【清華大學】《大學物理》（國家級精品課）下 P7 - 107. 107-教學錄像-磁力3 (1)

好,我們接着上堂課內容 上堂課我們講到 在流線圈在磁場當中的受力情況 那麼我們很容易發現 如果是在一個均勻磁場當中 這個線圈它整個是不受力的,對不對? 可是呢,每一段都受力 你在磁場當中 每一段,就是一個閉合小線圈 每一段都可以受力 那麼它們受力呢 並不會完全是在一條直線上 會出現力偶 我們如果把這個力偶算出來的話 我們就會發現一個磁矩 在磁場當中受的力矩是這個 就這樣 那麼有了這個以後呢 我們就可以討論什麼呢? 假如說 好的,不好看 假如說 你現在我們 我們想討論一個線圈在磁場當中的能量 那我們怎麼討論呢? 比如說在這個均勻磁場當中 放了一個線圈 那麼我們這個能量呢 就是通常的考慮 比如說如果我抵抗這個 線圈所受到的這個力矩 做功 我抵抗這個力矩做功 那麼這個就是 這個線圈在磁場裏面的能量增加 對不對?就這麼簡單 所以我從這個思路出發 我來看看一個線圈 比如說跟磁場B 它們之間的夾角是C的 指的是 這是一個平面線圈 所以它有一個法線方向 法線方向和磁場之間的夾角是C的 那這個時候呢 假設啊 我這個線圈在磁場當中動的過程中 I永遠不變 我們不去考慮它 根本就不管它 電流不變 電流不管它 電流就是天生就是不變的 我們假設 那這個假設應該有 爲什麼? 因爲線圈在磁場裏面動的時候 中學裏面至少你們學過法拉第電子感應定力 線圈一動的話 裏面就會有感應 電動勢產生 那電動勢有可能影響電流 對不對? 這個變化我們不管 我們先固定它 先固定它 那這樣的話呢 我假如說 我現在把這個線圈 現在處於C的這個線 它現在是和磁場B是C的這個角 它怎麼來的呢? 我假設是什麼呢? 我假設比如說 我從零度的時候開始 零度的時候 我給它抵抗磁具 磁力具做工 把它搬到C的這個角度了 那這個時候 這個不就是能量增量嗎? 同意嗎? 這個能量就是你這個 抵抗這個力具做的工 注意這個問題我們討論過 抵抗這個力具 爲什麼這裏面沒有個負號啊? 這個上堂課我們都討論過 對不對? 記得吧? 你用右手螺旋法 算一下這個 磁具插上B的那個方向 和C的這個增量的方向 你會發現它們兩個方向剛好相反 所以呢 現在我要把這個 這個力具帶進去 力具帶進去的話 不就是磁具乘上B 然後sineθ 它們之間夾角 你把它積分出來就是這個 那現在你比較這兩個項 假設我們說 這個就是 W代表的是 這個線圈在磁場當中的能量 所以你現在 從零度開始到θ角的意思是說 我能量從這個 零度 零度這個能量 增加到θ這個能量 θ這個角的這個能量了 這是能量增量 對不對? 那麼 這個增量呢 是等於這個 你發現沒有? 增量是這個的 如果我適當地選擇一個零點 比如說 類似於四能零點 這樣一個零點 我假設說一個參考點 什麼時候參考點呢? 哪一點作爲參考點呢? 就是說 你這個磁具 這個 法線方向 和磁場的方向乘90度的時候 我假設那時候的能量是等於零的 有一個參考點 這個時候呢 你這個 對某一個θ角度的時候 線圈的能量 你就很容易算出來是這個 爲什麼呢? 因爲這個就是 磁具乘上b 負號cosθ 對不對? 可是負號cosθ 不就是點擊嗎? 所以我假設如果是 它們之間 角度是90度的時候 是零度的話 90度的時候 是能量等於零的話 它90度的時候 是不是能量等於零啊? 那這個就是 你這麼選擇的這個結果 對 這個就是 線圈在磁場當中的 均勻磁場當中的一個能量 就這樣 你 你這個式子啊 你可以跟那個 電場裏邊的那個 式子比較一下 電偶集聚 在電場當中的能量 是什麼呢? 負的電偶集聚 點上電場強度 對不對? 當地的電場強度 所以你跟這個比較一下 這時候是負的磁具 可是假如說 你要考慮 電流是可以變的 比如說剛纔那複雜的 比如說法拉第 電子感應定位 這些影響 你動的時候 有可能影響怎麼辦呢? 這個時候啊 它的這個結果 就沒有負號了 變成正號了 那這個 我不在這兒 這個仔細討論啊 後邊我還有機會討論一下 可是爲什麼這個變 它倆不一樣 這一點呢 我可以簡單說明一下 因爲你在這裏面 考慮的是什麼呢? 我假設這些電流啊 這磁具本身是凍結的 磁具的大小 都是凍結的 不變的 所以你搬動它的時候啊 你不考慮 它的變化 引起的能量守號 所以你只考慮 你搬動它的時候 抵抗力矩 抵抗這個力矩那部分 做工的部分就行了 可是實際的線圈啊 我們說真正是 拿這個導線繞成的線圈 它肯定是有一個電池 來驅動電流 對不對? 你在這裏面動的時候啊 因爲這裏面 會產生額外的電動勢 比如說這個 法拉利電池 感應電動勢啊 什麼之類的 有可能想讓這個電流變化 你要保持電流不變的話 你這個電池就得額外的 做工去抵消這部分改變 對不對? 那這部分考慮進去的話 你就 這個能量就會變成 這個東西 換句話說 你這兩個一比較 換句話說 外邊電池 就你在這個 把這個線圈啊 轉過來過程當中 爲了保持這個電流不變 不僅保持這個 線圈的電流不變 還得保持什麼呢? 保持產生這個 磁感強度B的 那個線圈的 那個電流也不變 對不對? 爲了保持這個 電池額外做多少工呢? 兩倍的P點B的那個工 那電池要做兩倍的工 那你把這個兩倍的工 和這個機械的負的 一加起來 不就變成這個了嗎? 是這樣啊 你現在可能想 我說這兩倍怎麼算出來的? 算出來這個是我們後邊 我們會簡單給大家看一下 後邊 後邊呢 這個講磁場 磁場能量那部分 我們在這裏邊呢 先把它 就作爲問題先擱在這 好 這個問題呢 磁場 這個線圈在磁場當中的能量呢 我們就可以和 電偶集聚在電場中的能量 你可以比較一下 那麼 它們之間 幾乎是對應的 可是這裏邊我加了一個正號呢 就是說 如果你考慮這個電流可變的時候 它就正了 是不是? 然後它們之間的力矩關係呢 就是電偶集聚在這個電場當中 它當中受的力矩和 這個它受的力矩 也是 就是可以類比的 非常像 表達式非常像 這樣 好 這是這個一個線圈 在這個均勻磁場當中受的力矩 剛纔我們說 它在均勻磁場中 核外力 它是不受力的 線圈 在均勻磁場當中 可是你注意到沒有 就是說 我們比如說 上次演示實驗 一個線圈在這個磁場當中 它是會受力的 對不對 它因爲被這個螺旋管的 這個產生磁場 會拖拽 拉過去 或者排斥 它是受力的 是不是? 那麼 當然這個 在均勻磁場當中 不受力 這個 這個結論是不會有錯的 所以你很容易 就是你可以想到 就是說 一個線圈 如果在磁場中受力的話 一定那個磁場是什麼呢? 不均勻磁場 是不是? 就這麼 那麼在不均勻磁場當中 它受力是什麼樣子的呢? 我們就給大家 簡單看一下 注意這部分內容 打了個星號 就是我們不要求大家掌握 不過因爲 這個在線圈 在不均勻磁場當中受力 這一點 這個 這個結論本身比較重要 所以給大家看一眼 我們選擇的 一個特殊的情況 比如說 這是一個螺旋管 或者是什麼呢? 圓柱形的永磁體 無所謂 它是柱對稱的 這麼一種磁場 所以它這個磁場 是軸對稱的 看見沒有? 那磁場呢 從NG發出來了 是不是? 現在我在軸線附近 就放了一個小線圈 這是小圓形的線圈 我們來看一看 這個小線圈 在這裏面受力大小是多大 就這樣 那麼顯然 這個螺旋管裏邊 磁場是均勻的 就是在螺旋管比較長的話 在中心附近 當然是均勻的 如果是越靠近 你們做過作業的 越靠近邊 它的磁場就越來越小 對不對? 剛好到邊的時候 有個作業可以告訴你 在某個附近 那麼磁場大小 剛好是你 無線場磁場的一半 是吧? 它可以下降 所以 這個螺旋管磁場 外邊的磁場 是不均勻磁場 對不對? 是逐漸減少的 逐漸減小的 那我們來看一看 具體看一看 它在這裏邊 受力大小是什麼樣的 首先我們把這個 線圈附近的 這個磁感強度 分成兩部分 一部分是平行於J 就是垂直於這個線圈 一個是 就是沿着這個 沿着這個方向 一個是沿着J的方向 所以平行就平行於J 垂直是垂直於J 這麼搞的 那我們先看一看 當然我在這個過程當中 爲了簡單體驗 我仍然是保持I無變 我不去管那個電池 這些東西 我只考慮這個線圈 現在看一看 我從上面看 我從上面看的話 這個黑點就是 磁感強度的方向 對不對? 沿着這個J 沿着J方向的磁感強度的方向 就這個方向是這個 那麼這個線圈 當然因爲有這個電流 所以你很容易判斷 就是說 根據這個盤培力 IBA DXB 對不對? DXB 你一算就是 很快 對不對? 力都是向外的 就是線圈的力都是向外張着的 對不對? 那每一段 相同長度的導線 所受到的力 都是一樣的 對不對? 所以這個導線 對於這個部分 磁感強度的這部分分量來說 它是不受力的 同意嗎? 沒問題吧? 是吧? 然後再看 另一個方向 就是說 磁場都是 紅色的箭頭標的方向 就是說 也是從上面看 那麼這個是 垂直於J方向的分量 那麼你用安培力公式 你很容易判斷 它受到的力 通通都是向下的 對吧? 就從上面看到 通通都是向下的 對不對? 通通都是向下 所以這部分力 它是通通一起向下 那當然你要把它加起來 對不對? 所以你加起來的結果 就是每一段 單位長度上受力 不是IB這個嗎? 單位長度上的受力 安培力 那麼整個一圈受的力 就是2πr 對不對? 然後因爲是向下 從上面看向下 和J方向相反 就等於這個了 這個沒什麼問題 我想大家很容易 跟着這個思路 下面就是 我在這裏面 不喜歡這種表達方式 我想看一看 我用其他的 比如在這裏面 最主流的磁場方向 不是沿着J方向嗎? 對不對? 而力 也是沿着J方向的力 同意嗎? 現在是 所以我現在 把這個式子 想辦法改成 和平行方向 和J方向 磁場有關係的量 那麼下面這個做法 是很少的那種例子 就是磁通量 就是磁場的高斯定理 能應用起來的那種 少有的幾個例子 因爲我們前面說了 磁場的高斯定理 因爲永遠到處等於零 所以說很少能應用 在這裏面 是很少的一個例子 就可以用 怎麼用呢? 我們現在把這個 以這個線圈 爲一個底邊 然後就做一個 很薄的小柱面 就是高斯面 做一個很薄的高斯面 那它的這個高度 比如說ΔJ這樣的 所以對這個小高斯面來說 當然這個仍然成立 沒問題 對不對? 所以你現在計算的結果 是什麼呢? 側面 這是側面的通量 同意嗎? 側面有個通量 對不對? 垂直方向 這個方向有個通量 這個底面有個通量 可是底面的方向呢 因爲這上面這個方向 和這個法線方向 底面兩個方向 一個是沿着這方向 一個是反着這方向 所以這個要減法 對不對? 所以這個等於零 同意嗎? 那你看這裏邊 這個式子 看見沒有? 2πr還有b 垂直這個量 2πr b垂直這個量 看見沒有? 所以我把這個式子 很容易用這個式子來代替 那這個式子呢 你把它做一下 你就會發現 這個東西是等於這個的 把剛纔那個式子用一下 於是呢 你剛纔那個 沿着J方向這個線圈 所受到的力呢 就可以用 沿着J方向的磁場分量來代表了 只不過這個磁場分量呢 是沿着J方向的變化率 就是所謂的 沿着這個J方向的方向導數 變化率 這樣 你現在 你這個東西 不是方向 不是沿着J方向嗎? 你剛纔這個 因爲在這個式子 你把它代進來 剛纔不是還有負號 弄起來就是這個式子 現在啊 我把這個平行這個分量呢 寫成好看點的 寫成J 這不是好點嗎? 所以寫成J了 所以在這裏邊呢 這個就 前面這部分 就是這個 這沒什麼啊 可是你考慮到啊 我們在這裏邊 線圈的方向 右手螺旋 剛好是J方向 同意嗎? 所以你這個 PM這個 它和這個梯度算幅之間的點擊 剛好就是對J方向的導數 同意嗎? 因爲我們說了 你這個梯度 對 沿着某個方向的方向導數 這個是 這個矢量的方向 是沿着J方向的 你一點擊 不就沿着J方向的方向導數了嗎? 所以 這個就可以寫成這個 對不對? 就是這樣 所以現在這個式子 當然是很漂亮了 呃 如果你想知道 一個磁具 在磁場當中 沿着某一個方向 沿着J方向的受力怎麼樣呢? 就考慮 沿着J方向的這個 呃 梯度和這個磁具之間的點擊 就好了 同意嗎? 就是這樣啊 當然你這個 呃 我們雖然這個是在這裏邊 在這個 比較特殊的情況推出來的 跟我們前面講的那個道理一樣 你在這裏面 很難看出來 就這個寫成這個式子以後啊 很難看出來 PM 是 呃 當然你知道 這是PM沿着J方向的時候 你才寫出來這個樣子 可是寫成以後 呃 你 你想會不會這個 就是 跟J方向本身 沒有什麼太大的關係 如果是這樣的話 那麼 呃 你就可以把這個J方向啊 可以推廣到X方向 Y方向 那這樣的話 把這個 你沿着J方向受的力 你這個上面就是 磁感強度 沿着J方向的分量 對不對? 現在 X方向呢 寫成S方向 呃 Y方向的力呢 寫成Y分量 那麼 整個力的公式 不就變成了 整個 這個 磁感強度的整個數量 是不是 就這樣 呃 不不是不是這樣考慮 你現在這麼考慮 就是 呃 當你把這個和這個T路算法 點擊在一起的時候啊 就變成了 比如說 PX是X方向的導數 加上 PY Y方向的導數 然後 這個是標量 對不對? 標量對後邊的 呃 矢量求導數 可是那沒關係 你把這個矢量寫成 X分量 Y分量 J分量 也就是對X分量 做一下這個 呃 這個這個 這個算符運算一下 對Y分量 做一下運算 J方向 做一下運算 就行 對吧? 呃 不要想這個張量啊 或者什麼 不去想 就是你先把這個點擊一下 變成標量 標量和 矢量並在一起 不就沒關係嗎? 呃 事實上 你這樣出來 這個結果啊 這是正確的結果 你用其他的方法 嚴格的可以推的 呃 可以這個推導出來 這個 持距在磁場當中的受力 也就是這樣的 所以你要想受力持距 磁場必須是什麼? 有梯度 有變化 啊 這就行了 就這樣啊 呃 這個呢 給大家簡單 呃 帶來一個呃 演示啊 就是呃 這個是磁體 對不對? 然後這下邊呢 也裏邊呢 也是多了呃 兩排 兩排這樣 呃 N級S級 兩個軌道一樣 那這個東西就可以懸在這上面 好 可是我前面說了 光憑這個磁場本身呢 實際上是不能讓另一個磁體穩定的 呃 在那約束住的 所以 你在這裏邊 要想把它約束在裏邊啊 就是比如說 我現在放在這 你必須是前面有個東西頂住 這個東西頂住 頂住的話 當然它就可以懸在這上面 好 這樣 這實際上也是受力 哦 受力 可是如果你把這個去掉呢 去掉它就沒辦法 這中間這個穩定點 其實是什麼呢? 實際上是安點 不是墜角點 明白這是什麼? 是安點 這 你擱在這 它要往這跑的 你知道嗎? 可是正好你把這個東西頂在這的話 機械性的把它頂住了 就把它給這個平衡住了 這樣啊 這個簡單的一個演示實驗 好 磁力這部分呢 我們就 講到這了 這樣的話呢 我們就把這個 直流電產生的磁場 磁場的特性 我們就在真空中的特性 它的規律 它的特性 我們就講完了 那真空中有兩個最重要的特性 就是一個是 它不是無源場嗎? 測量強度上 所以這個場呢 如果你畫成磁力線的話 磁力線永遠是什麼呢? 無頭無尾的 是不是啊? 它是封閉的線 它沒有起始點 也沒有終止點 另外呢 它環路定理 對不對? 有個環路定理 如果不是從場的角度認識的話 我們也可以 比如說像比薩拉定理 把每一段小電流源產生的磁感強度計算出來 然後任何一段 任何一個封閉電路產生的磁場 我都可以通過疊加約計算出來 這部分呢 就是磁場在真空當中的規律和特性