Divisibilité dans Z - Maths expertes -somme de 3 cubes consécutifs

bonjour à tous alors aujourd'hui petit exercice d'arithmétique avec la divisibilité dans Z on va démontrer que la somme de 3 cubes consécutif c'est-à-dire les cubes de trois entiers consécutifs est toujours divisible par 9 alors je vais tout de suite vous donner un exemple pour bien comprendre ce qu'on va essayer démontrer alors je vais prendre donc 2 au Cu + 3 au Cu + 4 au Cu voyz c'est le cube des cubes de trois entiers consécutifson peut dire des cubes cutif donc ici 2 au³ ça fait 8 + 3³ 27 4³ 64 4 x 4 x 4 ça fait 64 j'additionne donc on peut faire dans 64 et 8 72 92 99 c'est bien divisible par 9 on peut ESS un autre avec 3 au³ + 4³ + 5³ ça a monter assez vite donc ça fait 27 + 64 + 125 et regardez encore donc 5 et 4 9 et 7 16 j'ai une retenue 3 9 et de 11 une retenue et donc 216 et 216 et bien vous faites vous additionnez les trois chiffres ça fait 9 c'est bien divisible par 9 donc c'est parfait pour ces deux exemples ben maintenant on va montrer que c'est toujours vrai alors ici hein on peut même faire ça avec des nombres négatifs hein par exemple on fait moins alors si je mets des moins qu'est-ce que ça change change si je mets des trois nombres négatifs bien vous avez la même chose vous aurez - 2 au³ - 3³ 4³ puisque le cube et bien conserve le moins donc vous aurez -99 c'est bien divisé par 9 alors s'il y a des signes alternés par - 2 au³ 1 au³ - 0 au³ là on a du - 8 - 1 ça fait - 9 ça marche encore voyez toujours divisible par 9 donc et bien maintenant on va démontrer ça on va donc considérer trois entiers on peut même les prendre rel donc on prend donc déjà soit donc alors les trois entiers consécutifs on peut prendre n n + 1 N + 2 mais quand on a comme ça exerci moi je vous conseille de plutôt prendre soit N- 1 N et n + 1 3 entiers consécutif entiers qui peut même être relatif conséutif donc sousentendu de toute façon n appartenant à Z et on va donc calculer n - 1 au C + n³ + N + 1³ l'intérêt vous avoir de prendre n - 1 n n + 1 il est dans le fait que certains termes s'annulent hein si vous prenez n n + N + 2 il y a pas beaucoup il y a pas de termes qui s'annulent donc c'est plus compliqué donc ici on va développer alors N-1 au³ donc pour ça alors il y a des formules qu'on verra cette année en math experte mais on ne les connaît pas pour l'instant donc on va aller les chercher donc n-1³ pour pour faire ça on fait d'abord n - 1 x n -1 au car donc tout de suite j'écris mon identité remarquable et je n'ai plus qu'à développer donc j'auris alors dn³ j'en ai ici n³ ensuite - 2n² + N - N2 + 2N - 1 et donc on obtient n³ 2n² ici donc - 3n² 2n + N + 3Z - 1 et maintenant on fait n + 1 au³ donc je vous le dis ça va donner n³ + 3n 2 + 3n + 1 vous saurez faire ça très bientôt directement hein vraiment une partie importante du programme de cette année ce qu'on appelle la formule du binôme de Newton qui permet de développer tous les expressions du type A + B puissance n avec n en entier d'accord donc ici on est bien dans ce registre là avec N = 3 d'accord a = n et B = plus ou-- 1 donc ça c'est pour plus tard on a développé donc ici je vais mettre tout ça dans ma ligne dans mon dans mon expression ici donc qu'est-ce qu'il me reste donc n³ - 3n 2 + 3n - 1 +³ et maintenant n + 1³ N3 + 3n2 + 3n + 1 vous voyez ce que j'avais annoncé il y a des termes qui s'annulent celui-ci s'annule avec ça et ensuite celui-ci UL avec ça qu'est-ce qu'il me reste des n³ j'en ai 1 2 3 donc 3n Cu ensuite des n j'en ai 3 ici 3 ici 3n³ + 6n et maintenant il faut montrer que c'est divisible par 9 alors jeis faire ça de façon très rigoureuse en revenant vraiment à la à la notion divisité par 9 c'est quelqu'un qui s'écrit 9 x k donc déjà ici pour avir du 9k voyz déà un 3 factoriser par ici 3 hein et donc même 3n si je veux et ça me fait donc du N2 + 2 pour l'instant on voit instantanément ici on a deux facteurs entiers donc c'est 3 fois un facteur entier donc déjà on a une expression qui est divisible par 3 mais pas encore par 9 ça veut dire qu'ici maintenant et bien il va falloir montrer que quel que soit N relatif ça et bien la question c'est de montrer que ça c'est divisible par 3 autrement dit que je peux l'écrire 3K et donc je amener un 2è 3 ce qui me fera un 9k donc comment montrer que nn² + 2 est divisible par 3 bien à ce niveau du cours on a pas encore grand-chose on va raisonner par disjonction le premier cas donc alors c'est par rapport à 3 donc n s'écrit 3K alors je tout de suite vous montrer le 2è cas 2è cas et bien cette fois-ci le N n'est pas un multiple de 3 c'est un multiple de 3 + 1 donc n peut s'écrire 3K + 1 et ensuite mon 3è cas parce qu'il y a ici c'est comme si vous divisiez n par 3 il y a 3 restes possibles dans la division auclidienne 1 0 et le 3è cas le reste c'est 2 donc ça veut dire que il existe k appartenant à Z tel que N s'écrit 3K + 2 donc c trois raisonnements séparé donc dans le premier cas hein alors ici ça veut dire qu'alors cette expression là je vais l'appeler SN comme ça pratique ici ça veut dire que ma somme SN elle vaut donc 3 alors on a 3 ici et bien N s'écrit 3K donc 3 x 3K x N car + 2 c'est-àdire que ça s'écrit donc 3 x 3 9 x k x N car + 2 or K est un entier on multiplie par Car+ 2 qui est un entier ça ça appartient donc à Z donc alors si j'appelle ça on va l'appeler grand k ça veut dire que SN = 9 x grand k avec grand cas appartienant à Z et bien on en déduit ici l'écriture d'un nombre divisible par 9 donc 9 divise ma somme donc dans le premier cas c'est mon deuxème cas combien vaut ma somme SN c'est donc 3n x n² + 2 alors n je pas mettre 3 + 1 par que 3 + 1 c'est pas là pas de là que va venir mon 3 le 3 va certainement venir du N car + 2 donc je mets ça au carré ça fait donc 9 k plus le double produit 6 K + 1 mais comme j'ai un + 2 ici ça fera + 1 + 2 ça fa + 3 je peux factoriser par 3 donc là je vais mettre 9N facteur de 3 K2 + je factorise par 3 2 k je factorise par 3 + 1 d'accord et là et bien c'est la même chose hein ici hein et bien je vais appeler ça grand cas et ce grand cas c'est un produit d'entier hein c'est somme ici produit d'entier donc ça reste entier donc encore une fois SN s'écrit 9 fois un entier donc 9/ SN donc le 2è cas c'est parfait voyz tout s'est passé dans dans le n² + 2 3e k bien c'est un peu pareil hein ça va pas se passer dans le 3K + 2 ça va se passer encore dans le n² + 2 donc quand je mets au carré directement 9 K2 le double produit par contre 2 x 3 6 x 2 12 k plus le car 2 ça fait 4+ 2 qui était dans l' n car + 2 bien regardez ça fait 3n 9 k² + 12K + 6 et on peut factoriser ce dernier terme ce dernier facteur pardon par 3 donc j'obtiens bien 9N x 3k2 + je factorise par 3 4 K + 2 et là vous voyez ici et bien ça c'est un je vaisappeler grand k ça appartient à Z et donc j'ai bien SN qui s'écrit 9 fois un entier donc 9/ SN c'estàdire ma somme des trois cubes consécutifs et donc ma conclusion quel que soit N appartenant à Z et bien N - 1³ + n² + n + 1 au³ et bien est divisible par 9 donc on recopie normalement la phrase c'est veut dire que la somme de 3 cubes consécutif est toujours divisible par 9 et l'exercice est terminé voyez il a mis en place une disjonction avec ici l'écriture de n en fonction de cas donc c'eston appelle la division de N par 3 avec ces trois restes possibles 0 1 ou 2 voilà bel exercice parce qu'il est accessible quand même au niveau terminal voilà à très bientôt