小學數學寒假提分必看的《數學思維拓展訓練》，適用三年級學生，全120集 P10 - 三年級春季10-角度計算（下）

好我們看模塊2 三角形和多邊形的內角合 ok 好我們先把角的 簡單的再回顧一下哈 首先第一個定義大家還記不記得 記得吧 兩條 有 公共端點的射線 組成的圖形 對不對 O A B AOB AOB 對吧 比如說可以叫角O 也可以叫角AOB 也可以叫角BOA 對吧 ok 定義哈這是定義 能理解吧 好那其中這個O就是叫頂點 AO和BO這兩條就叫做OA和OB就叫做邊 OA和OB 對吧 那第二個的話我們就涉及到它的分類 來我們給他先寫了幾類啊其中的 銳 然後呢石 頓 平 周 對吧 ok 周角是幾度啊 周角是360 挺角呢 180 直角呢 90 銳角呢 大於0度小於90度 這個呢 大於90度 小於180度就是小頓頓 好 對吧然後涉及到一些具體的計算 就把它帶入到圖裏面 好所以如果第 第三塊你涉及到計算的 那一般來說我們就是看圖 對吧 然後用什麼 用90度的和180度來算 這兩個用的最多 好那三角形我們接下來要去研究三角形 三角形的內角和會是多少呢 有些老師不知道我得量一下呀 是不是啊比如說我隨便給大家一個 等腰直腰三角形對吧 啊你看看 等腰直腰三角形的三個內角都是幾度啊 這三個是不是正好有三個內角 都是60度吧 哦60加60加60是 180 哎我們得到等腰直腰三角形對吧 不等邊三角形是不是180度 等邊三角形 他的三個內角都是60度對吧 那現在我問大家一個問題 你等邊三角形是180度對吧內角和 那 其他三角形的內角和 你們覺得會不會是180度 會不會也會 也會爲什麼 你得證明你不能說會就會啊 是不是所以我就給大家證明一下你看 首先我們隨便畫了兩個三角形 我們發現他的內角加起來都是180度 對吧那麼接下來你就可以這樣 你隨便拿到一個三角形 大家看這個三角形 那你怎麼做呢 你找到他的這兩個中點 找到他的兩個中點然後幹嘛 然後把它沿着這兩個中點的連線對摺 折一下折一下使得上面這個點 掉到底下就正好掉在這個底下 這個條邊上 折過來那麼角一是不是就跑到底下來了 是不是 好同樣道理的話把這邊再沿着這個 再折過來 再沿着這個再折過來 那麼角一角二角三正好對應的都跑到一起 他們仨合起來剛好就是180度 這是其中的一種 證明的方法 對吧 那如果有的同學有興趣去用其他的證明方法 那你你下課之後 去搜一下 專門再去找查找一些相關的資料看看 你就找到三角形 內角和爲什麼是180度 可以吧 ok 那他說老師你是畫的這幾個你看都是 你看這些角基本都是銳角啊 也沒有太頓了 那這樣 我們可以畫個稍微頓一點點的 對吧稍微頓一點點的 你看比如說這麼標準的阿頓 可以吧 那這時候這三個還怎麼去折啊 怎麼去折 還是一樣的你也可以再試一下 對不對你可以試一下啊 再把它對摺一下 還是把它對摺一下 好折完之後你看看會得到什麼東西 好吧有時候老師這怎麼能折啊 你怎麼折不了 你在這這樣折過去啊 能不能理解 即使你這是頓角你就以頓角爲頂角 然後也是這樣頓折過來 也是這樣折過來 好不好能理解嗎 啊就像這個 這個就是頓角三角形了 對吧這個就是銳角三角形了 這個就是直角三角形了 那這三種的話已經把所有的三角形包含了嗎 包含了因爲沒有平角三角形的對不對 頓角三角形就是恰好有一個角是頓角的 那有一個角是頓角 它它就大於90度小於180度對吧 那有沒有可能兩個角是頓角 不可能 所以頓角一定最多隻有一個哈 那隻要三角形的話我們也 舉了例子對吧 那如果三個角都是銳角 我們就叫銳角三角形 那我們把這三種三角形都考慮了 所以三角形的內角和我們知道的就是180度 就是180度對吧 ok 那我現在隨便就就就畫一個問一下 來 大家看過來 舉個例子哈 比如這有個很標準的三角形 這是60度 這是50度 那這是幾度啊 5秒鐘 5 4 3 1知道怎麼算嗎 三個一共是180度 扣掉60度 扣掉50度剩下什麼 剩下 70度能理解嗎 對不對 也說你三角形的內角和知道是180度之後呢 你知道兩個是不是就可以求第三個了 非常棒好 那三角形是這樣 那四邊形呢 四邊形的內角和應該是幾度啊 大家猜想一下我們隨便畫一個四邊形哈 先畫特別的來看看有沒有什麼結論 你比如說長方形 長方形的話四個角都是什麼 都是直角 也就是說都是幾度啊 都是90度 那四個角多少啊 360度對不對 好那長方形360度 那那那你想想所有的四邊形都是360度嗎 比如說我們畫一個Y7扭8形 對啊Y7扭8四邊形 它是不是360度啊 就是我們要把這四個角加起來 你覺得是不是 這個可以是 那爲什麼是呢 我們舉個例子啊 我們我們把它這樣咔嚓開 咔嚓開變成什麼 是不是變成兩個三角形 每個三角形的內角和都是180對吧 所以他加他加他 他們三個加起來是不是180 他加他再加他是不是加起來也180 把這六個角合起來是不是360啊 對不對剛好就是 四邊形的內角和 哇太棒了 所以一個四邊形我們可以分成什麼 分成兩個三角形哎 對吧180加180等於360哈 ok ok ok 好 那問你如果是五邊形呢 那他的內角和呢 你現在會了嗎 你看我們剛剛把四邊形分成兩個三角形 那五邊形呢 有時候老師你繼續分 再看看分一下好 比如再隨便畫一下分了一個了吧 夠不夠不夠還有一個四邊形哈再分 對吧分成幾個了 三個三角形 所以他的內角和肯定是180度對吧 是不是乘3 是不是540度 五邊形 哎我們好像有發現什麼了不得的結論哈 三角形的內角和是一個180度 四邊形是兩個180度 五邊形是三個180度六邊形呢 四個對吧 三角形 一個四邊形兩個 五邊形三個六邊形四個 那n 邊形呢 是不是n-2個 對不對 所以n 邊形隨便一個n 邊形我也不知道n是幾 他的內角和就是n-2個 180度所以就180度乘 n-2 能理解吧 對不對 ok 所以我們就能得出來了 對吧啊你看四邊形 兩個180度 五邊形三個180度 六邊形四個180度 當然他的劃分方法其實不止一種 但是你分完之後都是這麼多個三角形的 能夠理解 好 那現在大家來填空算一下 來開始 給大家兩分鐘 動作算一下開始 把內角和180度的 360度的540度的720度的 分別填到上面去 123456 67890哈這是7號來 填序號填到上面就可以 對不對開始 你記得暫停然後填一下哈 填完了沒 太棒了 ok 來填完了嗎來我們一起來填一下來 內角和180度的是我先 你知道要是三角形誰誰啊 1號 還有呢2號不是3號不是4號 5號不行6號7號8號 對吧所以1號4號8號 好360度的是四邊形來 2號 3號 對吧 然後呢12345 123456 所以就只有2號和3號了 好的540度的就是五邊形了 雖然1234都有了我們看5號 5號是1234566邊形 6邊形應該是720度的所以5號放這 6號呢123455邊形6號放這 7號呢12345 放這 8號已經寫了9號呢123456 放這 10號呢1234567 都不在那裏面對吧 所以10號的內角和應該多少 我們數一下1234567 那7邊形就是 7-2也就是5個180度 多少啊 我看誰能口算 非常棒 900度 哎呀我天900度的內角和 對吧你們算的有我快嗎 有是吧那你們很棒啊 ok 好所以我們發現呢 n邊形的內角和就是什麼 n-2 再來乘什麼乘180度 可以嗎 n-2好那我問大家 我問大家啊 12邊形 12邊形內角和來算出來 多少度 非常棒非常棒 算的很快對吧 都不都不怎麼用算哈 12-2是10 所以就1800度 對不對1800度 哇 對吧他就能分成很分成10個三角形 他就能分成10個三角形 能理解吧 ok ok ok 好 所以n邊形 n大於等於3 的內角和 這個大家就知道了吧 那爲什麼要n大於等於3 因爲如果你只有兩條邊 你是組不成一個 多邊形的 是不是一條邊更不用說了 啊所以你至少得從三條邊開始 組成個三角形 好所以這道題目我們就給他搞定了 那以後大家在選這種分組的時候 建議你從圖形入手 1號填2號填3號4號5號這樣 這樣就不容易漏掉 以免有的東西容易漏掉是吧 然後一個一個往後填 能理解吧 好非常棒好 那我們看立體舞來 動手 這個模型以後大家在初中還會再見到我 告訴你 這個模型很很很很經典 對吧山峯 手拉手 啊 八字形八字形對 腳1是40度 腳2呢50度 腳3呢60度 腳4呢 你說老師這這這誰不知道啊 40 50 60那不就70嗎 對不對 做夢呢就是想一想想一想想一想怎麼辦 算算什麼 我們要找到他的規律哈 三角形的內角和是 180度對吧 那我們先看左邊這個三角形 比如說這叫o 這叫ab 這叫cb 那先看左邊的三角形oab 對不對現在我知道了兩個角 那我是不是就可能知道第三個角 腳aob啊 對不對那腳aob就等於多少 180度減掉40度 減掉50度等於90度 哇我們最喜歡的直角 所以這是個直角哈 這是個直角 ok 那腳aob是直角 腳cod呢 他們倆是不是對頂的 對頂腳啊 所以腳cod就會等於腳aob 就等於90度 對吧在三角形ocd裏面 可是這邊也90度啊 這邊也90度的話說明那邊 啊這三角形裏面已經知道兩個角了吧 所以你要求的是腳4 就180度 減掉90度 減掉60度 等於什麼 30度 就完事了啊所以他的答案是 30度 那他說老師這樣是不是有點慢啊 你們覺得快還是慢 太慢了慢的像烏龜一樣是不是 所以我們看第二種做法 那第二種做法的話大家就要去思考了 比如說我隨便畫一個八字形 然後這四個角腳1 腳2 對吧腳3腳4 八字形的這四個角一定有什麼關係啊 比如說腳1加腳2跟腳3加腳4 你們覺得一定有什麼關係啊 一定有相等的關係爲什麼 爲什麼 因爲他們倆剩下的這個角 對不對 這兩個三角形剩下這個角是相等的 那裏面加起來都是180度啊 那這個對頂角相等 那180度減掉這一對對頂角 對吧 減左邊得到腳1加腳2 減右邊得到腳3加腳4 所以腳1加腳2就等於腳3加腳4 能理解吧 所以這樣題目裏就可以什麼 40度 加50度是腳1加腳2 他扣掉腳3 就得到腳4了 是不是更快 第二種做法大家能理解嗎 啊這個其實就是一個八字形 看到沒有八字形 你就可以理解成這樣的一個八字形 是不是隻不過這八字形倒着 所以你這個對頂角不用去算的 你就知道左邊兩個等於右邊兩個 左邊兩個等於右邊兩個 對吧你也可以快速的自己去編譯到題目 你隨便編譯到 這這給隨便給三個角 然後就第四個角 ok 好再來一個來算一下開始 非常非常典型的一個結論啊 腳平分線結論來 腳1等於腳2 腳3等於腳4 腳a是60度問腳5 腳5怎麼辦 腳5我們我們把這個叫做d啊 腳5是不是在b c d這個三角形裏面 那這時候你就腦門裏面就要去想 腳5的話正常我們應該怎麼算了 是不是應該180度減什麼 減腳2減腳4是這樣吧 所以你你只要知道什麼 如果你能知道腳2和腳4 那當然最好 否則的話你也要知道什麼 腳2腳4的和是多少 對不對你只要把腳2腳4的和求出來 我甚至我都可以不用知道腳2多少 不用知道腳4多少能理解嗎 我只要用180度減他們倆的和就行了 好我們先倒推了一步 我們先倒推我們我們在分析我們的思路 我們在分析 分析的第一步 對吧 我們發現我們要想知道腳5 我們就要知道腳2加腳4 然後這時候再仔細看一下條件 腳1等於腳2 腳3等於腳4 所以你想知道腳2和腳4 腳2加腳4啊 他其實也等於腳1加腳3了 對不對 那時候說老師腳1加腳3我也不知道 那我乾脆這樣 他就會等於二分之一的 二分之一的什麼 看口號裏面是什麼 腳abc 加腳acb 你腳1腳2不是相等嗎 對吧 啊就不要寫二分之一啊 我們就說這除以二 對不對 我要求的是腳2 腳2是不是就是abc的一半 是不是他就他的一半 對吧啊然後腳腳4呢 腳4是不是就是右邊這個哥們的一半 所以你變成是隻要知道什麼 只要知道這兩個 abc 和acb呢我又換一下 abc和acb的話是不是在我們的什麼 三角形abc裏面 他們就是用180度減腳a 啊180度減腳a就算了 好那我們把思路捋清楚之後 我們就知道了 因爲腳a 是等於60度的 所以我們的腳abc 加腳acb 就是180度 減60度 就是120度 好這一步能看懂嗎 對不對我就兩個合起來 是120 就是用180減掉腳a 合起來就120 對吧那右腳1等於腳2 腳3等於腳4 所以我們能得到什麼 腳2加腳4 其實就是120來除以2 就60 你想想是不是 左一半右一半合起來就是一半 對吧比如說你這有個漢堡 兩層的 左邊的一半 上面的一半底下的一半 合起來是不是整個的一半 對不對 能理解吧 好所以腳2加腳4等於60度 那麼我們的腳5就有了 180度 減掉腳2加腳4 等於180度 減掉什麼60度 所以最後答案就是120度 這個模型的話我們後面也會經常見到 腳平分線模型 它上面那個腳a 跟底下的腳5其實是有一個關係的 大家有興趣可以推一下 對不對 那那如果要推怎麼推啊 我給大家簡單推一下 好吧就直接就是一個結論 你看首先 腳5是要怎麼算呢 就等於180度 減掉腳2加腳4 而腳2加腳4是怎麼算呢 是 我們的腳abc 加腳acb 的一半 那abc和abc acb的話怎麼怎麼算呢 是180度減腳a 再除以2 對吧所以就是180度 減掉什麼90度 再加上腳a的一半 所以等於90度 加腳a的一半 所以這個腳5 我們發現它跟這個腳a 有一個比較特別的關係 它是90度加腳a的一半的 對不對好那現在來立馬來一道秒殺題 如果腳a是70度 那腳5是幾度 來5 4 1 125度 腳5就是腳a的一半加90 腳a的一半加90 就完事了 你這個結論要不要記呀 當然不用記你現在記也沒用 對吧現在還用不着記的時候 能理解吧 好非常棒 好那我們來到什麼思維大挑戰 開屏一下來一分鐘開始 大部分同學很細心認真在跟 跟着我們一步一步算哈 所以有個正方形 好看到正方形我先問大家 正方形它每個角是幾度 每個角是不是都是90度 非常棒哈 它裏面有一點e 然後bce是正三角形 好正三角形就是等邊三角形 它每個角都是幾度 都是60度 對吧那知道這個圖裏面哪一些是60度 這個 60 這個 60 這個 60 good 好先標出來了哈 ok 現在我們求什麼求eab 我們看eab在哪 eab這個 我標兩兩條啊 它就在三角形eab裏面 就在三角形eab裏面 對不對 好那這裏面的話 eab裏面有哪個角我們是可以先求出來的 有沒有 有沒有哪個角是可以先求出來的 是不是eba呀 是不是eba可以先求出來 爲什麼 也就是這邊這個 你看 abc是什麼 是 正方形的一個內角是90度的 對不對 然後你這邊ebc是不是60度我們剛標了 哦所以它等於角 abc減掉角ebc 對吧也就是90度 減掉60度 是30度的 好我們求出來的趕緊標一下30度 不的 30度 那條件不夠了呀就就就就這樣 那現在怎麼辦 那這時候我們來想想這個eba 它除了頂角是30度之外 它有什麼條件 你是個 正三角形 所以三條邊是相等的 是不是 那三條邊相等的話就是eb 等於ec 等於bc 然後你又是個正方形 四條邊都相等的 所以bc就等於ba 就等於ad 就等於dc 哎呦我天 這一串的相等對吧 那這一串的相等有沒有 在這個三角形eab裏面 這可不就有嗎 可不就有嗎是吧 ebeb有沒有 有 是吧它是不是等於ab的 哦 eb等於ab呀 原來如此啊 所以這是個等腰三角形對不對 這兩條邊是相等的 它們兩條邊相等 說明它底下這兩個角也相等 ok 然後整個又是180度 所以我們要去求這個 eab的大小 就等於180度來減掉角 abe 的差再除以2 啊也就是180度 減掉30度的差除以2就是 75度 對吧150的一半就是75 所以我們知道底下兩個角都是75 當然這個三角形也比較特別 啊比較特別 ok 能理解吧 好然後記住啊 等腰三角形裏面是等腰對等角的 就這兩條腰相等 那麼它兩個底角也相等 好這兩個底角也相等 好吧 非常棒哈 那我們可以開始總結一下啊 開始總結一下第一個 什麼是角呢 我們第一部分先複習呢以下什麼 直線 射線 還有我們的線段 對不對 然後第二步的話我們看一下 角的定義是什麼 記住一定要有什麼 公共端點 一定要有公共端點 這個公共端點要是忘了一定是錯的啊 第三個我們說角的分類 分類的話我們就分成我們的銳 直 頓 平 周啊這五個要滾刮爛熟 因爲考試的時候一般考這五個多一點 對吧 然後再去看它的計算 那計算經常會用90度 和180度來計算 比如說兩個相鄰的角 它們經常加起來是90度 或者經常加起來是180度的對不對 然後第二個就是內角和呢 那內角和到我們通過證明發現三角形 的內角和是180度的 對吧 然後我們進一步到多邊形 那就是n-2的結果再乘180度 前提條件是這個n要大於等於3 如果n-3小的話 就不成立了 對吧就不成立了 所以n一定要大於等於3 否則的話n如果比3小的話就不是一個三角形 不是一個多邊形了 對吧所以多邊形內角和一定要記住 沒問題吧 ok 然後第三個就是一些特殊的什麼 特殊的 三角形 啊特殊的圖形 一定要知道對吧 特殊圖形的話包含哪些呀 包含了我們的 等腰 三角形 等腰對等角對吧還有等邊 三角形 還有長方形 正方形 這幾個哥們的話是比較常見的 好那等腰的話就是等腰是 底角相等 兩個底角是相等的 那等邊就太特別了 他的三個角都相等 那長方形正方形不用說了 就一堆的什麼 90度 對不對 那當然其實還有我們的等腰直角三角形 啊那個就是在等腰的基礎上 進一步等腰直角三角形 大家要把常見的一些 角 搞清楚對不對 ok 所以角度的計算這一塊的話整體難度不高 大家一定要把相關的知識點 但知識點是比較細的 都要把它搞清楚好吧 好那堅持到現在就是最棒的哈 那我們就說到這裏大家拜拜