Tìm số phần tử của A sao cho tích 2 phần tử bất kỳ là số chính phương. Bạn đếm được bao nhiêu?

Cho A là tập hợp các số nguyên dương không lớn hơn 2.019. Thỏa mãn rằng bất kỳ hai số thuộc A thì tích của chúng là một số chính phương. Hỏi tập A có tối đa bao nhiêu phần tử? AD có thể trả lời nhanh đáp án bài toán này là 44 phần tử. Tại sao lại là như vậy? Vì đơn giản thật nguyên của canh 2.019 là bằng 44. Đây là một vấn đề mà bạn Lê Minh đã gửi tới cho AD. Mới đọc đề bài, AD cảm thấy nó ảo ảo làm sao? Lên AD đã thử bắt tay vào làm và rất bất ngờ. Nó rất khó hiểu nhưng cũng rất dễ hiểu. Nhưng trước hết, các bạn hãy thử nhé. Và hãy xem đáp án của các bạn là bao nhiêu. Hãy phân tích rõ hơn các phần tử trong tập A. Một ví dụ cụ thể của A là A bằng tập hợp 2 phần tử 2 và 8 Vì 2 x 8 bằng 16 và bằng 4 mịch phương. Nó chính là một số chính phương và hoàn toàn hợp lý. Trường hợp này, số phần tử của A là 2. Cứ như vậy, ta có thể tìm được các phần tử tiếp theo của A thỏa mãn. Và theo các bạn, phần tử tiếp theo của A sẽ là bao nhiêu? Chắc chắn là 32 rồi. Vì 2 x 32 bằng 64 bằng 8 mu 2 và 8 x 32 bằng 256 bằng 16 mu 2. Hoàn toàn đúng! Nhưng bây giờ, làm sao để biết được số phần tử tối đa của A có thể có? Chúng ta biết rằng một số chính phương được hình thành bởi tích của các số nguyên tố có số mũ là chẵn, ngoại trừ 1. Như 4 sẽ bằng 2 mịch phương, 9 sẽ bằng 3 mịch phương, 36 sẽ bằng 2 mịch phương nhân với 3 mịch phương. Như vậy, tập A bao gồm các chữ số mà tích của 2 chữ số bất kỳ là số chính phương. Thì các phần tử của A, 1 sẽ có cùng cơ số nguyên tố và có cùng tính chẵn lẻ. 2 là các cơ số nguyên tố, nhưng những số này có cùng số mũ là chẵn. Lên nhiệm vụ tiếp theo của chúng ta sẽ là tìm các phần tử tối đa của A. Từ 2 điều kiện trên, A đây có thể có được các tập hợp A. Tập hợp của A có thể bằng các phần tử là 1, 4, 9, 16, 25... cho tới 1936. Nó chính là các bình phương của các số nguyên tử 1 cho đến 44, là 44 phần tử. Do 45 bình phương sẽ bằng 2025, lớn hơn 2019, nên chúng ta chỉ lấy đến 44. Hoặc A bằng 2, 8, 32... cho tới 512. Ở đây là các số có cơ số là 2, và số mũ là các số lẻ từ 1 cho tới 9. Nên tập này chỉ có 5 phần tử. Hoặc A bằng 3, 27, 243, với các số mũ lẻ từ 1 cho đến 5. Tức là tập A chỉ có 3 phần tử. Như vậy, nếu ta càng tăng số hạng đầu tiên trong phần tử, thì số lượng các phần tử càng ít đi. Và từ đây, chúng ta có thể rút ra kết luận rằng tập hợp A bằng 1, 4, 9, 16, 25... cho tới 1936 là có nhiều phần tử nhất, và đó chính xác là 44 phần tử. Vậy là chúng ta đã xong. Một bài toán khá thú vị về cách tập luận và sử dụng tính chất của số nguyên tố, số mũ, số chính phương. Các bạn thấy bài toán này thế nào? Nếu có ý kiến khác, hãy cùng để lại ở giữa phần bình luận. Cảm ơn các bạn đã quan tâm đón xem.