計算圓周率 用滑動方塊的碰撞次數來計算圓周率

祝你圓周率日快樂 2025。這是一個實驗okane年。我們會以某種實驗方式計算圓周率嗎？ 史蒂夫·穆爾德又非常慷慨地再次與我一同參與。 是的，我敢肯定有成千上萬的人給你寄過這個主意，但 所以，3Blue1Brown 做了一支影片，內容是關於兩個碰撞的方塊，而某種方式下，圓周率 π 居然出現了。 這看起來像是一項物理相關的事，對吧？而且這也是一件實用的事，所以我想要做這件事。 這是個極佳的建議，也正是我們來到劍橋大學工程系的原因。 今天我們要試試看，但我們會在3Blue1Brown製作的短片中進行遊玩。 因為那是有史以來最荒謬的事實了。 從一個質量為一公斤的方塊開始，使其在無摩擦的平面上滑動。 如果它撞上另一個一千克的方塊，假設碰撞為完全彈性碰撞， 它傳遞了全部的動量。 我們要做的是在左邊設置一堵無法移動的牆 這個第二個方塊可以彈開的。 對於這個簡單的例子，總共有三次碰撞。 當我們把第一個方塊變得更大，例如達到100公斤時，情況就變得有趣了。 在這種情況下，它在每次碰撞時會保留更多的動量。 因此，它需要經過更多次的反彈才能完全轉向。 總共下來，這裡的情況是，我們最終得到 Conditions 31 次碰撞。 如果更大，例如達到 10,000，那麼總碰撞次數將會是， 再次，即使在這些瘋狂的過度理想化假設下，結果仍為 314。 那不是很驚人嗎？ 直到今天，這仍然讓我感到難以置信。 一段影片，真精彩。 只聽見他的聲音，就彷彿聽到了重點。 就像他就在房間裡親自向你解釋一樣。 那麼碰撞的次數總是，總是與數字5有相同的數位。 嗯，我們當然可以，沒錯。 是的。 相撞的物體可以用來計算圓周率。 我們會做到的。 我們預期它們碰撞的次數 n 等於 π 它們質量比的平方根的倍數。 這意味著如果兩個物體的質量比相同，均為1， 它只是π向下取整。 三次碰撞。 倘若我們更具雄心，比例 100 相當於 10 倍的 π 向下取整。 比例為 10,000，其平方根為 100，即 100π 向下取整。 我們無法做到下面那一個。 但這裡，這就是夢想。 兩個物體，質量比為 100，經過 31 次碰撞。 但在我們過於興奮之前，我們先做簡單的一個。 為了實現這一點，我的工程夥伴休·亨特 邀請我們進入他在劍橋的工程實驗室，那裡有一張氣墊桌。 對，這是一張氣墊桌。 而且這是一張布滿許多細小孔洞的桌子。 如果我打開空氣，東西就會在桌上漂浮，彷彿我們置身於太空之中。 如果我拿到手機，就能把手機放在桌子上。 它也會在那裡漂浮。 我還能進行這種小型碰撞實驗。 休的桌子通常用於進行更複雜的碰撞實驗。 然而，我們希望將其限制在一個維度上。 我們想在桌子上放一個大質量的物體 作為我們無限的牆，將光盤反射回來。 然後當我們準備好兩個質量相等的圓盤後， 理論上，我們應該得到與圓周率第一個數字相等的碰撞次數。 開始吧。 一、二，哦不，三。 耶！ 我無法告訴你我們已經超越了多少個圓周率日的計算。 在我們繼續前進之前，我們意識到那堵無限質量的牆 稍微移動了一下，從系統中帶走了一些能量。 因此我們把它稍微加重了一點。 我們對三次碰撞的情況有了更充分的證據。 看看那個第二個圓盤在第三次碰撞後是如何完美停止的。 現在我們可以嘗試不同的質量比。 由於我稍後會解釋的原因，我們嘗試了15比1的比率。 這稍微麻煩一點，所以我們得重複做幾次。 但我們會到達那裡的。 一，二。 那麼，質量比為 15 給出 12 次碰撞的意義是什麼呢？ 好吧，我們將碰撞次數的方程式進行重新排列。 我們得到了一個關於π的方程式。 如果我們在其中加入12次碰撞和15的比率並計算答案， 我們得到 π 等於 3.0983。 不錯，但不如數字直接出現來得令人愉悅。 這正是我們真正來此的目的。 是時候來個一百比一了。 嗯，我們可以做到100比1嗎？ 好吧，你非常興奮。 我對 100 對 1 感到非常興奮。 之所以100比1有趣，是因為100的平方根是10。 這意味著你應該會有31次碰撞。 我們將使用小型的。 100乘以5.2克，就是520克。 這確實很沉重，但我已經做了一個。 就在這裡。 這是520克。 由於磁碟的大小現在不同了， 休將圖釘插在上面，並打算用一根中間的鐵軌來確保它們完全對齊。 好吧，這是我第一次這麼做，因為我今天早上才剛製作這張磁碟。 100比1的質量比。 好吧，這不該突然完全停下來的。 但別擔心，我們會再試一次。 我會把手機拿出來以慢動作拍攝，這樣我們就能看清楚發生了什麼。 這是我在慢動作下拍攝的畫面。 讓我們來計算碰撞次數。 一、二、三、四、五。 哦？什麼？ 真是一團糟。 現在，對於那些認為只需觀察波形即可的人。 我確實想到過那一點。 就在 Audacity 裡。 我們來完整地演繹一遍。 好吧，如果你錯過了那一點，這裡有一個。 二，三，四。 那是五個。 然後在這裡，祝你好運，試著把它弄明白吧。 稍微更高的峰頂是它撞擊牆壁的位置。 它們更吵鬧。 所以我們可以說 6、7，我不知，8、9、10、11、12、13、14、15、16、17、18、19、20、21。 我們根本不可能接近31。 如果我們試著從慢動作中精確地提取一個數字。 現在就試試看。 有一、二、三、四。 好的，現在我們即將開始，五、六、七、八、九、十、十一。 現在，它碰到牆壁時總是偶數，碰到這裡時總是奇數。 我真正想找出的是，當它分開時，一個偶數接著一個奇數。 當它回來的時候。 所以接觸點上是11個。 當它分開時，另一側就是12。 30 接觸。 40 在另一側。 50 接觸。 我想那會來的，是的。 15 在那裡。 16 分離。 17、18、19、20、21、22。 甚至在牆上。 23 來自光碟。 24，等一下。 不，24。 23. 噢，別為此慶祝。 拜託，π 不是 2.3。 問題在於，我們並非僅僅無法實現完全彈性碰撞。 這裡亂七八糟的。 我們正遇到額外的摩擦。 後援板正在滑動。 一切並非完全對齊。 我們可以做得更好。 但在我們回到先前的工程方法並重新調整之前，讓我們先來談談理論。 π 從哪裡來的？ 是的，圓盤，圓形。 但如果出現了圓周率，地圖上某處必定有圓形。 他們在哪裡？ 現在，當然，我知道所有的詳細情況。 但為了完整性，我們停頓了一下，讓格蘭特拿起了白板筆。 告訴史蒂夫這個圓形從何而來。 從系統的能量方程式開始，質量的二分之一乘以速度的平方，即 ½mv²。 質量二的 1.5mv² 如果兩個質量都等於一，就會簡化得非常漂亮。 相關的術語，就是那個類似於「為什麼會有一個圓圈？」的問題。 圓形究竟有什麼關係呢？ 你這裡有這個平方和的事實。 因為如果你用圖表來表示整個系統的狀態，事實上，這對 速度的集合在該空間中是一個單一的點。 所以你繼續說，我們來規劃一些東西，我們將會追蹤第一個 速度將會是你的 x 坐標。 第二速度是你的 y 坐標。 因此，系統在某一時刻的狀態可由某一點來描述。 那個空間。 這個方程式告訴你在那個空間中，你整個生命週期內被允許生存的位置。 東西 因為如果總能量守恆，而且理想上沒有任何損失，那麼你 當它們碰撞時，實際上並沒有能量損失之類的情況。 這個方程式給出了圓的方程式。 如果你說在整個過程中這等於某個常數。 因此，理想情況下，你對那個圓圈的限制是。 能量守恆方程與圓的方程相同。 那是顯著的。 那就是圓圈的由來。 這正是目前最關鍵的重點。 但平方根呢？ 第一個質量是第二個質量的一百倍。 格蘭特則更傾向於證明，當質量不同時，你不會 得到一個圓，你就得到一個橢圓。 雖然如此，仍然相當不完美，但若我們想要一個純粹的圓形，也並非毫無辦法。 你可以使用質量的平方根來重新調整座標軸，這樣就會得到一個圓。 後退。 你最後會想要乘以質量的平方根。 因此，如果這裡的 x 坐標不是代表 V1，而是代表經過重新縮放的 V1，那麼就是 質量的平方根。 而這裡是第二個質量的平方根乘以 V2，接著是方程式對應的 一個圓，看起來會像 x 的平方加上 y 的平方等於一個常數 加上根號下 m2 乘以 V2 的平方。 這樣最終就得到了我們想要的結果。 m₁V₁² 加上 m₂V₂²。 而且你知道，我們其實忽略了那個一半，因為所有內容都會被分散到任何地方。 那個常數是。 我們下一個問題是，當方塊碰撞時，系統的狀態是如何移動的？ 這個相圖圓形？ 儘管我非常喜歡在白板上寫寫算算，和朋友一起做數學，但我們現在有格蘭特了。 這裡。 從視覺上來看，沒有任何三藍一棕的圖形實在有點浪費。 事實上，格蘭特在他的頻道上為此情況製作了一段全新的影片。 我會在下面提供連結。 但關鍵在於，這解釋了圓周率π的來源。 現在，它們互相碰撞之後，會發生什麼情況？ 我們最後會到達哪裡？ 當然，直覺告訴我們，那個小方塊會獲得某種負值。 速度 因此，我們最後必須到達一個 y 坐標為負數的地方。 而那塊大物體失去了一些動量。 因此，x座標會從原來的位置更靠近零，即使如此 你並不完全知道有多少。 而且，我們必須再次停留在這個圓周上的某個位置。 圓圈代表所有具有相同總能量的點。 因此，你可能會猜測，我們的論點大致落在這裡的弧線上。 更精確地說，我們需要引入第二條守恆定律，即守恆 動量。 不過請記住，此時此刻，我已經改變了這些座標的含義。 所以在我們新的座標系中，第一個物塊的動量看起來像平方根 m1 乘以 x。 而第二個的動量看起來像是 m2 乘以 y 的平方根。 這一切說的都是同一回事。 這只是一種不同的座標系統而已。 那些群體本來就只是常數而已。 其意義在於，整個方程式是關於 x 和 y 的線性方程式。 因此，在我們的圖示中，它會看起來像某種線條。 更精確地說，你可以計算出這是一條斜率為負平方根的直線 大質量除以小質量。 正如你無疑已經注意到的，這條線與圓恰好相交於兩點。 意思是只有兩組速度具有相同的動能。 與初始條件相同的動量。 因此，在方塊互相彈開後，我們必須跳到另一個點上。 坦白說，這就是這個問題中大部分的物理推理了。 而你基本上一直都在玩這個遊戲。 小方塊彈開牆壁，就會讓你往上移動。 方塊互相彈跳。 這會讓你往下並往右移動。 而你只管繼續前進，直到一切塵埃落定為止。 你得到的計數最終方程式看起來像 π 除以反正切函數的值。 質量比的平方根。 有點拗口。 更精確地說，在大多數情況下，您會將此值向下取整，但如果發生情況 要成為一個整數，你會減去一。 π 出現的基本原因在於，能量守恆的形狀看起來像一個圓。 對於二體系統。 如果你想了解全部細節，我當然會有偏見，但我剛剛推出了一個新版本。 對那則說明文，我盡力為觀眾留出空間，讓他們能夠重新發現 他們自己的推理線索。 我在一段單口數學影片中，並不太介意來點無恥的自我宣傳，我真的是這麼想的。 我想你會喜歡的。 但最終結果就是這個公式。 當數值較小時，你實際上可以忽略反正切部分。 因此，最終的計數大致等於 π 乘以質量比的平方根。 所以那就是那個方程式。 現在，這是我影片中不太常見的狀況，但看來我正在積極地 被過去的史蒂夫打斷。 等一下。 什麼質量比會給出 tau？ 我只是覺得，如果我們能算出 tau，那會很酷。 所以，我的意思是…… 我的意思是，某物會反彈這麼多次，對吧？ 像六個。 那會是什麼呢？ 六次彈跳的質量比是多少？ 好吧，如果你想要，比如兩倍的 π，那麼你就必須增加質量比。 四倍。 所以如果一比一得到圓周率，然後是三，那麼四比一就會得到 你就是第六個。 但如果你想要…… 好吧，我們就這麼做吧。 我們必須推出一個新版本。 我就是這個意思。 嗨，是我，史蒂夫。 這是我的影片，因為我們確實製作了新的光碟來計算 tau。 首先，我們必須仔細測量並稱重現有的磁碟，以便我們能夠計算 正是新磁碟所需要的。 然後我們前往工程部門的車間去切割磁碟。 你可以在他們製作的這份CAD檔案中看到其中兩個，因為格蘭特也有一個想法。 64比1 但這些稍後再談。 現在，我們有一個Tau碟需要切割。 這運作的方式是水從一個小噴嘴噴出來。 水與研磨粉混合。 那粉末就像…… 你知道，沙子已經相當磨損了，但這個是特地製造得極度磨損的。 它會切穿的。 現在，這可是實心金屬。 令人驚訝的是，它能輕易切穿這麼多東西。 而且我們給它的任務相對簡單，因為這是塑膠。 但這項功能的優點在於，無需任何繁瑣操作，就能切出你想要的任何形狀。 有了新磁碟後，我們便該回到氣浮工作台，進行真正的半程。 tau磁碟計算。 我的意思是，這就是影片的高潮部分。 這就是我們在這裡的原因。 這是關鍵時刻。 他們會斜著繞過去。 曾有過做 64 的想法。 我對 64 感興趣的原因在於它是 4 的次方。 同樣地，100 的冪次將會在十進制中給出圓周率的數字， 如果你在二進制下工作，並希望得到以二進制表示的圓周率的位元。 你會在質量比為4的冪次時，透過計算碰撞次數看到它。 因此，若正確執行，這應該能為我們得出圓周率的前幾位數字。 好的，25次碰撞。 現在，我非常清楚圓周率π並不是以5開頭的，但那是因為我們這樣觀察它。 在錯誤的基數中。 如果你把25轉換成二進制，結果是11001。 這些是圓周率前五位數字的二進位表示。 就像你將十進制中的某個數字乘以1000時，所有數字都會向左移動三位一樣， 如果我們將二進位數乘以 8，它會向左移動 3 位。 所以小數點在這裡。 這就是我們採取六十四比一的原因。 二進制的 11.001 轉換為十進制是 3.125。 那是我們新的圓周率值。 圓周率是3.125。 現在，僅此而已，這就是我們所能獲得的最佳價值。 坦白說，我們確實進行了大量的 64 比 1 的碰撞。 這只是恰好發生了25次碰撞的那一個。 所以我們只是隨便選了一個可行的方案，這讓我感到不高興。 我真正想做的是將 100 除以 1，然後只取得十進制下的前兩位數字。 發生 31 次碰撞。 這就是我們即將要做的事。 我們離開後，休一直思索著這件事，思考著如何消除所有額外的摩擦力。 並且不願遲疑，總是急於得到答案。 他想出了一個解決方案。 他回到車間。 他們為他製作了一些新零件。 這就是他想出的結果。 那讓我來播放休所拍攝的畫面。 我們開始吧。 乾淨利落。 看，那個大圓盤正在往回移動。 他所做的，是使用水刀切割機來切割這些小槽口。 一塊完全方形的金屬中。 所以這張前床會有很好的彈性反彈效果。 而且效果好太多了。 我之前所說的那些混亂狀況都已經消失了。 那麼讓我們看看能否計算我所稱為的碰撞次數 我們官方對圓周率的最佳計算結果。 好的，我們一起數數看。 我們開始吧。 一、二、三、四、五、六，七、八、九、十、十一、十二。 再次，遠牆上的偶數。 13、14、15、16、17、18、19。 哦，回到20，轉到21，22擊出界外，23，24，25。 哦，這次好太多了。 26 離開牆面，27 離開矩形，28，29。 來了。 30 離開牆面，31 離開矩形。 然後32飛出去，然後33呢？ 34、35，我現在要把它演出來了。 36，37，38，30，39。 39! 在我们這個不完美的實務體系中，儘管有如此多的損失， 我們正經歷越來越多的碰撞嗎？ 39 從哪裡來的？ 嗯，當摩擦力這麼大的時候，這就說得通了。 當兩個質量向兩側移動時 他們耗盡所有能量，最終停了下來。 然後你將會遇到更少的碰撞。 我明白。 但對於這種情況，當那一大塊物體轉過身來時， 如果你仔細想想，這個巨大物體所具有的動量， 必須進入小質量體，然後才能被反射 然後再回到大團體中，使得最終 不僅停止了，而且還倒轉了。 這並非因為摩擦，儘管確實存在一些摩擦。 這是因為動量傳入小質量物體又反彈回來的緣故。 而且如果這些轉移並非完全具有彈性， 需要更多才能移動所有相同的動量。 而且，是的，到最後，這大團體的移動速度會慢很多 比完美時更甚，正因為它不完美， 但仍然足夠好，足以扭轉局勢。 我們需要更多的碰撞才能傳遞相同量的動量。 我們可以在這裡由 Pew 利用 MATLAB 所生成的相圖中觀察到這一點。 這是針對係數 1 的情況。 (skipping reasoning and thought process) 所以每次都是完全彈性碰撞。 那就是我們預期的31次碰撞。 但如果 E 不等於 1，正如現實世界中實際情況並非如此一樣呢？ 當數值為 0.99 時，圓形會稍微向內收縮一點。 因為隨著彈跳次數增加，我們正逐漸失去能量。 而且這仍然足以造成31次碰撞。 因此，即使有微小瑕疵，一個非常出色的實驗仍然會成功。 95 在這裡，所以每次都是 95%。 32次碰撞。 我們算出了39次碰撞。 我們需要有 88.5 的恢復係數。 所以這個大圓圈在這裡是理論上的理想完美世界， 而這就是我們實際所面對的現實。 正如你所看到的，結尾處的碰撞要多得多。 哦，這些密度並未暗示任何與時間相關的意義。 你知道的，它們並非迅速發生。 這是一張相圖。 這裡沒有時間資訊。 只是在告訴你，結尾處有很多內容。 然而，如果我們回顧之前的那個大數字，最後的數字並不多。 而那個不完美的，則是一大堆。 事情就這樣發生了。 這就是為什麼我認為 π 等於 3.9，我堅持這個觀點。 這與一系列精彩的實驗結果完全一致 就像那些在奴役大學的人一樣。 你會在葛蘭特的影片中看到這一點。 他們恰好發生了31次碰撞，因為他們調整了質量以達到這個數量。 他們最後得到的比率約為1比97。 你預期的碰撞次數將少於31次， 但由於它們並非完全彈性，因此也會出現過衝的情況。 讓你達到31。 然而，在我們的實驗中，我們態度堅決。 我們會先得到精確的質量比，為1比100。 然後只管計算碰撞次數。 所以現在圓周率是3.9。 請記下這一點，接下來的12個月內都要注意。 π 等於 3.9，直到明年為止。 我正在考慮再用手動方式做一次。 我不知道我怎麼才能做到。 我不知道它在世界上的哪裡。 如果你想要志願參與了解相關情況，就請志願參與。 描述中將有一個連結到表格的鏈接， 或者您可以使用此处的二維碼。 我需要很多人 如果我繼續按照我所想像的那樣去做，可能會實現。 今年就到此為止了。 非常感謝每一位加入我的人， 並對劍橋大學工程系實驗室致以由衷的感謝 為了製作我們所有荒謬的磁碟。 別忘了去看看其他人的YouTube頻道。 格蘭特的 3Blue1Brown 真是令人驚嘆。 而且我為那個其他傢伙開設了一個頻道。 啊，我開玩笑的。 我愛史蒂夫。 看看史蒂夫·莫爾的頻道。 太好了。 它不該那麼好，但它確實很好。