科學技術史 【日常研究】擺爛小能手掀起的數學問題

多年以前,我還在上高中的時候,長期受到一個叫英語週報的東西支配。 臨近高考時,這玩意兒更是出了好幾期高大上的高考複習專欄,專門理語法。 哇,我從小對語法就沒什麼見識,能活那麼大全靠我強大的語感。 他既然要理語法,就會出一些高考裏壓根不存在的題型。 我們知道高考全國卷題型是聽力、閱讀、七選五、玩型、語法填空、改錯、作文這些東西。 但是英語週報裏就能出現選詞填空,就是十個單詞往十個空裏填,形態還要變。 我當時哪見過這種題,只覺得正經考試哪會有這種題啊。 考過四六級的人先別發言,當時我做到這個題型,就經常玩字戲找前桌女生要答案,屢屢全對。 後來我覺得這樣不妥,抄答案還要麻煩別人。 而且我發現,高考後期,爲了節約時間給正經去辦公室問問題的孩子答疑解惑,老師說上去,只是看一下做沒做,不會批改。 那這個屁題我爲什麼不直接瞎寫呢? 就在我洗心革面,重新做人,開始瞎寫之後,每兩天,全班發下來的報紙上突然出現了批改痕跡。 所以今天我們就來一起討論一道數學題。 選詞填空有十個備選詞和十個空。 忽略詞型轉換,隨機將十個單詞填進十個空中,設答對題數爲X,求X的分佈列和數學期望。 考慮到還有沒上高中的觀衆,我解釋一下這兩個詞在這裏的意思。 分佈列,就是列個表,寫一下對多少題的各種情況對應的概率。 數學期望是實驗中每次可能結果的概率乘以其結果的總和,就是你猜瞎寫能拿多少分。 這道題的牛馬之處在於,初中生看到這麼短的題可能會有一種我上我也行的錯覺。 但是大學生自己做了會發現,這道題是真的做不出來。 因爲它所需要的至關重要的一個公式,不存在於絕大多數人高中到大學的課本里。 那我們就來試一試吧。 先考慮一下X有什麼情況啊。 有題目,顯而易見,正確題數可以是10,8,7,6,5,4,3,2,1,0。 誒,9去哪裏了? 啊,誰知道選詞填空題能對9啊,那題怎麼錯出來的,時空鎖敵嗎? 從簡單的開始算。 概率無非是可能出現的情形除以總情形。 每種情況的總情形都是一樣的。 爲了方便大家一目瞭然,本視頻接下來的部分我就不約分了。 填第一個空的時候有10種可能性,定好第一個後,第二個空有9種可能性。 以此類推,從10乘到1,這個就是10的階層。 全對的出現情形只有一種,所以它的概率爲3628800分之1。 約等於從人類新石器時代到今天隨機選一天正好是你生日的概率。 對8個稍微複雜了一些。 考慮它的所有情況,得先考慮我們有多少種從10個裏面選出兩個錯的情況。 我們挑哪兩道題來錯上一錯呢? 一個簡單的高中知識choose組合數公式。 C,10,2就是從10個裏choose兩個,算出來是45種情況。 那每種情況裏這兩個是怎麼錯的呢? 你還想怎麼錯,只有一種情況,兩天反了。 算出來概率大多了,從抽一天變成抽一個月了。 對7個用同樣的方法,C,13,算出來120個。 那每種情況裏這三個是怎麼錯的呢? 這個就要麻煩一點,可能是這樣錯的,也有可能是這樣錯的。 除這兩種之外就找不到其他錯法了。 你們可別試着試着給不小心試對了。 接下來的情況即將開始抄各位大學階段的綱了。 我們注意到每個概率的計算公式,分子都是C,10,10-x。 乘上這個10-x能有多少種全部排錯的數量? 後面這個我們從來沒有學過啊。 數學史上開了掛的那位大人,萊恩哈德·歐拉輕鬆解決了這個問題。 當年丹尼亞·伯努利提出了一個問題。 一個人寫了矮音和不同的姓,裝到矮音和不同的姓封裏, 問全部裝錯的裝法一共有多少種? 這個問題在歐拉一輩子插穿的所有數學問題裏簡直不值一提。 他用容斥原理證明出了計算公式長這樣, 這是sigma求和符號,等於這樣。 這個問題被稱爲全錯位排列, 數學系專業教材裏有類似的更有意思的其他眼神題目。 好,有了這個工具,我們可以繼續算了。 對6個和對5個。 算到現在還沒有概率到1%的效能。 後5個咱們把全錯位排列的計算過程也寫出來。 沒什麼原因,就是這玩意兒我當年是在高三晚期習的時候手算的。 大家感受一下高中生不學習能做出多無聊的事兒。 這是對兩個和對一個的概率,是不是概率明顯就高起來了? 全錯的概率太有意思了, 對一個和全錯的概率之間就差了個全對的概率。 我第一次手算到這裏之後, 發現前述所有概率加起來不等於1。 哼哼,差點死在晚自習的課堂上。 終於驗算沒問題了,我們可以寫出分佈列了。 做成條形圖是這樣,做成扇形圖是這樣。 我們能從扇形圖裏發現什麼呢? 全錯和只對一個的概率幾乎一樣。 並且這兩個加起來的概率高達73.58%。 如果對到五個,也就是一半及以上, 那已經打敗了99.63%的人。 操啊,這次是真的打敗了。 看看這幾乎消失的四捨五入都會被舍掉的扇區。 真的有人願意把陽壽浪費在選絲填空對一半這件事情上嗎? 現在我們來看本節最後一個問題,數學期望。 這段我是拿計算器算的。 一乘十加四十五乘八加兩百四乘七加一千八百九乘六加一萬一千零八十八乘五加五萬五千六百五乘四加二十二萬兩千四百八乘三加六十六萬七千四百八十五乘二加一百三十三萬四千九百六乘一除以三百六十二萬八千八,等於一。 有一種自己被耍了的感覺。 後來又考算了一下當題目數爲兩個,三個,四個時候的情況, 發現數學期望值都是一。 當時我覺得有沒有一種可能,隨機將一個單詞填進一個空中,最後數學期望永遠都是一。 但是當時因爲考前時間緊迫,沒有花功夫去證這道題。 如今刷了一下許多年過去了,在高考剛結束的這個月, 我和目前在新加坡國立大學數學系讀研的Siri同學談到這道題。 她讓我稍等。 我等了一小時之後,她發來了這個玩意兒。 哦不,好像也沒有那麼恐慌。 證明過程還是能看得懂的。 她用可以拿來投國外期刊的嚴謹敘述和排版,把這道題重新表述了一遍。 這是第一頁主要乾的事。 第二頁是規範表達這個視頻前幾分鐘所討論的問題, 比如十七時代抽一天,不可能對九個, 以及除了這兩種情況以外所有概率的表達式。 順便提了一下,大學就不用c几几來代表組合數了, 而是用這個括號,代表從n個裏取k個的數量。 第三頁就是開始證明對於所有正正數題目量, 瞎寫的期望都是1。 這裏我們科普一個小小知識點,叫做數學歸納法。 就是如果一個規律對特定的n是正確的話, 你只要想辦法嚴格證明它對n加1也是正確的, 那之後n加2肯定也是正確的。 因爲n和n加1之間的關係, 與n加1和n加2的關係是完全等價的。 腦海裏稍微想象一下就知道, 它會像多米諾骨牌一樣, 加1加1無限傳導到正無窮殺傳銀河系。 咱們先把數學期望算好, 得到的是這個視頻, 看看這個可愛的小東西。 我們把裏面的n全部換成n加1, 開始本節視頻最硬核的操作。 這裏的前兩步牽涉到雙重求核的簡化, 核心目的就是重新召喚出之前那個可愛的小東西, 以便於用1來代換這個複雜項, 代換成功。 第四步把人畜無害的前幾項加在一起, 只需要一個簡單的通風。 第五步我們發現k-1非常難看, 直接用t來代換k-1, 容易發現第五步的式子很像高中組合數的計算式, 美中不足的就是經過這些變形, 那我們就讓它簡潔一點, 無非三個求核項的事, 我們對其單獨記賬, 這樣一來求核式更簡潔。 最後一個難關就是, 把這個求核式變成一個正常的人。 神奇的操作出現了, 在組合數公式中, int t和int n-t是相等的, 也就是說10個裏取2個和取8個是對稱的, 這樣的對稱結構寫出來會變成什麼樣呢? 會變成一個陽輝三角啊, 再加上這個隨機有變化的正負性, 每一行相加會全部消失, 最後我們眼前只剩下普通項, 它們加在一起的結果就是1。 所以,對於除0以外的全體自然數, 數學期望爲1這件事很成立。 通過上述運算與證明, 我們知道了選詞填空這種題目, 想隨機寫, 寫對超過一半幾乎是不可能的, 並且實際數學期望不會隨着題目的多少發生變化。 最後再強調一下, 本視頻無任何關於學生黨做作業抄答案和瞎寫的不良引導, 如有巧合,那隻能祝大家悶得全對。