這種形狀永遠無法重複 - Aperiodic

這個地板是由一種形狀不斷複製鋪開而成的 它可以無限延伸 但圖案永遠不會重複 這就是重複的意思 將那個正方形地板的副本向右移動一個方塊 每個正方形都會落在另一個正方形上 現在嘗試用這個地板做同樣的事情 無論你把副本劃到哪裏 它的一部分都無法對齊 A 只能這樣鋪開的單一形狀被稱爲愛因斯坦 這是德語中一塊石頭的意思 直到2023年 人們還不知道是否存在這樣的形狀 讓我們來 建造一個 從一個六邊形網格開始 將每個六邊形 從中心到每條邊的中點 切成六個風箏形 現在把這些八個風箏形粘合在一起 這就是帽子 十三邊形形狀有點像帽子或T恤 這種形狀的複製件可以緊密拼合，沒有空隙也沒有重疊 一次一次地放置帽子，聽起來簡單但很快就會陷入困境 沒有任何帽子能適合這個空隙，無論正着還是倒着 所以我們必須回退，並更早地嘗試不同的帽子 這裡是一棵樹，展示了所有嘗試 每一條分支都是一個選擇，每一個紅色的末端都是死衚衕 僅僅覆蓋這個小區域就嘗試了將近300次 在一個稍大一點的區域，同樣曾做嘗試超過7000次 但看看這些，它們是同一頂帽子只是翻轉了 而每層帽子都需要一些這樣的形狀 這塊區域共有7921頂帽子，其中1009頂是倒置的 因此大約每8頂中就有一頂是倒置的 這些帽子總是以幾種相同的方式聚集在一起 我會逐一描述這些聚集的區域，共有四種類型 發現它們的人分別稱它們為HTP和F 拉遠來看這些聚集的區域 又會形成更大規模的相同四種類型的聚集 這些又會形成更大的聚集 這個過程可以無限延續下去 每一頂帽子在每一層都只屬於一個聚集區域 因此整個地板實際上是一個巨大的家族樹 每一層的寬度大約是下一層的2.6倍 這正好是黃金比例的平方 我從未將這個數字輸入到程序中 這個數字是從瓷磚中自然產生的 所以為什麼帽子地板無法重複呢？ 帽子背後的論文證明 每個帽子地板都具有這種嵌套結構 而且只有一種方式可以將其拆分成聚集區域 這個證明的一部分是通過計算機完成的 現在假設某個滑動操作能讓地板與自身對齊 那麼它也會讓所有團塊對齊 以及團塊中的團塊 每一層都會如此 上升到一個層級其中某個團塊比滑動操作的範圍要寬得多 該團塊的滑動副本會主要覆蓋在原始團塊之上 同一層級的團塊永遠不會重疊 因此這種滑動操作不可能存在 其他任何滑動操作也不可能存在 永不重複並不 意味著是隨機的 選一頂帽子 然後根據它與相鄰帽子之間的跳躍次數來給每頂帽子上色 這些環不會呈現出圓形它們會呈現出搖晃的六邊形 還有一個測試方法是從晶體中借用的 將X射線穿過晶體它們會散射成一個斑點圖案 我也可以用帽子地板做同樣的事情 每個帽子都變成一個點 我計算它們在各個方向發出的光的總和 只有一個帽子時每個方向都會得到相同的光 有上百個帽子時開始出現斑點 擁有二千個時這些斑點變得非常清晰 隨機的點只會產生霧氣 所以像這樣的清晰斑點 意味着地板是有秩序的 我甚至可以聽到這些斑點 通過最亮點的一條線上 每一個斑點都會變成一個音調 晶體的斑點是均勻分佈的 所以它會發出一個音符 隨機的點沒有斑點 所以只會發出嘶嘶聲 帽子的斑點位於黃金比例構建的距離上 所以它會像鈴鐺一樣發出聲音 1982年丹謝赫特曼在一種真實 金屬合金中看到了類似的清晰斑點 這種圖案是任何重複晶體都無法產生的 他因這一發現獲得了2011年諾貝爾化學獎 有些人不喜歡這種帽子 需要翻轉複製的設計 兩個月後同一團隊發現了Spectre 它也能無縫拼貼且永不重複而且不需要翻轉的副本 這種帽子於2022年11月由退休的印刷技術員大衛· 史密斯通過電腦上的拼圖程序發現 他聯繫了計算機科學家克雷格·卡普蘭 隨後與約瑟夫·麥爾斯和查姆· 戈登·斯特勞斯一起證明了這一點 1966年發現的第一組只能無縫拼貼且永不重複的磁磚 需要20426種不同的磁磚 接下來的八年裡數量減少到92種 再減少到6種最後是羅傑彭羅斯的二種 這種瓷磚只需要一種