數學史 【數學史】解析幾何以及微分積分的誕生

曲線圍城的圖形面積 它本來就不是人類能解決的事兒 只不過人類在極早期 被圓這種人畜無害的曲邊圖形 矇蔽了雙眼 啊覺得自己牛逼死了 好像算曲邊圖形的面積和周長 也不是很難嘛 這種感覺就是啊 玩RPG遊戲 你在青手村剛撿到一把劍 為了試試手 上來就把旁邊的長老給捅死了 然後還感覺自己的輸出老高了 圓之所以那麼好欺負 是因為太好描述了 到定點距離等於定長的所有點的集合 而且其實本質上而言 世界上所有的圓都是相似形 人類唯一要在乎的 其實只是這個相似比 到底是多少而已 這個π 其實就藏著人類早期分析學的 一個重大陶科妙招 在講陶科大法之前 我們先講一下什麼叫分析 普林斯頓數學指南第一卷告訴我們 如果一個數學分支涉及極限過程 它就屬於分析 如果只需要有限個步驟就能得到答案 它就屬於代數 雖然他自己也說這種劃分比較粗略 但是這確實直白的講清楚了兩邊的差異 我們回來看π 它在幾千年的數學裏 劃分一直和其他數截然不同 曼氏在上個星期的這一期視頻裏 也談到了π這個東西到底有多麼的變態 沒人能明確的說π到底等於幾 用有限的分數和根號都不行 其實這早早就暗示了π不是一個代數數 而是一個超越數 超越數的概念提出比較晚 他的意思是這個數不可能成為 有理系數多項式方程的根 因歐拉的 他們超越代數方法所及的範圍之外 而得名 老師上課的時候 可能提過三大尺規作圖不可解問題 其中有個化圓為方 其實就是因為π是不可能融入 純粹有理系數方程的 行了 代數解決不了π到底是多少的問題 那我們必須要上點分析的手段 也就是上文說的引入極限過程 這就要提到所有講中國科技史的 舒黎 不可能跳過去的一項經典成果了 劉徽的割元素 他把一個元無限割下去 割之謎細 所是謎少 割之又割 以至於不可割 則與元合體 算是歷史上最早的那批 敢於涉足分析這個恐怖領域的人類 現在回到上一期結尾 大家看著這個恐怖的沃爾班大炮 非常想知道 這個炮彈運動軌跡怎麼預測 以及同樣的炮怎麼打最遠 這個需求直接導致了 彈道學的出現 所以後來的許多從炮兵學校 畢業的歷史書上的大佬 數學水平都堪比如今的高中生 對炮物線和分析學的重視 也相當程度上歸功於這一需求 但是那幫覺醒的數學家搞著搞著 突然從擺爛人變成了卷王 一下子把分析學卷的 連媽都不認識了 那群打仗的人說 我們只是想知道炮能打多遠 你們發明這個迪卡爾新型外擺線 是要搞毛啊 講真 沒有迪卡爾的話 人類還真邁不出 求曲邊圖形面積的第一步 其實就迪卡爾發明平面直角 坐標系這某個事 不知道大家初一學到這玩意的時候 有沒有一個感覺 那就是 這麼重要且顯而易見的一個玩意 竟然被人類活活拖到17世紀才發明 17世紀已經很晚了 各種常見的方程在此之前 已經研究的挺透了 平面直角坐標系的提出 和伽利略這名炮體運動師 炮物線幾乎是同一年 在此之前 你要對這種彎彎曲曲的幾何學進行研究 需要極為高超的智商 就像歐基裏德純靠公理和作圖印證 這些東西 還有阿波羅尼奧斯純靠空間思維 想出圓錐曲線的各種性質 這些簡直都是地獄難度 但是迪卡爾一把這些東西 放到一個方方正正的坐標系裏 之前需要變態頭腦的東西 一下變得異常簡單 經常參加高考的同學 應該對此深有體會 高考數學立體幾何能見細作的 都是送分題 不能見細作的都會變成五三里的立體 坐標系這個新框架既然出來了 那剩下的工作就很明確了 把歷史上各種亂七八糟的東西 全部放到這個框架裏跑一遍 這個東西從此被叫做解析幾何 一般我們把解析幾何誕生的時間 視為1637年迪卡爾出版幾何學 但是這個事情 其實在這之前就已經有人在做了 為解析幾何的創立做出突出貢獻的 其實有兩個人 除了迪卡爾還有個費馬 而且費馬幹這個事其實更早一點 當時費馬在啃幾何原本里的那些 難題的時候 就有了數型結合的想法 也在迪卡爾出版幾何學之前 就發表了一篇 和迪卡爾想幹的事極為相似的論文 平面和立體軌跡引論 迪卡爾看到之後 那是又生氣又恐慌 我被刨活了 怎麼辦被刨活了 但是費馬並沒有成功搶到 解析幾何之父這個名頭 兩個原因 首先是他確實幹了很多事 但是他沒有正式提出 平面直角坐標系這個東西 另一個原因就是 費馬有一個特別賤的毛病 他自己的很多數學發現 經常只說猜想和結論 他經常說自己 我已經證出來了 但我不想寫 來挑逗他的通信夥伴 當時作為法國數學界書記員的梅森 就是梅森素書那個梅森 在收到費馬的手稿之後 經常崩潰的跟費馬說 你怎麼老是寫的這麼簡略 很顯然 費馬和蒂卡爾 當時在建立方程和幾何曲線之間 聯系的這項工作上 都非常得心應手 而當時很多其他的數學家 一起湧入這個新領域之後 更是在極短的時間內 就完成了各種經典方程的幾何化 以及各種經典幾何形狀的數學化 蒂卡爾還順手提出了 方程的根與圖像的關系 也就是一個方程的根 就是它的圖像和X軸的交點 算是把我們把初中 剛學最標系的時候的基礎概念 給確認下來了 好的 現在留給各位數學家發育的時間 基本上結束了 請開始嘗試解決我們上一期的問題吧 來 大家把草稿紙拿出來 找個人上黑板寫 這時候就要看費馬開始表演了 在看錶演之前 先插一句題外話 數學的符號和定義的出現順序 往往和某些原理的發現是反著來的 比如高中數學書 然後你們就會發現 這三個玩意兒在人類歷史上出現的 時間竟然他媽完全是反過來的 所以如果某些證明過程 完全用那個人當時用的舊符號系統 寫的話 本來就難看的東西會變得更看不懂了 所以接下來我們會提到的 函數和求和符號 你們只要知道這倆東西現在還沒有 是下下期的人物提出的 就可以了 這個符號的意思是 自變量為x的一個對應計算結果 初中階段同學可以先湊合把它當成y 比如fx等於x平方加1 意思就是y等於x平方加1 然後這個求和符號的意思是 從x等於1開始 一直加到x等於i的結果 舉個例子 寫成這樣的話 意思就是 從1的平方開始一直加到5的平方 好了題外話說完了 我們繼續看費馬操作 在解決面積問題之前 費馬首先解決的是直線切線問題 有那幫炮兵們能聽懂的話就是 這個炮彈在擊中目標前的 順時速的方向是朝哪的 費馬設想了一個無窮小量e 就是在y等於k乘以x的p次方 這種一般性的曲線裏 咱們隨便找個點 坐標是xk乘以x的b次方 然後往右邊挪好小好小好小一點 那新坐標就應該是這個 這倆點的斜率就是 縱坐標之差除以橫坐標之差 橫坐標之差好說 就是e 縱坐標得算一下 這玩意根據二項式定理 嘩一下展開沒有這麼多項 哎別急著走 別看好像有無窮多項感覺完蛋了 其實只有前兩項需要考慮 為什麼呢 因為第三項開始 後面的部分除以e之後 是不是裏面還有個e啊 可是我們剛剛說了e是無窮小的 所以只要e消不掉的全都不用管了 現在這個斜率可以化解成這樣 展開括號繼續化解 前後兩項消掉 分子分母約掉e 好了 這就是曲線在某一點的斜率表達式 後勢將這一過程稱為球導 費馬也因此成為了威風思想的線區 解決完切線問題 接下來費馬開始解決面積問題了 面積處理起來就比斜率要困難了 咱們看啊 算斜率的時候雖然引入無窮小了 但是好像切完了直接問題就解決了 對吧 算面積的話 你切完還得拼起來 這拼個毛啊 我平均切成1萬份了 再乘以1萬的面積不是1嗎 所以這裡的切法就有講究了 費馬把這下面的面積切成了無數個 越來越窄的數條 這些切割點分別位於a2分之a 2平方分之a 2立方分之a a大於1 但是無限趨近1 他這樣做是為了之後求和方便 因為費馬有長期和等比數列 打交道的經歷 好來看看每個矩形有多寬 最大的這個寬度等於這個 第二大的寬度等於這個 發現沒有 這些寬度變成了一個等比數列 通向公式能寫成這樣 下一步來看看每個矩形有多高 把剛剛的幾分之a幾分之a作為自變量 代入曲線方程y等於k乘以x的p次方里 你會發現也是一個等比數列 現在高乘以寬得到每個小塊的面積 經常參加高考的同學 應該還知道一個數列體的基礎結論 等比數列乘以等比數列還是等比數列 乘出來結果就是這樣 看起來全是未知數 但細細一看只有矮一時變量哦 那簡單了 我們直接用等比數列的求和公式 把什麼首相啊公比啊帶進去 老師我們家費馬好像快要死了 這裡好像卡住了 這坨什麼玩意 但是這時候 費馬就要發動古往今來 數學家專屬的特殊三次技能了 注意到 費馬注意到 自己在過往人生中 長期和等比數列求和打交道的過程中 曾經發現的一個規律 當r無限趨近於1的時候 兩邊近似相等 這個可以用等比數列求和公式證出來 用這個規律處理一下咱們右邊這一團 好了終於化解完了 這個結果就是現代積分學裏的結果 所以咱們看費馬算切線和算面積 得到的兩個公式 分別對應著後來的微分和積分 那起了怪了呀 這不應該微積分就此發明出來了嗎 但是大家有沒有發現 費馬在這單經節律算了那麼久 只解決了一個密函數 當然 同時代也有大量數學家 在幫忙解決各種函數的分析問題 不過就像數學書上對他們的評價那樣 雖然眾多數學家的研究工作 為微積分的誕生做了積極的準備 但他們的方法粗糙且缺乏一般性 歷史的發展需要偉人的推動 對數學來說也是如此 而我們如今不把費馬的工作 視為微積分的根本原因在於 他雖然用極強的代數能力 得出了正確的微分和積分公式 但是他就是差了最後那一步 他竟然沒有意識到 這兩個式子本質上是互逆的 只有在意識到累積變化的過程 與順時變化的過程是一體兩面的之後 微積分才能算正式誕生 那個時候 這個至關重要的結論 會被稱為微積分基本定理 或者叫它牛頓·萊布尼茨公式 這個由兩個人的名字命名的公式 背後卻牽扯到一段 為期一個世紀的關於數學 物理 哲學 神學 以及世界本源的爭端 這是一場決定了未來500年 人類文明走向的 兩種世界觀的激烈碰撞 而這場碰撞的起點 要追溯到1543年 一本引發裂變的書 從那一刻起 世界與宇宙 分化成了兩個再也無法彌合的概念 文明的軌跡 將被一場革命永久改寫