Relativité Générale 3/8 - Géodésiques

Bonjour à tous, aujourd’hui dans ScienceClic, les mathématiques de la relativité générale, partie 3, géodésiques. Dans les vidéos précédentes, nous avons défini les notions de ligne d’univers, de temps propre au cours duquel se déplace un objet, et la notion de vitesse spatio-temporelle, qui représente la direction dans laquelle se déplace un objet dans l’espace-temps. On souhaite désormais pouvoir exprimer l’évolution de cette vitesse, au cours du temps propre, de sorte à pouvoir prédire la forme de la trajectoire. Dans notre univers, les objets se déplacent naturellement en ligne droite. La ligne d’univers de n’importe quel corps, va avoir tendance à tracer une ligne droite à travers les différentes dimensions d’espace et de temps. Cela provient du caractère symétrique d’une telle trajectoire, qui n’a aucune raison de tourner dans un sens plutôt qu’un autre. De cette façon, on dispose d’un moyen très simple pour prédire la trajectoire d’un corps. Dès lors que l’on connaît sa vitesse à un instant, il suffit de transporter cette flèche le long d’elle-même, pour former petit à petit le mouvement de l’objet. Ce type de trajectoire, que l’on forme en transportant la vitesse le long d’elle-même, est ce qu’on appelle une géodésique. Dans l’univers, tous les objets se déplacent naturellement de façon géodésique. Le long d’une géodésique, le vecteur vitesse ne tourne pas. On peut donc écrire que sa dérivée par rapport au temps propre, est un vecteur nul. Tout au long de la trajectoire, le vecteur vitesse de la pomme ne varie pas. Cette équation revient à dire simplement que le mouvement naturel des corps n’est pas accéléré, et donc que lorsqu’ils sont au repos, naturellement, les objets se déplacent en ligne droite. Mais on a vu précédemment que le vecteur vitesse peut s’écrire comme la somme de ses composantes multipliées par les vecteurs de base. En injectant cette expression, et en remarquant que la dérivée d’un produit est égale à la somme de chaque terme du produit multiplié par la dérivée de l’autre, on obtient une expression qui relie d’une part les variations des composantes de la vitesse, et d’autre part les variations des vecteurs de base tout au long de la trajectoire. Les vecteurs de base peuvent en effet varier à différents emplacements de la trajectoire, car la grille qu’on a choisie comme système de coordonnées n’est pas nécessairement régulière. Bien que le vecteur vitesse reste le même, en tant qu’objet géométrique, ses composantes sur la grille vont varier au fur et à mesure que se déplace la pomme. Lorsqu’on y réfléchit, la variation d’un vecteur de base le long de la trajectoire, peut-être décomposée comme la somme de ses variations le long de chacune des deux coordonnées, cela multiplié par la vitesse de la pomme, car plus la pomme se déplace vite, plus vite le vecteur de base va varier. Pour chacune des deux coordonnées on obtient alors une nouvelle grandeur qui correspond à la variation du vecteur de base le long de cette coordonnée. Cette variation s’exprime comme un vecteur, qui correspond à la dérivée du vecteur de base par rapport à la coordonnée en question. Ce vecteur est très intéressant, car il ne dépend plus de la trajectoire, du temps propre, mais directement de la structure de la grille elle-même. Ce nouveau vecteur peut être exprimé en fonction de ses composantes, que l’on notera par la lettre gamma majuscule. Dans notre cas à deux dimensions, ces composantes existent en 8 versions différentes, 2 composantes, pour 4 vecteurs différents. On appelle ces nombres les symboles de Christoffel. Ces symboles de Christoffel sont des quantités essentielles à la relativité générale car ils traduisent les changements que subit la grille le long des coordonnées. Ils contiennent par conséquent des informations cruciales sur notre système de coordonnées lui-même. En réécrivant l’équation précédente à l’aide des symboles de Christoffel, on obtient finalement l’équation des géodésiques. Cette équation, très importante, nous permet de calculer pour chaque composante de la vitesse, son rythme d’évolution à mesure que s’écoule le temps propre. L’équation des géodésiques permet ainsi de prédire le futur et le passé du mouvement d’un objet, dès lors que l’on connaît sa vitesse à un instant, ainsi que la valeur de chaque symbole de Christoffel, partout sur la grille. Pour résumer toutes ces idées, imaginons non pas un espace-temps, mais simplement la surface de la Terre. On décide de quadriller la planète avec un système de coordonnées latitude / longitude qui à première vue nous semble parfaitement épouser la géométrie. Imaginons maintenant qu’un avion se déplace en ligne droite. Lorsqu’un objet se déplace toujours tout droit, sans jamais tourner, sa trajectoire forme ce qu’on appelle une géodésique. Ici, sur la surface de la Terre, la géodésique correspond à un grand cercle tout autour de la circonférence. Sur cette trajectoire géodésique, l’avion se déplace toujours tout droit, son vecteur vitesse ne change pas d’orientation. Il ne subit donc aucune accélération. Pourtant, lorsqu’on mesure ses coordonnées, on a l’impression que sa trajectoire est courbée. Ses coordonnées n’augmentent pas de façon constante. En réalité, sa trajectoire est parfaitement droite. Le problème ne vient pas de l’avion, mais de notre système de coordonnées. Ce sont nos coordonnées qui sont courbées. Leurs axes ne représentent pas réellement des lignes droites sur la sphère. Par rapport au vraies lignes droites, les géodésiques, les cases de notre grille ne sont pas droites, elles tournent. En partant d’un vecteur de base, et en le déplaçant sur la grille, on peut mesurer de combien ce vecteur a varié, à l’aide d’un nouveau vecteur. Ce sont les composantes de ce vecteur, qui mesure la variation du vecteur de base, que l’on appelle les symboles de Christoffel. Les symboles de Christoffel permettent ainsi de mesurer l’écartement de nos coordonnées par rapport aux vraies lignes droites.