啟蒙奧數動畫全集教程：從"牛吃草問題"到"旋轉體問題進階"， #包括行程問題、 #比的概念、 #排列組合等， #一站式數學學習平台！ #十字交叉法, #最佳會合點, #往返接送, #多邊形角度 40 五年級應用題5

在接下來的幾個視頻中 我來講講濃度問題 爲了說明啥是濃度 我先要介紹幾個與它有關的基本概念 比如把糖放入水中 你就得到糖水 把鹽放入水中 你就得到鹽水 這裏的糖和鹽是被溶解的物質 就稱爲溶質 這裏的水是溶解其他物質的液體 就稱爲溶劑 而這裏的糖水和鹽水是溶質與溶劑的混合物 就稱爲溶液 有了這三個概念 你還可以分析一下酒精溶液 在酒精溶液中 純酒精就是溶質 不難看出溶質加溶劑就是溶液 比如溶質5克 溶劑10克 那溶液就是15克 有了這個公式 你就可以解決一些簡單問題了 比如一杯鹽水200克 其中含水160 讓你求含鹽多少 你只要用溶液200減去溶劑160 就可以得溶質40了 如果反過來告訴你鹽有80克 溶液還是200 那你一樣可以用溶液200減去溶質80 得溶劑爲120 明白了這三者的數量關係 接着咱就可以講講啥是濃度了 還是拿糖水來說 現在有兩杯糖水都是200克 其中一杯含糖40 另一杯含糖60 問你哪杯甜 這簡單 總量一定肯定是含糖越多越甜唄 不過爲了更精準的表示含糖量 你必須使用濃度的概念 所謂糖水濃度就是糖佔糖水的百分比 比如這200克糖水含糖40 它的濃度就是40除以200得20% 如果含糖60 那濃度就是60除以200得30% 含糖百分比越大 濃度就越高 也就是通常所說的越濃 糖水濃度你明白了 接着就可以把它推廣到所有溶液了 對於一般溶液而言 濃度就是溶質佔溶液的百分比 寫成公式就是溶質除以溶液 通常情況下 濃度都得寫成百分數 像剛纔我沒有寫0.2或3 而是寫成了20%與30% 就是因爲這一點 因此你在寫答案時也得寫成百分數 所以濃度計算公式一般都會添上成百分之百 這一項意思就是要化成百分數 不過話又說回來 你絕對不能因爲濃度在寫法上特殊 就以爲它跟普通分率有啥區別了 從分數應用題的角度來看 溶液就是單位一 溶質就是部分量 而濃度其實就是部分量所對應的分率 所以濃度跟所有部分佔總體幾分之幾 這樣的分率在本質上是完全一樣的 下面我就舉個好玩的例子 讓你更明白這點 比如一個班有40人 男生16 女生24 男生佔總數的16除以40得0.4 也就是40% 那我就可以說男生濃度就是40% 這裏男生好比是糖 女生好比是水 男女混成一個班就好比是一鍋糖水 男生這個部分佔全班這個整體的百分之幾 就是男生的濃度 怎麼樣是不是很好玩 以後凡是遇到部分佔整體幾分之幾這樣的分率 你都可以管它叫做濃度 以上就是與濃度有關的基本概念和簡單計算 首先你要理解溶質溶劑溶液 這三者之間的數量關係 其次你得明白濃度其實就是溶質佔溶液的百分之幾 是一個部分佔總體的分率 明白了這兩點 濃度的基本概念你就算明白了 怎麼樣不難吧 自個兒動手試試吧 在日常生活中 你經常能見到商家打折促銷 比如一件衣服原價100 現在打八折促銷 如果賣不動還有可能打七折 如果還不行都有可能打兩折甚至一折 那這些折扣是啥意思呢 所謂八折就是把價格降爲原來的80% 算算就是80元 而七折就是把價格降爲原來的70% 結果爲70元 至於兩折或一折 分別就是20%以及10% 對應的價格就是這樣 發覺沒 所謂打幾折就是變爲原價的百分之幾十 不過有時你還會見到像三八折這樣的說法 意思就是變爲原價的38% 以後再遇到打折 你就能像剛纔那樣通過原價跟折扣算出折後的價格 比如一隻鋼筆原價50打6折出售 反過來 如果我告訴你原價跟折後價 你也能算折扣 比如還是這隻鋼筆原價50折後價爲35 那折扣就是35除以原價50得0.7 也就是7折 折後價跟折扣你都會算了 那如果告訴你他倆 你能算原價嗎 比如給你一件商品打65折價格爲130 要你求原價是多少 既然是65折 那折後價就是原價乘65% 而折後價爲130 所以你只要拿130除以65%就是原價了 算算得200 通過上述分析 相信你對打折的含義已經很清楚了 如果我進一步要你分析一下打折前後利潤與利潤率的變化 你能否搞定呢 來看個例子 一件商品進貨價爲100 準備以150的價格售出 而在實際售出時打了8折 要你來分析一下打折前後的利潤跟利潤率 先看打折前 此時的利潤就等於售價150減成本100得50元 而相應的利潤率就等於利潤50除以成本100得50% 至於打折後成本沒變 而售價變爲原來的80% 也就是150乘80%得120 那相應的利潤就只有120減100得20了 而相應的利潤率就是20除以成本100得20% 在上述過程中 最關鍵的一點就是列出這張打折前後成本售價利潤以及利潤率的表格 只要你能列出表格 並將已知條件填入其中 剩下的就是想法子把空給填全罷了 通過這種方法 你可以很好的理清思路 解決問題 比如我把已知條件改一下 不告訴你打折前的售價 而是告訴你打折後的利潤率 你還能把所有空都填出來嗎 因爲折後的利潤率是60% 成本還是100 那打折後的利潤就是100乘60%得60 於是打折後的售價就是100加60得160 再根據8折這個條件 折後價等於原價乘80% 那隻要用160除以80%就是原價了 算一算得200 有了打折前的售價 那打折前的利潤跟利潤率也就能求了 利潤就是200減100得100 利潤率就是利潤除以成本得100% 好了以上就是打折問題 你除了要理解折扣的含義外 還得能像剛纔那樣利用列表填空法 分析打折前後商品的成本 售價利潤以及利潤率 怎麼樣明白了嗎 如果明白就自個兒動手試試吧 在之前的視頻中 題目要求解的問題都只涉及一種商品 在這個視頻中 我要來講講涉及兩種商品的情況 比如AB兩種商品定價分別爲100和200 樂樂一次性購買了一件A和一件B 商店給他打了9折 仍然獲利80 又知道A的成本是50 要你求B的成本 由於題目中的條件比較多 你得想法子把他們都給捋清楚纔行 那怎麼捋清楚呢 這一簡單 列表就行 題目有啥你就列啥 首先是AB兩種商品 你就把它們數着寫左邊 接着還有定價 件數 折扣 利潤 成本 這些與錢有關的量 你把它們寫上邊 這樣就形成了一張表格 接着你把相應的條件一一填入 比如A的定價100就填這 B的定價200就填這 其他以此類推 咦 好像少了啥 對了 商店獲利80元沒地方填 因爲這是一個總數 表裏沒有 那咱就在AB下方再寫一個總 表示兩種商品相應的總量 於是80就可以填在總利潤的位置了 它就等於AB各自利潤的總和 現在條件全都表格化了 你只要對着這張表格 儘可能多填就行 反正你填出來的越多 已知的就會越多 最後一不小心就把題目給做出來了 你看這是定價 這是折扣 那相乘就是實際售價 哎 表裏貌似沒有售價 咋辦呢 哎 你加一個不就完了 於是A的售價就是90 而B的售價就是200×0.9 得180 接着再求啥呢 你看看還有哪個量沒用 下一步就用上它 哎 A的成本50還沒用呢 那拿售價減去成本就是利潤了 得40元 而下面的總利潤是80 那B的利潤就是80-40得40 再看B 售價180利潤40 那成本減一減就能出來 得140 哎 好像題目要咱求的就是B的成本 哈哈 果然一不小心就把題目做出來了 剛纔這種分析方法就叫做列表分析法 它的好處在於將題目的條件和結論 都表格化了 從而把一個貌似複雜的問題 轉變爲一個填表問題來解決 怎麼樣 明白了嗎 如果明白了 就做題轉進B吧 在這個視頻中 我要來講講平均速度 那啥是平均速度呢 咱來看個具體例子 比如樂樂行駛一段長180的公路 速度始終不變 總共花了60秒 那你只要用180÷60就能求出速度 答案等於3 這就是你之前學過的速度 但如果樂樂騎車比較隨意 有時快 有時慢 甚至停下來撒泡尿 最後也花了60秒 此時你用路程除以時間 也能得到一個速度3 不過這個3就不是實際行駛的速度了 它只是從整體上反映了樂樂行駛的快慢 因此得換個名字 叫平均速度 儘管平均速度和普通速度有所區別 但它倆在算法上是一回事 都是用路程除以時間 剛纔這個求平均速度的例子比較簡單 路程和時間都給了 而有的時候路程和時間沒有直接給 那你就得算一算了 比如還是這段長180公路 樂樂在前一半的行駛速度爲2 後一半的行駛速度爲6 要你求它在整段路上的平均速度 根據公式要求整段的平均速度 只要用整段的路程除以整段的時間即可 路程簡單就是180 至於時間你就得分前後兩段來算了 前一段路程90速度爲2 所花的時間就是90除以2得45 後一段路程還是90速度爲6 所花的時間就是90除以6得15 你把兩者相加就是整段的總時間 再拿總路程180除以這個總時間 就是整段的平均速度 算算等於3 看來對於分段的行程過程而言 你只要把每一段的路程和時間搞清楚 再加到一起 就能得到總的路程和總的時間了 不過關於剛纔這題經常有人會這麼幹 直接拿2加6除以2得速度的平均數4 以爲這就是平均速度了 這種做法大錯特錯 因爲平均速度關鍵不在平均 而在速度 既然是速度 就必須用路程除以時間纔行 你在做題時可千萬注意 剛纔的過程只分了兩段相對簡單 咱再來看個分段多的 樂樂騎車去上學 先走300米上坡速度爲5 再走200米下坡速度爲10 要你求往返一次的平均速度 根據公式 你只要把往返的總路程和總時間算清楚即可 那咱來看看總路程是300加200嗎 錯了 注意是往返 也就是一去一回 那就得把他們分開看 所以路程得是300 200 200 300 這四段的總和 搞定路程 再看時間 時間也得分四段 第一段300米是上坡 時間是300除以5得60 第二段200米是下坡 時間是200除以10得20 第三段還是200米 不過變成上坡了 時間是200除以5得40 第四段則是300 不過變成下坡了 時間是300除以10得30 把他們相加就是總時間了 這裏得提醒你注意 去的時候是上坡 回來就成下坡了 去的時候是下坡 回來就是上坡了 所以來回的過程並不對稱 你要是隻算一個去的時間 然後再乘個二 那你就完蛋了 必須得像剛纔那樣 老老實實算纔對 好了 現在總路程和總時間都有了 那你把兩者相除就是平均速度了 得六又三分之二 以上就是有關平均速度的計算 總的來說就兩點 首先平均速度仍然是速度 一定要用路程除以時間來求 絕對不能算成速度的平均數 其次對於分段的過程而言 平均速度等於總路程除以總時間 而這兩個量都可以通過 把每段過程的路程和時間相加得到 怎麼樣還挺簡單的吧 自己動手做題賺金幣去吧 相遇問題你已經很熟悉了 比如給你一條長200米的馬路 和兩隻速度分別爲一和二的烏龜 讓它倆從兩端同時出發相向而行 直到相遇爲止 讓你求相遇時間 這就是一個典型的相遇問題 不過在這個視頻裏 我沒打算跟你講這麼easy的玩意兒 相反我打算說說 當這裏的一隻烏龜有規律的抽風時 你該如何計算相遇時間 比如抽風的就是它 它先以一的速度前進了兩分鐘 接着突然以二的速度前進了一分鐘 接着又以一的速度前進了兩分鐘 然後又突然以二的速度前進了一分鐘 就這樣一慢一快的交替前進 那從出發到相遇它倆花了幾分鐘呢 估計你一眼就看出來 這其實是一個週期問題 而週期就是一加二得三分鐘 那咱就來看看三分鐘之內 兩隻烏龜接近了多少米 先看前兩分鐘 其中抽風的這隻速度爲一 路程就是一乘二得二 而正常的這隻速度爲二 路程就是二乘二得四 兩者相加就是它倆接近了多少 算算得六米 再看後一分鐘 其中抽風的這隻速度變爲二了 路程就是二乘一得二 而正常的這隻還是二 路程也就是一乘二得二 再把兩者相加 說明它們又接近了二加二得四米 這樣一來三分鐘內 它倆就接近了六加四得十米 有了這個量 你就知道每過一個週期 兩隻烏龜的距離會縮短多少 你拿總路程兩百除以它 就知道需要幾個週期了 算算得二十 這就是兩龜相遇的時間 不過這個答案的單位不對 不是分鐘 你還得根據每個週期三分鐘 把二十個週期乘上三才對 算算得六十分鐘 回顧一下剛纔的過程 你會發覺咱並沒有用到總路程 除以速度和這種相遇問題的基本公式 而是通過分析每個週期內 兩隻烏龜接近的距離 來分析整個相遇過程需要幾個週期 看來這種週期問題的分析方法 纔是解決抽風問題的關鍵 用這個方法 你還可以解決這隻烏龜 抽風抽得更厲害的情形 比如這回它不是速度忽高忽低 而是始終等於一 只不過每前進三分鐘 就會突然後退兩分鐘 然後再前進三分鐘 又退後兩分鐘 那按照這種進三退二的方式抽風 最後又得幾分鐘相遇呢 老規矩 先分析一下一個週期內 現在的週期顯然是三加二得五分鐘了 而在前三分鐘內 抽風的這隻前進的一乘三得三米 正常的這隻前進了三乘二得六米 所以它倆的距離就接近了三加六得九米 而在後兩分鐘內 抽風的這隻後退了一乘二得兩米 正常的這隻前進了二乘二得四米 所以它倆的距離只接近了四減二得兩米 注意 因爲抽風烏龜在後退 所以這裏必須用減 現在前後兩段接近的距離都有了 那加在一起 結果得十一米 就是它倆在一個週期內接近的距離了 要算時間 就得拿總路程兩百除以它 看看是幾個週期 不過你一除就發覺除不盡了 答案是上十八餘二 也就是在經歷了十八個完整的週期後 它倆還剩兩米 那這兩米是怎麼相遇的呢 此時抽風的烏龜處在一個週期的開始 所以是以一的速度前進 而正常的烏龜則以二的速度前進 所以速度和就等於一加二得三 那把二的距離除以速度和三得三分之二 就是剩餘這段相遇的時間了 至於總的相遇時間 還得再加上之前的這十八個整週期纔行 算一算等於九十又三分之二 好了 以上就是如何求解近三退二的相遇問題 總的來說就一點 把每個週期內兩者接近的距離算出來 再除一除 看看需要幾個週期 這類問題就搞定了 怎麼樣明白了嗎 如果明白就自個兒動手試試吧 在這個視頻中 我來講講形成問題中的走走停停問題 比如龜兔在跑全程一千米 兔子每分鐘跑五十米 烏龜每分鐘爬五米 烏龜一直不停的爬 而兔子卻邊跑邊玩 每跑一分鐘就停下來玩二十分鐘 那他倆誰先到終點呢 要想得到答案 就得求出他倆的時間來比一比 烏龜好辦 因爲他一直在爬 所以總時間只要拿全程一千除以速度五即可 算算得兩百 但兔子的時間就要麻煩點了 因爲他跑跑停停 從頭到尾並不連續 但是有一點非常重要 就是他跑的過程不管被分成幾段 總路程始終是一千米 而速度也始終是五十 所以花在跑步上面的總時間也不會變 始終等於總路程除以速度得二十分鐘 有了這個時間 那相應玩的時間就好球了 題目說他每跑一分鐘就要停下來玩一次 那按照每一分鐘後面玩一次的規律 將玩的時間插進去即可 那你能插入幾個玩呢 是不是跑了二十分鐘 就正好插入二十次玩呢 你要是這樣想可就掛了 因爲最後一次跑完就到終點了 所以後面就不用再插入玩的時間了 因此只插了十九次 而根據提議每次都是玩二十分鐘 所以拿二十乘十九就是玩的總時間 算一算得三百八 好了 現在跑格玩的時間都有了 那加一加就是兔子的總時間了 等於四百 現在烏龜和兔子的時間都有了 那比一比 顯然烏龜的時間少 他先到達終點 在上述過程中 最重要的一點就是兔子跑步所要的時間與玩無關 始終等於總路程出於跑步的速度 而在求出跑步所要的時間後 玩的時間只要按規律插入即可 在剛纔的例子中 兔子每次跑步和休息的時間都不變 但如果我把條件改成這樣 兔子先跑一分鐘 停下來玩二十分鐘 又跑兩分鐘 停下來玩二十分鐘 再跑三分鐘 停下來玩二十分鐘 就這樣跑跑停停 那又是誰先到終點呢 顯然烏龜的時間沒變 還是兩百 但兔子的時間變了 不再是四百了 不過兔子的時間也不是全變了 因爲路程沒變 跑步的速度也沒變 所以跑步需要的總時間還是沒變 仍然是二十 只是這回在跑步時間中 插入玩的規律變了 先是一分鐘插一次 再是兩分鐘插一次 然後三分鐘插一次 接着四分鐘插一次 接着五分鐘插一次 接着六分鐘 123456 你加一加 首末配對正好是777 3721已經超過二十分鐘了 多了一分鐘 那最後這一段 只要6-1得五分鐘即可 而剛纔插入的玩的時間 正好是123455次 那根據每次玩都是二十分鐘 把二十乘上五 就是玩的總時間了 算算得一百 有了玩的時間 再加上跑的時間 就是最後的總時間 算算得一百二 現在比較一下歸兔的時間 顯然兔子的時間少了 所以這回是兔子先到終點 以上就是我要講的走走停停問題 這種問題的關鍵是如何將時間 分爲跑步跟玩兩部分來求 對於跑步而言 時間跟玩沒有關係 就等於總路程除以跑步的速度 對於玩而言 時間則取決於如何將玩插入到跑步當中 插入的規律是你要研究的重點 怎麼樣明白了嗎 如果明白的話 就自個兒動手試試吧 那這個視頻中 我接下來講講如何通過比較 利用反比關係 來解決多過程的行程問題 比如樂樂從家騎車去學校 平常只要二十分鐘 但一天由於修路 從家開始的一千米 只能推車步行 步行速度是騎車速度的四分之一 這樣路上一共就花了32分鐘 要你求家到學校的距離 注意途中步行部分和騎車部分速度不同 那你就用不同的線來表示 不難看出途中有倆過程 那你就把這倆過程比較一下 平常路上花二十分鐘 這天花了三十二分鐘 多用了三十二減二十得十二分鐘 那多用的這十二分鐘花在了哪呢 不難看出後面這一段前後兩次一模一樣 路程一樣 速度一樣 時間也一樣 因此這一段時間沒有多用 那多出來的十二分鐘肯定花在前面了 也就是前面這一段 步行比騎車多花了十二分鐘 因爲後面這兩段一模一樣 沒啥可比的 那你就甭看它們了 重點比較前面這兩段有所變化的就行 不難看出這兩段路程相通 所以速度與時間成反比 有條件步行速度是騎車速度的四分之一 那速度比就是一比四 相應的時間比就是四比一 現在時間比和時間差都有了 那你就可以求具體時間了 十二分鐘的時間差所對應的就是 四減一得三分的分數差 那一分就是四 騎車時間恰好是一分就是四分鐘 這說明一千米這一段 如果騎車的話得用四分鐘 而全程騎車得用二十分鐘 是四分鐘的五倍 那全程的長度就得是一千米的五倍 得五千米了 這就是駕到學校的距離 在上述過程中對兩個過程進行比較時 你一定要先去掉一模一樣的 再比較有所變化的 剛纔一模一樣的部分只有一段 但有的時候會有多段 那又該咋辦呢 比如快快從家去學校 前四分之一騎車剩下的乘車 由於騎車和乘車速度不同 那你就用不同的線來表示 從學校回來時 前三分之二乘車剩下的騎車 騎車還是用實線 乘車還是用虛線 結果去的時候比回來少用了兩分鐘 如果告訴你騎車速度200 乘車速度400 那你能求駕到學校的距離嗎 途中有一去一回兩個過程 那你還是先去掉一模一樣的 這兩段都是騎車一模一樣去掉 這兩段都是乘車也一模一樣去掉 那剩下的部分就是有所不同的了 你只要比較這兩段就行 UTE去的時間比回來少兩分鐘 那差的這兩分鐘肯定就差在這了 也就是說在這一段 乘車比騎車少用兩分鐘 由於這兩段路程相通 所以速度與時間成反比 速度比是200比400 也就是1比2 那時間比就是2比1 現在時間比和時間差都有了 那你就可以求具體時間了 時間差兩分鐘 對應的就是分數差一分 那一分就是兩分鐘 騎車時間是兩分 也就是2乘2得4 這就意味着這一段騎車的話得要4分鐘 那這一段佔全程的幾分之幾呢 這也簡單 你只要用騎車的1 3 減去上面的1 4 就是這段的長度了 算一算得1 1 2 也就是全程的1 1 2 如果騎車得要4分鐘 那全程就得要4乘12得48分鐘了 又知道騎車速度是200 那全程就是48乘200得9600 這就是答案 看來當一模一樣的部分不止一段時 你只要把它們都去掉 再比較剩下的就可以了 以上就是我要講的全部內容 其中最重要的就是在比較時 一定要先去掉一模一樣的 再比較有所變化的 怎麼樣明白了嗎 如果明白的話 就自個兒動手做題賺金幣去吧 在這個視頻中 我來講講形成問題中的路程與時間差之間的關係 比如小紅帽去外婆家玩 平時她要走2000米才能到 結果一天在離外婆家500米的地方 她發現後面有大灰狼 於是跑步前進 這樣就比預想的提前了三分鐘 那如果小紅帽從家一開始就跑步 那會提前多少分鐘呢 途中有1233個過程 你在做題時也要像我這樣 把這三個過程都畫清楚 並且走路與跑步用不同的線來表示 第一個從頭到尾都是走的 你就用實線來表示 第二個前面是走的 後面是跑步 那前面就用實線 後面就用虛線 第三個從頭到尾都是跑步 那你就都用虛線 又知道第二個過程比第一個過程提前三分鐘 那你還是先去掉一模一樣的 再比較有所不同的 也就是說在最後這500米上 跑步會比步行提前三分鐘 再來看問題 如果全程都跑步會提前多少分鐘 咱把條件跟問題再明確一下 條件是說 如果跑500米會比步行提前三分鐘 而最後問你 如果跑2000米會比步行提前多少分鐘 這其實不難 跑500米就提前三分鐘 再跑500米就又提前三分鐘 那2000米中包含多少個500米 就會提前多少個三分鐘 那除一除 2000米中包含四個500米 那就提前四個三分鐘 也就是12分鐘 這就是答案 在上述過程中 最重要的就是將跑步過程與走路的過程進行比較 由路程之間的倍數關係 就可以找到時間差的倍數關係 反過來 如果知道時間差的倍數關係 你也可以求出路程的倍數關係 比如這回小紅帽去奶奶家 路程長度不知道 只知道要是在離奶奶家300米的地方開始跑步 就會比走路提前兩分鐘 要是從一開始跑呢 就會提前十分鐘 要你求小紅帽離奶奶家的距離 首先 你還是把跑步的過程與走路的過程進行比較 如果跑300米就會比走路提前兩分鐘 如果全程都跑步 就會比走路提前十分鐘 問你全程是多少 這也不難 跑300米會提前兩分鐘 那再跑300米就又提前兩分鐘 最後提前了十分鐘 那十分鐘包含了多少個兩分鐘 就跑了多少個300米唄 除一除 十分鐘包含五個兩分鐘 因此也就跑了五個300米 等於1500米 這就是答案了 看來通過將跑步過程與走路過程進行比較 你也可以由時間差的倍數關係 得到路程的倍數關係 如果我再告訴你小紅帽走路的速度是60米每分 那你能求出她跑步的速度嗎 這一步呢 要求她跑步的速度 你只要分析她跑步的過程就行 這一段全程都是跑步 比較簡單 咱就分析她 全程是1500 已經知道了 那隻要再知道跑步的時間就能求出跑步的速度了 又知道跑步比走路提前了十分鐘 所以你只要再知道走路的時間 就能求出跑步的時間了 走路的時間好求 用全程除以走路的速度 就是走路的時間 得25 那跑步的時間就是25減10 得15 現在跑步的時間搞定了 那再用全程除以它 就是跑步的速度了 算算得一把 以上就是我要講解的全部內容 其中最重要的就是將跑步過程與走路過程進行比較 得到時間差 如果題目給了時間差的倍數關係 你就可以求出路程的倍數關係 反過來 如果給了路程的倍數關係 你也可以求出時間差的倍數關係 怎麼樣 明白了嗎 如果明白的話 就自個兒動手試試吧 在之前的視頻中 我給你講過流水行船問題 其中有個重要結論 對於兩艘在河水中相向而行的輪船 它們的速度和與水速無關 爲啥會這樣 也很容易理解 順水要用進水速度加水速 逆水要用進水速度減水速 一加一減抵消了 因此速度和與水速無關 就等於兩船的進水速度相加 進一步的 如果你用全程除以速度和求相遇時間 那相遇時間也跟水速無關 因爲不管是全程還是速度和都與水速無關 由此可見 水速改變不了速度和與相遇時間 利用這個原理 咱就可以找到題目中隱藏的不變量 比如甲乙兩艘進水速度都是15米每秒的船 分別從上游AD和下游BD同時出發 相向而行 在途中相遇 一天水流速度比平時快了兩米每秒 於是相遇地點就跟平時差了1200米 要你求AB兩地的距離 這裏有兩次相遇 且第二次水流比第一次快 儘管水速變了 但根據剛纔的分析 相遇的速度和與時間都不會變 也就是說 第一次相遇與第二次相遇所用的時間相同 又由於甲乙兩次行駛的時間都等於相遇時間 所以圖中所示的1234 這四段過程所用的時間都相同 那這個時間是多少呢 要想求出這個時間 光看這兩個相遇過程是沒用的 因爲題目根本就沒告訴你路程和也就是AB的距離是多少 而是要你求出它來 但題目告訴你相遇地點差了1200米 這其實是一個路程差條件 那究竟是誰和誰的路程差呢 其實就是甲在前後兩次相遇過程中的路程差 再把這兩次甲的過程做一個比較吧 你看甲是順流 所以當水流速度提高了兩米每秒後 甲的速度也就增加了兩米每秒 也就是說甲在第二個過程中 每一秒都比之前多走兩米 比如第一秒就多走了兩米 第二秒又多走了兩米 第三秒接着多走兩米 走了幾秒就會多走幾個兩米 現在多走了總共1200米 那1200米是幾個兩米呢 除一除得600個兩米 那時間就是600秒了 這就是一二兩個過程所經歷的時間 我把剛纔這個求時間的過程再給你重複一遍 由於水速提高了兩米每秒 那甲的速度就比平時提高了兩米每秒 也就是說時間每過一秒甲就會多走兩米 甲多走了幾個兩米就意味着甲走了幾秒 因此你只要把多走的1200米路程差 除以兩米每秒的速度差 就等於相應的時間600秒 甲從出發到相遇的時間有了 那你再回過頭來分析一下甲乙相遇的過程 AB全程就能求了 你看時間就是剛纔的600秒 而速度和與水速無關 就等於甲乙兩船的進水速度相加 那兩者相乘就是全程 算算得18000 以上就是我要講的速度和不變的相遇問題 其中最重要的有兩點 首先甲乙兩船的速度和與水速無關 始終等於兩船的進水速度相加 所以相遇時間也與水速無關 其次對於時間相同的兩個過程而言 搞清楚每秒多走了幾米這一速度差 以及總共走了幾米這一路程差 除一除就是相應的時間 怎麼樣明白了嗎 如果明白的話就自個兒動手試試吧 在之前的視頻中咱遇到的問題比較簡單 你直接利用濃度公式就能解決 在這個視頻中 我要講講在原有溶液基礎上添加溶質或溶劑的題目 比如現在有100克糖水 濃度是30% 如果再加入25克糖 要你求加入後糖水的濃度是多少 根據公式要求加糖後糖水的濃度 你只要把加糖後糖和糖水分別算出 再相除就可以了 那咱先來看糖 它有兩部分組成 一部分是原有的糖 一部分是後加入的糖 原有的糖就是100乘30%得30克 後加入的糖就是25克 那現在的糖就是30加25得55克 再來看糖水 是不是還是100沒發生變化呢 你要是這樣想就大錯特錯了 因爲後來的糖水還包括新加入的糖呢 因此糖水就是100加25得125克 現在加糖後的糖跟糖水都有了 那你就可以求糖水的濃度了 用55除以125 結果就是44% 在上述過程中 你只要按照濃度公式 將加糖後的糖跟糖水分別求出 然後再相除即得結果 剛纔加入的是糖 溶脂和溶液都發生了變化 如果加入的是水 那也會咋樣呢 比如現在我把這個條件去掉 換成加入50克水 要你求加水後的濃度 那根據濃度公式 只要把加水後的糖跟糖水算出來即可 還是先看糖 由於加入的是水 糖壓根沒變 因此現在的糖就等於原來的糖 原來糖是30克 那現在糖也是30 再來看糖水 和原來相比 增加了50克的水 因此你只要用原來的糖水加上50 就是現在的糖水 也就是150 現在加水後的糖跟糖水都有了 那你就可以求濃度了 用30除以150 結果就是20% 剛纔的兩個例子 一個告訴你加了多少糖 一個告訴你加了多少水 儘管加的不一樣 但算起來都很簡單 只要嚴格按照濃度公式 把相應的糖跟糖水算清楚即可 但如果不告訴你加了多少糖 或者多少水 而是告訴你加入之後濃度是多少 讓你反過來求加入的糖或水 那你又該咋辦呢 比如我把條件變成加入一部分水後 濃度變爲25% 讓你求加水多少克 根據剛纔的分析 加入水時糖不變 那你就可以利用這個不變量來解決問題 開始的糖是30克 那加水後的糖就還是30 而它恰好對應的就是此時的濃度25% 用它除以25% 得到的就是後來的糖水 也就是120 將後來的糖水與開始比較一下 不難發現增加了20克 那這20克就是後加入的水了 因此答案就是20 在上述過程中 最關鍵的就是抓住糖這個不變量 求出後來的糖水 再用後來的糖水減去開始的糖水 就是加入的水了 以上就是我要講解的全部內容 如果我告訴你加了多少糖或者多少水 要你求加入後的濃度 那你只要按照公式進行求解即可 如果反過來告訴你加水後的濃度 要你求加了多少水 那你就得精進抓牢 溶製糖這個不變量進行求解了 怎麼樣明白了嗎 如果明白的話就自個兒動手試試吧 在上個視頻中 我講的溶液中添加溶質或溶劑的問題 在這個視頻中 我再來講講溶液中減少溶質或溶劑的問題 比如現在有120克糖水 濃度爲30% 放了一段時間後水分蒸發了20克 求蒸發後的濃度 根據公式要求蒸發後的濃度 你只要把蒸發後的糖跟糖水分別求出 再將兩者相除即可 先來看糖 它一直沒變 始終是120乘30% 也就是36克 再看糖水 水分蒸發了20克 那糖水就減少了20克 蒸發後的糖水就是120-20得100克 現在蒸發後的糖跟糖水都有了 那你就可以求濃度了 除出來的結果就是36% 減少溶劑你會了 咱再看看減少溶質的 比如現在有一瓶200克的酒精 濃度爲75% 對它進行蒸餾 蒸餾出100克純酒精 讓你求蒸餾後酒精溶液的濃度 根據公式要求蒸餾後的濃度 你只要把蒸餾後的純酒精和酒精溶液分別求出 再將兩者相除即可 先來看純酒精 開始含的就是200×75%得150 蒸餾出100克 那現在就是150-100剩下50 再來看酒精溶液 純酒精蒸發了100克 那酒精溶液也就減少了100克 因此蒸餾後的就是200-100得100 現在蒸餾後的純酒精跟酒精溶液都有了 那你就可以除一除求濃度了 計算的結果爲50% 在上述過程中 無論是減少溶劑還是減少溶質 你都只要套用公式就能解決 不過有的時候直接套公式就不好使了 你還得抓住不變量來解決問題纔行 比如樂樂買了200克蘑菇 含水率爲97% 晾曬一會兒後 含水率變爲95% 讓你求晾曬後蘑菇是多少克 這回題裏邊沒有提到濃度 而說的是含水率 那含水率又是個啥東東呢 比如這有一堆蘑菇 晾曬一段時間後 水就全都蒸發了 剩下的只有乾貨 那原來的蘑菇就是由水和乾貨這兩部分組成的 畫成方塊圖就是這樣 至於含水率則是指這部分水佔總體的百分之幾 比方說水有90克乾貨有10克 那總量就是10加90得100克 其中水佔了總量的90除以100 得90% 這就是含水率 回到題目 你也可以把已知條件畫成方塊圖 原來的蘑菇分成水和乾貨兩部分就是這樣 晾曬一段時間後水分蒸發了 蒸發了多少不知道 但乾貨始終沒變 是一個不變量 但就可以抓住它來解決問題 一開始乾貨佔了全部蘑菇的1減97% 也就是3% 那總量200乘3%就是乾貨的量了 也就是6克 而晾曬後乾貨沒變 還是6克 只不過佔的百分比變了 變成1減95%得5% 那這6克乾貨現在對應的分率就是5%了 要求現在的總量 你只要拿6除以現在的分率5%就行 算算得120 這就是現在的蘑菇總量 在解決含水率相關的問題時 你首先要利用方塊圖 把蘑菇分成水和乾貨兩部分 從而明確啥是含水率 其次 你還得抓住晾曬過程中乾貨不變這點來解決問題 以上就是這個視頻的全部內容 它跟添加溶脂和溶劑的問題差不多 都是要麼套用公式 要麼抓不變量 所以你只要用這倆法子試着去做就行 怎麼樣明白了嗎 如果明白就自個兒動手試試吧 在這個視頻中 我要來講講簡單的溶液混合問題 比如這裏有兩杯糖水 濃度都是20% 把它倆混在一起 問你混合後濃度是多少 這也簡單 原來濃度都是20% 那混合之後還得是20%倍 濃度相同的混合問題巨簡單 咱還是來看看濃度不同的情況吧 比如我把其中一杯改成濃度爲40% 再把它倆混合 那濃度可能是以下三個中的哪個呢 由於混合時 濃度低的被拉高 濃度高的被拉低 因此混合後的濃度一定介於原來倆溶液之間 這樣一來就只有這個可能了 其他倆一個比20%還低 一個比40%還高 都不可能 混合後的濃度介於原來倆溶液之間這點你明白了 那如果要求具體濃度是多少 又該咋辦呢 這也簡單 只要再告訴你倆溶液具體有多重 你就能求出混合後的濃度了 比如這兩杯糖水都是200克 濃度分別爲20%和40% 讓你求混合後的濃度是幾 這也不難 根據濃度公式 你只要將混合後的糖跟糖水分別求出 再將兩者相除就可以了 由於混合前後 糖的總量沒有絲毫變化 因此混合後糖的總量就等於混合前糖的總量 同樣糖水的總量也沒有變化 混合後的糖水就等於混合前的糖水 因此你只要把混合前的糖跟糖水分別求出 那混合後的自然也就有了 先看糖吧 左邊這杯含糖200×20%的40克 右邊這杯含糖200×40%的80克 兩者相加總量就是120 再看糖水 同樣把左右溶液相加 結果就是混合後的溶液總量 算算得400 現在糖跟糖水都有了 那你將兩者相除就是濃度了 結果得30% 在上述過程中 由於混合前後糖跟糖水總量不變 因此你只要將混合前兩杯溶液各自的糖跟糖水搞清楚 就可以相加得到混合後糖跟糖水的總量了 現在混合後的具體濃度30%已經求出 如果你把它跟混合前的濃度比較一下 就會發覺它恰好是20%和40%的平均數 那是不是所有溶液混合問題 濃度都是平均數呢 這可未必 要想濃度恰好是平均數 有一個重要前提 就是倆溶液得一般種 如果不是一般種 那結果就還得跟剛纔那樣老老實實算 比如這兩杯糖水分別爲100和900 你就得老老實實算濃度 根據混合前後糖跟糖水總量沒變 你只要求出混合前的糖跟糖水就可以了 其中糖的總量就是100×20% 加上900×40% 算算得380 而糖水的總量就是100加900 結果是1000 兩者相除就是濃度38% 你看這回就不是平均數了吧 而是一個跟40%更加接近的數 其實這點也不難理解 因爲40%的溶液比較多起的作用比較大 那混合後的濃度自然更接近於它 以上就是簡單溶液混合問題 其中最重要的就是如何求混合後的濃度 由於混合後溶質總量與溶液總量跟混合前相同 因此你只要把混合前相應的總量算清楚 就可以了 怎麼樣不難吧 那就自個兒動手做題賺金幣吧 在上個視頻中 我講的溶液混合問題比較簡單 由於混合前兩種溶液的濃度和重量都知道 要你求混合後的濃度 只要按照濃度計算公式 老老實實求解就行 不過有的時候題目會反過來 告訴你混合後的濃度 要你求混合前某種溶液的濃度或重量 那又該咋辦呢 比如甲瓶裝了200克30%的硫酸溶液 乙瓶的濃度則爲50% 把它們混合後濃度變爲45% 讓你求乙溶液有多少克 對於這類問題 我可以教你一個簡單實用的方法 十字交叉法 這個方法分爲三步 第一步叫照抄 就是將混合前兩種溶液的濃度數着寫在左邊 然後把混合後的濃度寫在它倆右側的中間 接着是第二步 畫十字交叉 像這樣畫出十字交叉線 然後把同一直線上的倆濃度求差 像它倆的差爲15%就填這 它倆的差爲5%就填這 最後是第三步 求出重量比 5%比上15%等於1比3 那原來兩瓶溶液的重量比也就是1比3 也就是假溶液的重量爲一份 乙溶液的重量爲三份 怎麼樣是不是很神奇 我再給你重複一遍 先把混合前的濃度以及混合後的濃度分別寫成這樣 然後再畫出十字求出同一直線上的濃度差 最後再把這兩個差做比 所得的結果就是原來溶液的重量比 通過十字交叉法 你可以利用混合前後各溶液濃度的大小 算出混合前兩溶液的重量比 由這個重量比 你就很容易算出題目的答案了 因爲假是200克 正好是一份 那乙三份自然就是三乘200的600了 問題搞定 剛纔是乙之濃度求重量比 那如果告訴你重量比 你能反過來求濃度嗎 比如現在告訴你乙的重量是100 但它的濃度未知 如果其他條件不變 你能求出乙的濃度嗎 由於乙的濃度未知 所以這裏的濃度差也就不知道了 因此你就沒法利用濃度差做比了 不過由於這次給了乙的重量 你可以直接把重量比給求出來 得2比1 那濃度差的比也就是2比1了 不難看出 這裏就是15%的兩倍 30% 有了這個濃度差 當然就可以搞定乙的濃度了 那誰和45%的差是30%呢 是15%嗎 還是75% 如果是15% 那混合後的濃度 就比混合前的濃度都高了 這咋可能啊 如果是75% 那混合後的濃度就能介於它倆之間了 所以就只有這個答案是對的了 以上就是溶液混合中的十字交叉法 你只要將混合前後各溶液濃度的數值 像這樣先化成十字 再求差做比 就可以求出混合前 倆溶液的重量比 怎麼樣還挺簡單的吧 如果明白了 就自個兒動手試試吧 在上個視頻中 我講了溶液混合中的十字交叉法 在這個視頻中 我接着利用這個方法來解決相關問題 比如現在有200克濃度10%的糖水 加入等量的糖和水後 濃度變爲40% 要你求加入的糖和水共有多少克 題目中說加入等量的糖和水 由於加入的順序並不重要 因此你可以將加入的糖跟水先混合 再將混合後的糖水倒入溶液中 這樣題目就變成兩種溶液混合的問題了 由於糖跟水等量 那糖就佔了總量的一半 因此這杯糖水的濃度就是50% 現在溶液濃度都有了 那你就可以用十字交叉法求重量比了 第一步照抄 先將混合前後的濃度分別寫到相應的位置 第二步畫十字求差 它倆的濃度差就是10% 它倆的濃度差就是30% 第三步求重量比 忽然看出濃度差的比是1比3 那兩種溶液的重量比也就是1比3 其中一份對應200 那三份就是600 這就是加入的糖水總量 在上述過程中 最關鍵的就是把加入的糖和水先混合成糖水 這樣題目就變成兩種溶液混合的問題了 不過有的時候 你還會遇到多種溶液混合的情況 那又咋辦呢 比如現在將300克濃度爲50%的假糖水 與一杯重量未知 濃度爲10%的乙糖水混合 接着再加入300克濃度30%的餅糖水 最終濃度爲28% 要你求乙糖水有多少克 這就是一到三種溶液混合的問題 一般情況下 你按照條件的混合順序一次分析就行 先看假乙混合 由於混合後濃度未知 那十字交叉法就失效了 又由於乙的重量未知 那你也沒法直接利用濃度公式求混合後的濃度 看來先混合它倆 你啥都得不到 這可咋辦呢 其實題目最終只是把三種溶液混在一起而已 至於混合的順序嘛 其實無所謂 不管是像條件那樣 先混合假乙再加入餅 還是換個順序 先混合假餅再加入乙 結果都是假乙餅混在一起 既然怎麼混都一樣 那你就換個好算點的順序唄 不過把誰跟誰先混合好算呢 顯然假餅混合比較好算 因爲它倆的重量和濃度都知道 假是300克 餅也是300克 重量相等 那混合後的濃度就是它倆的平均數了 算算得40% 至於重量就是300加300等於600 接下來在於乙混合 由於濃度都知道 那你就可以用十字交叉求重量比了 第一步照抄 將混合前後的濃度分別寫到相應位置 第二步 畫十字求差 它倆的濃度差是18% 它倆的濃度差則是12% 第三步求重量比 18比12 結果就是3比2 那前面的重量比也就是3比2了 其中三份對應的是600 那兩份就是600除以3再稱2 算算得400 至此問題解決 在上述過程中 最關鍵的一點在於 你隨意調整溶液的混合順序 結果都不會改變 因此你只要找到一個好算的順序就行 以上就是需要調整順序的溶液混合問題 這類問題如果死板的按照條件的混合順序進行求解 根本就算不動 因此你需要根據已知條件自行調整 如果是在已知溶液中加入糖和水 那你就可以把它倆先混合 再加入原來的溶液 如果是多種溶液進行混合 那你就先混合已知條件比較多的 怎麼樣明白了嗎 如果明白的話 就自個兒動手試試吧 在接下來的幾個視頻中 我要來講講經濟問題 那啥是經濟問題呢 簡單的說和買賣東西有關的問題就是經濟問題 比如大毛以10元的價格買進一斤蘋果 又以11元的價格賣出 這一買一賣就是經濟問題 其中進貨的10元錢叫做成本 售出的11元錢叫做售價 而售價比成本多了一元錢 說明大毛一買一賣賺了一元錢 這賺的錢就叫做利潤 不難看出利潤就等於售價減去成本 將這個公式稍加變形 你就能得到售價成本利潤之間的另一套關係 售價等於成本加利潤 比如二毛花了一萬元買了臺蘋果電腦 他想把這臺電腦賣掉 並且跟大毛一樣也賺一元錢 那他能賣多少錢呢 這也簡單 用成本一萬加上利潤一元就是售價了 即一萬零一元 由此可見 售價其實是由成本和利潤這兩部分所構成的 現在咱把大毛和二毛比較一下 大毛買賣的是蘋果賣金賺一元 二毛買賣的是蘋果電腦賣一臺賺一元 看到這你可能覺得二毛太弱了 用一萬元錢才能賺到一元錢 大毛就比較厲害了 用十元錢就能賺到一元錢 那怎麼表示賺錢能力的大小呢 這就得引入利潤率的概念了 所謂利潤率就是利潤佔成本的百分比 形成公式就是利潤除以成本所得的百分數 比如大毛 他的利潤率就是利潤一元除以成本十元 算一算得10% 至於二毛 他的利潤率就是利潤一元除以成本一萬 算一算得0.01% 看來二毛的利潤率確實少的可憐 由於利潤率都得形成百分數 因此跟濃度公式類似 利潤率的計算公式也得乘上百分之百 不過你千萬不能因爲利潤率跟濃度的計算公式 看起來有點像 就以爲他倆差不多 其實他倆差別大的去了 濃度無論如何都不會超過百分之百 因爲他所表示的是溶質這個部分佔溶液整體的分率 部分就算再大也不可能大過整體 因此分率也不可能超過百分之百 但利潤率就不一樣了 輕輕鬆鬆就能超過百分之百 比如一件羽絨服成本80 你賣800 那減一點就是利潤得720 相應的利潤率就是720除以80得900% 這就遠遠超過百分之百了 那利潤率爲何能如此之高呢 原因很簡單 利潤率是利潤佔成本的百分比 而利潤和成本都是部分量 利潤這個部分超過成本 這個部分完全沒有問題 因此利潤率就可以很大很大了 剛纔都是已知利潤求利潤率 那如果反過來已知利潤率 你能不能求出利潤呢 比如一臺空調的成本是2000元 利潤率爲30% 讓你求利潤 根據利潤率的定義所謂利潤率30%就是利潤佔成本的30% 那你只要用成本乘上30%就得利潤了 也就是2000乘30%算一算得600 以上就是有關利潤和利潤率的簡單計算 總的來說有三點 首先你得明白所謂利潤就是成本與售價的差 而售價也可以看作由成本加利潤所構成 其次你得會求利潤率 也就是利潤除以成本所得的百分數 最後你還得會用成本乘上利潤率求利潤 怎麼樣不難吧 自個兒動手賺金幣吧 在上個視頻中 我給你講了啥是利潤和利潤率 在這個視頻裏 我再給你講一個新的概念 價格倍數 那啥是價格倍數呢 比方說大貓進了一批西瓜 成本花了100元 如果他200元賣掉 也就是售價200 那售價就是成本的兩倍 這個倍數就是所謂的價格倍數 說白了 售價是成本的幾倍 價格倍數就是幾 比方說成本爲100 最後賣了250 那價格倍數就是250除以100得2.5 如果成本還是100 最後賣的也是100 那價格倍數就是100除以100等於1 如果最後賣的只有80不到100 那價格倍數就是80除以100得0.8 看來當成本一定時價格倍數越低 賺的錢就越少 如果價格倍數等於1 正好不賺不賠 如果價格倍數小於1 那就虧了 剛纔我通過成本和售價跟你解釋了什麼是價格倍數 其實如果你只知道利潤率 不知道具體的成本和售價 一樣可以求價格倍數 比如銷售一件商品 利潤率是25% 如果把成本看作一份 利潤就是一成利潤率得0.25 而售價則是成本與利潤的合得1.25 因此售價就是成本的1.25倍 那價格倍數就是1.25了 發現沒價格倍數其實就是成本的份數1加上利潤率 寫成公式就是這樣 以後凡是看到利潤率 你只要拿1加上它 所得的就是價格倍數了 比如你600元的成本買入一批商品 最後以50%的利潤率賣掉 要你求售價 你就可以用價格倍數這麼來求 利潤率爲50% 那把1加上它就是價格倍數得1.5 這說明售價是成本的1.5倍 也就是說售價等於成本乘1.5 那答案就是900了 剛纔是通過成本算售價 其實你也可以通過售價算成本 比如利潤率不變 但這回600是售價 要你反過來算成本 那由價格倍數1.5可知 售價600就是成本的1.5倍 所以成本就是600除以1.5得400元 這就是答案 現在你已經算出了成本和售價 其實立馬可以進一步做差求出利潤了 算算就是200 以上都是賺錢的情形 如果最後買賣是虧錢 那通過虧損率和價格倍數 你同樣可以算出虧了多少 比如你以280的價格賣掉一批商品 虧損率爲30% 你能算出虧了多少錢嗎 現在成本還是一份 但價格倍數就不能一加 而得是一減虧損率了 也就是一減30%得0.7 這說明售價是成本的0.7倍 那把售價280除以0.7 就是相應的成本了 算算得400 看來400的成本只賣了280 少賣了400減280得120 這就是虧了的錢 以上就是我要講的全部內容 其中最重要的就是怎樣由利潤率或虧損率 算出售價與成本之間的倍數關係 也就是價格倍數 而算法也很簡單 你只要用1加上利潤率或者減去虧損率 就能得到售價是成本的幾倍了 我再說一遍 你只要用1加上利潤率或者減去虧損率 就能得到售價是成本的幾倍了 怎麼樣明白了嗎 如果明白的話就自己動手試試吧