次課我們學習了分數的約分和通分 今天我們就在此基礎上學習分數加減法 先看分母相同時的情況 一個燒餅 小王吃了五分之一 小李吃了五分之二 從圖中可以看出 他們一共吃了五份中的三份 說明一共吃了五分之三個燒餅 於是五分之一加五分之二等於五分之三 這個例子說明 當分母相同時 只要把分子相加 分母不變即可 但有一點要注意 算出的結果一定要約成最減分數 在剛纔的例子中 五分之三是最減分數 不用再約 但如果是六分之一加六分之二 得到六分之三後 還得讓分子分母同時除以三 約成二分之一纔行 同分母分數的減法和加法類似 分子相減 分母不變 例如八分之五減八分之三等於八分之二 當然 最後別忘了約分 約掉二後得到四分之一 這纔是正確答案 分母相同大家會算了 那分母不同咋辦呢 哎 大夥不是剛學過通分嗎 利用通分把分母變相同不就可以了嗎 下面看一個簡單的例子 一個燒餅 小王吃了二分之一 小李吃了四分之一 他們一共吃了多少呢 二分之一和四分之一的分母不同 於是先通分 二和四的最小公倍數是四 通分後分母爲四 二分之一等於四分之二 加上四分之一後得四分之三 同樣 這裏算出的結果也一定得記得約成最減分數 例如下面這個例子 十分之三加十五分之八 十和十五的最小公倍數是三十 通分後分母爲三十 十分之三的分母得乘三才得三十 所以分子也得乘三 得九 十五分之八的分母得乘二才得三十 所以分子也得乘二 得十六 兩者相加得三十分之二十五 這還不是最終答案 因爲分子分母還可以約掉五 得到六分之五 這纔是正確答案 最後 我們來總結一下當分母不同時 分數加減法的計算步驟 第一步 先通分 把所有分數的分母變相同 第二步 分子加減 分母不變 第三步 把結果約成最減分數 那這個視頻裏 我要和大夥說說帶分數的加法 我們都知道帶分數由整數部分和分數部分組成 所以在進行帶分數加法的時候 也只要把整數與整數相加 分數與分數相加就可以了 比如這個算式 我們把整數部分相加 就是一加二等於三 而把分數部分相加 就是五分之一加五分之二等於五分之三 所以最後答案就是三加五分之三 也就是三又五分之三 但並非所有帶分數加法都這麼簡單 比如下面這個算式 一又五分之四加上二又五分之三 整數部分相加還是三 而分數部分相加則是五分之四加五分之三等於五分之七 於是就有人把答案寫成三又五分之七了 不過仔細一瞧就發覺不對勁了 因爲五分之七是一個假分數 而帶分數的整數部分必須是真分數纔行 這種把假分數和整數寫一起的分數是個什麼玩意兒 難道管它叫帶假分數不成 這種不倫不類的結果是絕對不能作爲最後答案的 那咋辦呢 咱先把五分之七化成帶分數再說 七除以五相一於二 所以五分之七就等於一又五分之二 於是三又五分之七就等於三加一又五分之二 這下好辦了 只要把整數部分相加 分數保持不變就可以了 三加一等於四 答案就等於四又五分之二 你看一旦分數部分相加是假分數 只要再化成帶分數就可以了 以上就是帶分數之間的加法 大夥聽明白了嗎 明白就趕緊動手做題拿金幣吧 在上一個視頻裏 我們學習了帶分數加法 只要分數加分數 整數加整數即可 帶分數減法也類似 只需要分數減分數 例如三又五分之四減一又五分之三 分數部分相減是五分之四減五分之三等於五分之一 整數部分相減是三減一等於二 所以最後答案就是二又五分之一 但並非所有減法都那麼順利 你看下面這個例子 三又五分之三減一又五分之四 分數部分是五分之三減五分之四不夠減 這怎麼辦 在整數運算中不夠減可以接位 帶分數也是一樣的道理 這時只要從整數部分的三里面接來一個一 湊成一又五分之三 那麼分數部分的減法就變爲一又五分之三減五分之四 等於五分之八減五分之四等於五分之四 而整數部分的三接出去一後變成了二 再做減法就是二減一等於一 所以最後答案就是一又五分之四 從上面兩個例子可以看出 是否接位的關鍵是分數部分誰大誰小 如果被減數的大不接位 如果減數的大則需要接位 接位時只需從整數部分拿一個一過去 補給分數部分即可 當分母相同時 容易看出分數部分誰大誰小 但當分母不同時 需要先把分數部分通分 然後再比較誰大誰小 看是否需要接位 例如五又三分之二減二又四分之三 分母是三和四 最小公倍數十二 通分後變爲五又十二分之八減去二又十二分之九 減數的十二分之九大於被減數十二分之八 需要從整數部分接一 把五又十二分之八拆成四加一又十二分之八 二又十二分之九拆成二加十二分之九 分數部分的差變爲一又十二分之八減十二分之九 等於十二分之二十減十二分之九 等於十二分之十一 整數部分的差是四減二等於二 所以最後答案爲二又十二分之十一 到這裏我們就學完了帶分數的減法 其中一定要注意是否需要接位 好了 大家趕緊去做練習賺金幣吧 在前幾次課 我們學習了分數加減法 今天我們就來看看分數乘法怎麼算 對真分數和假分數來說 分數乘法的規則很簡單 只要字字相乘 母母相乘即可 具體來說就是分子乘分子 分母乘分母 例如下面兩個例子 在第一個例子中 兩個分子的乘積是一乘一 分母的乘積是二乘三 於是等於二乘三分之一乘一 也就是六分之一 在第二個例子裏 分子的乘積是二乘七 分母的乘積是三乘五 二七十四 三五十五 所以乘積是十五分之十四 下面我們就用巧克力來演示一下 爲什麼二分之一乘三分之一等於六分之一 把一塊巧克力二等分 那麼每份就是二分之一 把這一份再三等分 那麼其中的一小份就是二分之一乘三分之一 而此時一共分出來六份 那麼這一小份就是六分之一 說明二分之一乘三分之一等於六分之一 和分數加減法一樣 在分數乘法中 算出的結果也一定要約成最減分數 只不過約分的過程要放在乘除結果之前 這樣在做乘法時 數相對較小 好算 而且這裏約乾淨了的話 後面的結果也就不用再約分 例如四十九分之三乘以二分之七 乘七的分母是四十九乘二 分子是三乘七 這時要先約分再乘 因爲四十九和七都是七的倍數 都除以七 這樣乘七的分母變成七乘二 等於十四 分子變成三乘一等於三 答案是十四分之三 上面的技巧主要針對真分數和假分數 那麼如果碰到這個帶分數乘法怎麼辦 這裏無法直接計算 需要先將題目中的帶分數化爲假分數 二又四分之一化爲假分數時 分母還是四 分子變爲二乘四加一等於九 於是等於四分之九乘以十五分之二 分母是四乘十五 分子是九乘二 接下來約分 九和十五都是三的倍數 約掉三後是三乘五 二和四都是二的倍數 約掉二後是一乘二 然後用分母乘分母 分子乘分子就可以算出答案是十分之三 分數與整數相乘也一樣 直接把整數變爲假分數即可 例如四分之三乘以二 把二變爲一分之二 這樣原式等於四分之三乘以一分之二 等於四乘一分之三乘二 先約分 二和四都是二的倍數 約掉二 然後分子乘分子 分母乘分母等於二分之三 上面就是分數乘法的全部內容 下面我們來總結一下 第一步把所有帶分數化爲假分數 第二步先約分 第三步子子相乘母母相乘 在上一個視頻裏我們學習了分數乘法 在這個視頻裏我們就來學學分數除法 在講除法之前先介紹一個概念 倒數 所謂倒數形象的來講就是把分子分母顛倒過來的數 比方說三分之二 它的倒數就是二分之三 再比如七分之九 它的倒數就是九分之七 在這裏重點要說一下整數的倒數 比如說五可以看作一分之五 所以它的倒數就是五分之一 再比如像三可以看作一分之三 它的倒數就是三分之一 注意倒數其實是一個相互的概念 如果說三分之二的倒數是二分之三 那二分之三的倒數也就是三分之二 因此它倆也叫做互爲倒數 那互爲倒數的倆數除了長着頭和腳顛倒以外 在數學上又有啥性質呢 這個嘛只要把他們乘一下就知道了 三分之二乘二分之三 你發覺分子分母全約完了 所以答案就是一 七分之九乘九分之七 答案也是一 五乘五分之一 答案還是一 三乘三分之一 答案仍然是一 所以只要倆數互爲倒數 它倆的乘積就一定等於一 這句話反過來講也是對的 只要倆數乘積爲一 它倆就互爲倒數 這其實就是倒數的數學定義 比如0.5乘2等於1 所以它倆就是互爲倒數 所有數都有倒數 除了一個數以外 那就是零 爲什麼呢 這個嘛大夥自己琢磨一下就明白了 好了 介紹完倒數 接下來該用它算分數除法的 算法如下 只要除以一個數 就等於乘以它的倒數 爲什麼呢 下面就來推導一下 根據分數與除法的關係 三分之二可以寫成二除以三 如果我們把括號去掉 因爲括號外面是除號 所以裏面的除號應該變號變爲乘號 再根據乘除法交換率 可以把乘以三和除以二的位置對掉 這樣就變成了先乘以三再除以二 如果我們把括號再添回去 先計算三除以二 那三除以二就可以寫成分數二分之三 於是算式就變成了八乘以二分之三 你看果然是乘以倒數吧 接下來再利用分數乘法約分一下 結果就等於三四十二 怎麼樣很簡單吧 再來看幾個例子 比如三除以五分之三 就等於三乘以五分之三的倒數三分之五 約分之後就等於五 再比如五除以五分之一 就等於五乘以五分之一的倒數五 結果就等於五五二十五 總之除以一個數就等於乘以它的倒數 這就是分數除法 怎麼樣聽明白了嗎 如果明白就趕緊動手拿金幣吧 你知道你有幾根頭髮嗎 你知道明年你能長多高 你知道下次考試得幾分 你知道語文老師在假期裏會佈置幾篇恐怖的作文 生活中充滿了太多未知的數量 這些未知的數量就叫做未知數 未知數的概念很早就有了 只是名字不叫未知數 將近2000年前 中國有本古代數學著作叫做九章算術 裏頭就有未知數的介紹 數理館未知數叫做圓 更早的古埃及人 這個未知數起了一個很好玩的名字叫做堆 或者說的更好玩一點就是坨 3600多年前的古埃及數學文獻 萊因德之草書裏就有一道這樣的問題 有一坨不知道等於幾 把這坨加上三分之二坨再加上二分之一坨 最後再加上七分之一坨 正好是33 問這坨等於幾 當然現代人是不會這麼寫的 因爲老是一坨坨的話太麻煩 我們簡單的用字母x來表示未知數就可以了 比如剛纔那個算式就可以寫爲x加三分之2x 這個含有未知數的等式就叫做方程 比如3x-5等於2x就是一個方程 5x加6y-8等於3也是方程 7x-z加1000除以8y-z加x等於4x還是一個方程 但是3x-8y加5z-7w就不是方程 因爲它沒有等號不是個等式 而1加1等於2也不是方程 因爲它雖然是等式但沒有未知數 所以必須同時具備未知數與等號才能叫做方程 在方程中未知數的個數很重要 因爲它通常代表了方程的複雜程度 比如這個方程只含有一個未知數x 我們就管它叫做一元方程 這個含有倆未知數x和y 我們就管它叫做二元方程 這個含有三個未知數xyz就是個三元方程 總之有幾個未知數就是幾元方程 好了知道什麼是方程 接下來再看看怎麼解 所謂解方程 就是把方程裏的未知數等於幾給算出來 比如給你個方程2x等於14 解這個方程就是求x等於幾 那怎麼求呢 你只要把方程兩邊都除以2就行 左邊除以2就是x 右邊除以2則等於7 於是x就等於7 再比如5x等於15 你只要兩邊同時除以5就行 左邊除以5得x 右邊除以5得3 於是x就等於3 剛纔這些方程之所以很簡單 就是因爲這些方程的左邊都只有未知數的若干倍 而右邊都只有已知數 這種方程最容易求解 只要兩邊同除以一個數就行 那如果遇到稍微複雜一點的方程 像2x-6等於8 這該咋辦呢 它的左側除了x的兩倍以外還多了個-6 那咋把-6給去掉呢 這也簡單 既然是-6 你把左邊加個6不就成了 這樣一來不就抵消了 但光給左邊加6可不行 這樣左右就不等了 爲了維持等式平衡 右邊也得加個6 這樣一來左邊-6加6抵消了 結果就是2x 而右邊則是8加6等於14 於是2x就等於14 這個方程太簡單了 不就是剛纔解的那個方程嗎 兩邊同時除以2就行 答案就是x等於7 看來你只要通過等號兩邊同時加上或減去一個數 就可以非常方便的把方程變爲 左邊都只有未知數的若干倍 而右邊都只有已知數的形式 化爲這種形式立馬就能求解了 怎麼樣明白了吧 明白就動手試試吧 上次課我們已經見過簡單的一元一次方程 這次課我們就來看看複雜的一元一次方程 它爲什麼複雜呢 因爲它既有分數又有括號 而且兩邊都有未知數x 別看它這麼複雜 不用怕 它肯定可以化解 而且最後一定能化解成像這個方程一樣簡單 左邊有未知數 右邊沒有未知數 接下來我們看看如何化解 和我們的目標形式相比 這裏有分數 分數計算比整數計算麻煩很多 所以第一步把分數幹掉 幹掉分數的關鍵是去分母 等號右邊有分母2 要去掉它直接乘2即可 等號兩邊同時乘2 編爲以下算是 二三得六 所以左邊就是6倍的x-2 接下來我們得把帶x和不帶x的分開 所以得把括號展開纔行 左邊的6倍的x-2 利用乘法分配率 拆成6×x-6×2 等於6x-12 右邊同樣用乘法分配率展開 用2分別乘括裏的每個加數 注意2分之x加1是一個整體 變成這樣 然後2和2約掉 變成x加1加2 等於x加3 於是方程化簡爲6x-12 等於x加3 形式已經變得很簡單了 接下來我們把有x的放到等號左邊 沒有x的放到等號右邊 首先兩邊同時加12 左邊的12抵消 右邊3加12等於15 得到6x等於x加15 然後在兩邊同時減x 左邊變爲5x 右邊的x抵消 等於5x等於15 最後歸1 用15除以5 可以算出yx等於3 這樣我們就得出瞭解方程的一般步驟 先去分母 再去括號 然後把有x的放一邊 沒x的放另一邊 最後歸1即可 上面的例子只有一個分母2 所以去分母的時候只需要乘2 而在很多問題裏 尤其是以後大家學的比例問題中 會出現長成這樣的方程 它有兩個分母2和3 要想同時去掉它們 就得既乘2又乘3 也就是得乘6 得到這個式子 然後約分 左邊的6和2同時約2 乘3 右邊的6和3約3 還乘2 於是得到3x等於2x加2 觀察這個式子 並和原始經濟比較可以發現 它相當於在原來的方程中 用左邊的分子x乘右邊的分母3 用右邊的分子x加2 乘左邊的分母2 也就是說 長成a分之b等於c分之d這樣的方程 可以直接變成b乘c等於d乘a 因爲這裏會有差 所以這個方法叫交叉相乘 交叉相乘是大家在小學階段 用的非常多的計算技巧 像下面這兩種方程 也可以用交叉相乘求解 分別相乘 得到這兩個式子 然後就可以去括號求解了 從方程開始 我們就從只會做算術的小學生 變成會做代數的中學生了 學好方程 受益終生