清華附小數學趣味動畫全集：探索勾股定理、面積計算、排列組合等多個主題，輕鬆學習，提升數學成績！ #清華附小 #數學趣味 #勾股定理 29 四年級幾何

今天我要來說說圖形面積 所謂面積就是指封閉圖形的大小 比如長是3寬是2的長方形 就比邊長是1的正方形大 那我們就說它面積更大 那怎麼計算正方形跟長方形的面積呢 把邊長是1的正方形面積當做1 然後把長方形劃分成很多個邊長是1的小正方形 這樣只要數數有多少個小正方形就可以了 三行兩列 一共是3乘2等於6個小正方形 因此面積就是6 這個3剛好是長方形的長 2剛好是長方形的寬 所以長方形的面積就是長乘寬 如果變成正方形 長和寬就都改名叫邊長了 正方形的面積也就是邊長乘邊長 比如邊長是3的正方形 面積就是33得9 好了 現在利用長度求面積你會了 那能不能反過來利用面積求長度呢 比方說給你一個面積爲16的正方形 要求它的邊長是幾 只要想想誰乘誰的16就行 顯然是4416 那邊長就是4 再比如左邊的長方形面積是12 長是4 因爲面積等於長乘寬 那寬就等於面積除以長 所以寬等於12除以4得3 左邊的長方形寬是3 那右邊的長方形寬顯然也是3 而長是6 面積就是6乘3得18了 以上就是正方形與長方形的面積計算 其中長方形的面積是長乘寬 而正方形的面積則是邊長乘邊長 根據公式你可以通過長度求面積 還可以通過面積求長度 怎麼樣你學會了嗎 學會了就快去做練吸納金幣吧 上個視頻咱們會算正方形格點圖形面積了 這回咱們變一變 看看三角形格點 如果最小的三角形面積是1 那你知道這個三角形的面積是多少嗎 想一想 三角形面積由底和高決定 它的底是最小三角形的兩倍 高和最小三角形一樣 所以面積也是最小三角形的兩倍 也就是2了 如果再大一點 這個三角形的面積是多少呢 它的底還是最小三角形的兩倍 它佔了兩層 所以高也是最小三角形的兩倍 因此面積就是最小三角形的2二得4倍 也就是4 看來要算三角形格點中的三角形面積 只要看看底是最小三角形的幾倍 高是最小三角形的幾倍 再把這兩個倍數乘起來 就可以得到面積的倍數了 有時三角形不是平着放的 比如這個 彆着急 觀察一下三條邊的方向 這條邊和最小三角形的這條邊方向相同 那就把它當做底 這是最小三角形的兩倍 再看看高 它佔了三層 也就是最小三角形的三倍 所以面積就是2三得6倍 也就是6 如果三條邊的方向都和最小三角形方向不同呢 那就得拿出籠子了 不過這回是三角形的格點 所以籠子也得畫成三角形的 籠子的邊線得沿着最小三角形三條邊的方向 橫着的線在這 左邊的線在這 右邊的線在這 這樣就畫好籠子了 數一數 籠子的底是最小三角形的四倍 籠子有四層高 所以是4 4 16 這塊空隙 底是一倍 高是兩倍 面積是1乘2得2 這塊空隙 底是三倍 高是一倍 面積是3乘1得3 這塊空隙 底是兩倍 高是三倍 面積是2乘3得6 最後減一減 16減2減6再減3 答案是5 三角形的面積你都會算了 其它圖形怎麼辦呢 很簡單 拿出小刀 把它切成兩個三角形就可以了 這個三角形底是三倍 高是兩倍 面積是2 3得6 這個三角形和它一樣 也是6 那總面積就是6加6得12 以上就是如何在三角形格點中求圖形面積 一般的三角形 找到和最小三角形方向相同的邊 把它當做底 看看底是最小三角形的幾倍 再看看高有幾層 這兩個倍數的乘積 就是面積的倍數關係 除此之外的情況 還是拿出刀子或者籠子 把它們編成好算的三角形再計算 怎麼樣你學會了嗎 學會了的話 就快去做地拿金幣吧 前面的視頻裏 咱們已經會算正方形格點圖形面積 還有三角形格點圖形面積了 不過如果圖形特別複雜 用刀子或者用籠子都有點麻煩 這種時候 如果能記住格點圖形面積公式 就很輕鬆了 爲了看懂公式 你得先知道兩個概念 邊點和內點 所謂邊點就是圖形邊上的格點 像這個這個還有這些個都是邊點 所謂內點就是圖形內部的格點 像這個這個還有這些個都是內點 對於正方形格點 只要把內點的數量 加上邊點數量的一半再減一 就是這個圖形的面積了 這個公式好難記啊 有什麼辦法讓它好記點呢 我來給你講個故事 話說樂樂老師講課倍好 想聽她課的人特多 有一回她上課 不僅教室裏坐滿了人 窗臺上還趴着人 你說她該怎麼收學費呢 教室裏面的人坐着聽 很舒服 沒人收一份錢 趴窗臺上的就鬱悶了 好累啊 也說他們一份錢就不太合適 沒人收半份吧 但屋子裏還有個人沒交錢 那是誰呢 哈哈其實就是樂樂老師自己 所以得再減一 屋裏的人就是內點 窗臺上的就是邊點 這就是正方形格點公式了 那三角形格點公式呢 這回樂樂老師開了個尖子班 所以教室也是尖尖的 這個班特厲害 所以收費也貴 屋裏的收兩份錢 窗戶上趴着的收一份錢 還是得去掉樂樂老師自己的錢 她在屋裏 那就是兩份 屋裏的人就是內點 趴窗戶的人就是邊點 這就是三角形格點的面積公式了 比如這個圖形內點有四個 邊點數一數有11個 那面積就是4乘2加11再減2 答案是17 這就是如何用公式法求格點圖形的面積 正方形格點裏 面積等於內點加上邊點的一半再減1 三角形格點裏 面積等於內點乘2加上邊點再減2 怎麼樣你學會了嗎 學會了的話就快去做提拿金幣吧 前面的視頻裏 咱們學習了計算格點圖形面積 這些計算方法也能用到其他圖形裏 比如這些數字分別表示對應線段的長度 你知道這個圖形的面積是多少嗎 用刀子把它切開 這就變成了一個長方形和一個梯形 長方形的面積是2乘5等於10 梯形的下底是5加2加1得8 所以面積是6加8的合成3再除以2 算一算得21 這樣總面積就是10加21得31了 刀子能用上 籠子也能 這個正方形裏斜着放着一個長方形 如果正方形的邊長是6 這一段和這一段的長度都是2 你知道長方形的面積是多少嗎 先算算其他的長度 這兩個三角形完全一樣 所以這兩段也是2 那這裏就是6減2得4 類似的這些線段的長度都是4 現在就能求面積了 把這個正方形看做籠子 它的面積是6乘6得36 去掉四角的四個三角形 注意這兩三角形拼在一起 就變成正方形了 邊長是4 那面積一共是4乘4得16 這兩三角形拼在一起也變成正方形了 邊長是2 面積是2乘2得4 所以長方形面積就是36減16再減4得16 像剛纔這樣用刀子把圖形分開 咱們叫它割 用籠子把圖形關起來 相當於補上一些圖形湊到規則圖形 咱們叫它補 這就是如何利用割補法 巧算圖形面積 除了割補法 在隔點圖形中用到的網格 也可以拿來用到其他圖形裏 比如這兩個一樣大的三角形 如果左邊圖形的陰影面積是48 右邊圖形的陰影面積是多少呢 其實這就是兩個三角形的網格 數一數左邊陰影面積佔了三個格子 總面積是48 一個格子就是48除以3得16 整個三角形多大呢 用三角形隔點理的方法 底是三倍 有三層高 所以是最小三角形的3乘3得9倍 那就是16乘9得144 這倆三角形一樣大 所以這個三角形的面積也是144 它有幾個格子呢 底是四倍 有四層高 所以是最小三角形的4乘4得16倍 那一個格子就是144除以16得9 數一數陰影面積是8個格子 所以就是9乘8得72 以上就是怎樣利用隔點圖形中學到的方法 求解其他圖形面積 可以用刀子或者籠子進行割補法 也可以利用網格進行面積轉換 怎麼樣 你學會了嗎 學會了的話 就快去做題拿金幣吧 你還記得狗牙模型嗎 在平行四邊形裏 這些牙的面積和是整個圖形的一半 同樣的只有一顆牙時 這顆牙的面積就是整個圖形的一半 今天咱們用這個一半關係 解決一些簡單的圖形面積問題 比如這個圖 如果平行四邊形的面積是20 那長方形面積是多少呢 發現沒 這是平行四邊形的一顆牙 它的面積就是平行四邊形的一半 20除以2得10 他知道了 那長方形呢 很顯然 它也是長方形的一半 那長方形面積就是10乘2得20 怎麼樣 是不是很簡單 用狗牙模型計算圖形面積 只要你找到牙 用一半關係就能輕鬆搞定 再比如這個圖 正方形的面積是30 DF與CE垂直 如果CE長是6 那DF多長呢 先找牙 在這裏 它的面積是正方形的一半 也就是15 三角形面積知道 還是到底 那就可以反求高了 高等於面積15乘2 再除以底6就得5 前面的例子只要找到一顆牙就能輕鬆搞定 但有的時候 你需要找兩顆牙纔行 比如這個長方形裏 三角形ADE的面積是12 三角形BEF的面積是4 那三角形CDF的面積是多少呢 咱先找牙 在這裏 但好像沒啥用 它跟12和4都沒啥關係 咋辦呢 別急 再找找 哦 這兒也是一顆牙 12和4是它的一部分 這顆牙是長方形的一半 這顆牙也是長方形的一半 所以這兩顆牙面積一樣 發現沒 它倆都有這一塊 把它挖掉 剩下的面積還是一樣的 也就是說 它的面積就等於12加4 得16 好了 以上就是狗牙模型的簡單應用 解題時要先找到牙 再用一半關係進行分析 有的時候 你只需要找一顆牙就能輕鬆搞定 而有的時候 你需要找兩顆牙進行比較 怎麼樣 明白了嗎 明白了就趕緊做題賺金幣吧 這個視頻 我要講一個幾何中特別重要的知識 勾股定理 在中國古代 直角三角形中 較短的直角邊被稱作勾 較長的直角邊被稱作谷 而斜邊則被稱作弦 公元前一世紀的周避算經中 有勾三 谷四 弦五的記載 意思是 如果一個直角三角形的短直角邊是三 長直角邊是四 那麼斜邊的長度就是五 算一算 三的平方加四的平方就等於五的平方 也就是說 在直角三角形中 兩條直角邊A跟B的平方和等於斜邊C的平方 這就是勾股定理 勾股定理最早的證明是古希臘數學家 畢大格拉斯在公元前五世紀給出的 所以在國外也被稱爲畢大格拉斯定理 相傳他爭出這個定理之後 非常高興 殺了一百頭牛慶祝 於是又有人稱他爲百牛定理 但他是怎麼證明的呢 他畫了這樣的兩個圖形 這倆大正方形的邊長都是A加B 面積相等 他們各自刪掉四個相同的直角三角形後 剩下的面積肯定還相等 這時左邊剩兩個小正方形 面積和是A方加B方 右邊剩一個小正方形 面積是C方 所以A方加B方就等於C方 這就是勾股定理 利用它 你只要知道直角三角形兩條邊的長度 就能算出第三條邊了 比如左邊這個圖 C方等於5的平方加12的平方 等於169 而169是13的平方 所以C就是13 而在右邊這個圖中 A方加15的平方等於17的平方 可以算出A方等於64 所以A就是8 像5 12 13 8 15 17 這樣滿足勾股定理的數組 被叫做勾股數 之前提到的345 就是最常用的一組勾股數 如果把它們擴大相同的倍數 你就能得到更多勾股數了 比如這個三角形兩條直角邊 分別是30和40 利用倍數關係 很容易就能得出斜邊長是50 如果畫出這個三角形斜邊上的高 那它有多長呢 三角形要求高 就需要用到面積和底 現在底知道 那面積呢 很簡單 它倆也是一組底和高 三角形面積就是30乘40除以2 得600 所以這個高就等於600乘2再除以底50 得24 好了 以上就是這個視頻的所有內容 直角三角形中 兩條直角邊A和B的平方和 等於斜邊C的平方 利用勾股定理 你只要知道直角三角形兩條邊的長度 就能算出第三條邊了 而且還可以進一步算出斜邊上的高 怎麼樣明白了嗎 明白了就趕緊做題賺金幣吧 除了長方形和正方形 還有很多其他的圖形也可以計算面積 比如這種四邊形 它的兩條對邊方向一樣 咱們管這叫平行 像這樣兩組對邊分別平行的四邊形 叫做平行四邊形 爲了計算平行四邊形的面積 咱們首先得知道一個概念 高 高這個詞咱們生活中都用過 比如小曹想要測量一下自己的身高 那就得量這段距離 從肩膀開始量可不行 得從頭開始 要是斜着量也不對 咱們得垂直 跟哪裏垂直呢 顯然是地面啊 這樣咱們就得到了畫高的準則 從頭開始垂直地面 簡稱頭垂地 小曹的高你會量了 那平行四邊形呢 其實也一樣 咱們把平行四邊形的一條邊當做地面 管它叫底 從頭開始垂直地面 這就是平行四邊形的高了 注意平行四邊形的腦袋是平的 所以從哪裏開始量高都可以 有些時候咱們選了斜着的邊當做地面 這時候的高怎麼畫呢 這簡單把它轉過來不就行了 從頭開始垂直地面 再把它轉回去 這就畫好了 還有時候遇到收割個平行四邊形 沒關係 雖然他的腳沒踩着 但地面還是在那裏的嘛 從頭開始垂直地面 這樣就畫好高了 注意可千萬別把他的腦袋砍掉了 怎麼樣 你學會畫高了吧 有了高和底 咱們就可以計算平行四邊形的面積了 沿着高把平行四邊形剪開 挪到另一邊去 它就變成了長方形 面積就是長乘寬 而這個長其實就是平行四邊形的底 所以長乘寬就是底乘高 因此平行四邊形的面積就等於底乘高 比如這個平行四邊形的底是8 高是6 那麼面積就是8乘6得48 這個平行四邊形的底是7 面積是21 那高怎麼求呢 因爲面積等於底乘高 所以面積除以底就等於高 21除以7 上爲3 所以高就是3 好了 平行四邊形的面積計算就講到這裏 最關鍵的有兩點 首先給平行四邊形畫高時 一定要從頭開始垂直地面 也就是頭垂地 其次面積等於底乘高 怎麼樣 你學會了嗎 學會了就快去做地牆金幣吧 上個視頻講到平行四邊形裏有底和高 三角形裏也有類似的說法 隨意選一條邊做地面 也就是底 然後從頭開始垂直地面 注意三角形的腦袋是尖尖的 因此只能從它的頂點開始畫高 隨便移動可不行 不然可就把三角形量矮了 當然也有歪着站的三角形 只要把地面延長 就也能從頭開始垂直地面 注意一定得垂直纔行 斜着量就糟糕了 那三角形的面積怎麼計算呢 咱們還是把它變成學過的圖形 把三角形翻個個 再拼在一起 就變成平行四邊形了 平行四邊形的面積是底乘高 這個底剛好是三角形的底 高也剛好是三角形的高 看來三角形的面積也是底乘高嘛 慢着 這是兩個三角形的面積 要算一個三角形 還得再除以2纔行 也就是底乘高除以2 比如底是4高是3的三角形 面積就是4乘3再除以2 也就是6 而這個底是2高是5的三角形 面積就是2乘5再除以2 也就是5 一隻底高求面積你會了 那一隻面積 你能反求底或高嗎 比如三角形的面積是10 高是4 那底是多少呢 這就得先把三角形面積乘上2 10乘上2得20 這就是這個平行四邊形的面積 把這個面積除以高 也就是4 就可以算出平行四邊形的底了 算一算得5 而這也就是原來三角形的底 好了 以上就是三角形的面積計算 總結一下主要有兩點 首先三角形的面積等於底乘高除以2 其次通過面積反求底或高的時候 別忘了要先把面積乘上2再做除法 怎麼樣 你學會了嗎 學會了就快點動手試試吧 在前面的視頻中 咱們已經學過了平行四邊形 三角形和梯形的面積公式 知道底和高就可以計算面積 同樣的 如果知道了面積也可以反過來計算底高 比如這個平行四邊形的底是7 高是4 面積就是7乘4等於28 這個三角形的面積是28 底是8 那高就是28乘2 再除以8等於7 這就是面積和長度的互相轉化 用這個知識才能解決一些比較複雜的圖形問題 如圖三角形BCE的面積是20 BC的長是8 那平行四邊形的面積是多少呢 要求面積就需要知道底和高 底是8 高不知道 找一找 它的高正好和三角形的高一樣 那就好辦了 咱們知道這個三角形的面積和底 所以能算出它的高 20乘2再除以8等於5 這個高是5 那平行四邊形的高和它一樣也是5 底是8 高是5 這就能算平行四邊形的面積了 用8乘5得40就是最後結果了 做這一類題時 咱們從問題出發來分析 要求面積那就找底高 如果底和高有一個不知道 就不妨用題目中的其他面積去求一求 不過有時題目給你的面積不太好用 比如這個題 把一個小正方形的邊長都延長2釐米 得到一個大正方形 大正方形的面積比小正方形的面積大28平方釐米 那小正方形的面積是多少呢 在這裏28是一個不規則圖形的面積 沒法直接用它求長度 觀察一下 它正好是由四個小三角形拼成的 那就簡單了 一個三角形的面積是28除以4等於7 而它的底是2 高就好算了 用7乘2再除以2還等於7 知道了三角形的高 小正方形的邊長就不難算了 它比這條高少2 因此是5 要求小正方形的面積就用邊長乘邊長 答案是25 好了 以上就是這個視頻的所有內容 解決面積與長度互相轉化的複雜問題 往往需要先利用題目給你的面積求出底高 再利用求出的長度去計算面積 怎麼樣明白了嗎 明白了就自己做題賺金幣吧 一個正方形 它的邊長是6 那面積就是6乘6得36 這個公式相信你已經倒背如流了 那如果知道的不是邊長 而是對角線 你還會計算面積嗎 其實很簡單 將正方形剪開 分成兩個等腰直角三角形 再這樣拼成一個大的等腰直角三角形 它的兩條直角邊都等於6 那面積就是6乘6除以2得18 所以原來正方形的面積也就是18了 在這裏6是正方形的對角線 所以正方形的面積就等於對角線乘對角線除以2 也就是說 只要你知道正方形的對角線是多長 就可以用這個公式計算面積了 比如這個正方形的對角線是4 那面積就是4乘4除以2得8 這個正方形的對角線長是10 那面積就是10乘10除以2得50 正方形的面積你會算了 那要是換成等腰直角三角形呢 比如這個圖 斜邊長10 面積是多少呢 很簡單 再來一個同樣的三角形 拼成一個大的等腰直角三角形 它的兩條直角邊都是10 那面積就等於10乘10除以2 注意了 咱們要算的是小三角形 它佔一半 那就得再除以2 也就是除以4 得25 在這裏 10是等腰直角三角形的斜邊 所以等腰直角三角形的面積 就等於斜邊乘斜邊除以4 比如這個等腰直角三角形的斜邊長是6 那面積就是6乘6除以4等於9 學了這兩個面積公式 你還可以用它們算一些簡單的拼接圖形的面積 比如由正方形和等腰直角三角形拼成一個梯形 如果BE長8 那梯形的面積是多少呢 咱們先算三角形 斜邊是8 套用公式 面積就是8乘8除以4等於16 再算正方形 它的對角線和BE一樣長也是8 套用公式 面積就是8乘8除以2得32 最後把它們倆相加就可以算出梯形面積了 好了 以上就是這個視頻的所有內容 主要學習了這倆面積公式 做題時如果你不小心把公式給忘了 那就自己畫圖想想吧 怎麼樣明白了沒 明白了就趕緊做題賺金幣吧 上個視頻裏我講了三腳仔的故事 它把腳固定投在平行線上 拉一拉麪積不變 咦 你瞧 這裏正好是一個梯形 那這兩條線就是梯形的對角線 看來連接梯形的對角線 就能得到兩個面積一樣的三角形 那除了它們倆 還有沒有其它三角形面積也一樣呢 發現沒 它倆都有這一塊 如果把這挖掉 剩下的面積也應該是一樣的 也就是說 梯形對角線分出的四個三角形裏 腰上的倆三角形面積相等 你看它們倆是不是很像蝴蝶的一對翅膀 這對翅膀面積一定相等 如果它的面積是10 那它的面積就也是10 這就是我今天要講的蝴蝶模型 注意 梯形裏的蝴蝶翅膀說的是腰上的倆三角形 你只要找到腰 翅膀就不會找錯了 比如這個梯形 腰在這 那翅膀就是這倆三角形 而這個梯形裏 它們倆平行 它們倆不平行 所以腰在這 那翅膀就是這倆三角形 只要有梯形 你就可以很輕鬆的找到翅膀 如果梯形被藏了起來呢 比如這個圖 小正方形面積是20 大正方形面積是50 那陰影部分的面積是多少呢 很簡單 用蝴蝶模型就可以輕鬆搞定 咱得先找梯形 它們倆平行 它們倆不平行 所以這個四邊形就是梯形 梯形裏不平行的對邊是腰 腰上的三角形就是翅膀 它倆面積一樣 咱就可以把這塊陰影面積轉換到這裏 這樣的話 原來的陰影部分就變成這個三角形了 它的面積很好求 就是這個大正方形的一半 50除以2得25 所以原來陰影部分的面積就也是25 好了 以上就是這個視頻的所有內容 在梯形裏對角線分出了四個三角形 腰上的倆三角形面積一樣 簡單來說就是梯形裏的蝴蝶翅膀面積相等 怎麼樣明白了嗎 明白了就趕緊做題賺金幣吧 這幾個視頻咱們要算算隔點圖形的面積 那什麼是隔點圖形呢 這是一個邊長是1的網格 這些網格線的交點叫隔點 把這些隔點用線段連起來得到的圖形就是隔點圖形 比如這是一個隔點圖形 這也是一個隔點圖形 這還是一個隔點圖形 這它有彎的連接線 這就不對了 如果每個最小正方形的面積是1 怎麼計算這幾個隔點圖形的面積呢 長方形很容易 分一分它就是三行兩列 一共六個最小正方形 所以面積就是6 這跟直接用長方形面積公式計算的結果是一樣的 看來其他圖形也可以直接用公式計算 三角形面積等於底乘高再除以2 底是2 高是4 所以面積就是4 T型面積等於上底加下底的和乘高再除以2 上底是1 下底是3 高也是3 所以面積就是6 有面積公式的圖形可以直接上公式 如果圖形不規則 沒學過這樣的面積公式怎麼辦呢 這也容易 拿出刀子沿着隔線分一分 就變成一個三角形再加上一個長方形了 三角形的底是6 高是1 面積就是6乘1再除以2 得3 長方形的長是6 寬是3 面積就是6乘3 得18 再把它倆加起來 得21 這就是這個圖形的總面積了 不過遇到方的不正的圖形怎麼辦呢 這時候就要拿出籠子 把這個圖形緊緊的關在長方形的籠子裏 這個籠子的面積是6乘4 24 再序掉這三個空隙 就是咱們想要的圖形面積了 這裏2乘3再除以2 是3 這裏3乘4再除以2 是6 這裏2乘6再除以2 是6 最後算個減法 24-3-6-6 剩下的9就是這個三角形的面積 以上就是如何在正方形隔點中求圖形面積 最小正方形面積是1時 規則圖形直接使用面積公式計算就行 不規則的圖形就得拿出刀子或者籠子 把它們變成規則圖形再計算 怎麼樣 你學會了嗎 學會了的話就快去做題拿金幣吧