Pandrosion et la duplication du cube - Micmaths

Pendrosion d'Alexandrie est l'une des mathématiciennes les plus injustement méconnues de l'Antiquité. Elle a notamment travaillé sur le problème de la duplication du cube, qui est l'un de ceux qu'on appelle les trois grands problèmes de l'Antiquité, les deux autres étant la quadrature du cercle et la trisection de l'angle. Et dans ses recherches sur la duplication du cube, elle a inventé des méthodes qu'on peut qualifier, je pense, d'avant-gardistes, mais qui lui ont valu d'être totalement discréditées par l'un de ses contemporains, Papus d'Alexandrie. Bref, aujourd'hui, je vous parle de son histoire et de ses maths. Au IVe siècle de notre ère, la ville d'Alexandrie, en Égypte, est l'une des villes phares en termes de bouillonnement culturel et notamment de mathématiques. C'est ici qu'ont travaillé Euclide, Eratosthène, Ptolémée ou encore Diophante, et c'est ici également que vit Hypatie, qui est sans doute la plus célèbre des mathématiciennes de cette époque. Pendrosion, elle, elle est de la génération juste avant Hypatie. Elle est un peu plus vieille, mais il est assez raisonnable de penser que les deux femmes se sont sans doute connues, parce que des intellectuels à cette époque à Alexandrie, il y en a un certain nombre, mais ça reste un petit milieu. Et clairement, Pendrosion comme Hypatie ne sont pas des mathématiciennes isolées. Elles sont intégrées dans ce milieu, elles ont un statut social, sont reconnues, comme en témoigne par exemple le fait qu'elles ont des disciples, des groupes d'étudiants auxquels elles dispensent leurs enseignements. Et il y a une chose remarquable à propos de Pendrosion, c'est qu'on a des informations, incomplètes certes, mais des informations quand même, sur les maths qu'elles faisaient. C'est quelque chose de pas si fréquent que ça, il y a énormément de mathématiciens de l'Antiquité dont on a juste le nom et éventuellement quelques infos, mais dont on ne sait pas précisément sur quoi ils ont travaillé. Et ce qu'on sait sur Pendrosion vient d'une source, une seule, les collections mathématiques écrites par Papus d'Alexandrie. Mais le moins qu'on puisse dire, c'est que ce témoignage n'est pas vraiment à son avantage. Parce que si Papus évoque Pendrosion, c'est avant tout pour détruire ses idées. En fait, il a eu écho des travaux de Pendrosion en discutant avec ses élèves, et ça lui a pas plu, alors il écrit à son sujet un texte totalement à charge. Je cite, il s'adresse donc à Pendrosion dans cet extrait, « C'est dans ces conditions que certains de ceux qui paraissent se réclamer de toi pour les mathématiques m'ont entretenu dernièrement comme des ignorants sur des questions qui se rapportent au problème. C'est au sujet de ces questions et de ce qui s'y rattache qu'il faut que je donne certaines démonstrations dans ce troisième livre de la collection, afin que toi et ceux qui aiment à s'instruire vous en retiriez profit. » Bref, il l'apprend de haut, il lui fait la leçon comme si elle ne savait pas de quoi elle parlait, il détricote ses arguments avec une mauvaise foi à faire bouillir les eaux du Nil, et il est possible que ce livre et l'influence de Papus aient contribué à éteindre l'héritage de Pendrosion, et faire que son impact dans l'histoire n'ait pas été à la hauteur de la réputation qu'elle avait de son vivant. Mais en voulant la critiquer, Papus explique au passage ses méthodes développées par Pendrosion, pour en dire du mal certes, mais il les explique quand même. Et paradoxalement, c'est grâce à son livre qu'on sait aujourd'hui que Pendrosion a fait des maths hyper intéressantes, et c'est ce qu'on va voir. D'ailleurs pour l'anecdote, il y a une autre raison pour laquelle le nom de Pendrosion en tant que mathématicienne femme, à une époque où la plupart des savants étaient des hommes, c'est un peu perdu dans l'histoire. En 1868, l'historien des maths Friedrich Hulsch va faire une traduction en latin des oeuvres de Papus, qui va faire référence pendant pas mal d'années. Or quand il arrive au passage sur Pendrosion, il constate que Papus parle d'elle au féminin, et là il se dit, hum, une femme qui fait des maths, ça doit être une erreur. Et dans sa traduction, il passe au masculin. Sans aucun autre argument sérieux que ça lui paraissait pas possible. Et suite à ça, dans beaucoup de livres encore aujourd'hui, il est fait référence à Pendrosion comme d'un mathématicien homme. Alors qu'en réalité, il n'y a vraiment aucune raison sérieuse de penser que Papus se soit planté en accordant au féminin, et la plupart des spécialistes aujourd'hui s'accordent à dire non mais c'est sûr c'était une femme. Et d'ailleurs, indépendamment même du texte de Papus, le nom Pendrosion est très probablement féminin, puisque c'est une variante du nom Pendrose, qui est le nom de la fille du premier roi d'Athènes dans la mythologie. Bref, venons-en à ces maths. L'une des questions sur lesquelles Pendrosion a pas mal travaillé, et à propos desquelles Papus donne pas mal d'informations, c'est, comme je vous le disais, la duplication du cube. Étant donné un cube, comment construire géométriquement un cube deux fois plus volumineux ? Alors là, il va falloir prendre un peu de temps pour bien comprendre ce que signifie ce problème. Déjà là, il faut bien noter que c'est le volume qui doit être doublé, et non pas les dimensions linéaires, les côtés. Parce qu'évidemment, c'est facile de construire un cube de côté double, comme ça. Vous en prenez huit identiques, et puis vous les empilez. Mais vous voyez que là, le volume n'est pas deux fois plus grand, il est huit fois plus grand. Pour vraiment doubler le volume, imaginez qu'on regarde un cube de côté 1. Son volume s'obtient en multipliant longueur, largeur et profondeur, donc 1 x 1 x 1, c'est-à-dire 1 au cube, ça fait 1. Donc ce qu'on cherche, c'est un cube de volume 2. Et son côté doit être égal à ce qu'on appelle la racine cubique de 2. La racine cubique de 2, si vous tapez ça sur une calculatrice, vous trouvez que ça vaut 1,2599 et des poussières. C'est le nombre dont le cube vaut 2. C'est-à-dire que si vous calculez le volume de ce cube, 1,2599 x 1,2599 x 1,2599, vous trouvez 2. Enfin, en réalité, vous trouvez à peu près 2, parce que 1,2599, ce n'est qu'une valeur approchée. La vraie valeur de la racine cubique a une infinité de chiffres après la virgule, et donc on ne peut pas facilement en donner une valeur exacte. Et c'est bien ça le problème. Et donc, le problème de la duplication du cube peut se reformuler comme ça. Est-il possible, avec une méthode géométrique, en partant d'un segment de longueur 1, côté du cube de base qu'on veut doubler, de construire un segment de longueur racine cubique de 2 ? Si on y arrive, il n'y a plus qu'à reporter cette longueur dans les trois dimensions, et on a notre cube. Mais pour y arriver, on n'a pas le droit de faire n'importe quoi. La construction doit se faire uniquement à la règle et au compas. Pourquoi la règle et le compas ? Eh bien, parce que c'est considéré comme les deux instruments de base. Le premier qui fait les droites, le second qui fait les cercles. Et pour les grecs, la géométrie de base, la géométrie noble en quelque sorte, c'est celle qui se pratique uniquement à la règle et au compas. Alors on peut faire autrement, mais dans ce cas-là, c'est considéré comme moins élégant, moins satisfaisant. Et notez qu'on peut déjà faire beaucoup de choses avec une règle et un compas. Par exemple, si on a une droite et un point, on peut tracer la perpendiculaire à la droite qui passe par ce point. Comme ça. Donc on arrive à faire des angles droits comme si on avait une équerre. Certes, une équerre c'est plus pratique, mais dans la théorie, tout ce qu'on peut faire avec une équerre, on peut le faire juste avec une règle et un compas. Et puis en faisant deux perpendiculaires de suite, on peut aussi tracer des droites parallèles comme ça, sans avoir besoin d'un outil spécifique trace parallèle. Enfin bref, avec de l'habitude, c'est pas si restreignant que ça de n'avoir droit que à la règle et au compas. Pour prendre un exemple concret, on peut étudier la version 2D du problème, la duplication du carré. Elle, elle est très facile et connue depuis longtemps. Si vous partez d'un carré de côté 1, vous pouvez construire un grand carré qui a une surface 4 fois plus grande, formé de 4 petits carrés, et puis vous reliez les diagonales comme ça. Et là, le carré rouge au milieu, il a une ère 2 fois plus grande que le carré bleu de départ. Vous voyez que le bleu est composé de 2 petits triangles comme ça, tandis que le rouge est composé de 4 petits triangles identiques, donc c'est bien le double. Cette construction, c'est vraiment un classique, elle permet notamment de démontrer que la diagonale du carré, ici, vaut racine carré de 2, soit environ 1,414, parce que le grand carré, il a une ère égale à racine de 2 fois racine de 2, ce qui fait bien 2. Seulement voilà, quand on passe à la racine cubique, c'est beaucoup plus compliqué. Il n'existe pas de construction simple comme c'est le cas avec le carré. C'est tellement compliqué que ça fait littéralement des siècles que les Grecs travaillent dessus sans pouvoir trouver de solution. Et pour cause, attention spoiler, il n'y en a pas. Ce problème n'est pas résoluble. Mais ça, on ne le sait réellement que depuis le 19e siècle. En 1837, plus précisément, quand Pierre-Laurent Wenzel a démontré qu'il est strictement impossible de construire, à la règle et au compas, un segment de longueur racine cubique de 2. Pour ça, il utilise des théories algébriques un peu subtiles qui découlent des travaux des barristres gallois un peu plus tôt et qui sont à mille lieues de ce que pouvaient connaître les Grecs dans l'Antiquité. Alors juste une petite parenthèse sur la méthode de Wenzel parce que c'est quelque chose qui peut être surprenant à entendre. Comment on fait pour démontrer qu'un truc comme ça est impossible ? Parce qu'a priori, les constructions à la règle et au compas, il y en a une infinité. Alors comment on fait pour être absolument sûr qu'il n'y en a pas une auquel on n'a encore jamais pensé et qui va finalement marcher ? Pour vous donner une idée, je vais faire une comparaison avec un problème plus simple. Imaginez que je vous demande de faire une addition uniquement avec des nombres pairs. Vous choisissez les nombres pairs que vous voulez, vous en mettez autant que vous voulez et le but du jeu, c'est de bien choisir ces nombres pour que le résultat final soit égal à 101. Si vous réfléchissez un peu, vous allez rapidement vous rendre compte que c'est pas possible parce qu'en additionnant uniquement des nombres pairs, on ne peut qu'avoir un résultat pair et donc impossible de tomber sur 101 et il n'y a pas besoin de tester toutes les additions possibles pour en être sûr. Dans notre question, c'est un peu la même idée mais en plus compliquée. Vincel a démontré que si la règle du jeu n'autorise que les constructions à la règle et au compas, tous les segments qu'on pourra tracer auront une longueur qui ont une certaine propriété mathématique. C'est inéluctable, aussi inéluctable que les sommes de pairs sont pairs. Ces nombres, on les appelle des nombres constructibles. Je ne rentre pas dans les détails de cette propriété, ce serait vraiment un autre sujet. Mais donc, il est impossible de construire un segment dont la longueur ne vérifie pas cette propriété. Les nombres entiers sont constructibles, 1, 2, 3, etc. Les racines carrées sont constructibles, mais la racine cubique de 2 n'est pas constructible. Elle ne possède pas cette propriété et elle est donc, comme les nombres impairs de notre exemple, irrémédiablement inatteignable à la règle et au compas. Bref, les grecs avaient littéralement zéro chance de pouvoir résoudre leur problème, fin de la parenthèse. Du coup, qu'est-ce qu'on peut faire ? Ok, le vrai problème, l'original, c'est celui avec le règle et le compas, mais dans la mesure où on n'y arrive pas, est-ce qu'il n'y aurait pas moyen quand même de moyenner quelque chose en assouplissant un peu les règles du jeu ? C'est une stratégie qui est classique en maths comme ailleurs, quand un problème est trop dur, on essaye de voir si on ne peut pas trouver des variantes plus simples auxquelles on peut s'attaquer en premier. Et c'est comme ça notamment qu'au IIIe siècle avant notre ère, c'est-à-dire environ 700 ans avant Pendrosion, Eratosthène d'Alexandrie avait imaginé une méthode de duplication du cube qui utilise des cartes rectangulaires. Alors Eratosthène, le nom vous est peut-être familier, c'est lui également qui avait calculé la circonférence de la Terre en observant les longueurs des ombres dans différentes villes d'Egypte, et c'est à lui également qu'on doit le crible Eratosthène qui permet de calculer les nombres premiers, entre autres. Voilà sa méthode. Vous prenez trois cartes rectangulaires identiques dont vous avez tracé une diagonale. Pour se fixer les idées, on va dire que la longueur des rectangles ici est égale à 2 parce que c'est le nombre dont on veut calculer la racine cubique, mais en fait la méthode marche aussi pour d'autres nombres avec des rectangles de taille que vous voulez. La hauteur des rectangles, en revanche, n'a vraiment pas d'importance, vous pouvez prendre ce que vous voulez, la méthode va marcher. Il faut juste que les trois rectangles aient la même hauteur. Ensuite, vous allez poser ces cartes les unes sur les autres comme ça, de haut en bas, et là, sur la figure qui apparaît, on va regarder ces quatre points. Ici en haut, c'est le point du milieu du côté, en bas, c'est juste le point du rectangle, et au milieu, on va regarder les deux points où la diagonale d'un rectangle vient intersecter le rectangle d'en dessous. Et le but du jeu, de la méthode d'Eratosthène, c'est de placer les cartes de façon à ce que ces quatre points soient alignés. Et pour ça, on peut faire coulisser les cartes les unes sur les autres Alors si vous essayez, en manipulant, on se rend compte que c'est assez facile d'en aligner trois, en bougeant une ou deux des trois cartes. Le problème arrive quand on veut aligner le quatrième, parce que tout déplacement de cartes va alors détruire l'alignement des trois premiers. Donc c'est assez subtil, il faut vraiment essayer d'ajuster les trois cartes en même temps. Personnellement, j'ai pas mal galéré la première fois que j'ai essayé, mais en cherchant un peu, on finit par arriver à quelque chose d'à peu près satisfaisant. Et là, Eratosthène nous dit que cette longueur-là, ici, est égale à racine cumique de 2. Donc on a bien construit la longueur qu'on voulait. Si je mesure sur mes cartes, là, je trouve à peu près 12,5 cm, et comme mes cartes font 20 cm de large, ça grandit 10 fois, ou alors il faut mesurer en décimètre, ça fait 2 décimètres. Enfin, en tout cas, ça donne une racine cubique de 2 qui vaut environ 1,25, ce qui est aller pas trop loin de la valeur réelle que va nous donner une calculatrice. Alors pourquoi ça marcherait, ça ? Parce que là, dit comme ça, ça fait un peu, bah, allez, vous prenez trois cartes, vous alignez les points, et puis paf, ça fait des chocapics et une racine cubique. On comprend pas très bien d'où ça sort. Alors évidemment, Eratosthène, il la sort pas de nulle part, sa méthode, mais pour comprendre son cheminement, il va falloir qu'on prenne une minute ou deux pour rétrospecter deux, trois choses. On ouvre une parenthèse. Si je vous montre cette suite de nombres, 1, 2, 4, 8, 16, 32, et que je vous demande ce qui vient après, vous me répondrez sans doute 64, et vous avez bien raison. Cette suite de nombres, ce qu'on appelle les puissances de 2, elle se construit en multipliant par 2 à chaque étape. 32 fois 2, ça fait 64. Et plus généralement, une suite de nombres dans laquelle, à chaque étape, on multiplie toujours par le même nombre, on appelle ça une suite géométrique. Par exemple, si vous partez de 3 et que vous multipliez par aller 1,2 à chaque étape, vous trouvez 3, 3,6, 4,32, 5,184, et ainsi de suite. C'est aussi une suite géométrique. Or, il se trouve que les suites géométriques, elles sont assez faciles à construire géométriquement à la règle et au compas si vous connaissez les deux premiers termes. Si on regarde notre suite qui commence par 3 et 3,6, là, vous allez faire comme ça. Vous partez d'un point, qu'on va appeler O, c'est l'origine, et vous tracez une demi-droite qui part de ce point. Puis vous allez reporter les deux premiers nombres de votre suite, comme sur un axe. Un point à la distance 3 de O et le deuxième à la distance 3,6. Ensuite, vous allez tracer une deuxième demi-droite qui part aussi du point O et deux parallèles qui passent par vos deux points de départ. Je ne détaille pas la construction, mais vous vous rappelez que les parallèles à la règle au compas, ça se fait bien. Et là, on se retrouve avec une figure qui vous dit peut-être quelque chose, c'est la configuration classique d'un théorème qu'en France, on appelle le théorème de Thalès, qui, soit dit en passant, n'a pas du tout été découvert par Thalès, mais bref. Ce théorème, il nous dit en gros qu'on a deux triangles imbriqués, le bleu et le rouge, et que le rouge est un agrandissement du bleu. Ils diffèrent par leur taille, mais sinon, ils ont la même forme, donc les mêmes proportions. Ce qui signifie que, comme on sait que sur l'axe du haut, le côté rouge est 1,2 fois plus grand que le côté bleu, eh bien, on peut aussi en déduire que sur la demi-droite du bas, le côté rouge est 1,2 fois plus grand que le côté bleu. Et les troisièmes côtés sur les parallèles aussi. Tout le triangle est 1,2 fois plus grand, en fait. Et là, je dis 1,2 parce que c'est les valeurs de départ qu'on a choisies, mais ça marcherait aussi bien si on multipliait par n'importe quel autre nombre. Et là, c'est le moment où on va faire un truc astucieux. On va partir de l'axe du bas et on va tracer cette droite qui passe par le premier point du bas et le deuxième du haut, puis sa parallèle qui passe par le deuxième point du bas. Et là, on se retrouve encore dans une configuration de Thalès avec ses deux triangles, le nouveau rouge et le nouveau bleu, et donc le rapport de 1,2 qui se trouve en bas, il se reprojette sur l'axe du haut, mais cette fois en partant du deuxième point. On a donc trouvé un troisième point ici, qui est 1,2 fois plus loin de haut que le deuxième. Il est donc 4,32 fois plus loin. On vient de trouver géométriquement le troisième nombre de notre suite. Puis maintenant que vous avez le principe, plus rien ne vous arrête. En faisant des parallèles à la chaîne, paf, paf, vous reportez autant de fois que vous voulez votre rapport de 1,2 entre les deux demi-droits, et vous pouvez construire les uns après les autres tous les points de votre suite géométrique, aussi loin que vous voulez. C'est un raisonnement thalescopique. Et là, vous allez me dire, ok, mais quel rapport avec mon potiron ? Eh bien, il se trouve qu'on peut également construire une suite géométrique qui fait intervenir la racine cubique de 2. Si vous partez du nombre 1 et que vous multipliez à chaque étape par la racine cubique de 2, le quatrième nombre de votre suite, eh bien c'est 2. C'est logique parce que vous faites racine cubique fois racine cubique fois racine cubique, vous multipliez trois fois par lui-même, donc, par définition, ça donne 2. Ce serait donc vachement cool si on pouvait construire cette suite géométriquement avec une règle et un compas. Seulement voilà, la méthode qu'on vient de voir, elle marche si on a les deux premiers termes de la suite. Là, le deuxième, on ne l'a pas puisque c'est précisément lui qu'on cherche, c'est la racine cubique. Par contre, on a le premier et le quatrième terme, c'est 1 et 2. On se retrouve donc face au problème suivant, comment déterminer les deuxième et troisième termes d'une suite géométrique dont on connaît le premier et le quatrième ? Et c'est là qu'Eratosthène sort les cartes. Si vous reprenez la disposition qu'on a trouvée avec les quatre points lignés, vous prolongez ces deux droites vers le haut et vous dites que ce point-là s'appelle O, vous obtenez exactement la configuration qu'on vient d'étudier. On a deux séries de parallèles, formées la première par les côtés des rectangles et la deuxième par les diagonales, qui s'enchaînent comme on veut, donc les quatre triangles-là forment une suite géométrique. Et il y a juste une différence entre ce qu'on vient de voir et ce que fait Eratosthène, c'est que lui, il regarde sa suite géométrique sur les côtés parallèles. Avec sa construction, les longueurs de ces quatre segments forment une suite géométrique. Or, le premier mesure 1 et le quatrième mesure 2, puisqu'on a choisi des cartes rectangulaires de longueur 2, c'est fait exprès. Conclusion, le deuxième segment mesure bien racine cubique de 2 et le troisième racine cubique de 2 au carré. Et ça, ça démontre que la méthode d'Eratosthène est théoriquement correcte, à défaut d'être pratiquement pratique. Donc ok, la méthode marche, mais elle est insatisfaisante pour plusieurs raisons. Déjà, elle répond évidemment pas aux problèmes de base, puisqu'elle utilise des cartes mobiles et absolument pas une règle et un compas. Mais bon, ça, puisqu'on sait que c'est impossible, on lui pardonne. Et ensuite, parce qu'elle ne dit absolument pas de quelle manière on doit s'y prendre pour aligner ces quatre fiches du point. C'est vraiment, allez-y, prenez les trois cartes et débrouillez-vous, vous allez galérer un petit peu, puis vous finirez bien par y arriver. C'est pas très rigoureux tout ça, voire pas du tout. Et c'est là qu'intervient Pendrosion, qui, sept siècles plus tard, va s'inspirer de cette méthode pour rendre tout ça plus précis. Pendrosion, elle s'appuie sur la même figure, mais elle va pas utiliser des cartes, elle va effectivement faire uniquement de la règle et du compas. Elle nous dit, partez de cette figure-là, un rectangle de hauteur 4 et de largeur 2, que vous allez diviser en deux carrés par cette ligne au milieu, et vous tracez aussi cette diagonale. Puis vous allez placer un point, ici, quelque part, sur ce côté du carré bas, par exemple au milieu, on va l'appeler P. Et ce point P, il va servir de point de départ pour retracer la figure taloscopique d'Eratosthène. On va considérer que notre point O est ici, en haut à gauche. Vous tracez cette ligne horizontale-là, disons en bleu, puis cette diagonale en rouge, et avec ces deux directions, bleu et rouge, vous allez construire des parallèles successifs, comme ça. Ce qui permet d'obtenir quatre triangles qui forment une suite géométrique, comme précédemment. Et là, la méthode de Pendrosian nous dit que le but du jeu, c'est de trouver la bonne position du point de départ P, ici, pour que la dernière parallèle bleue, en haut, tombe pile-poil sur l'horizontale du milieu. Si on arrive à faire ça, c'est gagné, on retombe sur la figure d'Eratosthène. Là, le côté du bas mesure 2, le petit côté en haut mesure 1, et donc on retombe sur la figure avec les cartes, là. Ici, on a racine cubique de 2, et ici, on a racine cubique du haut carré. Alors évidemment, en choisissant le point de départ au hasard, il y a peu de chances que ça tombe pile-poil, mais, et c'est là qu'on arrive à l'apport de Pendrosian, avec cette méthode, on a un moyen de mesurer, d'avoir une estimation de à quel point on s'est trompé. Cette mesure, c'est celle-ci, la distance verticale entre notre dernière parallèle et le segment du milieu sur lequel on voudrait qu'elle tombe. Si cette distance, c'est 0, c'est gagné. Si le bleu est au-dessus, ça veut dire qu'on a mis le point P trop haut, et s'il est en dessous, on l'a mis trop bas. Et plus cet écart est grand, plus l'erreur est grande, et donc si on veut corriger de manière efficace, il faut d'autant plus déplacer le point P que cet écart est important. Alors de manière un peu naïve, on pourrait être juste tenté de déplacer le point P de cette distance-là, mais ça, ça marche pas, parce que dans le processus de traçage de parallèle, la marge d'erreur ne reste pas constante. Si on déplace le point P de ce 0.15 et des poussières, cet écart va être amplifié à chaque zigzag successif, et on va se retrouver à dépasser la valeur qu'on cherche. Alors on se retrouve à 0.13 d'écart, on peut dire qu'on s'est un peu rapproché si on veut, mais c'est pas énorme, c'est pas hyper satisfaisant. Donc Pendrosion réfléchit à la meilleure façon de s'y prendre pour utiliser de manière efficace cette information qu'on a sur la marge d'erreur finale pour corriger le mieux possible la position du point P en la modérant pour tenir compte de cette amplification. Et elle trouve notamment cette méthode qui marche remarquablement bien. On va agrandir un peu pour mieux voir. Elle va tracer cette ligne verte, puis une parallèle à celle-ci qui passe par le point P, et cette diagonale du carré du bas de la figure. La parallèle et la diagonale se coupent ici, on reporte cette position à l'horizontale comme ça. Et c'est à cette position ici qu'on va déplacer notre point P. Et on a donc un nouveau point P avec lequel on peut recommencer tout le tintouin des parallèles. Et quand on arrive au bout, on réalise qu'on s'est bel et bien rapproché de la solution. Alors évidemment c'est toujours pas exact, mais ça c'est normal. Si ça tombait juste, Pendrosion aurait purement et simplement résolu la duplication du cube, et ça on sait que c'est pas possible. Mais on a là un processus qui s'auto-corrige et qui à chaque étape va se rapprocher de plus en plus de la solution qu'on cherche. En mesurant à chaque itération la longueur de ce segment, on va trouver une suite dont on dit en termes modernes qu'elle tend vers la racine cubique de 2. Sa limite est égale à racine cubique de 2. Et si on fait le calcul, on voit qu'effectivement ça marche. A la première itération, en plaçant le premier point P au milieu du carré, on trouve que ce segment vaut 1,125. Or la véritable valeur de la racine cubique de 2 c'est 1,259921 et des poussières. On pourrait se dire qu'on est déjà pas très loin, mais bon à cette échelle ça reste quand même un écart assez conséquent. A partir de l'écart constaté, on déplace notre point P, et à cette deuxième itération on trouve 1,2286, ce qui est déjà beaucoup mieux. Et en reproduisant étape après étape, on constate bien que ça s'approche rapidement de la valeur exacte. Alors bien sûr Pendrosion ne résout pas l'authentique problème de la duplication du cube, parce qu'aucun de ses segments successifs n'est exactement égal à racine cubique de 2. Et c'est en gros ce que lui reproche Papus, même s'il le dit de manière particulièrement agressive. Il lui reproche une méthode pas très propre qui ne fait que tomber perpétuellement à côté. Dans l'idéalité mathématique assez répandue chez les mathématiciens de culture grecque, il n'y a pas de « on se rapproche de plus en plus, soit ça tombe juste, soit on est à côté et puis c'est tout ». Sauf que depuis, de l'eau a coulé sous les ponts d'Alexandrie, et les méthodes comme celle de Pendrosion ont gagné leur lettre de noblesse. Il n'y a plus aucune honte aujourd'hui en mathématiques à avoir une suite qui tend vers une limite. C'est un fait mathématique comme un autre, c'est juste une méthode différente mais complémentaire, qui est aussi intéressante que d'avoir un calcul direct. Et d'autant plus que les calculs directs ne sont pas toujours possibles. Alors notez qu'il y en a eu d'autres quand même dans l'antiquité qui ont fait des suites qui tendent vers une valeur. Le plus célèbre d'entre eux, c'est sans doute Archimède, qui a utilisé une méthode permettant d'approximer le nombre pi. Et pour ça, il s'approchait de plus en plus d'un cercle avec des polygones ayant de plus en plus de côtés. Mais il y a quelque chose de résolument moderne dans l'approche de Pendrosion qu'il n'y a pas dans celle d'Archimède, c'est cette idée de correction qui s'adapte en fonction du résultat précédemment trouvé. Archimède, à chaque étape, il rajoute des côtés à son polygone et il n'y a pas de suspense, sa route est tracée. Dans la méthode de Pendrosion, il y a ce côté, ok voilà ce que j'ai obtenu, je suis capable d'estimer, pas de manière exacte mais à la louche, l'erreur que j'ai commise, et donc je vais me servir de cette information pour la réinjecter dans ma machine et m'approcher le plus possible du nombre que je cherche. On pourrait écrire ça avec le formalisme actuel en termes de suites numériques récurrentes dans laquelle chaque terme se calcule à partir du terme précédent en utilisant cette estimation de l'erreur. Cette façon de faire se rapproche beaucoup de méthodes qui vont se multiplier dans la suite de l'histoire, dont la plus célèbre est peut-être la méthode de Newton qui, elle aussi, a cette propriété de s'auto-adapter et de regarder où elle est avant de décider où elle va. C'est un peu différent mais il y a cette idée. Bref, vous l'aurez compris, je trouve ça vraiment dommage que Pendrosion n'ait pas reçu la reconnaissance que je pense qu'elle mérite dans l'histoire des maths et j'espère que, modestement, cette vidéo pourra contribuer à faire un peu mieux connaître son nom et ses maths. Si ça vous intéresse, comme d'habitude, les sources de la vidéo sont dans la description. Avant de vous quitter, je change totalement de sujet juste pour vous dire que mon dernier livre, L'équation de la chauve-souris, est sorti de la poussée d'Archimède à la physique quantique, seul sous-titre. C'est un voyage à travers les maths et les sciences physiques et leurs histoires, l'histoire des humains qui les ont faites et qui, j'espère, retournera votre cerveau et votre perception du monde qui nous entoure. Je vous mets le lien pour lire les premières pages sur le site de l'éditeur. Et sur ce, ciao !