【官方雙語】反直覺的高爾夫球悖論：為何有時高爾夫球會從洞里飛出來？

你有沒有看過高爾夫球手把高爾夫球推進球洞後，又看著球彈出來的景象？ 這就是原因所在。 如果你以恰當的速度和方向將球拋入圓柱體，它會從另一端再次彈出來。 但為什麼會這樣呢？ 從我的朋友休·亨特向我展示這個演示以來，我一直試圖找出一個直觀的解釋來說明其中的原理。 我第一個想法是從球的角度來思考。 從球的觀點來看，它感覺到一股力量將它向外推，朝圓柱體的外側飛去。 那只是離心力而已。 是的，離心力是一種虛擬力，只有在非慣性參考系中才會感受到。 但這正是我們正在做的事。 我們從球的觀點來觀察，球正在繞著圓柱體旋轉。 因此，它正被拉向牆壁，同時也受到重力的拉扯而向下。 所以，如果我們把圓柱展開成平面再傾斜，結果應該是一樣的。 我們有重力將球垂直向下拉。 但你可以將其分解為兩個分量，一個將其拉向牆壁，另一個則沿著牆壁方向將其拉動。 所以如果我拿球砸向它，它會彈回來嗎？ 我的直覺告訴我，不。 當然不會。 因此，這種效應必定來自於它圍繞某物旋轉的事實，因為在這種情況的平坦對應情況下，這種效應會消失。 我有幾篇論文經過了數學推導。 一個從旋轉參考系分析運動方程式，另一個則從慣性參考系分析。 而且他們兩人都得出結論，是的，這正是我們所預期會發生的情況。 雖然證明這類事情是件好事，但數學並沒有真正讓我理解其中發生了什麼。 就像一種揮手便解釋過去的說法，如果你喜歡的話。 透過數學推導還有一個好處，就是你能挖掘出一些非常有趣的細節。 例如，一件非常令人驚訝的事是，如果球沒有彈出去，它實際上會上下振盪。 根據數學計算，若非受到空氣阻力等因素影響，這將會永遠持續下去。 而且球有時會滑動而非滾動，使得重力最終能夠起作用。 不過，這並不是有趣的部分。 有趣的是，當你開始計算振盪次數時所發生的情況。 例如，球每完成一次垂直振盪，會繞圓柱體轉幾圈？ 你可能會認為，這取決於球的質量、球的半徑，或圓柱體的半徑。 但數學告訴我們的是，這個比例始終等於根號7除以2。 如果這個球是中空的，那麼它的值就是五的平方根除以二。 我們可以在這段影片中在一定程度上驗證這一點。 雖然從側面測量這個角度並不容易，但我需要側視圖來辨識垂直振盪。 因此只能是近似的。 但它大約每上下一次球就轉兩圈，而根號7除以2約等於2。 因此，真正進行實驗當然不會推翻任何事情。 要是我有兩台高速攝影機，就能同時拍攝頂部和側面了。 這些數字，7/2 和 5/2，如果你記得我之前關於唱盤悖論的影片，應該會覺得耳熟。 在該演示中，轉盤每轉七圈，球就繞行兩圈。 我在那支影片中解釋過，這些數字是透過計算球體的轉動慣量得出的，這僅表示旋轉球體有多困難。 要計算這個值，你必須對球體內所有微小質量.Going to the center of the ball, the moment of inertia of each little mass is $ dm \cdot r^2 $, where $ r $ is the distance from the center. 對於一個空心球體，你會得到不同的答案，這就是為什麼在轉盤和圓柱體中，你對空心球體也會得到不同的數值。 我無法在這個圓柱體中展示空心球的行為，有著一個非常充分的理由。 為了讓這個演示能夠成功，你需要大量的摩擦力，因為只有當球滾動而不打滑時，這個現象才會發生。 幸運的是，購買防滑球非常容易。 這是因為在遙遠的過去，防滑球是電腦滑鼠的一項非常重要的功能，而這些球至今仍然 probabilities 相對容易取得。 順帶一提，有趣的是，鼠標球的結構是怎樣的。 如果我把它切開，你會看到裡面有一顆相當大的滾珠軸承，這也合情合理。 你希望滑鼠球能與其下方的桌面良好接觸。 因此，你拿一個大型的鋼製滾珠軸承，並在上面塗上高摩擦係數的塗層。 截至目前，我仍未能找到表面摩擦力相當高的空心球。 未來的史蒂夫剛才突然靈光一閃。 squash球。它們摩擦力高，而且是中空的。 分析這段影片，比例似乎約為 1.75 比 1。 換句話說，球每垂直振動一次，就會繞圓柱體轉1.75圈。 我們預期它應該是根號5除以2，但實際上約為1.6，因此我們稍微有些偏差。 但實際上，一個 squash 球並非完全中空的。現實世界中沒有任何物體是完全中空的。 由於壁球的球壁相當厚，我們預期這個比例會略高於根號5除以2。 這是因為隨著牆體厚度增加，最終你會得到一個實心球。 因此，我們預期這個比率將從根號5除以2增加到根號7除以2。 實際上，類似地，我們計算老鼠球時得到的比率似乎一直略高於根號7除以2。 而且我想我們也能解釋這一點。 由於球體具有實心鋼製核心，球的質量在一定程度上集中於中心部位。 這實際上降低了球的轉動慣量，因此我們預期該比值會略高一些。 但關於這裡發生的情況，有沒有什麼簡單直觀的解釋呢？ 嗯，我第一個想法是，這或許與陀螺儀有關。 就像有一顆球繞著某根軸旋轉，並在圓柱體的內側滾動。 但同時，它還受到重力的向下拉扯。 所以你讓球這樣旋轉，它緊貼著牆壁，並受到重力的拉扯向下。 但你可能知道，當你試圖扭轉陀螺儀的軸時，它的行為並不像你預期的那樣。 角度則相對於施加的力改變90度。 因此，當重力向下拉球時，球的旋轉軸會像這樣傾斜。 突然間，球指向了這個方向。DRAWING OF THE BALL 這意味著，為了讓示範成功，重力必須沿圓柱體軸線方向向下拉動球體。 但這種現象需要重力才能運作嗎？ 為了測試這一點，我將整個東西側過來放。 而且你看，即使沒有重力將球拉過圓筒，球仍然會改變方向，彈回來。 這是我的影棚相機所能達到的最高畫面更新率。 但令人驚訝的是，我擁有這台能以每秒1000幀的高速拍攝高清畫面的相機。 順便一提，我絕對沒有充分發揮這台相機的潛力。 因為這其實是一台運動放大鏡頭。 我告訴你這些的原因是，我正在尋找一些靈感，看看我能用這東西做些什麼。 你可能還記得我關於運動放大技術的影片。 視頻中微小到幾乎無法察覺的移動可以被放大並進行分析。 而且有助於預測工業環境中問題將會出現在哪裡。 RDI Technologies 寄給我一台相機，以防我想要拍攝後續的影片。 如果你有任何想法，希望看到微小振動被放大後的樣子，請在評論中告訴我。 甚至更好，加入我的 Discord 伺服器並在那裡告訴我。 有一整個專欄是用來提供影片構思的。 描述中的連結為 Discord 伺服器。 同時也提供與 RDI Technologies 的連結，滿足您所有運動放大需求。 不過，我想我已經想出了一個直觀的解釋。 我們假設球是以某一角度拋出的。 所以當我們第一次投出球時，球是繞著這根軸旋轉的。 而陀螺效應將試圖維持該旋轉軸的方向。 那麼當球在圓柱體內部循環移動時，會發生什麼情況呢？ 好吧，假設當球體滾動到圓筒內部四分之一圈時，陀螺效應仍維持其旋轉方向。 旋轉軸現在指向圓柱體的牆壁。 那麼，這會產生什麼影響呢？ 當我以這種方向旋轉球體時，會使球體沿水平方向滾動。 但當球到達起點對面牆壁時， 倘若我們假設旋轉軸沒有改變，那麼現在球體稍微向上滾動了一點。 然後經過四分之三轉後，它將水平滾動。 然後在轉完一圈後，它又會開始向下滾動。 我不確定那是否是一個好的解釋，但我清楚知道，這絕對是不完整的。 因為如果這是一個完整的解釋， 水平旋轉與垂直振盪的比率將是1比1。 每上下一次為一轉。 我們知道情況並非如此。 根號七除以二。 我不認為這意味著我們必須完全放棄我直覺上的解釋。 只是在我的說明中，球在整個運動過程中，旋轉軸始終沒有改變。 但實際上，這根旋轉軸受到牆壁接觸的影響而被拉動，被迫改變方向。 但正是對這種變化的抵觸，或者說這種變化所帶來的延遲， 這使得緩慢的上下振盪成為可能。 事實上，這與空心球和實心球所呈現的不同比例也相符。 一個中空的球體，其所有質量都集中在外部，這意味著它更難旋轉。 它的轉動慣量較大。 由於轉動較困難，因此改變其旋轉軸也更困難。 因此，對於一個空心球，我們預期這個比例會更接近我算出的答案。 基於我天真的假設，旋轉軸完全不會改變。 事實上，它更近了。 我會在評論中留下那兩篇論文的連結。 如果有人能將那數學轉化為直觀的描述， 那麼請告訴我，因為到目前為止，這一點仍讓我感到困惑。 希望您喜歡這段影片。 如果你這麼做了，別忘了按讚訂閱。 而且這個演算法認為你會喜歡接下來的這支影片。