八下數學 29 內角與外角(4)：正多邊形內角計算神技、進階輔助線畫法、多邊形幾何性質最終綜合詳解｜何肇忠老師 (最新課綱)

歡迎收看數學很簡單,我是趙正老師 今天晚上我們要教的是國二的數學,八年級數學 目前的進度是內角跟外角的第四次上課 關於什麼叫外角定理,我們就不再重述 所以有一些特殊題型,像什麼飛鏢題 還有什麼沙漏題,跟五星級那種題目 同學再回想一下,有什麼樣的一個特性在 因為我們在解題的時候,都會用到一些很特殊的隱藏的特性 所以你有把它背下來之後,你把它記憶下來之後 很多題目,你稍微聯想一下會發現 原來這樣是可以解的 然後我們看在第四題這邊 在講義的第十一頁的第四題 老師我先把那個圖畫一下 雖然圖沒有很難畫,但是還是要畫 那我們看一下第四題 那題目它是說呢 角A加角B 這兩個角相加 它是85度 然後呢,角C加角珠 那又是100度 那要求什麼角 它要求角AEB 好,來 同學你先觀察一下 哪邊是AEB 你要求的角先找出來 AEB是哪個角 A到E到B,A不就這個角 這個角AEB對不對 對,好,再來 那題目有說 角A加角B是85度 你再看一次 這個角加這個角相加是85度 然後又說 角C加角珠是100度 這個角 加這個角是100度 這兩個如果相加100度 誰也100度了 根據外角定理 外角等於對面兩個內角和 這兩個加100 所以這個外角這邊也是100 100沒錯 這邊100之後你再看 旁邊這邊幾度,不就80 為什麼要求旁邊這一個 你有沒有注意到,它上面就是一個很標準的 什麼題,非標題 我們看,你站好,來 我把它畫清楚 從這邊開始,到這邊 到這裡 有沒有,非標題 非標題怎麼做的 這三個角 這一個,加這一個 加這一個 等於這個缺口,有沒有,有對不對 所以你要求角AB怎麼求 就是A加B加80度 可是A加B 題目說85度,所以答案就是 85再加80 最後答案是 165度 這是第四題,有沒有問題 還算輕鬆愉快對不對 OK啦,好,看那個 接下來下一題 第五題主要是講 轉外角的度數 如果你不會轉,就把那個 筆拿下來,跟著老師 教你轉,怎麼去求外角 轉外角,這題目有的同學 真的轉不出來 我先畫圖,等我一下 來看第五題 題目是說 小美從P出發 沿著五邊形的公園 這是個公園 她在那邊散步 範圍散步 當她從P出發 走到Q的時候 她共轉了幾度 從P出發走到Q 這樣子過來走到Q 要怎麼走,如果你不會轉 你把那個筆拿出來 好,筆拿出來之後 跟著這邊走 走到這邊的時候 注意轉,轉要怎麼轉 轉是頭轉屁股不要轉 所以轉的時候轉這個外角 她要轉這個地方 走到這邊的時候這樣轉過來 把這延伸,轉過來又轉這個外角 走到這邊的時候 一樣喔,延伸出來之後 頭轉屁股不要轉喔,這樣轉下來 轉下來之後走到Q了 再看一次,她從P出發 轉這個外角,又轉這個外角 又轉這個外角,她轉了三個外角 這個是五邊形的 她有五個外角 你要求的哪三個 是這個角1、角2跟角3 這三個外角相加幾度 所以第一小題喔 問題說她一共 從P到Q轉幾度 要求的是角1加角2 加角3 這1、2、3是我們在圖上面標示的 好那再來喔 你再看一看喔 五邊形的外角總和 應該說啦,只要是多邊形 外角和都360 所以五邊形外角和怎麼樣 也360,你用360扣掉 另外兩個不要的,有五個外角嘛 1、2、3,三個,還差兩個外角 哪邊,這邊一個,這邊一個 把它扣掉,所以扣掉 100跟70,我們用那360度喔 去扣掉 括號的100加70 就扣170 360扣170 答案多少,360扣170 360度 扣掉170度 答案就是190 所以呢,第一小題問你說 他轉了多少度 答案轉了190 好再來第二小題 他說從P出發又回到P 從P出發回到P 一共轉了幾度 你從P出發 走走走走走走 又回到P,比如說轉一圈 轉一圈不用算喔,答案就360 因為他等於是每個外角都轉到了 所以第二題回答360度 所以你從P出發 又回到P 每一個外角都轉到了 所以答案360,這個算都不要算了 這是第五題 這樣有沒有問題,沒有齁 好再來看那個 第 第六題 他說有一套三角板 他說其中一塊是等腰直角三角形 我們三角板就兩種 一種是等腰直角三角形 一種是30、60、90度 特殊角的一個三角板 然後題目 他把這兩個三角板疊在一起 這個是第六題 這邊有直角 這裡也直角 然後他要求的S跟Y 我標示一下 這是X度 是這個角 這個地方 他的Y度是這個角 Y度 好來 那第六題他題目有說 他是兩個直角三角形 搭在一起的 其中一個是30、60、90 你把度數給他寫一下 這邊是30度 然後這邊是60度 所以30、60、90 另外一個他是 直角三角形是等腰直角三角形 所以這邊是直角 然後這邊45度 他是45、45、90度 這邊也是45度 那麼第一小題呢 他是要求 他就求S跟Y 所以你看到S怎麼求呢 X的這個度數就在這裡 什麼形 是這個三角形的Y角 沒錯吧 所以Y角等於什麼 這加這 所以30加90答案就是120 所以X的度數呢 就是30加90 他是120度 這是第一個 第二個要求Y Y你要怎麼看 如果你S答案是120的話 那旁邊這不就60 因為這兩個是互補 平角一條線要平角 你這邊都120 這不就60 幹嘛要求這個 你看到Y的位置 你看這個三角形 這一個 然後把這延伸 你有沒有注意到 他這個Y是一個外角 誰的外角 是這個三角形的外角 外角等於對面兩個內角 所以45加60 Y就是105度 所以他要求兩個答案 一個求X第二個求Y Y怎麼求 45加60 所以答案是105度 因為他有寫S度跟Y度 所以S跟Y我們就不要寫度數了 那12Y這邊的話呢 我們要教內外角的一些回答 那怎麼樣算最快 上次我已經有暗示過了 如果今天題目講的是求正多邊形 要求內角跟外角 記得由Y而內 你先求外角 再求內角會比較順 因為是這樣子 一組內外角是互補的 相加是100加 180 我在講什麼鬼話 一組內外角相加是180 我記錄一下 我們記得 不管什麼多邊形都一樣 他只要是內角跟外角相加 內角 加外角 一組內外角是互補的 相加是180度 可是呢 因為外角總和都360 像如果是N邊形的話 他的外角一個幾度 我就用360去除以N 所以360去除以N 可以求出外角度數 比如說今天講的是10邊形 360除以10 外角一個36度 今天我12邊形呢 360除以12一個外角30度 你外角出來之後求內角就很快了 180去扣外角 是這樣做的 有概念了嗎 有時候範例8這邊題目 像第一題 他說正十邊形的內角 一個多少度 那我剛剛說由外而內 先求外角 正十邊形他就有十個外角 十個外角都一樣大 360去除以10 一個外角36度 那因為內外角一組是互補的 你有正十邊形 就十個外角一樣大 十個內角一樣大 而內外角又是互補 所以用180度 去扣掉36度 所以內角一個是144度 那除了這樣做之外 還有沒有別的做法 有 有一種做法是這樣子 你先求這十邊形的內角總和 怎麼求呢 代公式啊 N-2x180 比如說十邊形內角 N-2就是10-2 10-2x180 這個是十邊形內角總和 算出來之後呢 再去除以十個內角 因為十個內角都一樣大 除完之後答案怎麼樣 一樣是144 可是我發現這樣的乘法 第一個不好乘數字很大 那有時候除也不好除 所以這樣寫會比較慢 你這樣做比較快 所以在求正多邊形內角的時候 由外而內 先求外角再求內角 這樣速度上會快很多 真的喔 來我們看下一題 像第二題 正十八邊形的內角一個度數是多少 有沒有 你還是一樣這樣做嘛 由外而內 你先求正十八邊形的一個外角 我發現23題重複除對不對 23題合併做好了 一個是求正十八邊形的一個內角 一個求正十八邊形的任一個外角 這兩個合併在一起 2跟3 那十八邊形它是每個外角都一樣大 所以用360度去除以18 得到一個外角是20度 這是外角 那因為一組內外角互補 所以180度去扣掉20 所以正十八邊形的內角 一個多少度 160度 這個是內角 因為內角每個都一樣大 正十八邊形的內角 160度 外角20 23題搞定 看那個第四題 它又反過來考你 它說有一個正多邊形 內角都是135度 那它是個幾邊形 它的邊長 它是個幾邊 到底幾邊形 它會導致它的內角一個是135度 第四題 它說它的內角 一個是 100多少 135度 內角一個135 你這樣推幾邊形不好推 你先求外角 因為內外角一組互補 所以外角幾度 180扣掉135 相減之後外角一個是45度 那再來你想 外角總和360 那到底有幾個外角 去除嘛對不對 外角一個45度啊 外角總共360度 我就用360去除以45 看你有幾個外角 除完答案多少 答案是8 因為發現它有八個外角 有八個外角幾邊形 答案是八邊形 如果你內角度數 你就去反推外角度數 算出來之後360去除 因為外角總和360 我們這樣速度才會加快 這樣有沒有問題 OK喔 那那個哈哈是什麼意思 沒事吧 好再看那個 第四題 再來看第五題 第五題呢 有一個正多邊形 它的內外角的差是132度 求這個多邊形的度數 內外角的差 我們就假設它的內外角 一個是內角 可是不知道哪個內角哪個外角 通常它那個正多邊形 四邊形 正方形的時候 它的內角一個90度 三角形內角一個60度 正五邊形的時候 內角一個108度 你會發現你邊數越多的時候 它的內角的角度是越大 所以我們假設 它的內角應該比較大 內角 內角是X度 那它的外角呢 假設是Y度 為什麼這樣寫 因為你看上面題目講的 它有說那個內外角的差 什麼叫差 差就相減嘛 內角比外角大 所以X減掉Y 差幾度啊 它說差 差132度 所以兩個相減是132度 內外角相差一三二度 可是我們也有說過 內外角一組互補 所以X加Y多少 大概是180度 因為一組內外角互補 不過寫到這邊同學有沒有發現 你在幹嘛 你要做那個原理解嘛 很明顯對不對 那要怎麼做呢 馬上可以使用相加消去法 相加消去Y A加X呢 會變2X 所以2X就會等於132加180 加一下 0加2 8加3 所以X多少 21過來除2 156 不對不對 156 奇怪 最近沒有什麼信心 算數學都覺得自己算錯 所以要保持勇寶信心 156 好156之後呢 我們要求什麼 這個是什麼角 這個是內角 那你要求多邊形的度數 你是要看外角對不對 當你知道內角是156度的時候 外角是Y嘛 我用180 去扣掉X 所以Y怎麼求 180減156 180減156多少 答案就是24 所以發現呢 它的外角一個24度 那到底是個幾邊形呢 一樣的方法 因為外角總和多少 360 去除以每一個外角 我看你有幾個外角 代表你有幾邊形 所以用360除24 這兩個除的時候呢 可以妥善利用約分的方式 那要約的話我們就立刻用12約好了 用12約2 用12約30 30除以2答案是15 所以幾邊形 因為有15個外角 所以答案是15邊形 所以第五題答案是15邊形 這樣這題有沒有問題 應該沒有 沒有我們看那個 第六題 第二題它說呢 有一個多邊形 有一個角的度數 內角度數是140 它的其他角都是160 所以它是個幾邊形 它這樣除耶 有一個角的度數 是140其他的角都是160 是個幾邊形才會這樣子 蠻特別的 我再把題目寫一下 第六題 它的有一個角是140度 那其餘 其餘就是剩下的意思 其餘 剩下的內角 都是160 其他的角都是160 那到底是個幾邊形 那你這樣想喔 因為我們都很清楚知道說 它的外角總和是360度 那我就從外角去下手 當你內角是140的時候 外角多少 180扣140 因為一組內外角互補 180扣140 40度 所以140度的內角會搭配到 40度的外角 其他都是160度的內角 它的外角變幾度 180扣160 答案是20度 所以你會發現說 你的外角只有一個是40度 其他都是20度 那它是個幾邊形 那你會怎麼做 當然我先用360度 外角總和360 先扣掉這個40 扣40以後呢 剩下的去捐分給這個20 所以括號起來去除20 360外角總和 為什麼要扣40 扣掉這一個 先不要理它 因為只有它跟人家不一樣 扣40之後再去除20 看有幾個20度的外角 所以360減掉40除20 然後去看看有幾個20度的外角 360減掉40 是320 320去除20 會有幾個 會有16個外角 這個16個外角都是幾度的 都是20度的 還有一個是40度的 所以不要忘記要加1 所以16再加1 這題答案是幾邊形 17邊形 所以它是個多邊形 答案叫17邊形 這樣有沒有問題 13頁這邊的話呢 上面有一些小重點整理 都是我們前面 所講的一些重點整理 可以參考一下 我這邊就不再多說了 有遇到我們再來看 我們看那個13頁 底下有兩個小題目 我們來作答一下 這邊有沒有問題 沒有 13頁底下呢 這有兩題 第一題 我先畫圖 第一題要說 椅子腳衣是85度 同學這東西看到就不要只有看 馬上動手寫 腳衣寫85度 你不要只欣賞題目 把它寫上去 腳珠45度 這邊是15度 有必要全部都寫 腳A63度 這邊是63度 把它寫一寫好了 然後要求什麼 球腳AB珠跟球腳AC珠 AB珠 AC珠 AB珠AC珠 把它找出來 AB珠這裡有打圈圈 AC珠呢 AC珠我打叉叉 求這兩個送分題 怎麼說 會不會球 給你們想一下 一下到了 你看三角形 這85度是外角 外角等於這裡加這裡 你要求這個角好不好求 85顆63 因為這個加這個等於85度 你怎麼看的 我畫顏色好了 我怕你們看不到 你看這個三角形 這是不是頂角 它的外角 不然你看那個沙漏題也可以 沙漏題有講的 這兩個相加 等於這兩個角 因為都等於外角85度 這是一種 根據外角定理 外角這個角等於這裡加這裡 63加上這個圈圈 等於85度 這圈圈是角AB珠 所以85顆63 等於角AB珠 又寫到這邊來又反光了 所以85減63多少 答案是22度 這是角AB珠 22度 下一個呢角AC珠 要求角AC珠 AC珠怎麼看 一樣的 這個叉叉是AC珠 A到C到珠 C是轉折的地方 所以這個角A到C到珠 是講這個角叉叉的這個角 那一樣喔 根據外角定理85度這個是外角 這邊的外角 外角等於對面兩個內角 所以45加這個叉叉 等於85度 那你要求角AC珠 用85這個外角 扣掉這45度 所以相減多少 答案就是40度 所以這樣沒問題 應該沒有啦 這是第一題 都是根據外角定理來處理的 好看那個第二題 第二題 它說也是如附圖 我先畫圖好了 同學也是啊你把題目在看的時候 你能寫就盡量先寫 你把那些角度的一些度數 該寫的把它寫一寫 然後求什麼角你把它畫出來 會更容易懂它題目在問什麼 因為比較好去思考 有時候因為你們都偷懶都沒有寫 看不到那個度數 沒有寫看不到都很正常 所以把它寫上去 來第二題 那個如附圖呢 它在形容那些東西 從圖上看得出來 它說角2角3分別是 BCA跟BAC的外角 BCA這個角外角的角2 然後再來是 BAC這個角外角的角3 那角3呢 是110度 它問說角2減角1 角2減角1 角2減角1幹嘛 角2減角1幾度 角2減角1是多少度 來同學看這裡喔 怎麼會這樣問呢 問你這樣看好了 角2角1有關係嗎 有關係喔什麼關係呢 這邊是110對不對旁邊多少 旁邊都70 所以你看那個角3 根本就不重要 重要的是這兩個度數 一個110一個是70 然後寫完70之後你再看 角2跟角1跟70的關係 角2什麼角它叫外角 外角等於這裡加這裡 外角等於對面兩個內角 所以角2本身就會等於 角1加70度 所以我題目它為什麼 它問的是角2減角1 把誰移走 角1移過來不就好了嗎 所以角2減角1多少 答案就70了所以答案是 70度 又寫到反光的位置了 奇怪這個位置常常都會中到 這樣有沒有看到的 這個英文字母全部加起來 到底有幾度 二百球很好球 怎麼算呢你看喔 ABCDEF 六個角相加多少度 很好答案就360 為什麼我們看著 來這樣看 這是一個三角形對不對 所以角A加角C加角E 180沒錯吧 那你再看喔 這個BGF又是一個三角形 三角形內角要多少 又是180 180再加180 答案就360 自己寫一下答案360度 因為是兩個三角形 很棒齁你們都會 好再來看那格第四題 所以我剛剛說題目測題圖就故意畫的 他的圖這樣畫實在是 讓人家不容易懂 還是更容易懂 好看那格第四題 看那格復圖他說 四邊形的ABCD中 角B角C的 角平分線交於一點 關於那個角平分線可能同學還沒有 學到不是很清楚 主要角平分線就是這一條線呢 他把角B給平分掉了 這條線也是啊 把這個角C給平分 平分之後這兩個角一樣大 就平分過去了 這個是交於角E 再來呢角A角C的角平分線 交於F點 角A的角平分線 跟角C角平分線交於F點 那其中呢 他說角E是110度 角E這個角是 110度啦 這個角110 然後要求角F度數 要求角F 是多少度 同學我跟你講我們用代數來處理 代數什麼意思 就是用文字代替數字 代數 因為呢這和是角B的角 角平分線對不對 所以這兩個角一樣大 一樣大我們給他設一樣的位置數 因為在B的附近 小B小B 那A附近呢 這兩個角一樣大 這兩個呢小C小C 這兩個呢小豬小豬 然後怎麼做 你看喔 我們唯一的線索 只有這一個 就是題目給的這個110 110加角B加角C 是180度 因為三角形的內角是180沒錯吧 接下來喔 角B加角C 再加110 會等於什麼180度 因為三角形的內角和 是180 所以B加C幾度 B加C110過來減 180減110 答案是70度 那B加C70度以後 不重要我們是要求這個角F 你看角F喔 角F在這邊 那角F要怎麼求呢 你必須要先怎麼樣 扣掉A跟豬 因為這三個角相加是180 我把A豬扣掉就答案就出來了 那你再想喔 可是我們發現喔 兩個A兩個B兩個C 兩個D相加幾度 四邊形內角不就360 沒錯喔 因為呢 兩倍的括號 A加B加C加D 就是 2A2B2C2D 相加是360度 這你認同嗎 因為四邊形內角是360 那我把這個 這個玫瑰花掉下來 等一下喔 把它調整一下 你怎麼掉下來 我把這2A過來除二 除二之後呢 所以A加B加C加D 等於180 等於180喔 好再來 可是你看喔 我們剛剛有說 我們剛剛說那個 剛剛說喔 B加C是70 B加C 這兩個相加是70啊 一過來扣 等到什麼結果 等到這個結果 A加豬等於110 因為70一過來減70 不是110 如果A加豬是110的話 那角F呢 這三個角相加是180喔 所以你要為了要求角F 角F呢就是180度 去扣掉A加D 那我剛剛說 A加D是110啊 所以180扣110 那答案就是70度 所以角F 答案70度 不好意思又寫到反光這邊來了 這邊有沒有問題 這是那個第四題 同學第五題喔 他要求的是呢 角1加角2加角3加角4加角5加角6加角7 1234567 相加是幾度 你認為幾度 像這種題目基本上出來 應該就是用推理的 沒辦法直接去求個別度數 那你要怎麼找呢 你可以這樣找喔 135剛好是一個什麼形 三角形 三角形的內角是多少 180度 再加上2467 是一個四邊形 四邊形內角有多少 360 180加360多少 答案是540度 所以1234567加起來答案就是 540 有解出來嗎 這裡比較普通喔 看那個第六題 第六題打星號 這裡是棒棒題喔 如果你沒有解過 想不出來不會解都很正常 但是你聽老師講完之後 聽過一遍你就會了 這題目其實不難喔 真的蠻簡單的 他重要但是很簡單 簡單又重要的題型一定要掌握起來 來看那個第六題 我先畫圖喔 這個是我們那個 在講第六題的這一題喔 他題目是說呢 這邊呢他跟你說 角186度角274度 角365度角4105度 那一樣喔 這個題目在補習班出現的時候 我都會叫他們先看題目 看完之後呢我會去尋他們的講義 看他們到底有沒有在寫 你要把度數給他寫上去喔 沒有寫表示你沒有看 所以一定要把度數給填上 你沒有填度數的我都沒有跟你客氣的喔 注意看喔角186度馬上寫的喔 不要只有看而已啊 86度給他寫上去 然後角274度 74給他寫上去 角3是65度 一樣65寫上去 那角4呢105度 105度一樣給他寫上去 一定要寫你不寫就看不到 真的很正常 那題目怎麼求呢 他求的是ABC珠1 五個角加起來哪五個角 角A 加角B加角C珠1 這個度數是多少度 相加是幾度 這裡非常的棘手 好來看喔怎麼做呢 有人認為他是五邊形 所以答案540 可是540應該是什麼 五個內角相加 可是這個是內角嗎 他五邊形內角嗎其實不是 不過答案很接近你的想法是對的 只差個動作而已 你把那個ABCC珠珠1 全部連起來 你把AB連起來 你把BC連起來 你把C珠連起來 你把珠1連起來 什麼形12345對五邊形 五邊形的內角有幾度 540因為5減2乘以80 540喔 可是不對啊你要求的A只有哪邊 你的A只有這一點而已 有沒有角B這一點而已 角C這一點而已 角珠只有這一點角E只有這一點 這一點一點加起來有540嗎 但不可能嘛 540是什麼意思是這個大的加這個大的 加這個加這個加這個才540啊 有那麼小小小小那麼小的五個 怎麼會是540當然不是 那怎麼做呢你再注意看喔 這裡是86度對不對 所以你可以推測了啊 這兩個角相加幾度呢 那個倒水的 會收音進來很清楚 你看我在麥克風附近 這邊是86度喔 這兩個角相加到底幾度你要怎麼做 不對啊 三角形內角和是180 180扣86度就出來了嘛 對不對來我這樣寫 畫箭頭給你看喔你一定要這樣寫喔 所以我這樣畫箭頭 這個角箭頭喔 加這個角 這三個相加是180 180扣86度啊 答案是94 代表說這兩個相加 94度好意思再推繼續喔 那這個角 加這個角 幾度呢一樣的 180度這三個內角 扣掉74 180扣74 106度 所以這個角 加這個角幾度呢 一樣180扣65度 180扣65度 115度 還有這一個 這兩個角相加幾度呢 180 那三個角相加180 180扣105答案是75度 我說老師你求這幹嘛啦 我們不是要求那個 ABC注意嗎 對啊我要求ABC注意啊 那我為什麼要這樣求知道嗎 因為我要去扣掉 我要扣什麼知道嗎 我的角A只有這一點點 角B只有這一點點 角C只有這一點點 哪些要扣掉 我把打叉給你看 這個我不要 這我也不要 這不要 也就是說呢 我要用那個540度 去扣掉這些打叉的 打叉的喔 叉叉叉叉叉叉叉叉 都不要 這兩個叉相加94 這兩個叉相加106 這兩個叉相加115 這兩個叉相加75度 剛好就可以把這個94106 11575扣掉 所以我們要扣掉什麼東西呢 扣掉括號這邊 寫太大了寫不下又反光 來來來你自己看喔 我要扣什麼再說一次喔 我要扣掉的是畫叉的 這兩個叉相加94 所以94再加上 這兩個叉相加106 再加這兩個相加115 再加這兩個相加 75度 540去扣 扣完之後就是ABC做1 那個很小的角度答案 所以等於什麼 等於540去扣掉多少 94加106剛好200 15加175 多少 115加175是190 190度 扣390 540扣390答案多少 答案就是150度 所以呢 這個小小的角度加起來 全部就是150度 這樣子有沒有問題 這同學好厲害 馬上算出來了 超棒的 這樣子OK了喔 這題要學起來喔 可以這樣做 好那我們就今天上到這裡 那個尺規作圖可能要再等一下 同學學校有上的話 先專心聽一下 掌握幾個尺規作圖的作圖 像是什麼小平分線作圖 中垂線作圖 線上一點做垂線 線歪一點做垂線的作圖 這個把它掌握起來就比較好學了 好那我們今天上到這裡囉 掰掰