brevet mathématiques 2024 métropole ♦ Correction ♦ Géométrie Pythagore Thalès Exercice 3 ♕

bonjour et bienvenue sur jcompris.com alors dans cette vidéo on va traiter un exercice de géométrie pas difficile mais qui est très classique vous allez voir il y a du thalis du Pythagore et du coup c'est un très bon exercice de révision et justement il est tombé au brevet 2024 donc maintenant comme d'habitude appuyez sur pause essayez de faire tout seul cet exercice et on se retrouve juste après pour la correction donc allons-y première question on nous demande de déterminer AB et bien regardez ici ici on a un cercle et AB c'est dit dans l'énoncé AB c'est un diamètre donc AB c'est deux fois AB comme c'était un diamètre c'est deux fois le rayon et on nous dit dans l'énoncé que le rayon et bien c'est 4,5 cm le rayon de ce cercle c'est 4,5 donc ça veut dire que AB le diamètre c'est 2 x 4,5 et 2 x 4,5 ça fait donc 9 cm donc voilà combien vaut AB et maintenant il y a plus qu'à le rédiger et donc j'écris que AB est un diamètre du cercle et faites attention quand on dit que AB est un diamètre AB ça correspond à un segment donc il y a des crochets autour et donc ça veut dire que AB mais attention là il y a plus de crochet autour parce que maintenant on dit que c'est la longueur AB qui vaut le double du rayon et donc la longueur AB j'insiste encore une fois comme c'est une longueur il y a rien autour et bien la longueur AB c'est 2 fois le rayon donc c'est 2 x 4,5 cm ce qui fait 9 cm donc AB mesure 9 cm passons à la 2è question on nous demande de démontrer que le triangle ABD Abd ce triangle que j'ai repassé en rose on nous demande de démontrer qu'il est rectangle en D donc il faut montrer qu'en d il y a un angle droit alors déjà on va le faire à l'aide de Pythagore et je vous montrerai à la fin et bien comment on pouvait plus rapidement sans Pythagore alors déjà on va mettre les longueurs qu'on connaît AB la longueur AB on vient de la calculer AB ça fait 9 cm ensuite BD la longueur BD elle est donnée ici BD ça fait 5,4 cm et da la longueur da la longueur da elle est donnée ici c'est 7,2 cm maintenant pour savoir si ce triangle est rectangle on regarde parmi les trois côtés lequel est le plus long et bien entre 9 cm 5,4 et 7,2 cm et bien le côté le plus long c'est 9 cm c'est le côté AB c'est ce que je vais commencer par écrire et donc j'écris que AB AB est le côté le plus long du triangle ABD et faites attention comme AB c'est un côté c'est un segment et donc il faut mettre des crochets autour et maintenant pour savoir si le tri triangle et rectangle et bien on va calculer la longueur AB au carré et donc attention comme c'est une longueur et bien AB maintenant il y a plus de crochet autour c'est une longueur donc maintenant on calcule AB au carré et comme AB bah c'est 9 cm bien ça fait donc 9 au carré et 9 au carré ça fait 81 donc AB au carré la longueur AB au carré ça fait 81 maintenant qu'on a calculé AB au carré on va s'occuper des deux autres petits côtés et donc on va calculer BD au carré donc BD c'est une longueur donc BD au carré sans rien autour plus da au carré+ da au carré toujours pareil c'est une longueur donc rien autour et donc BD BD c'est 5,4 donc 5,4 au carré+ da bah da ça fait 7,2 au car donc maintenant on prend sa calculatrice et donc on calcule 5,4 au car 5 5,4 au Carr + 7,2 7,2 au carré et ça nous donne ça nous donne 81 exactement ce qu'on a trouvé ici donc tout ceci ça fait 81 et donc comme ici et là ici et là on trouve la même chose à chaque fois on trouve 81 et bien ça veut dire que ce triangle il est rectangle et il est rectangle en face du côté le plus long comme le côté plus long cab l'angle droit il est en face il est bien en D et maintenant il y a plus qu'à l'écrire voilà c'est ce que j'ai écrit ici et au passage quand vous avez trouvé ici et là la même chose donc que vous avez égalité et bien pour justifier que le triangle est rectangle vous êtes en train d'utiliser la réciproque du théorème de Pythagore donc voilà on a terminé cette question on a bien démontré que ce triangle est rectangle en D et on pouvait aller plus vite on nétait pas au obligé d'utiliser le théorème de Pythagore pour cela il faut savoir que quand on a un cercle et qu'on prend un diamètre n'importe quel diamètre voilà un diamètre et qu'ensuite on prend un point n'importe où sur le cercle et bien alors les trois points ici ils forment toujours un triangle rectangle c'est exactement ce qu'on a ici on a un diamètre et on a un point sur le cercle et donc on est sûr si on connaît cette configuration et bien que ce triangle est rectangle en D et donc si on veut rédiger avec cette deuxième méthode ça va très vite il suffit de dire que AB c'est un diamètre du cercle c'est ce que j'ai écrit ici et ensuite on écrit que D est un point du cercle et du coup on est dans cette configuration et donc forcément le triangle ABD est rectangle en D voyez que ça va beaucoup plus vite mais il faut évidemment connaître cette configuration passons à la trème question on nous demande de calculer la longueur AF c'est c'estàd la longueur qu'on a ici et on nous dit que ces deux droites ces deux droites BD et EF elles sont parallèles et ça ça nous fait penser au théorème de Thalès et pour cela bien déjà il faut expliquer que ces deux droites que je suis en train de repasser en vert ces deux droites elles sont séquantes en a et ensuite on explique que ces deux droites elles sont parallèles et après on pourra appliquer le théorème de Thalès et donc j'écris que les droites DF et be sont séquant en a c'est ce que j'ai écrit ici et que les droites BD et EF sont parallèles et donc on est bien dans la configuration de thalè et donc on peut écrire donc d'après le théorème de thalè et bien donc on va avoir petit sur grand c'est que AF petit sur grand sur AD et bien est égal à petit sur grand AE sur grand AB et maintenant làdedans il y a plus qu'à remplacer les longueurs qu'on connaît et donc je mets donc et donc je vais remplacer alors AF c'est la longueur qu'on cherche donc il y a rien à remplacer donc AF sur ad ad c'est donné ici ad ou da en longueur c'est la même chose ça fait 7,2 au passage regardez ici tout est en centimè donc pas de problème d'unité égal AE bah AE c'est donné ici ça fait 2 7 divisé par AB et AB c'est ce qu'on a calculé à la première question ça fait 9 cm et j'insiste encore une fois quand vous remplacez les longueurs et bien faites attention à ce que ce soit bien dans la même unité ce qui est le cas ici et maintenant pour avoir AF et bien il faut se débarrasser du divisé par 7,2 et pour cela il faut faire l'opération inverse d'un divisé c'est donc multiplié par 7,2 il faut multiplier des deux côtés par 7,2 et à gauche si on multiplie par 7,2 les 7,2 disparaissent il reste donc AF F et à droite et bien ça fait 2,7/ 9 que multiplie donc 7,2 donc retenez que quand on veut se débarrasser d'un divisé par 7,2 il faut multiplier faut faire l'inverse il faut multiplier par 7,2 des deux côtés et maintenant il y a plus qu'à calculer ceci pour trouver la valeur de AF et si vous faites le calcul ça fait 2 16 et n'oubliez pas de rajouter les unités ce sont des centimètres et donc on a terminé cette troisème question on a trouvé la longueur AF elle fait 2,16 cm passons à la 4e question on nous demande l'air du triangle ABD Abd ce triangle qui est rectangle et je vous rappelle que quand on a un triangle rectangle et bien pour avoir son air on prend les deux côtés qui touchent l'angle droit et donc ici on a une base et là une hauteur et vous savez que l'air c'est la base fois la hauteur divisé par 2 donc ça fait a x B a x B divis par 2 on prend les deux côtés qui touchent l'angle droit on les multiplie on multiplie leur longueur et on divise par 2 donc ici pour avoir l'air de ce triangle rectangle on prend les deux côtés qui touchent l'angle droit donc ce côté-là et ce côté-là et bien on multiplie leur longueur donc pour avoir l'air de ce triangle et bien la longueur de ce côté-là 5,4 cm que multiplie la longueur de l'autre côté qui touche l'angle droit 7,2 cm et ensuite il y a plus qu'à diviser par 2 pour avoir l'air et si vous faites ce calcul et bien ça fait 19,44 et comme on multiplie des centimètres avec des centimètres ça fait des cmè² exactement ce qu'on nous demande et pour rédiger l'aair du triangle ABD je l'appelle grand A et j'explique comment je fais je prends la longueur BD je la multiplie avec Da et je divise par 2 et ensuite il y a plus qu'à remplacer pour trouver 19,44 cm² passons à la question suivante cette fois-ci on nous demande l'air de ce disque et je vous ai rappelé ici la formule pour calculer l'air d'un disque c'est pi xis le rayon au carré et ce disque on a le rayon il est donné ici c'est 4,5 cm donc l'air de ce disque et bien c'est pi fois le rayon au carré c'est-à-dire 4,5 cm le tout au carré et maintenant il y a plus qu'à faire le calcul et on nous demande d'arrondir le résultat au centiè donc on prend notre calculatrice il faut calculer pi donc pi il est ici donc seconde je clique ici pour avoir pi que multiplie que multiplie 4,5 4,5 au carré donc je clique ici pour avoir le carré j'appuie sur exé et pour avoir le résultat sous forme décimale je clique ici et donc ça fait environ environ 63 63,61 61 7 2 7 2 et cetera et nous on nous demande d'arrondir au centiè donc on doit couper deux chiffre après la virgule et pour savoir si ici on met 1 ou 2 on regarde le chiffre d'après et comme c'est 7 et que 7 c'est plus grand que 5 et bien il faut arrondir par au-dessus et donc ici on met non pas 1 on met 2 et donc voilà la valeur arrondie au centiè ça fait 63,62 cm² et donc voilà je vous ai tout remis au propre ici passons à la dernière question on nous demande quel pourcentage de l'air du disque représente l'air du triangle alors cette phrase elle est pas facile à comprendre en fait ce qu'on nous don demande c'est l'air du triangle et bien représente quel pourcentage de l'air du disque l'air du triangle représente quel pourcentage de l'air du disque et bien on fait tout simplement l'air du triangle l'air du triangle divisé par l'air du disque donc on remplace l'aire du triangle c'est 19,44 divisé par l'air du disque 63,62 et avant de faire le calcul il faut bien vérifier que les deux air sont dans la même unité c'est bien le cas à chaque fois on est bien en cenmère car donc maintenant il y a plus qu'à calculer ceci donc on prend notre calculatrice et on calcule 19,44 19,44/is par 63 63,62 on appuie sur exé et pour l'avir en décimal on clique ici et donc ça fait environ environ 0 0,30 55 et cetera mais comme on a arrondi au centiè et bien on garde que deux chiffres après la virgule et pour savoir si ici on met 0 ou 1 on regarde le chiffre d'après et comme c'est un 5 et bien on doit arrondir par au-dessus et donc ici c'est 1 et donc ça fait 0 31 et 0,31 et bien en pourcentage on multiplie par 100 ça fait 31 % donc voilà je vous ai tout remis au propre ici ce qui termine cet exercice donc j'espère que vous avez bien compris et comme d'habitude si vous avez apprécié cette vidéo n'hésitez 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