💯八下數學歷屆會考試題精選 Ch1：等差數列級數

歡迎收看數學很簡單,我是張老師 今天我們要上的是八年級國二的數學 現在的進度教的就是 八項的第一章 等差數列集數 還有等比數列 但是那個等比數列因為是新的課程 在近期的會考也都沒有出現命題 所以這次我們在抓題的時候 就沒有看到等比數列題目 不過沒有關係 我們就先從目前現有的來做一個練習起 好,看那個第一題 第一題的題目是說 我把題目給大家說 它這個A1、A2到A40的一個等差數列 其中呢,A1是正數 而且它說A20加A22等於0 那判斷下列敘述何者正確 那我先把題目的意思給抄下來 它是從A1開始 A1、A2 這個是等差數列一直到A40 很明顯一共40項 其中呢,它說A1是正數 我給它補充說明 寫一個正 這個是正數 那其他我不知道 只有第一個正數 好,再來呢 A20加A22等於0 這個東西很關鍵 它說判斷下列何者正確 它要判斷什麼 它要判斷說 A21加A22的值 比0大比0小 那A21去乘上A22的結果 又是比0大比0小 不過我們先看這個來 這兩個相加等於0 同學你注意看一下 A20跟A22 它的等差中項不就是A21嗎 所以這兩個相加等於0 也等於兩倍 它們的中間項 等於兩倍的A21 再說一次 因為20跟22的等差中項就是21 所以這兩數相加 等於它們的等差中項的兩倍 所以等於兩倍的A乘21 可是這個已經是零了喔 所以二一過來除二之後怎麼樣 代表說A21它就是零 等差中項也是零 這兩個相加是零 中間項也是零 中間項是零的話呢 這個是零 那零去乘上22怎麼樣 A22一樣也是零 所以這保證是零 這個沒有正負的問題 換這一個 你要想喔 如果這個第21項是零的話 假設這邊A21這一項 它是零 0的左邊 這邊是負的 右邊是 左邊是正的 因為首項是正的嘛 所以A21往左邊推 A20 A19 A18 到A21都正的 A21之後怎麼樣 都是負的啊 才會說相加才變零啊對不對 所以後面都是負的 那你A21已經是零了喔 A22肯定是負的 那零再加一個負數 它一定會比零小 會小於零 所以答案選這一個 這個答案的話呢 就是B選項 所以答案選B 所以這一題是完全透過 這個等差中項來做命題的 你搞懂等差中項 這裡就變得很簡單 再來我們看第二題 我們看第二題 我把這四個選項都抄下來 再來做解說好了 那我們現在的課程 因為講到的是那個 就是二下 國八 八年期 國二 國二八年期 就是二下的第一章 所以現在課程是比較適合 國三做複習用 所以你國三的話 準備會考 你想看一看前面的會考 大概怎麼考的 然後這邊抓的都是 這近六年的會考題目 更以前為什麼不去講解 因為更以前的題目 我們已經在那個 前面的課程已經說過了 上網去查那個數學很簡單 我們已經把國一到國三的課程 全部都錄製過一遍 那之前的課程都已經把 更早以前的會考 跟歷屆的一些基測試題 全部都解說過一遍了 所以我們這邊就抓比較近期的 來做說明 不然這個講解之後會重複 好那第二題 他說判斷哪一個不是等差數列 如果要稱為等差數列 它必須公差都一樣 它們的差異 比如說後項減前相就說差 那這個差要一樣 公差要一樣 那這兩個相減 相減 相減一 後減前都是一 所以第一組是等差數列 因為公差就是一 它那個 B 選項 相減 後減前 這個減這個 變七分之一 這個後減 也七分之一 四又七分之四 減三又七分之三 又是一又七分之一 不是七分之一 是一又七分之一 所以這個 B 呢 它也是個等差數列 它的公差是一又七分之一 好 再來那個 C 選項 C 選項的話呢 這兩個相減 是一又七分之一 這兩個相減 一又七分之一 相減一又七分之一 那跟 那是一樣的 看 C 選項 一又七分之三 二又七分之四 四又七分之五 五又七分之六 好 那相減之後呢 然後 這兩個相減 整數二減一 七分之四減七分之三 七分之一 三減二 五減四也是一 四減三 六減五也是一 它的公差也是一又七分之一 所以 A B C 目前都可以 看那個豬選項 這個減這個 一又七分之二 這個減這個 一又七分之二 這個減這個呢 把這個改為四 這個就加七 變成八 也是一又七分之二 所以公差是一又七分之二 所以照這題目來看的話呢 A B C D 它四個都是等差 數列才對啊 那為什麼 這題目應該有出錯 數字應該有抓錯 不然沒有理由啊 我再看一下 下列各選 這是110的會考 C選項 就我們答案是說C不是 可是我剛剛看C也是 一又七分之三 二又七分之四 四又七分之五 那我抄錯喔 抄太順了 難怪我覺得奇怪 為什麼會沒有答案 好來來 這個一二四五來 這邊 是我抄錯 就讓它變成等差數列 可是答案是C不是啊 因為看了解答不是 也不是啊 因為我題目我抄錯了 這個是 這個是我 來 我就反正就那個 接著看 這兩個相減喔 它是一又七分之一 這兩個相減呢 會變成二又七分之一 就不行了 因為這兩個相減要公差一樣 才稱為等差數列 所以C的這個 前面兩個相減是 後減前 一又七分之一 這兩個相減呢 是二又七分之一 就不對了 所以公差就不一樣了 所以答案選C 這不是 那剛好這題目抄錯 我直接抄很順 我直接寫一二三四 不對 它是一二四五 這第二題 加碼題 沒有 好 看那個第三題 看那個第三題 第三它是說 它說 假以呢 兩個等差級數 何謂等差級數啊 把這個數列 全部累加起來 就稱之為級數 這個我在講那個 等差數列級數的時候 課程有講過 那同學有對這個 等差數列級數 還不熟悉的話 可以去google查一下 數學很簡單 老師已經把那個 國二的課程 全部都錄好了 你可以去看一下那個 等差數列的課程 其實這樣 從前面就要學過來 算簡單的 好 它說 這兩個等差數列的 級數的首項 都是四十五 這個是甲的 甲叫S甲 就甲的等差級數 S乙叫乙的等差級數 這兩個喔 都是從四十五開始 因為四五叫首項 好 再來的話呢 就是他們的 什麼第二項啊 第三項 一直加 加 加 加 一直往後加 因為首項是十五 它說加比乙少一項 加比乙少一項 所以 加比乙少一項 乙多一項嘛 所以加到末項的時候呢 比如說這個是 AN好了喔 它也是AN 它又多了一項 AN加乙 那為什麼是N 是因為他們有幾項 我也不知道 所以一起來看這個就是 第二項 第三項 但這兩個第二項不一樣 因為這個是甲的等差級數 這乙的等差級數 它們的公差也沒有一樣 它們只有這個首項相同 然後 公差 公差一樣 公差都是負四 現在看到了 它的公差 這邊的公差是負四 這公差也是負四 公差都相同 但是甲比乙少一項 它說呢 甲級數的和 跟乙級數的和 會相差七 那相差七就代表後面這個是七了嘛 你互減的時候 前面都被減掉了不是嗎 只有這個是七 可是我們說相差七 它有可能說這個比較大 所以相減 用乙減甲這邊是七 可能這比較小喔 所以用這個減這個 它也是 也是七 不會變成負七去的喔 所以你說那個 相差是七 它可以說是 S甲減S乙 等於七 也可以說是 S乙減掉S甲 等於七 那這樣的情況造成說 這一項 這一項喔 它可以是正七 那也可以是負七 這樣懂意思嗎 還要問什麼呢 還要問說這樣甲會有幾項 好 那變成說我們現在完整的資料是說 這個乙的部分的話 它的首項是十五 末項 七或負七 公差就是負四 那公差負四 末項七或負七 去推出來這個甲 有幾項 那我們先求這個乙的項數好了 我們說求項數怎麼求 乙先要給個小公式喔 同學不知道還記不記得喔 如果還記得必定將求 要求項數的時候呢 它是末項減首項 除以公差再加一 那除公差之後 如果可以整除 那個項數就是正確的 如果除完不能整除 那個項數是錯的 知道嗎 所以為了求項數n 項數n怎麼求 用末項 最後一項 減掉首項 除以公差 加一 這公式不是我變出來的 這個之前我在上課 我有講過 這個小公式超級好用 你要把它背下來 我另外給的公式 為了要求這個項數n怎麼求呢 我就用這個末項 假設是七好了 所以n就會等於七 這n是誰的n 乙的n 因為我們現在是求 s甲se 這是乙的項數 乙的項數n 等於末項 如果用正七好了 七 減掉首項是四十五 四十五 除以公差是負四 然後再加一 看成不成立 七減四十五多少 七減四十五 七減四十五是負三八 負三八 除以負四 就不能整除 不能整除 因為約分變二分之十九 就沒了 所以這個是不行 叉叉 不行 那再換另外一個 我們剛剛說 它的末項 可能是正七或負七 換負七試試看看 如果是負七的話呢 乙的項數n 項數n怎麼求 一樣 用末項減首項 除公差加一 末項是負七 負七減掉首項四十五 除以公差是負四 再加一 看答案多少 那負七減四五是負五二 負五十二除以負四 負負得正 五二除以四 答案是十三 十三加一變什麼 變十四 所以我知道說 乙有十四項 那甲比它少一項 所以甲會有幾項 十三項 所以答案回答 甲有十三項 選擇就是 諸 這是第三題 這樣嗎你 這是求那個 等差數列級數的部分 好再看那個第四題 第四這個講拼圖題 等一下我先畫圖 我把它擦掉 同學可以在這個時候 把題目看一下 那個拼圖的題目 這題目怎麼做回答呢 我看那個第四題 他說椅子呢 有若干片相同的拼圖 同學說你這題目 那拼圖跟我們那個 考題不大一樣 他畫的那個太花了 我畫不出來 所以我就簡單畫一下 變成這樣子 有一些地方我就省略不畫 我只畫關鍵地方 像圖一這樣子 這樣的拼圖 那四個拼圖拼在一起的時候 長度是23公分 那到圖三的時候 它是十塊拼圖拼在一起 全長是56公分 那問你說 它這個 圖一 的拼圖的長度是多少 好來喔 我們怎麼做這種題目 現在算簡單 方法很多種 我簡單講一下 它這個長度呢 是拼圖長度喔 假設叫做A好了 A1好了 好不好 因為我怕剩下等差輸給 怎麼說 你看喔 如果這A1長度到這邊的時候 到這邊對不對 它再多增加部分 是不是到這邊 再加這一個 對 再加這一個 你有沒有注意到 這一個 這一個這樣看 它的長度都一樣 對不對 加了三個公差 所以可以說 算A好了 所以這個是 一樣是A的話呢 那後面怎麼樣 多了三個公差 是不是3D 那長度多少 23 所以我們可以這樣寫喔 它是A 加3D 等於23 好那下一個呢 這邊一樣會有A 到這邊是A的部分 這邊就是A嘛 這個是A的部分 它每次呢 都會多一個公差出來 對不對 我們是排四個 三個公差 排十個圖片的時候 它會有九個公差 叫9D 所以是A加9D 等於56 用這個方式呢 可以去 相減消去法 求出它的公差多少 對不對 我們就互減 那減的時候呢 我用這個 A下減上 A減A沒了 9D減3D 答案是6D 56減到23 答案就是 56減23 是33 所以公差多少呢 公差是分數喔 6分之33 然後再用三約分 2分之11 是我的公差 那它是要求哪一個 它是有小數喔 給它除2到底 11除2是5.5 對不對 變5.5 那我要求A的話呢 我就代第一個啊 代入到第一個 什麼第一個 代入到這第一個 我把這公差用5.5代 所以A加上 3乘5.5 等於23 那5.5乘以3多少 5.5乘以3 16.5 所以用23扣掉16.5 相減多少呢 答案是 6.5 代表說 前面那個拼圖 那個A的部分呢 它的長度是6.5公分 所以答案選的就是豬 這是第四題喔 拼圖題 好 再來我們看那個第五題 我們看那個第五題 第五題的題目是說呢 公園內呢 有一個矩形步道 它的地面呢 使用相同灰色的正方形 跟白色的等腰 只有三角形 排列而成 下圖呢 表示此步道的地磚排列方式 其中正方形的地磚呢 是連續排列 而且有四十個 這邊是第一個 這邊第二個 第三個 這邊到第四十個 這邊是三九 這邊三八 三十八 這樣排過來 所以一二三四五六 四十個 這樣排出來了 好 你說 會用到多少個三角形的地磚呢 我們這樣看喔 當我排一個正方形的時候 到這邊結束 加這兩塊 一個正方形的時候呢 一二三四五 會有五個三角形 沒錯吧 第一個的時候 那第二個正方形的時候呢 又多出兩個三角形 只要加二 加二變七 可想而知喔 第三個正方形的時候 加二變成九 一直往下排 到第四十個正方形的時候 你認為變多少 答案怎麼求 在DN項公式 有沒有 AN等於什麼 AN就等於 A1加N減一乘D N叫做DN項 DN項多少 這是求DN項的 DN項的公式呢 AN等於A1 A1叫首項 加上N減一乘以D D是公差 這同學都很熟悉的 那我們是要求哪一個 第四十項 叫做A40 所以A40會等於A1 A1是五 五再加上N減一 就是四十減一 乘以公差 這公差多少 我們剛剛這樣看的話 五七九是不是都差二 七減五九減七都是二 公差是二 所以要乘以公差二 五再加上 四十減一變三九 三九乘以二 多少呢 三九乘二是七十八 七十八加五 答案是八十三 所以到第四十個的時候呢 包含這兩個 是八十三 可是還有這一片 我沒有加到知道嗎 因為我們剛剛加的時候是 這兩片 到第四十個的時候 包含這兩片 一共是八十三 還有這一片沒有算到知道嗎 這一片沒有算到 所以要再加一 那八三加一多少 答案是八十四 所以它三角形的片數 有八十四片 所以答案選的就是 A 這第五題 好我們還有兩題 看那個第六題 好第六題 它題目說呢 它說小書 它從一到五十的整數中 它挑出四個數 從小排到大成為等差數列 一二三四 成為等差數列嘛 它說呢 如果四個數中呢 最少的就是七 所以這個是七 它說下列的數 哪一個不可能出現在 它所挑選的數字中 它答案分別給誰啊 它說A選項是二十 二十可能不可能出現 二十二十五 三十三十五 哪一個不可能出現在 它這個等差數列 所挑的一個數字中 它是最少是七 所以最大數也不能夠超過五十 那這個是第四項 A1加幾滴 第四項嘛 A4 A4等於A1加N減一乘D 所以你的第四項這一項 第四項這一項 A1是七 七再加上公差是D 加三滴 三株 怎麼樣 不能超過五十 小於五十 所以三滴會小於 七掛一減七變四十三 所以它的公差 公差有限制 它要小於多少 小於三分之四十三 把它變代分數好了 這樣看不出來 代分數 就除以三 四三去除以三 十四又三分之一 所以公差最大的整數值 就是十四 什麼意思 我說你這邊公差有十四的話 加十四的話 加十四二十一 加十四變三十五 加十四變四十九 有沒有 它有可能就是 最大就這樣子 但是其他可以比它小 比它小都可以 可是你公差 它的最大值是十四 那寫完之後呢 我們看一下 哪些答案是不可能發生的 首先第一個二十 二十我們看一下 A選項的二十 二十這個數呢 假設它是跟七做比較 它排第二個好了 所以二十 二十扣七 變十三 十三的話呢 十三的因數就一跟十三 十三也小於十四 所以這個是可行的 比如說二十 我可以擺這個位置 擺這個位置是二十 加十三 這不會超過 所以A是可以的 好再看B好了 B選項是說是二十五 那我用二十五去扣掉七 答案是多少 答案是十八 那十八的因數很多 十八因數有三六十八 二九十八對不對 它可以 十八本身可以 三六 十八 二九 二九十八 三六十八 所以用六的方式 也可以湊到十八 有沒有 所以這個二十五是可行的 九或六都可以 九跟六都可以 所以就是 你七加六加六加六 或七加九加九 都有機會去湊到這個二十五 所以二十五是可行的 再來看這個C選項 如果是C的話呢 三十 三十扣掉七 因為七是首項 減七變二三 二三就太大了啊 你二三的話呢 它不能分解 分解就是一乘二三 可是二三本身又大於十四 所以不可以是二三 可是二三我排進來 我是湊不到這個等差數列的 中間沒有間隔的 所以這二三不可能 所以答案選二三 不選二三 答案選三十 答案選的是C 這二三是不行的 好再看下一個 第七題 它說如圖呢 有這三個按鍵 以下這個三個按鍵的功能 什麼意思 它說如果開根號的話呢 四十九按開根號 會變成七 那S分之一是導數的意思 譬如說二十五 按下去這個鍵 它就變成二十五分之一 算出來是零點零四 如果是平方鍵的話 按下去之後譬如說六 按個平方鍵 會變三十六 它說螢幕呢 顯示的數是一百的時候 它就依序按照這三個鍵 一直順序輪流按 那按鈕 它說按到一百下的時候 會出現什麼數字 它從一百開始 從一百開始 然後連續按 本來是一百 那一百的話呢 按這個鍵 就是剛好一百 剛好一百變什麼 答案是十 那第二次的時候呢 它按的是這個鍵 就十分之一 那十分之一 就是零點一 零點一嘛 變零點一去了 再按這個鍵平方 那平方變多少 第三個 平方之後呢 就零點一平方 零點一的平方就是 零點零一 繼續按 它按到一百次 都要寫到第一百個嗎 不確定 我們找它有沒有規律 好第四個的時候呢 它說按開跟號鍵 零點零一開跟號 多少 零點零一開跟號 是跟號的零點零一 開跟號就是零點一 然後再按導數鍵 導數鍵之後呢 會變成零點一分之一 答案就是十 然後第六個按平方鍵 按平方鍵之後呢 十的平方多少 答案是一百 一百之後呢 再按這個跟號鍵 就你發現是變回去了 所以它怎麼樣 它是六個六個循環 六個六個循環 那這樣子的話呢 它會說 按到第一百下的時候 會顯示什麼數 按到第一百下的時候呢 因為是六個六個循環 我就一百去除以六 重點是看餘數 除以六之後呢 它是十六 餘幾啊 餘四吧 看餘數是 餘四 所以顯示第幾個 一二三四 第四個 所以跳出來答案是零點一 餘二第二個 餘三第三個 那你除六不會餘六知道嗎 所以整數的話呢 就是看這一個 答案就是一百 那我現在一百 一百次嘛 一百除以六 它是餘四 餘四看第四個 所以答案要選零點一 所以按了一百下之後呢 不是選這題喔 要選零點一喔 所以答案選B 好那以上這邊呢 就是我們在講那個 歷屆會考試題 在針對八項第一章 等差數列級數 它的一個命題的情況 好那我們就今天上到這裡囉 掰掰