【同濟大學】《鋼結構基本原理》（全79講）趙憲忠 P33 - 34. 5.2 截面強度

好 下面我們進入到第二節 我們今天主要介紹一下 構建受彎時候的截面強度 這個截面強度呢 我們不介紹疲勞問題了 這個疲勞問題 它涉及到的內容太多 我們在材料這一部分已經講過疲勞的概念 但是它一些基本的計算 還是依靠在我們這一節裏所要討論的 比方說硬力分佈啊 等等 這一些來進行的 我們現在要討論的 主要是材料的 或者說截面的 塑性發展 討論這個問題 第一點我們先來介紹一下 截面的抗彎強度 我們介紹一下它的這個硬力圖示 在講這個硬力圖示的時候呢 我們遵循兩個基本假定 第一個基本假定就是說 我們的剛纔 我們假定它是理想彈數性的 本構關係 這個我們應該已經比較熟悉了 一看這個圖 我們從材料開始講起 以及就用了這個圖 第二個 是平界面假定 這個平界面假定 大家也應該非常熟悉 是我們在材料力學裏面反覆學習過的 大家能不能把平界面假定說出來 平界面假定是什麼意思 構建變形前後 原來的截面仍然保持平面 很對 原來位於同一平面上的點 對不對啊 在變形以後仍然位於該平面上 對吧 好 這是平界面假定 這是我們下面在講材料 這個受彎構建強度的時候要用到的 那然後呢 我們來看一看截面上的應變和應力分佈 假定我們說有一個公質型的截面 繞着它的ax軸 作用一個彎矩 這是一個公質型的截面 現在我們把這個截面轉過來 轉90度 這是它的截面 作用了這個彎矩 然後我們假設這個彎矩是從0開始增加 那麼我們看看在這個截面上 截下來了以後 它的應變變化是怎麼樣的 彎矩比較小的時候 無論是上一元還是下一元 最外元最大應變 都小於材料的屈服應變 材料的屈服應變 我們在應力應變圖上看到 在這個圖上 我們看到的是一個不對稱的公質型截面 這個行星軸稍微偏上一點 所以下面的應變大於上面的應變 對吧 然後呢 我們說這個應變分佈是直線分佈 好 然後一直到這個狀態 保持到最大應變 達到了屈服應變 這個原來我們在材料力學裏都一直學過 然後我們說 這個應變繼續增大 超過了屈服應變了 這個時候 截面上的應變是不是還是直線分佈 是的 對吧 爲什麼 我們前面討論過 我們採用的就叫平截面假定 對不對 所謂這個應變分佈就說 原來我在這個截面上的所有的點 經過一定的變形以後 它跑跑跑跑位了 跑到這個地方來 它還是一條直線上 還是這個 那麼我們再大 直到兩邊應變都大於屈服應變 那麼 我 我們來看看這個時候的應力分佈 當最大應變小於屈服應變的時候 應力也是直線分佈的 對不對 因爲這個時候的應力和應變之間的關係就是一個直線關係 它們差的就是一個比例係數 我看這個紅顏色 好 這個狀態繼續是這樣 到這個狀態 第三種狀態 還是不是這樣呢 還是不是這樣 不是了 對很好 大家都知道不是了 是什麼樣的情況呢 我們看 因爲上方 它這個邊緣只有剛剛達到屈服應變 對應屈服應變的就是材料的屈服強度 對不對 材料屈服強度 所以呢 這個時候上面的應力就等於屈服強度 但是下面的應變已經大於屈服應變了 跑到這個狀態來了 所以在這一段範圍內 應變從伊夫西羅瓦爾到更大一點的 在這個範圍內 應力應該保持不變 對吧 這就是我們用的第一個假定 叫理想彈性性的本多關係 好 那麼這樣 它的這一段範圍內 應力保持不變 這個應力是多少 就是屈服強度 對吧 一直到這樣一種狀態在另一側也發生 那麼應力是這樣 那麼這個截面上的應力還能不能進一步變化呢 理想上我們說 這個如果我們繼續彎曲 一直可以彎曲到 一直可以彎曲到這個硬件走向無窮 這個硬件走向無窮的話 我們看到它的這個應力 它的這個應力水平段越來越長 而這個斜線段越來越小 這個斜線段會不會趨向於零 這個斜線段 斜線的這個範圍趨向於零 沒有了 會不會 它趨向於零 不等於零 對不對 它不等於零 爲什麼 因爲應變在這個地方它一定要連續的 它總歸有令應變爲零的點 所以一定有應力爲零的點 對吧 然後一定有應變比較小的 就是說 應力那麼不等於零 但比屈服強度來的小 對不對 但是這種情況 因爲這個斜線段 我們把它稱作爲叫彈性段 越來越小 或者說這個彈性核越來越小 我們近似的假想 它存在着一個 可以忽略的 這個彈性核可以忽略的這個結果 那麼在這種情況底下 我們簡單的把這個應力分佈 就看作兩個矩形 兩個矩形 這就是所謂全數性狀態 這個全數性狀態的應力分佈圖 也是我們在鋼結構分析當中 經常會碰到的 下面我們時時會出來 好 那麼 有這樣一些應力分佈 接下來我們說 在設計的時候 我們怎麼來確定截面的抗彎強度呢 我們說 在確定截面抗彎強度的時候 我們通常會有三種可以使用的準則 這三種準則是不一樣的 第一種準則叫邊緣屈服準則 這個詞以後我們也會經常用到 叫邊緣屈服準則 其實大家很熟悉的 這個準則的描述就是說 邊緣最大應力達到屈服強度 把這個狀態作爲計算截面強度的依據 也就是說 截面強度就到這裏爲止了 我們不允許它再超過 那麼這個準則的含義是什麼呢 我要求這個構建 除了邊緣剛剛達到屈服強度以外 整個截面都還是處在彈性範圍內 所以它叫邊緣屈服 那麼應力模式就是這個模式 它的截面強度公式 我們看最大的應力就等於截面上的彎矩 mx去除上了截面模量 這個式子我們都熟悉 因爲它是邊緣屈服在這個狀態之下 所以它小於等於fy 那麼我們可以有一個記號叫邊緣屈服彎矩 或者簡稱叫屈服彎矩 我們用me來表達它 因爲是繞着x軸 所以我們下標再加一個x 那麼這個mex就等於繞着x軸的截面模量 截面模量乘上了材料的屈服強度 所以上面這個式子也可以變形爲這個形式 就是作用在截面上的內力mx 應該小於這個邊緣屈服彎矩mex 等於這個式子 那麼在工程設計上 我們應用邊緣屈服準則就把它這樣來表達 我們看在工程設計上 如果我們表達這個式子的時候 這個mx應該考慮了刻載分項係數 以及它的組合以後所產生的內力效應 這個fd就是材料的強度設計值 而這個wx 我們要加上一個小m 表示如果這個截面有缺損 我們也要把這個缺損考慮進去 這就是工程設計的公式 這是第一個邊緣屈服準則 它還有第二種準則 叫全截面屈服準則 下面我們來介紹一下這個準則 這個準則它的描述是這樣的 截面上各點它的硬力 包括拉硬力和壓硬力 都達到了剛纔的屈服強度 那麼它對應的硬力圖示 就是我們前面講一個截面上 如果作用一個從零開始增大的彎矩 一直增大到這種狀態 我們把它理想化了 就是說它這個截面上 比方說這個區域它是受壓的 那麼在這個區域上 它的硬力都達到了屈服強度 只是它是受壓 反過來下面這個區域 它受到的是受拉的屈服強度 這麼大小的硬力 這個狀態 那麼前面強度公式應該是怎麼樣的呢 這個時候我們要引進一個記號 叫塑性彎矩 注意前面一個是屈服彎矩 這個我們講的是塑性彎矩 或者又稱它叫極限彎矩 這個塑性彎矩 我們用這個公式來表達 首先我們看 塑性彎矩是MP 表示塑性 它繞在X軸的 我們下標上還加一個X 那麼是MPX 它等於什麼呢 等於一個WPX 這個WPX不同於前面的WX 前面講的WX 是我們在材料力學裏 已經算得非常熟悉的 叫截面模量 這個我們後面會說 它實際上跟截面塑性有關的一個模量 然後乘上了屈服強度 現在我們來看看 這個東西怎麼來確定它 我們介紹一下 塑性彎矩或者說極限彎矩的概念 我們舉一個T型截面作爲例子 這個是截面的行星位置 這個是截面的行星主軸X和Y軸 假定X軸是強軸 Y軸是弱軸 彎矩繞着X軸來 這樣一個狀況 那麼我們硬力圖示呢 還是用這個基本假定 第一 截面上只有彎矩 沒有軸力 第二 整個截面都達到了屈服硬力 或者說材料的屈服強度 然後根據剛纔的特點 我們再假定它拉壓屈服硬力相等 假定這個狀態 然後我們來看 如果在這個截面上 綠顏色的部分表示受壓 我們用A負來表達 藍顏色的部分表示受壓 我們用A加來表達 受壓之和受拉之 大家注意啊 看這個圖上 我現在畫的這個綠顏色和藍顏色的交點 不在行星軸上 下面我們會看看 爲什麼在這裏沒有和行星軸重合 那麼綠顏色和藍顏色之間的分界線 我們用一條紅線來表達 一條紅線來表達 我們看硬力圖示 按照這個基本假定就是這樣了 上面受壓下面受拉 對吧 好 然後我們把這個紅顏色叫做 塑性綜合軸 這個軸我們把它叫做塑性綜合軸 我們來看看這個塑性綜合軸有什麼樣的特點 我們把綠顏色這一塊受壓面積的行星 到這個塑性綜合軸之間的距離 計爲 y 負 然後把藍顏色這一塊麪積的行星 藍顏色這一塊麪積的行星 到塑性綜合軸之間的距離 計爲 y 正 就是兩個距離 然後根據我們前面的基本假定 這個假定說什麼 截面上只有彎矩沒有軸力 那麼也就是說它的軸力 m 要等於0 那麼這個軸力實際上就是綠顏色截面的合力 和藍顏色截面的合力 兩個面積的合力之和 是它整個面積上的軸力 對吧 現在我們來看 那麼這樣就是 a 加或者 a 正 這個截面上它要乘上了屈服強度得到的是拉力 這個 a 負 乘上了 f y 得到的是壓力 兩個符號相反 它們的和根據前面這個公式要等於0 因爲 f y 相等且不爲0 把它約掉以後我們就得到 a 正和 a 負 這兩個面積應該要相等 這個關係就過來了 所以我馬上知道 知道什麼 這個素性綜合軸實際上是這個截面上的面積平分線 面積平分線 我們知道這個面積平分線後面跟着一句話 它不一定重合截面的行星軸 行星軸我們是通過面積矩的方式把它求出來的 對不對 它根據面積矩的方式求出來的 所以得到行星 但是我們在有些截面裏 這個素性綜合軸作爲面積平分線 就是截面行星軸 比如說雙軸對稱截面 對吧 它的那根水平軸 x 軸公之型截面 假如說上下兩個面積肯定相等 所以它是重合的 但是在這個 T 型截面裏 一般來說是不重合的 那麼這樣我們就可以來推出素性彎矩了 這個素性彎矩是什麼呢 實際上現在我們看到 它就是這一個合力 對素性綜合軸所產生的力矩 和這個受壓區的合力 對素性綜合軸所產生的力矩 這兩塊之合 這兩塊彎矩對素性綜合軸這個彎矩方向都是一致的 好 是它之合 那麼我們把這個彎矩加上去 這一個再乘上了這個距離 y 正 這個乘上了這個距離 y 負 把這兩塊合力變成了力矩 然後求出來 因爲 y 和 f 是共同的 我們把它提出來 好 大家看前面我們已經講過 這個 mpx 就等於一個 wpx 乘上了 fy 這個 fy 已經出來了 那麼這一項實際上就應該等於 wpx 對不對 這一項 所以我們知道這個 wpx 就是截面的素性摩亮 我們就得到了這個關係 所以通過上面的描述 我們就應該知道 如果我們要確定這個截面的素性承載力 或者說它的極限承載力 我們第一步就是要求它的截面素性摩亮 截面素性摩亮怎麼求啊 你看 我們首先要求出它的面積平分線 然後根據面積平分線 我們就可以求出它正負兩塊的面積 受拉受壓的面積 根據這兩塊面積及其它到素性綜合軸的距離 所以我們說受彎構建截面素性彎矩怎麼求取 我們按照這個思路 我們應該就能夠把它求解出來了 如果我們求得了截面上的素性彎矩 那麼我們還引進一個叫截面素性係數 這個截面素性係數 就是這個素性彎矩和邊緣屈弧彎矩 或者說屈弧彎矩的比值 我們引進這個係數 這個係數實際上就是兩種截面摩亮的比值 這個大家不妨按照這裏所介紹的原則 把我們常用的 比方說公字形截面 繞着它的強軸和弱軸 或者相形截面 繞着它的強軸和弱軸 這個截面素性係數是多少 我們去比一下 比出來以後它就可以看出 這個叫素性彎矩大於屈弧彎矩大概多少範圍 我這裏先給一個結論 是這樣 矩形截面這個值1.5 公字形截面繞X軸 在常用的工程範圍內是1.1到1.17 圓管1.27 實心圓1.7 這個過程 大家用剛纔講的方式去推導一下 那麼做截面強度計算的時候 我們就知道這個赫彩效應 要小於這個素性彎矩 那麼在實際計算的時候 我們可以把它變爲 就是說內力除上了這個Wpxn 一樣用進階面來考慮 那麼這個Wpxn又等於Wxn乘上一個γpx 這個關係會從這個截面素性係數的導出公式上得到 它應該小於這個強度設計值 這就是截面抗彎強度的第二種準則 叫全截面序幅準則 好 我們休息一下