Bài toán thập kỷ: CM số nguyên dương A có 2005 chữ số có tích các số liên tiếp là 1 số chính phương

Hôm nay chúng ta sẽ tìm hiểu một bài toán thập kỷ Đó là chia sẻ của bạn Huy Hoàng Bạn ấy đã giải trên 10 năm mà chưa được Và bạn ấy vẫn đang kiên trì với nó Thật đáng để khâm phục Vào ngay để bài cho nóng nào Bài toán khó Số nguyên dương A có 2.005 chữ số Và không chứa các chữ số 0, 1, 4, 9 A Chứng minh rằng luôn tồn tại các chữ số liên tiếp của số A Sao cho tích P của các chữ số này là một số chính phương B Tồn tại hay không các chữ số liên tiếp của A Có tính chất A Mà P lớn hơn 2 mũ 1.973 Giải thích và cho ví dụ minh họa Đọc tới 2.005 chữ số là đã sợ rồi Bạn nghiên cứu mới có 15 Chứ AD nghĩ 2.0055 còn chưa ra đấy Năm 10 chữ số còn có thể nghĩ Chứ 2.0055 chữ số thì nghĩ làm sao các bạn ơi Khó Quá khó Nhưng biết đâu ai đó đã gặp và biết cách giải quyết bài toán này rồi Hãy cùng chia sẻ thêm Và các bạn cũng hãy thử sức mình xem Biết đâu rằng nó khó với AD Nhưng với các bạn lại không hẳn là khó 2.005 chữ số Mà không chứa các số 0, 1, 4, 9 Nếu viết chắc phải hết mấy trang A4 rồi Nếu may mắn ta có thể gặp được một dãy số liên tiếp Của A như 236 này Tích của chúng sẽ là 36 Và nó là một số chính phương Vậy là xong Nhưng mọi chuyện không phải đơn giản như vậy Nên chúng ta hãy bắt đầu từ những điều cơ bản nhất xem sao 2.005 chữ số của chúng ta sẽ bao gồm các số 2, 3, 5, 6, 7 và 8 Hãy xem xét tất cả các tích số của các chữ số bắt đầu từ chữ số đầu tiên Đến chữ số cuối cùng trong A Có 2.005 nhân tử là A1, A2, A3 Cứ như vậy cho tới A2.005 Các tích số ở đây là P1 bằng A1 P2 bằng A1, A2 P3 bằng A1, A2, A3 Vân vân vân Và P2.005 sẽ bằng A1, A2 Nhân với vân vân cho tới A2.005 Để ý rằng Tất cả các tích số đó chỉ có thừa số nguyên tố là 2, 3, 5 và 7 Một điều quan trọng ở đây là Một số là số chính phương Nếu tất cả các thừa số nguyên tố của nó có số mũ là chắn Nên chúng ta hãy xem xét tính chắn lẻ Của mũ số các thừa số 2, 3, 5, 7 trong P1, P2 Vân vân vân cho tới P2.005 Rõ ràng mỗi một trong các số này có thể có số mũ chắn hoặc lẻ Nên ta có 2 lựa chọn Mặt khác với 4 số nguyên tố này Ta sẽ có 2 mũ 4 bằng 16 trường hợp Nó là vô cùng nhỏ so với 2.005 tích số P của chúng ta Ví dụ như là chắn, chắn, chắn Chắn, chắn, lẻ Vân vân Lẻ, lẻ, lẻ, lẻ Bây giờ sẽ có 2 khả năng Một là tất cả P1, P2 cho tới P2.005 Có 4 thừa số nguyên tố khác nhau Do đó một trong số chúng Giả sử tích PI Phải có các chữ số có số mũ là chắn Do đó PI bằng A1, A2, vân vân cho tới AI là một số chính phương Hai là trong 2 tích số của P có cùng bộ 4 thừa số Có số mũ chắn lẻ Nếu PI và PZ có cùng số mũ chắn lẻ Thì PZ trên PI sẽ bằng AI1 x AI2 Cứ như vậy cho tới AZ cũng là một số chính phương Và như vậy ta đã chứng minh được phần A Còn với phần B Lên có lẽ sẽ nhờ ai đó cao tay xử lý giúp Các bạn hãy chia sẻ lại ở phía dưới bình luận nhé Cảm ơn các bạn