清華附小數學趣味動畫全集：探索勾股定理、面積計算、排列組合等多個主題，輕鬆學習，提升數學成績！ #清華附小 #數學趣味 #勾股定理 32 五年級計算2（

一天,媽媽去市場買西瓜,給她的四個孩子吃 大毛能吃四分之一個,二毛能吃五分之一個 三毛能吃六分之一個,小明能吃七分之一個 如果媽媽只買了一個西瓜,夠他們四個人吃嗎? 看到這個問題,肯定有同學準備通分計算了 但這四個分母的最小公倍數是420 通分起來很麻煩,那有沒有好方法呢? 答案是有的,這四個人中,吃的最多的是大毛 他吃了四分之一,那麼其他人吃的都小於四分之一 於是他們吃的總數小於四個四分之一的和 而四分之一乘四等於一,所以總數小於一 這說明一個西瓜夠他們四個吃 這裏把每個數都放大成四分之一,於是總和放大成一 這個方法叫放縮法,其中放指的是放大,縮指的是縮小 上一個例子我們見識到了放,下面咱再看一個縮的例子 如果剛纔媽媽只買了半個西瓜,夠他們四個吃嗎? 放的時候他們都擴大成最大的四分之一 那麼縮的時候就得縮成最小的七分之一 把大毛、二毛和三毛吃的都縮成七分之一 那麼總和變成七分之一乘四,也就是七分之四 因爲七分之四大於八分之四,這是二分之一 說明半個西瓜不夠吃 根據前兩個例子,我們可以總結出放縮法的使用方法 把每個數都變成最大的那個,就可以知道總和的上限 都變成最小的,就可以知道總和的下限 於是就得到了總和的範圍,這就是放縮法的作用 會了這個,咱再看一個題目 已知算式十一分之一加十二分之一加十三分之一 已知加到二十分之一,那它的整數部分是多少呢? 因爲從十一到二十共十個數,所以這個算式裏共十個分數 使用放縮法,首先把它們都變成最大的十一分之一 於是總和小於十一分之十,那麼就比一小 然後再把它們都變成最小的二十分之一 於是總和大於二十分之十,也就是二分之一 所以這個算式的和比一小,比二分之一大 因此整數部分是零 好了,放縮法就講到這裏 放縮法在估算問題中相當常見 它的關鍵是,把每個數擴成最大,求上限 縮成最小,求下限 在之前,我們學了分數列項 分數列項的一大特點是好算 正因爲它好算,於是可以用來進行放縮 例如這個式子,就可以用列項法進行放縮 首先看第一個數,五的平方分之一 因爲五的平方大於四乘五,所以五的平方分之一小於四乘五分之一 又因爲五的平方小於五乘六,所以它大於五乘六分之一 同樣,在第二項裏,因爲分母六的平方大於五乘六,小於六乘七 所以它小於五乘六分之一,大於六乘七分之一 第三項和前面一樣,小於六乘七分之一,大於七乘八分之一 就這樣一直到最後一項,它小於二十三乘二十四分之一,大於二十四乘二十五分之一 這樣我們就把每一項都進行了放縮 現在上下相加 在右邊,原式小於四乘五分之一,加五乘六分之一 一直加到二十三乘二十四分之一 而在左邊,可以得出原式大於五乘六分之一,加六乘七分之一 一直加到二十四乘二十五分之一 這時兩邊的算式都可以列項計算了 先算右邊,四乘五分之一可以拆成四分之一減五分之一 五乘六分之一可以拆成五分之一減六分之一 六乘七分之一可以拆成六分之一減七分之一 就這樣一直拆下去 最後一項,二十三乘二十四分之一可以拆成二十三分之一減二十四分之一 相加後中間全部抵消,剩下一頭一尾 等於四分之一減二十四分之一,得二十四分之五 左邊按同樣的方法進行列項 相加後中間全部抵消,還剩下一頭一尾 得到五分之一減二十五分之一,等於二十五分之四 這樣就求出了原式的範圍 它小於二十四分之五,大於二十五分之四 放縮完畢 在這個例子中 最關鍵的一步是把每個數的分母都變成可以列項的形式 例如把五的平方變成四乘五和五乘六 六的平方變成五乘六和六乘七等 把分母放縮之後,分數也就有了大小範圍 好了,這次的列項放縮就講到這裏 大家加油做題賺金幣吧 上一個視頻 我們學習瞭如何利用放縮法找範圍 在估算題目中 找範圍是非常重要的事情 那這個視頻 我們就再學兩個需要找範圍的題型 如果A的整數部分是四 那A的範圍是什麼呢? 首先A的下限非常好求 就是四 所以A必須大於等於四 那A的上限是什麼? 四點幾的話 整數部分顯然都是四,沒有問題 但大到五就不行了 所以A得小於五 反過來 小於五的數整數部分不會是五 最多是四 所以只要A小於五 就可以保證整數部分是四 所以A大於等於四 小於五 這樣我們就找出了A的範圍 其中左邊可以等於 但右邊不能等於 下面我們再看一種題型 B四手五入到各位是七 那B的範圍是什麼呢? 四手五入到各位是七 那B最小是六點五 所以B大於等於六點五 因爲七點五四手五入到各位是八 所以B不能是七點五 由於小於七點五的數在四手五入時 小數部分不能進上去 只能舍掉 於是只要B小於七點五 就可以保證四手五入到各位是七 所以B大於等於六點五 小於七點五 這樣就得出了A和B的範圍 在這些範圍裏 要注意兩邊的符號不一樣 左邊可以等於 但右邊不能等於 瞭解了這個 那我們就來解決一道和它們有關的題目 以至A的整數部分是四 B四手五入到各位是七 那麼A乘B的整數部分 共有多少種可能呢? 首先根據前面的計算 A大於等於四 小於五 B大於等於六點五 小於七點五 所以A乘B最小是四乘六點五 得二十六 最大是五乘七點五 得三十七點五 所以A乘B大於等於二十六 小於三十七點五 那麼它的整數部分可以是二十六 二十七 一直到三十七 共十二種可能 好了 這兩種特殊的找範圍 我們就講到這裏 在解題時 一定要注意左右的範圍不能搞錯 尤其是符號 左邊可以等於 右邊不能等於 接下來就是練習時間了 加油賺金幣吧 等差數列極爲常見 這就是一個公差爲二的等差數列 還有一類數列也很常見 它叫做等比數列 比如這個 觀察一下不難發現 二是一的兩倍 四是二的兩倍 八是四的兩倍 後一項都是前一項的兩倍 之所以管它叫等比數列 就是因爲後一項與前一項比值相同 這個相同的比值就叫做公比 在這個例子中 公比就是二 等比數列還有很多 像這個數列就是一個公比爲三的等比數列 而這個數列就是一個公比爲一的等比數列 等差數列需要求和 等比數列也是如此 比如像這個公比爲三的等比數列 你該咋求和呢 下面我就來說說咋辦 爲了表述方便 不妨設這個和爲s 再將這個式子編號爲1 然後把一式兩邊同時乘上公比3 就變爲3s等於3 加3的二次方 加3的三次方 加3的四次方 一直加 加到3的八次方 再將這個式子編號爲2 仔細觀察一下 就會發現一式與二式有很多相同項 二式的第一項就是一式的第二項 二式的第二項就是一式的第三項 依次類推 二式的第七項就是一式的第八項 既然有很多相同的項 就可以考慮把它們相減抵消 不妨用二式減去一式 二式的左邊減去一式的左邊 結果就是2s 二式的右邊減一式的右邊 抵消之後就只剩三的八次方減一了 三的八次方等於6561 6561減一結果就爲6560 既然2s等於6560 那數列總和s就等於6560除以2 也就是3280 在上述方法中 由於一式與二式是錯開一位相減 以達到抵消效果的 因此這種方法就叫做錯位相減法 將這個方法總結一下 第一步設等比數列的總和爲s 第二步兩邊同時成公比 第三步錯位相減 消去相同項 算出最終結果 整數的等比數列你已經會算了 下面就來看一看分數的等比數列 比如這一檔 它的公比是多少呢 不難看出後一項都是前一項的三分之一倍 公比就是三分之一 接着算法一樣 第一步仍然設和爲s 第二步等式兩邊同成公比三分之一 左邊變爲三分之一s 右邊變爲三分之一 加三的二次方分之一 加三的三次方分之一 一直加 加到三的七次方分之一 第三步兩式相減 顯然應該用大減小 也就是一式減二式 左邊減左邊等於三分之二s 右邊減右邊 消去相同的項 最後只剩一減三的七次方分之一 進一步求解 可得s等於七百二十九分之一千零九十三 這就是最後答案 怎麼樣 不難吧 總結一下 無論等比數列是整數還是分數 都可以用錯位相減法進行求和 方法也相同 就是三步曲 第一步 設總和爲s 第二步 兩邊同稱公比 第三步錯位相減求出答案 怎麼樣 明白了嗎 明白的話就趕緊動手賺金幣吧 帶分數的加減法你一定會算 比如這道題 你可以把它拆成整數和分數兩部分 然後整數整數相加 分數分數相加 二加四就等於六 七分之一加七分之六就等於一 再相加結果就等於七 如果做題時碰到多個分數加減法的題目 你仍然可以使用這個技巧 比如這道分數運算 你就可以把整數部分一到十加在一起 分數部分十一分之一到十一分之十加到一起 前者就是五十五 後者再等於十一分之一加到十 也就是十一分之五十五 而十一分之五十五就是五 所以最後的結果就等於五十五加五得六十 看來在做分數加減法運算時 根據數列規律 將帶分數的整數部分與分數部分拆開來 分別相加 往往能起到很好的效果 不過有的時候 如果你只是簡單的把整數部分與分數部分 拆分開來看 未必能讓算式變得簡單 比如這道題 如果你把它變成十三分之十二乘二十七加十二分之一 那根據分配率拆掉括號以後就不好算了 這個乘法還好 能約掉十二 但這個乘法就比較麻煩了 要是這兒不是二十七 而是二十六該多好啊 那有沒有法子把這個整數變二十六呢 其實是可以的 你把二十七又十二分之一拆成二十六 加一又十二分之一就可以了 這樣再乘十三分之十二 根據分配率就變成了這樣的兩個乘法算式 前面這個算式可以約到十三 答案得二十四 後面這個算式的一又十二分之一 其實就是十二分之十三和十三分之十二 正好互爲倒數相稱得一 兩者相加立馬就有答案二十五了 看來這種問題的拆分必須以約分爲目標來進行 剛纔我講了兩種類型的拆分 一種是根據算式規律 把代分數簡單的拆分爲整數部分與分數部分 這種方法叫做整數分數拆分 另一種則是爲了便於約分 從代分數中拆出一個能進行約分的整數 這就叫做爲約分而拆分 只要你能利用好上述兩種拆分方式 就能處理好很多與代分數有關的問題 怎麼樣聽明白這兩種拆分方式了嗎 如果明白了就自個兒動手試試吧 相信加點乘除這些運算已經很熟悉了 利用這些運算你還可以定義一些新的運算 比如這道題 以知A信號B等於二乘以加B 要你求二信號三等於G 你可能會說信號是什麼運算符啊 沒見過沒法算 其實見沒見過沒關係 因爲等式右邊的乘法和加法你是見過的 要求A信號B 你只要去算二乘以加B就可以了 所以要求二信號三 只要將A等於二B等於三帶入等式右邊 就得到了二乘二加三 算一算結果是七 怎麼樣還挺簡單的吧 其實定義一些運算算的還是老運算 下面我把問題改一下 變成四信號括號二信號三 你該咋算呢 其實也不難 仍然按照定義去算就行 只不過要算兩次 因爲有括號 第一步得先算二信號三 而它的結果已經有了 就是七 所以算式就變爲四信號七 第二步再把四信號七算出來 而它就等於二乘四加七 結果就等於十五 看來如果要進行兩次新運算 你一次算一步即可 有的時候定義新運算 還會和方程結合起來 比如讓你求解這樣一個方程 二信號括號外信號三等於十五 還是老法子 先把它變成老運算 將A等於Y B等於三帶入 就得到二外加三 這樣你的方程就變成 二信號括號二外加三等於十五 接着繼續將新運算換爲老運算 把A等於二 B等於二外加三帶入 左邊就變爲二乘二加二外加三 也就是四加二外加三 這樣就得到一個常規的元一次方程 再進行求解就小菜一碟了 算一算Y等於四 上面的新運算還比較好理解 只要你把新運算變成老運算就行 但有些新運算就得琢磨琢磨了 比如下面這個例子 定義新運算圓圈爲AB之間 包含AB在內 所有與A極有性相同的自然數的平均數 這個定義看着比較障 你得分兩步來理解 首先你得明白它要算的是平均數 其次你得明白它究竟是算哪幾個自然數的平均 比方說七圓圈十四 就是要求七到十四之間 所有與七極有性相同的自然數的平均數 因爲七是奇數 所以就是七九十一十三 這四個數的平均 算一算等於十 再比如十八圓圈十 就是要求十八到十之間 所有與十八極有性相同的自然數的平均數 因爲十八是偶數 所以就是十八十六十四十二十 這五個數的平均 算一算等於十次 好了定義新預算就講到這裏 處理這類問題 關鍵在於搞清楚它的含義是什麼 然後把新預算變爲老預算 這樣你就能輕鬆搞定了 怎麼樣明白了嗎 如果明白了就自己動手賺金幣吧 在這個視頻裏 我要講講簡單的分數數列規律 首先咱來看一串整數數列 你知道在這個數列中 第一次出現100是其中第幾項嗎 這個數列的規律很明顯 有一個1兩個2三個3 現在要求100是其中第幾項 只要知道它前面有多少項就可以了 這也簡單 從一個1兩個2三個3四個4開始 一直到99和99 就是100之前的所有項 加一加結果等於4950 那第一次出現100就應該是4950加1 得4951項 下面我就把這個數列變一下 在每個數上面添一個分子1 使它變成一個分數數列 那在這串數列中 第一次出現1%是數列的第幾項呢 顯然這個分數數列和剛纔的整數數列 是一一對應的 所以答案顯然還是第4951項 看來到分子沒有變化時 你只要看分母就行 而這跟整數數列沒有本質區別 下面再把分子也變化一下 變成這樣 那50%是數列的第幾項呢 這回除了分母在變 分子也在有規律的變化 分母爲1的分數 分子就只有1 分母爲2的分數 分子有1,2,2項 分母爲3的分數 分子有1,2,3,3項 分母爲4的分數 分子有1,2,3,4,4項 可想而知分母爲100的分數 再把分子分母分開考慮吧 首先看分母 跟剛纔一樣 分母從1變爲99 總共有4950個分數 再看分母100的這串分數 它們的分子從1開始 依次遞增 遞增到50 恰好是第50個 由此可見 50%是第4950加50 也就是第5000項 以上就是簡單的分數數列規律 在解決此類問題時 最關鍵的一點 是把分母的規律 和分子的規律分開來算 怎麼樣不難吧 如果覺得明白了 就自己動手試試吧 在上次課 我們知道了有些分數 可以通過除法變成循環小數 例如1⅓等於0.33循環 1⅙等於0.166循環 而反過來 循環小數也可以變成分數 那這個視頻我們就先來看看 純循環小數怎麼變成分數 以0.9090循環爲例 我們來學習如何轉化 第一步 數一下循環節的位數 有幾位就在分母上放幾個9 第二步 把循環節完整地放到分子上 第三步 約分 這樣就完成了轉化 再比如0.630630循環 它的循環節有三位 所以在分母上寫三個9 然後把循環節630寫到分子上 得到999分之630 再約掉9 變成111分之70 轉化完畢 從上面的例子可以看出 純循環小數可以方便地化爲分數 而反過來 利用這個方法可以把某些特殊的分數 快速地轉化爲純循環小數 例如99分之17 在上個視頻我們採用除法將它轉化爲 純循環小數 非常麻煩 但根據剛纔的法則 分母是99 說明它是兩位循環小數 又因爲分子是17 說明循環節是17 所以等於0.1717循環 看是不是簡單多了 這個例子說明 只要能把一個分數的分母擴分爲連續的9 那麼就可以把它直接化爲純循環小數 例如111分之7 上下同乘9 得到999分之63 分母是3個9 說明是三位循環小數 此時分子63只有兩位 在前面補0補成三位 然後把063放到循環節上 得到111分之7等於0.063063循環 在使用這種方法轉化循環小數時 還有兩個算式需要牢記 分別是27乘37等於999 101乘99等於9999 純循環小數化分數就講到這裏 在下次課 我們將會學習 混循環小數怎麼化分數 敬請期待 上次課我們學習了 如何將純循環小數化爲分數 今天我們就來看看 怎麼將混循環小數化爲分數 我們從0.154154循環入手 學習如何轉化 把混循環小數化爲分數時 分數的分母由9和0組成 其中9的個數等於循環節長度 0的個數等於不循環的位數 而轉化後的分子 則等於小數點後全部的數 減去不循環的部分 轉化後還要記得把分數約成最減 990分之153的分子分母 都是9的位數 約9等於110分之17 轉化結束 下面我們換一個例子 再演示一下整個過程 首先看分母 這個小數的循環節是162 共三位 所以有三個9 而不循環的部分是01 共兩位 所以有兩個0 於是分母爲99900 下面看分子 小數點後是01162 其中不循環的部分是01 所以分子爲01162-01 於是小數等於99900分之1161 上下都是9的倍數 先約9 等於11100分之129 此時上下還都是3的倍數 再約3 等於3743 這是最減分數 轉化完畢 混循環小數化分數就講到這裏 怎麼樣 是不是很複雜 那就做做練習強化一下吧 循環小數最大的特點是 循環節在小數點後不斷重複 具有周期性 而循環小數的週期性 恰好是考試中的常見問題 在講解週期性之前 我們先回顧一組特殊的循環小數 在第一個視頻中我們學習了 七分之一到七分之六化爲循環小數後 組成循環節的數字相同 都是142857 只是順序有區別 把142857順時針排成一圈 從圈上任意一個數字開始 順時針轉一週得到的六位數 都是某個七分之幾的循環節 例如從4開始 轉一圈得到428571 因爲4是這六個數字中第三小的 所以是七分之三的循環節 下面我們來看兩種關於週期性的常見問題 一種是已知循環節的正球 例如球七分之一的小數點後 第2014位 因爲循環節有六位 所以有2014除以6 商335餘4 說明有335個循環節 還剩4位 所以第2014位的數字 與第4位數字相同 18 這是還可以算出前2014位的數字之和 由於七分之一 每個循環節的數字和都是27 而前2014位中 共335個循環節 再加上多出來的四個數 和是9060 另一種常見問題是反球 例如已知真分數 七分之a的小數點後 第2012位是7 因爲2012除以6餘2 所以第2位和第2012位數字相同 都是7 然後回到剛纔的圈 第2位是7 說明第1位是5 於是循環節是571428 恰好是7分之4的循環節 所以a等於4 還有一種反球是 已知小數點後若干位的和反球分數 例如已知真分數 七分之a小數點後若干位數字和是272 由於無論七分之幾 一個循環節的數字和都是27 272除以27相實餘2 說明這些數字中包含10個完整的循環節 除此以外還剩下2 這個2是七分之a 從小數點後第1位開始加出來的 而在七分之1到七分之6中 只有七分之2能做到這點 所以a等於2 好了 以上就是循環小數週期性的常見問題 爲了在以後的杯賽中不出錯 快去做練習賺金幣吧 1到n的和咱很早就學過了 等於2分之n乘n加1 那1到n的平方和怎麼算呢 它的公式要複雜些 首先在分子上也有n乘n加1 再乘上它倆的和2n加1 而分母是6 這就是平方和的公式 例如計算1到20的平方和 分子是20乘21再乘它倆的和41 分母是6 可以算出答案是2870 這個公式不僅能算這種規則的求和 其它一些特殊的形式 比如偶數的平方和也可以用它計算 在這個式子中 2的平方等於4乘1的平方 4的平方等於4乘2的平方 6的平方等於4乘3的平方 一直到最後 20的平方等於4乘10的平方 每項都有4 把4提出來 然後用公式計算1到10的平方和 分子是10乘11乘它倆的和21 分母是6 等於385 於是答案爲1540 偶數的平方和會算了 那奇數的平方和又該咋辦呢 細心的同學應該已經發現了 奇數的平方和 不就是所有數的平方和減去偶數的平方和嗎 所以它等於2870減1540 等於1330 說完了平方和 接下來再說說立方和 1到n的立方和又該怎麼算呢 這個比較麻煩 咱們從小一點的數入手 找找規律 1的立方加2的立方等於9 是個平方數 等於3的平方 而1的立方加2的立方加3的立方等於36 也是個平方數 等於6的平方 最後 1到4的立方和等於100 還是個平方數 是10的平方 而360恰好是前面幾個數的和 3等於1加2 6等於1加2加3 10等於1加2加3加4 於是我們發現 1到n的立方和 恰好就是1到n的和的平方 有了這個 再算立方和就簡單多了 比如1到20的立方和 等於1到20的和的平方 也就是210的平方 等於44100 到此我們就學完了平方求和與立方求和的公式 咱們來回顧一下 1到n的平方和等於6分之n乘加1乘2n加1 1到n的立方和等於1到n的和的平方 好了 這兩個公式你記住了嗎 記住了就去做點題吧 三隻小豬爲了蓋一棟堅固的房子 從市場上買回了一堆磚 在牆角堆成了這個樣子 磚一共堆了十層 最上面一層共一成二塊 第二層多一圈 共二成三塊 第三層共三成四塊 以後每層都多一圈 最後一層也就是第十層 共十成十一塊 於是這堆磚就總共有一成二加二成三加三成四 一直加加到十成十一塊 由於磚太多 這三個傢伙數不過來 那你能幫他們算一下總共有多少塊嗎 估計你的第一反應是死算 把每層都算出來相加 但如果不是十層而是一百層 那二就得算崩潰了 有沒有更簡單的方法呢 有 這就是接下來要講的整數列項 方法如下 首先把一乘二的後面填一項 前面填一項 所謂後面填一項就是按數列規律 在一和二的後面乘上三 所謂前面填一項 就是按數列規律 在一和二的前面乘上零 寫出來就是這樣兩個算式 前者表示一乘二的三倍 後者表示一乘二的零倍 兩者相減 正好就是一乘二的三減零倍 也就是三倍 同樣二乘三也可以後面填一項 前面填一項 兩者相減 就等於二乘三的四減一倍 也就是二乘三的三倍 接着把三乘四也後面填一項 前面填一項 兩者相減 就得到三乘四的五減二倍 也就是三乘四的三倍 就這樣一直進行下去 直到最後十乘十一 變爲十乘十一乘十二 減去九乘十乘十一 也就是十乘十一的十二減九倍 即十乘十一的三倍 發覺沒 右側的這些算式如果相加 可以很有規律的抵消 前面有一乘二乘三 後面就減去一乘二乘三 前面有二乘三乘四 後面就減去二乘三乘四 這樣一直抵消下去 最後只剩兩項 十乘十一乘十二減零乘一乘二 這部分就是零 所以答案就等於十乘十一乘十二 算一算得1320 不過這可不是最後結果 因爲右側這些算式 是原來那個算式的三倍 所以最後還得都除以三 才能得到正確答案 於是結果就是1320除以三 得440 我們把這個過程再回顧一遍 首先通過後面填一項 前面填一項 進行減法列項 接着把列項的結果相加 並且狂抵消 最後利用剩下的頭和尾 算出結果 並把倍數除掉 在這裏特別提醒你 必須除以列項產生的倍數 這道題的倍數是三 但稍加變化就不見得是三了 比如三乘五加五乘七 加七乘九加加加 一直加到十七乘十九 如果按規律 後面填一項前面填一項 結果就是三乘五乘七 減一乘三乘五 前面是三乘五的七倍 後面是三乘五的一倍 減一減就是三乘五的六倍 因此列項相消之後 結果還得除以六纔對 你看就不是三吧 好了 整數列項就講到這兒 最關鍵的步驟有兩 一是後面填一項 前面填一項 二是必須搞清楚 列項產生的倍數是幾 最後把它除掉 牢記這兩點 就能順利地進行列項計算了 怎麼樣明白了嗎 如果明白就自個兒動手試試吧 在學過整數列項之後 我們來看分數列項 它和整數列項的計算思想相同 都是先拆分再抵消 但是在拆分時 會有列差與列合兩種情況 這個視頻咱先看列差 所謂列差 就是把每個數拆成兩數之差 那應該怎麼拆呢 爲了瞭解怎麼拆 我們先看看八乘九分之一 分母是八和九 它們的差正好是分子一 所以把一拆成九減八 然後拆成八乘九分之九 減八乘九分之八 這時前面可以約九 後面可以約八 得到八分之一減九分之一 這個例子的特點是 分母是兩項基 分子是兩項差 於是拆成兩個單位分數之差 這就是列差 毀了這個 咱就用這個方法來求解一個題目 首先把加數都拆開 在第一項中 一是二和一的差 拆成一乘二分之二減一乘二分之一 前面約二 後面約一 等於一減二分之一 第二項裏一是三和二的差 可以拆成二乘三分之三 減二乘三分之二 前面約三 後面約二 等於二分之一減三分之一 第三項同理 可以拆成三分之一減四分之一 一直到最後一項 可以拆成九十九分之一減一百分之一 然後相加 再等號右邊 二分之一上下都有 一加一減抵消 三分之一也可以抵消 就這樣一直到九十九分之一都抵消了 還剩下一和一百分之一 於是答案是一減一百分之一 等於一百分之九十九 不只是這種分子爲一的式子可以列差 像下面這個分子爲三的式子也可以 分子三是分母上十與七的差 把三拆成十減七 然後拆成這樣 前面約十 後面約七 得到七分之一減十分之一 列項完畢 從這可以看出 只要能把分子拆成分母的差 就可以直接列項 這與分子式子沒有關係 下面我們來看一個與它有關的例子 在這個例子中 分子都是三 咱看一下每項怎麼拆 第一項中 分子三等於四減一 於是可以拆成一乘四分之四減一乘四分之一 前面約四 後面約一一 等於一減四分之一 第二項中三等於七減四 拆成這樣 前面約七 後面約四 得到四分之一減七分之一 第三項同理可以得到七分之一減十分之一 一直到最後一項 得到三十七分之一減四十分之一 都拆完後 上下相加 這時等號右邊的四分之一 七分之一 一直到三十七分之一全遞銷了 還剩下一和四十分之一 所以原式等於一減四十分之一 得四十分之三十九 上面的兩個例子中 分子恰好都是分母上的兩數之差 可以直接列項 但有時分子並不是分母的差 這個時候 只要稍加調整即可 比如說這道題 這裏分子都是一 但分母的差三減一五減三 一直到二十一減十九都是二 所以先把分子變成二 使其可列項 但分子從一變成二是原來的兩倍 所以得再乘二分之一纔行 這樣 括號裏可以直接列項 再把結果乘二分之一 就得到了正確的答案 以上就是分數列項中的列差 列差的關鍵是 分母兩項基 分子兩項差 只有符合這個特點纔可以列差 否則就必須先變成這樣 再進行列差 上個視頻 我們學列差法 先把分子變成分母上的兩數之差 然後拆成減法 再抵消 就可以算出這個題的答案是一百分之九十九 這次的視頻咱還學習列差 只是分母變成了三個數相乘 那這種題又該怎麼拆呢? 這裏也得把分子拆成分母上的兩數之差 但是要拆成最大數和最小數的差 也就是九點七 然後就得到七乘八乘九分之九 減去七乘八乘九分之七 前面約九 等於七乘八分之一 後面約七 得八乘九分之一 於是等於它倆的差 列項完畢 會了這個 咱一起做下這道題 首先把每項都拆開 在第一項裏把二變成三減一 拆成減法 前面約三 後面約一 得到一乘二分之一減二乘三分之一 在第二項裏 二等於四減二 拆成這樣 前面約四 後面約二 得到二乘三分之一減三乘四分之一 第三項同理可以拆成三乘四分之一減四乘五分之一 一直到最後一項 拆成七乘八分之一減八乘九分之一 接着相加 這時右邊的二乘三分之一上下抵消 然後三乘四分之一 一直到七乘八分之一也都抵消了 還剩下一個頭一個尾 原始等於它倆的差 得到七十二分之三十五 在這個例子中 因爲分子恰好等於分母中最大數減最小數 於是可以直接列項 但如果不是的話 比如下面這個例子 就需要先做調整再列項了 這個題中 五減一七減三 一直到十九減十五都是四 所以先把分子變成四 因爲從一到四變成了四倍 所以還得在後面乘四分之一 這時前面塊裏的算式可以直接列項 然後再乘四分之一就是答案 三項的列差就講到這裏 它的要點是把分子拆成分母中最大數和最小數的差 然後再拆分 通過這兩個視頻的學習 相信大家已經深刻地體會到了列差的威力 下個視頻我們將學習列合 到時你會從另外一個角度 再次見識到列項的力量 之前咱學了列差 今天我們來學列合 那什麼是列合呢 我們先看以下算式 第一項裏分母是一乘二 分子三等於二加一 正好是分母上的兩數之和 第二項的分母是二乘三 分子五是三加二 也是分母上的兩數之和 第三項的分母是三乘四 分子七等於四加三 還是分母上的兩數之和 一直到最後兩項 十七等於九加八 十九等於十加九 也都是分母的和 接下來拆分 第一項可以拆成 一乘二分之二 加一乘二分之一 前面約二 後面約一 得到一加二分之一 第二項拆成 二乘三分之三 加二乘三分之二 前面約三 後面約二 得到二分之一加三分之一 第三項可以拆成 三乘四分之四 加三乘四分之三 前面約四 後面約三 得到三分之一加四分之一 就這樣一直拆下去 倒數第二項可以拆成 八分之一加九分之一 最後一項可以拆成 九分之一加十分之一 然後去括號 第一個括號可以直接去掉 是一加二分之一 去第二個括號時 因爲前面是減號 所以裏面得變號 變爲減二分之一減三分之一 第三個括號也可以直接去掉 就這樣一直做下去 去倒數第二個括號時 也得變號 變成減八分之一減九分之一 而最後一個可以直接去掉 變成這樣 接下來該加減抵消了 二分之一和二分之一抵消 三分之一和三分之一也能抵消 之後中間的四分之一 到八分之一也都消掉了 直到最後 消掉九分之一和九分之一 然後就剩下一頭一尾 所以等於一加十分之一 等於一又十分之一 從上面的例子可以看出 裂合的關鍵是分母兩項積 分子兩項合 於是只要能把分子拆成 分母上的兩數之和 就能裂合計算 和裂叉一樣 有時分子不是分母的和 這時就需要調整計算了 例如這個例子 先看分母上的兩數之和 一加三等於四 三加五等於八 五加七等於十二 一直到最後 十九加二十一等於四十 而第一項的分子 二是四的一半 第二項的分子 四是八的一半 然後六是十二的一半 一直到最後 二十是四十的一半 所以分子都是和的一半 爲了能裂合 得把分子都稱二纔行 變成這樣 但此時的和是原來的兩倍 還得再稱二分之一纔行 之後對前面和裏的算式裂合 然後再稱二分之一 就是最後的答案 好了 裂合咱就講到這裏 最後我們來總結一下 當分母是兩項積 分子是兩項和時 可以進行裂合 之後在拆分時 要注意變號問題 如果分子不是分母的和 那就需要先調整 再裂合了