Toán Olympic: Tìm số có 6 chữ số là số chính phương có dạng giống như 123.124

Sau bài toán tìm số AB liên quan đến số chính phương, có lẽ nhiều bạn đã quên mất số chính phương là gì. Nên hôm nay, mình xin giới thiệu lại một bài toán liên quan đến số chính phương. Đó là bài toán Olympic Toán Học Anh năm 1993. Đề bài như sau. Tìm một số nguyên có sáu chữ số sao cho thỏa mãn các điều kiện sau. 1. Số đó là một số chính phương. 2. Ba chữ số đầu của nó nhỏ hơn ba chữ số cuối một đơn vị. Giống như 123.124. Nhưng lưu ý ở đây, số này không phải là một số chính phương cần tìm. Đầu tiên, hãy để mình nhắc lại số chính phương là gì. Số chính phương là số bằng bình phương của đúng một số nguyên. Hay hiểu đơn giản, số chính phương là một số tự nhiên có căn bậc 2 cũng là một số tự nhiên. Nếu ai đã biết bài toán này rồi, hãy chia sẻ ở dưới nhé. Mình sẽ trình bày lời giải ngay sau đây. Chúng ta sẽ gọi số cần tìm là N. Với N là số có dạng ABC, ABD. Theo đề bài, ta có thể viết D bằng C cộng 1. Chúng ta hãy diễn giải số hạng này theo từng chữ số liên quan nó như thế này. Phương pháp này rất hiệu quả đối với những bài mà tìm số. Ta có N bằng A nhân 10 mũ 5, cộng B nhân 10 mũ 4, cộng C nhân 10 mũ 3, cộng A nhân 10 mũ 2, cộng B nhân 10 mũ 1, cộng C nhân 10 mũ 0, cộng 1. Ta có các nhân tử chung và ta sẽ rút gọn lại biểu thức này. N bằng A nhân 10 mũ 5, cộng 10 mũ 2, cộng B nhân 10 mũ 4, cộng 10 mũ 1, cộng C nhân 10 mũ 3, cộng 10 mũ 0, cộng với 1. Tiếp tục lại xuất hiện các nhân tử chung. Ta thấy được 10 mũ 3, cộng 1 ở các số hạng này. Nên chúng ta tiếp tục rút gọn. N bằng 10 mũ 3, cộng 1, nhân với A nhân 10 mũ 2, cộng B nhân 10 mũ 1, cộng C nhân 10 mũ 0, cộng với 1. Các bạn đã thấy điều gì đặc biệt ở đây chưa? Biểu thức này chính là đại diện cho số ABC. Nên rút gọn tiếp ta sẽ được N bằng 1001, nhân số ABC, cộng 1. Bây giờ, để viết gọn lại phương trình này, ta hãy gọi số ABC này là X. Mặt khác, N là số chính phương, nên ta gọi M là số mà bình phương của nó sẽ bằng N. Như vậy, M sẽ lớn hơn 316 và nhỏ hơn 1000. Tại sao lại như vậy? Đơn giản là vì M bình phương là một số có 6 chữ số. Thay vào phương trình ta sẽ được M bình bằng 1001, nhân với X, cộng 1. Chuyển 1 sang vế trái, thành M bình chữ 1 bằng 1001, nhân X. Đây tiếp tục là một hàng đáng thức, nên ta khai triển thành M chữ 1 nhân M cộng 1 bằng 1001, X. Cả hai vế đều là những số nguyên, nên để xác định một số là chính phương hay bình phương của một số tự nhiên, ta nên dựa vào thừa số nguyên tố của số tự nhiên đó. Hãy xem thừa số nguyên tố của 1001 là gì. 1001 bằng 7 x 11 x 13 Chúng là một trong các số nguyên tố nhỏ nhất. Vì vậy, một hoặc hai trong ba số nguyên tố này là thừa số của M cộng 1 và các số còn lại là các thừa số của M chữ 1. Nếu ai đó thắc mắc tại sao không phải là cả ba số này thì đây sẽ là lý do. Nếu cả ba nhân tố cùng là thừa số của một số, ví dụ như cả ba số này là thừa số nguyên tố của M cộng 1, tức là M sẽ bằng 1001, trừ đi 1 và bằng 1000, khi đó M bình phương sẽ bằng 1 triệu, và con số này có 7 chữ số, sẽ không phù hợp với bài toán nữa. Tương tự khi M chữ 1 bằng 1001 cũng vậy, nó cũng sẽ không thỏa mãn. Tiếp tục, chúng ta sẽ có các trường hợp khác nhau theo hướng chúng ta đã phân tích ở trên. Trường hợp 1, 7, 11 là thừa số của M cộng 1, và 13 là thừa số của M chữ 1. Chúng ta có M cộng 1 bằng 7 nhân 11 nhân A, và M chữ 1 bằng 13 nhân B, với A và B là một số nguyên. Đoại bỏ M ở cả hai vế ta sẽ được 77A bằng 13B cộng 2. Ta cần tìm các cặp số A và B nguyên thỏa mãn điều kiện này. Lại dựa vào điều kiện chúng ta đã có hiểu ở đây, nên A phải làm trong khoảng từ 5 đến 12. Thử lần được các số hạng với A, và ta tìm được A bằng 11 là một giải pháp phù hợp, và khi đó B sẽ bằng 65. Như vậy, ta đã tìm được M bằng 7 nhân 11 nhân 11 chứ đi 1 bằng 846, và 846 bình phương sẽ bằng 715,716, đúng con số mà chúng ta cần tìm. Tương tự như vậy, ta sẽ có 5 trường hợp còn lại, và từ 5 trường hợp này ta sẽ tìm được 3 con số thỏa mãn đề bài. Đây là một bài toán rất dài dòng và cần nhiều suy luận. Ngoài ra, tôi có một giải pháp khác, rất trực quan và rõ ràng, như thế này. Cảm ơn các bạn đã theo dõi. Hãy để lại những chia sẻ phía dưới và đăng ký kênh để cập nhật các video hấp dẫn.