Nombre dérivé et tangente - Intro avec Géogébra - Qu'est-ce qu'une tangente?

Dans cette vidéo que j'ai intitulée Comment définir sur une courbe la tangente en un point je vais évidemment vous parler de tangente. L'idée c'est de voir qu'est-ce qu'on va apprendre en première de mieux que ce qu'on sait déjà sur les fonctions. Qu'est-ce qu'on sait faire en seconde et on sait tout simplement calculer des images et placer des points. De temps en temps, on sait dans le cas par exemple des fonctions du second degré si la courbe monte, si la courbe descend. Dans la plupart des cas, on ne sait que placer des points et relier de façon la plus harmonieuse possible. On va essayer de faire beaucoup mieux évidemment. Regardons la fonction d'expression x³-20x.4 Evidemment avec les procédés technologiques dont on dispose à l'heure actuelle, on peut tracer la courbe en moins d'une seconde. C'est ce qu'on va faire de la règle. L'idée c'est justement d'essayer de voir comment on aurait pu anticiper la forme de ces courbes. Comment est-ce qu'on peut trouver les sommets ? Comment on peut savoir si ça monte, si ça descend ? Hormis en plaçant une quantité énorme de points. Regardons la courbe de cette fonction. Vous voyez, je vais sur GeoGebra sur internet et je tape ici dans la zone de saisie x³-20x-4 et ça me donne cette jolie courbe. Vous voyez ici, il y a deux sommets. Un ici et un ici. Comment est-ce qu'on peut à l'avance savoir où sont les sommets ? Tout d'abord, on va déjà faire un petit gros plan sur les sommets, un petit peu regarder à quoi ressemble la courbe quand on est... Comment repérer le sommet ? Qu'est-ce qu'il se passe quand on est tout près de cet endroit ? On va faire des zooms successifs avec GeoGebra. L'avantage avec GeoGebra, c'est qu'avec la molette de la souris, si vous mettez la courbe à un endroit et que vous tournez cette molette, vous faites un zoom assez rapidement. On va essayer de trouver justement le sommet. C'est à dire l'endroit le plus haut de cette partie de la courbe. On va essayer de voir à quel moment... Vous voyez, on se rapproche, on se rapproche. Vous voyez que la courbe est légèrement pentue, mais plus on zoom, plus ça a l'air d'être une droite. C'est ça, l'idée qu'on a retenue. C'est que de près, vraiment, à un moment, vous allez voir... Là, vraiment, on est sur des gros zooms. Eh bien, ça ressemble à une droite. Alors, je vais la tracer cette droite. Je vais mettre un point à gauche et je vais mettre un point dessus à droite. Le point n'est pas forcément très bien, donc je vais le bouger un petit peu. Voilà. Maintenant, je vais les relier. Je prends un et je les relie. Maintenant, je vais aller prendre du recul. Un petit peu ce que ça m'a permis d'avoir sur la courbe. Je vais repasser ça. Voilà. Vous voyez ? Qu'est-ce que j'ai fait, maintenant ? Ici, je vais enlever les deux points. J'ai trouvé une droite qui, quand on fait un zoom, ressemble vraiment de près à la courbe. Vraiment, la courbe et la droite sont comprenus quand on est tout près du sommet, ici, que j'ai appelé A. Et ça, on va essayer de le faire un petit peu partout. On peut déjà essayer de le faire sur le deuxième sommet. Le deuxième sommet, ici. Je fais un zoom et j'essaye, comme ça, de trouver le point le plus bas. Ici. Voilà. Vous voyez ? On s'en approche. Et là, j'ai quelque chose qui ressemble à une droite. Comme tout à l'heure, je place un premier point. Un deuxième point. Ensuite, je prends mon outil de droite. Et comme tout à l'heure, je vais revenir sur mon plan de départ. Vous voyez ? J'ai obtenu une deuxième droite. Et cette fois-ci, qui ressemble beaucoup à la courbe quand on est tout près, ici, du point qu'on voit, le point D. Alors ça, on vient de le faire pour les sommets. Vous voyez ? Comme ça, avec GeoGebra, on a trouvé une valeur approchée, on va dire, de nos deux sommets, et on a fait une remarque importante, c'est qu'au niveau des sommets, ce genre de courbe a l'air d'une droite horizontale, avec un coefficient de réacteur égal à 0. Suite de notre petite épée, est-ce qu'on peut faire ça partout ? Je vais poser un point au hasard. Ici, par exemple, posons un point à cet endroit. Et maintenant, je vais zoomer autour de ce point. La question, c'est est-ce qu'en zoomant, on va obtenir encore une droite ? Et quelle est cette droite ? Comme on a déjà fait, je me place sur le point, je tourne ma molette, et progressivement, je zoom. Je vais m'arrêter jusqu'à temps que j'ai l'impression que plus rien ne se passe, vous voyez ? Ici, plus je zoom, la droite ne change pas. On va donc bien attracer cette droite. Je prends l'objet droite, je mets un point sur la droite, je relie à mon point E que j'ai déjà, et maintenant, je fais un plan plus large, et vous allez voir, on a trouvé, comme ça, un petit peu recadré, on va mettre des couleurs, on va mettre la courbe verte en couleur, on va mettre 6 couleurs, on va mettre du rouge pour la droite, voilà. Et vous voyez, on a trouvé, autour de E, on est très près d'E, une droite qui ressemble très fortement à la courbe. Ça veut dire qu'à chaque endroit de cette courbe, on sent bien qu'on peut faire exactement la même chose, c'est-à-dire, trouver une droite qui ressemble à la courbe. C'est l'idée du chapitre qu'on appelle le chapitre des nombres dérivés, c'est d'abord de trouver des droites qui, localement, vont ressembler aux courbes. Et la première étape qu'on va avoir à faire, c'est comment trouver le coefficient directeur de ces droites. Et l'idée, vraiment, vous devez retenir dans cette vidéo, la seule idée, c'est que sur des courbes comme ça, très régulières, que sont les polynômes, eh bien, vous pouvez aller à n'importe quel endroit de la courbe, faire un zoom, et à un moment, vous aurez face à vous, quasiment une droite. Une droite dont on va essayer de trouver le coefficient directeur. Et à travers l'étude de ces coefficients directeurs, on va fonder toute une théorie qui s'appelle la théorie des nombres dérivés et des fonctions dérivées, qui va nous permettre, eh bien, par des calculs, d'anticiper la forme des courbes, c'est-à-dire la croissance et la décroissance, et de trouver les sommets avant même de les tracer. C'est ça l'intérêt. C'est de faire ça avant de tracer. Et on va le faire au départ sur la fonction x², parce que celle-là, on la connaît très bien, et les calculs, vous allez voir, sont très faciles. Donc je la trace. Et on va, dans la vidéo suivante, s'intéresser, justement, à trouver ces droites qui ressemblent à la courbe. Ces droites-là, on va les appeler des tangentes. Donc la première chose qu'on fait, quasiment tous, en première, quelle que soit la série, c'est de regarder la fonction carrée et de la regarder vraiment au point d'abscisse 1 et de faire un zoom. Et on va regarder. Est-ce que, sur ce point, on a vraiment une courbe qui ressemble à une droite ? Vous allez voir, ça va très vite. Et vous l'avez, votre droite, elle est là. Donc je vais la tracer. Ici, on va prendre l'objet droite. Je place un point sur cette droite. Je vais changer la droite de couleur. Je vais la mettre en vert. Comme ça, vous la verrez quand je vais reculer. Et là, l'idée, ça va être de, comment est-ce qu'on peut trouver facilement le coefficient directeur de cette droite ? Et bien, si vous remarquez comme ça, vraiment très vite, en la regardant ici, combien vaut le coefficient directeur ? Vous avancez ici d'une unité et vous montez de deux unités. Donc le coefficient directeur de cette droite, ça a tout l'air d'être 2. Première chose que vous avez dû faire. Le calcul suivant qu'on va faire rapidement, on va regarder maintenant à cet endroit-là. On va faire une deuxième tangente. C'est-à-dire qu'on va tracer la droite qui ressemble à la courbe quand on est très près du point C. Et ça, vraiment, vous voyez avec les yeux ou les bras, c'est très visuel. Je l'ai à peu près. Ma droite, vous voyez, je l'ai un petit peu recadrée. Je me suis laissé un petit peu déporté. Je place donc un deuxième point. Je relie. Je mets un petit peu de couleur. Ici, on va mettre du bleu. Et maintenant, je recupe. On va juste regarder le coefficient directeur de ça. Déjà, vous voyez, première remarque, évidemment, elle est plus pentue que celle qu'on avait tracée précédemment. Quelle est la coefficient de cette droite bleue ? Eh bien, ici, si je pars de ce point, j'avance de 1 et pour retomber sur la droite, je dois monter de 4. Donc, coefficient directeur, 4. On peut continuer. On en fait une troisième. On est là pour ça. Donc, maintenant, je vais un petit peu changer mon repère ici pour faire le calcul en 3. Donc, en 3, je vais placer le point. Donc, il est en 3 et le carré de 3, c'est 9. Donc, c'est le point qui est ici. Voilà. Qui s'appelle le point 1. Je fais mon zoom. Je vais tracer la tente. On zoom. On commence à être habitué. Voilà. Je prends l'autre droite. Je place un point. Je relie. Je choisis une couleur pour y voir clair. Je vais mettre cette fois-ci du orange. Et je recupe. Voilà. Cette fois-ci, elle est encore plus pentue, cette droite. Vous voyez ? On va essayer de trouver sa pente. Alors, la droite de la pente, orange. Alors là, c'est plus difficile. Avantages de Gebra, si vous voulez, on peut avoir les coefficients sans faire les calculs. Donc, je vais regarder la droite orange à gauche dans ma fenêtre. Ici, vous voyez, j'ai une équation. On va la regarder un petit peu plus attentivement. Alors, je vais dessus. Je clique droit et je mets sous la forme YYX plus T. Voilà. Et j'ai mon coefficient ici, 5.99. Donc, aux arrondis près, on peut imaginer que le coefficient directeur de la droite orange, c'est 6. Le coefficient de la bleue, vous voyez, la bleue, elle est ici. Je clique droit. Je la mets sous la forme YY égale AX plus B. J'ai un coefficient 4. Donc, on va faire la dernière. Y égale AX plus B. On a bien un coefficient qui était à peu près égal à 2. C'était un 97. Tout ça aux arrondis près. On peut imaginer, donc, que quand on s'est placé, eh bien, sur le point d'abscisse 1, vous voyez ce point ici. Ce point d'abscisse 1, on a trouvé une droite, la droite verte. Donc, on va appeler ça la tangente au point d'abscisse 1. Eh bien, cette tangente au point d'abscisse 1, d'après nos calculs approximatifs, c'est 2. 2, c'est-à-dire le double de 1. Qu'est-ce qui se passe au point d'abscisse 2 ? C'est-à-dire ici, au point D. Eh bien, au point D, on a trouvé la tangente bleue. La tangente bleue, elle a un coefficient qui est 4. 4, c'est le double de 2. Ça veut dire qu'ici, au point d'abscisse 2, la tangente, c'est-à-dire la droite, qui ressemble à quoi ? Un coefficient directeur qui est le double de 2, c'est-à-dire 4. Alors, je dis le double parce qu'on a remarqué qu'au niveau du point 3, eh bien, il y avait exactement la même remarque. C'est-à-dire, au niveau du point d'abscisse 3, c'est mon point ici, le point F, eh bien, votre tangente orange, un coefficient qui est 6. Donc, la question qu'on va se poser dans la prochaine vidéo, et on va commencer à rentrer dans les calculs, c'est comment vérifier que, pour n'importe quel point de la courbe du carré, eh bien, le coefficient directeur de la tangente, de la droite qui ressemble à quoi, est A pour coefficient directeur, le double de l'abscisse. Pour tracer la tangente, eh bien, vous prenez une règle sur une feuille, et vous la faites glisser. Alors, moi, je vais la faire glisser comme ça, vous voyez, et vous vous arrêtez. Vous avez vraiment l'impression d'avoir tracé tout près de E, eh bien, une droite qui est vraiment confondue avec la courbe. Voilà, ça donne ça. Ici, en fait, la droite verte, c'est une bonne idée de la tangente à la courbe au point E. Et ce qu'on démontrera, c'est comme le point E a une abscisse de 2,5, eh bien, pour la fonction carré, le coefficient de la tangente en 2,5, eh bien, ça sera le double de 2,5, ça sera 5, ça sera le premier prochain objet de notre vidéo sur ce qu'on appelle le nombre d'érivées. Donc, prochaine vidéo, et là, vraiment, je vous invite à la voir, c'est la définition de ce qu'on appelle le nombre d'érivées et comment trouver mathématiquement ces nombres d'érivées, c'est-à-dire comment trouver à l'aide de calculs les coefficients des tangentes qu'on peut, comme ça, obtenir pour de premier abord avec une règle en traçant une droite qui ressemble à peu près à la courbe. Voilà. A très bientôt.