【清華大學】《大學物理》（國家級精品課）上 P25 - 26. 26教學錄像-84振動1

上一堂我們做的一個拍的實驗做得不太好 因爲那個橡皮筋折了 我現在在兩個完全相同的音叉的一個上面 用一個鐵環把它固定上 這樣這兩個音叉的固有頻率很大 但是相差很小 這時候我一起敲就有拍的效果 你們聽一下 這敲一個沒有拍的效果 聽到拍了嗎 沒有 你仔細聽 聽到沒有 就是那個包羅線形成那個聲音的強度 這是一個實驗 我們再把以薩如圖情況再講一下 當兩個催致方向的振動頻率成正整數倍的時候 這個時候合成的軌跡是一個穩定的閉合曲線 我們看一個2比1情況 沿着X方向的振動方程 是沿着X方向 初微向是2π 所以T等於0時刻的位振幅矢量這個方向 Y方向頻率是Ω X方向頻率2倍的Ω 初微向也是2π 初微向0的時候 這個A2是這個方向 因爲初微向是90度 所以0時刻是這樣的 注意X方向的振動的頻率是Y方向振動頻率的1倍 所以這個A1這個矢量轉動的角速度就是A2 這個矢量角速度是2倍 我們現在合成一下 現在看 A1跑了90度 A2只跑了45度 合成 這是合成的圖形XY 合成的圖形這樣 從這開始到這 然後X跑了這個矢量跑了90度 它才跑了兩個90度 這個跑了一個90度 然後再做一下合成 再合成 所以你會看到當X方向的頻率是Y方向頻率的2倍的時候 這時候合成的這個曲線的形狀是這個樣子 兩次達到X方向最大值 第一次達到Y方向最大值 你看就知道了 這個黎薩蘇對應的X方向振動的頻率是Y方向的2倍 上次我們用激光做的就是這個意思 一個是X方向振動 一個是Y方向振動 我調節鏡子的鋼板尺 通過長度調節它的頻率 正好是2比1 所以就是我們動畫演示的效果 如果你在攝攝器上發現X方向Y方向的振動 合成的黎薩蘇圖是這個樣子的話 那X方向的頻率和Y方向的頻率比應該是3比2 在X方向三次達到最大值 一二三 Y方向兩次 所以頻率比是3比2 這是不同頻率比情況下的黎薩蘇圖 注意跟觸摸向有關 X方向的觸摸向是0 Y方向分別是0 8分之π 4分之π 8分之3π和2分之π 不管觸摸向差如何 只要頻率比固定 那麼X方向的最大值和Y方向最大值的出現次數就一定是這個樣子 比如2比1 在X方向兩次達到最大值 注意這也是封閉曲線 它是這麼跑的 跑到這兒又回來 又回來 這個封閉曲線的面積是0 還是個封閉曲線 X方向有兩個最大值 Y方向只有一次 那不管觸摸向差是多少 這個比是不變的 別的是這個樣子 以後用攝攝器的時候 要會用黎薩蘇圖來比較兩個頻率的比 結構分析是這個意思 我們通過負點分析可以把任意一個振動分解成若干個減弦振動的疊加 這個我們在負點變換中已經知道了 我們對於週期性振動可以做這種分解 這個不用說 負點基數 其中的AK就代表對應頻率爲Kω的振幅 這個振幅摩的平方就代表對應的頻率的強度 如果對一個週期性振動它不是減弦振動 我們通過這個分析我知道AK的曲值 那就等於說我知道了週期性振動按照減弦振動分解之後 各個頻率的強度 K等於G頻 二語上叫斜頻 G頻決定聲音的音調 或者振動的音調 結波決定音色 這個我們都知道 比如舉個例子 這個就是某個分離譜的某一個週期振動的互列基數對應的相應的頻率的強度 我們把它叫做頻譜 橫字代表K K代表相應的斜頻 比如相應的斜頻是這個結果 這個代表相應的振幅 比如對方波 這是一個方波 不是減弦振動 按照剛纔的公式可以做到做互列基數展開 首先A0是個常數 顯然它的平振值在這 顯然是個常數 然後一次斜波 三次斜波 五次斜波 把0、1、3、5次斜波等等 還有我們只加到五次斜波就成這個樣子 如果斜波數再多7、9等等 最後可以嚴格得到一個方波 這個你們在互列分析中要討論這個問題 很有用處的一個數學手段 比如汽車的底盤和整體設計的時候要考慮它的振動 這是很重要的一個參數 早年的汽車經常由於共振 跑着跑着 中間斷了 有兩口子開車 丈夫在前面開車 妻子後面坐着 顛簸之後前面跑了 後面剩下了 有這種現象 振動之後斷裂了 所以汽車要做路面譜試驗 各種路面在不同情況下要做這個試驗 收集數據 然後你的汽車要使用這些路面譜的情況 路面譜其實是做平譜的 它們要廣泛用到互列分析手段 當年某個汽車研究所搞路面譜的時候 急需一個搞物理的 他們都是搞工程的 急需搞物理的 後來學物理去了之後覺得有些事情太簡單了 但是工程他不懂 所以他們一塊坐着車上海南島就做了路面譜試驗 所以這個斜振分析的方法在工程中經常用到 從數學上看 它也是一種離散化的辦法 把一個連續的函數或者非週期函數 非減弦振動函數變成減弦振動 這樣的話對我們分析問題有很多的好處 這種方法也就是展開的方法 關於阻尼振動 我想大家要搞清這麼幾個問題 一個是固有頻率 固有頻率跟振動體系的固有性質有關 m就是等效的質量 k是代表等效的進度係數 這是阻尼係數 我們第一北的等於2m分之伽瑪 其實用伽瑪就夠了 但是爲了方便引入阻尼係數 在微分方程中爲了方便 阻力是跟速度成正比的 我們只討論這種情況 速度比較速率比較低的情況 如果速率比較高的話 可能跟速度的平方要成正比等等 我們討論最簡單的情況 伽瑪是代表阻力的係數 這樣定義叫阻尼係數 三種阻尼 一種過阻尼 一種是臨界阻尼 一種是欠阻尼 欠阻尼就是阻尼比較弱 使體系能夠做幾次週期運動最後停下來 過阻尼和臨界阻尼都是體系不能做週期運動就停下來 不過過阻尼由於阻尼係數太大了 所以它最後到平衡位置速度比較慢 臨界阻尼最好很快就回到了平衡位置 所以在電工儀表中通過調節阻尼係數 使錶針回到平衡位置的阻尼是臨界阻尼 所以一停電之後馬上回到它的平衡位置 不能調在欠阻尼上 震動起來沒完 也不能過阻尼 過阻尼太慢了 誰的手機以後關掉 我想我得關掉 我都忘了 如果我在想的話 那就不對了 我已經關了 咱們都關掉 不能把它調成震動 我們看一下如何從物理上理解這三種阻尼 這是個箱子 上面一個彈簧 下面是水或者某種液體 這樣的一個鎮子在液體中 阻尼是不一樣的 我們可以調節液體的濃度 我們來討論它的阻尼 一個是欠阻尼 欠阻尼的情況可以看作是一種 逐漸恢復到平衡位置的間歇震動 原則它不是間歇震動 這是欠阻尼情況 再看過阻尼 到平衡位置非常緩慢 再看臨界阻尼 臨界阻尼很快地回到平衡位置 這是三種阻尼情況 我們討論欠阻尼情況 就是還做點震動 最後慢慢回到平衡位置 這時候政府是以一舉數衰減的 我們定義那個北的2m分之伽馬就用在這 轉是負北的t 能量是它的平方 那就是e0a0的平方 就是按着e的負2北的t這個函數衰減 是欠阻尼情況 時間長數大概都是二北的分之一 這個阻尼係數越大 時間長數越短 這顯然的 這個越小 時間長數越長 時間長數其實就是下降到一分之一的那個比 你們電學中也討論過 電容通關電也討論過 我們要補充一個數叫q值 它是二π套比上t 套是時間長數 也就是我們給零固有頻率稱的套 它代表你這個震動和沒有阻尼情況下的那個解決震動的差別 就是在一個週期中損耗的能量相對於那個解決震動的能量比 這個值越大 說明越接近解決震動 這個衰減的越慢 這個值越小 說明衰減的越快 所以不管是一個震動系統還是線圈 都要求有一個q值 有時候需要它高 有時候需要低 有時候需要它高 很銳 有時候要低 比如收音機的中軸變壓器要求它上面有個平臺 在465附近 我能不能接受到 在中頻的時候用放大器來放大它 不同的情況要求q值不高 一會我們要介紹一下q值 講共振不講q值 我認爲這是很遺憾的一件事 因爲到處都用q值這個概念 這是關於阻尼運動 關於受化震動大概搞清這一個問題 一個受化震動的概念 這是驅動力 驅動力的頻率就是強度 系統的震動這叫受化震動 受化震動我們討論是穩定式的受化震動 穩態情況 受化力加在體積上 經過一段時間之後 這個時候系統的震動頻率就等於側動力的頻率 我們討論穩態情況 在弱阻尼的情況下 當側動力頻率等於系統過位頻率的時候 震動速度和震幅都達到最大的共振現象 這個應用很多 共振的概念到處都在用 聲光電原子內部工程技術等等 同樣注意由共振引起的破壞 現在在工程設計中 減振已經成爲一個很重要的專業 專門有減振方面的工程師 這個共振是很厲害的 儘管在有些地方它是決定物理項目的本質 但是在工程上危害極大 比如這就是危害 這個酒杯用小號一吹 正好這個頻率跟你本質頻率差不多了 震碎了 這是個演習實驗 以前我們想做 每次都換一個杯子也不算 因爲誰去吹 我試過一吹漏風我吹不好 吹小號的人吹得很好 某一個音正好頻率和它接近 就能把它震碎 你們看過一個電影 就一個女高音特力一唱 劇場的玻璃全碎了 我看過這麼個電影 也不知道是真是假 那肯定是假的 要不咱們的劇場玻璃全碎了 發生共振的時候要造成危害的 這是著名的1940年華盛頓的一個大橋 在一股不太大的風中產生震動 塌掉了 這就由於橋樑的設計 一個頻率不好 正好跟那個風的過渡頻率 承諾那個頻率接近 另外上海報道有三棟新建的11層的居民樓 經常搖晃 引起居民的恐慌 後來發現附近有個巨石廠 四臺大規巨石機 頻率1.5赫茲 正好跟那個樓的過渡頻率接近了 所以樓才搖晃 這有一次看電視看到的 我馬上把它錄下來 圖像它都沒有 它光是有這個文字 原來樓的搖晃是一種共振現象 當時居民還燒了不少香 以爲這是什麼怪的現象 後來地震局還有環保局去了一些工程技術人員 找了工程員 結果真找到了 巨石廠造成的 所以在工程中 防震和減震是一項十分重要的任務 尤其修橋樑和大地建築物的時候 是十分重要的 我們講一下品質因素的概念 受迫阻尼震動 我們討論是欠阻尼 這個系統的震動特徵是這個樣子的 這是位移 這是政府隨着時間衰減 後面是減輕震動因子 其中這個頻率 這個頻率震動頻率 跟這個固有頻率差不多 因爲這個北的值很小 我們討論弱阻尼 這是曲線 這是包羅線 政府的包羅線跟處北的T1次方等等比 這樣下來 這阻尼係數 這是阻力 我們下面要討論 怎麼描述受迫阻尼震動的一個體系 與沒有阻尼的減異震動的接近程度 有時候我們希望阻尼非常小 接近減異震動 有時候需要阻尼稍稍大一點 用阻尼係數當然可以描述 但是這個描述很不方便 所以人們爲了方便引用Q值 就是所謂品質因素來討論它 完全爲了方便 是這樣定義的 我是用能量定義的 T是個體系能量 就是這個弱阻尼的受迫震動的體系的能量 比上每週期損失的能量乘二π 乘二π是爲了方便 你看這兩個能量的比如果大的話 就說明每個週期損失的能量相對體系能量來比較小 損失能量小就越接近於減異震動 是這麼定義的 T時刻體系能量用它來描述 損失能量是這樣 T時刻的能量減去T加T時刻的能量 T大T代表週期 減這個能量比它大 因爲能量越來越小 政府越來越小 爲什麼這麼定義 開始人們就這麼定義了 沒有爲什麼 或者說後來的形式比較簡單 Omega0乘上T 國際上都這麼定義 我們推一下公式 一個固有頻率Omega0的阻尼係數爲β的系統 它的Q值是這樣定義的 Omega0比上二β 或者Omega0乘上T T代表時間常數 可以看出來 固有頻率越高 或者阻尼係數越小 Q值越大 越接近體系的減切震動 這個回去算一下就可以了 很簡單 這是你的穩態情況下受迫阻尼震動 β代表阻尼係數 這是頻率 我用Omega0代表頻率就完了 Omega0是體系的固有頻率 Omega0是代表受迫地的頻率 驅動力的頻率 T時刻的能量我簡單地寫成這個的平方 乘上1K 但是減切震動 我假定它是減切震動 原因是什麼 時間常數非常長 時間常數比周期長了很多 政府衰減很慢 T時刻的政府我就用它來代表 它的平方就是這個東西 所以T時刻的能量可以寫成這個樣子 A0平方E的套分之T 然後T減去T加上週期這個能量差 這兩個是E減 因爲套比T大很多 所以我做一下它來展開 帶個公式就是它 沒什麼 很簡單 所以我們就得到一個系統的品質因素是這樣定義的 系統的固有頻率比上它的阻尼係數 別的再除上2 或者系統的品質因素乘上時間常數 這公式對機械震動對電磁震動都是常例的 你們以後到市場買線圈 買那些共振線圈 品質因素就這麼定義的 舉個例子 我們測量電荷的共振方法 我們用共振方法測量電荷 可以得到電荷是那樣的化學結果 這是個單板 板上有個帶電的小球 質量爲m 電荷爲q 放在一個膠變的電場中 電場的強度是每米10的5次方伏特 還可以 這個可以 挺強了 原子內部大概10的9次方伏特左右 在千元紙中電子感覺到的電場 大概每米10的9次方到10次方伏特 這個很強 質量是10的-6方公斤 這個電場振動比較慢 0.1赫茲 我們用q等於100的系統 這個系統q等於100 有阻尼 因爲在電場下 這個q受力對不對 所以它有阻尼的 系統有阻尼 阻尼係數和固有頻率 最後我給的q值是100 這個100可以測出來 可以人爲測出來的 可以算出來的 我給你測電荷 怎麼測 我讓這個系統在電場中達到共振 一共振之後 就這個結果 共振的振幅是h比上二北的根號 奧米克零方減北的方 h是力的長壽 它是單位質量受的力 10乘q不是受的電力嗎 這就h 北的跟q的關係是這個關係 我北振用這個帶進來 這個北振用這個帶進來 最後結果就是共振的振幅和體系的q值建立了聯繫 你看把奧米克零方提出來 這個是奧米克零平方 裏邊剩1-4q方分之一 q是100 4萬分之一當做零 我就看清楚了 其中有品質因素100 有電場強度 它的振幅是10的5次方 還有電荷 要測的是電荷質量和奧米克零 奧米克零質量到0.1赫茲 以後就測這個共振振幅 這個能測對吧 共振振幅我能測出來 測出共振振幅 這個都已知的 我就測出電荷了 我還帶電 測的結果發現共振振幅是10的15次方q 我發現這個是個常數 這不是測的 這是常數10的15次方 我就有這個關係 測量AR就能得到電荷的值 甚至發現AR是0.16毫米的整數倍 你不管電荷怎麼變 這個結果總是0.16毫米的整數倍 所以電荷就應該是1.6乘10的19次方q的整數倍 實際這麼測的 我不知道你物理實驗做不做這個實驗 這是很好的一個實驗 通過這個實驗你能瞭解很多東西 一個是品質因素的概念 共振的概念 電磁學的概念 還有一個重要的電荷是量子化的概念 電荷量子化這件事情我們在上一期電磁學的已經討論過了 它是個謎 爲什麼電荷量子化是個謎 人們還不知道怎麼回事 有人也解釋過 說如果什麼量子化的話 電荷就量子化 就等於沒說這句話 對不對 它是個最基本的一個實驗事實 人們還不瞭解它 電荷是什麼 人們也不清楚 只能通過電荷的作用 電荷的性質來認識它 比如一性電荷相系 同性相斥等等 可以吸引止血等等 玻璃棒和毛皮摩擦 當年就定義了毛皮和玻璃棒分別帶什麼電 爲什麼沒有第三種電荷 正電荷 負電荷之外還有一種電荷 這個都是懸耳未覺的問題 從理論上說 電荷空間跟電子的自旋 懸鏈空間很接近 都是兩分量的 所以在覈物理中和粒子物理中 把電荷空間叫做同位旋空間 電荷爲什麼這樣 人們都不清楚 爲什麼量子化也不清楚 人們不清楚的事情太多了 可能人類在滅亡之前還有不清楚的地方 我相信 因爲人類不可能完全認識自己 那句話 人類的大腦mc方就那點能量 你能認識這麼多能量嗎 從能量觀點也是不可能的 這是很有意思的一件事 振動這一部分我就總結這麼多 振動並不是不重要 考慮你們的知識背景 解決振動問題沒問題 所以振動一些公式 你回去要認真推導的 提條認真做 它也是基礎 沒有振動的基礎 波動是很難了解清楚的