【北京大學】《金融經濟學》北大最受歡迎的課程！經濟學必修! P88 - 88.第16講-02動態完備、多期二叉樹模型

好 現在我們來進入下一個問題 我們要運用一開始說的這一套定價方法 前面有個很重要的一步 從這兒跳到這兒 從這兒跳到這個唯一的狀態價格向量的存在 基本上我要求市場是完備的 市場是完備的 那麼來看這個地方 在這個地方 這個世界有四個狀態 世界有四個狀態 那麼如果是個靜態一期模型 我們就說你的資產的數目至少要比狀態的數目不少 至少等於狀態數目 你的市場纔有可能是完備的 這在一期模型裏面 那在這個地方我們是有四個狀態 那是不是我們需要四個資產 纔能夠形成一個完備市場呢 答案是否定的 這個地方我只給大家一個結論 這個證明就不給出來了 在這個裏面 我們來看這個世界的發生是一種樹圖的形式來描述出來 這個節點引出兩個 表明在這個節點往後有兩種可能性 在這個節點往後也有兩種可能性 所以它有一個idea 聽我說 一個市場如果是動態完備的 這是個動態的一個市場 因為它多次的變化 一個dynamic complete market 它怎麼能夠形成一個動態完備的市場呢 就你這個市場裏面有長存資產 長存資產什麼意思 就是這個資產它的pay off 它持續有支付 不是說到某個時候 比如說到明天 這個資產支付完之後 它就沒有 它就不支付了 就這樣就結束了 而是說我有長存資產 這個資產的支付一直可以 一直到最後都有支付 所以如果你這個市場裏面存在長存資產 那麼這個長存資產的數目 只要不少於你節點分叉出來的這個數目的上限 什麼意思 就我這個節點 我這個在動態裏面 我這個節點 像這個圖裏面 每個節點都往外分出兩個分叉來 但有可能 比如說 可能一個節點能夠分出更多的 比如這個節點分出三個分叉來 所以你會看 在描述這個動態場景的這個樹圖裏面 分叉最多的節點是哪個 你找到就這兒 它分出來幾個分叉 分出來三個 分出來三個分叉 所以只要你的長存資產的數目 不少於 不低於三 這個市場就是動態完備的 這個市場動態完備的 所以 當然這個物怎麼形成動態完備的這個市場 這個我就不給大家講了 這個也不是我們要講的內容 所以我們要說 我們的point是什麼呢 point就是說 以後我畫出這樣的圖 這樣多期的樹圖 甚至可以畫很多期 比如我們待會馬上就算 可能有十幾期二十期的 這狀態最後就數目會很驚人 但即使數目這麼驚人 只要我一直都是用二叉數的 我兩個資產 就可以讓它形成一個完備的市場 所以以後我們講的都是完備市場 就完備市場裡面 我這個第二福利 第二這個資產定價 基本定理是可以用的 就存在著唯一的狀態價格向量 這是我們那些準備 數學上那些準備 所以接下來呢 我們就來開始實戰地描述 這個我們的動態的過程 我再講一下 我舉了這麼一個例子 就是打比賽 比如北京 我記得有一年 我寫講義的時候 是北京打遼寧 CBA決賽 應該是七打四勝 最後北京隊 北京手槓把遼寧什麼什麼隊給打贏了 所以這個過程 我們可以用樹圖來把它描述出來 一開始誰也沒打 我們就都沒打呢 不知道 然後打完第一場之後 有兩種結果 就北京贏了或者北京輸了 我就把我以W來表示北京贏了 以L來表示北京輸了 win lose 因為籃球比賽 它是沒有平局的 最後它一定要分出個勝負來 然後這是第一場完了 然後再往下就第二場 第二場北京可以繼續贏 北京又贏一場 所以把它就寫為連贏兩場 W 北京可能第二場也可能輸 W L 輸了第二場就輸了 那就是贏一場之後的結果 然後北京輸了第一場之後 它有可能第二場又贏了 所以它是L W 或者說它連輸兩場 L L 所以打完兩場之後 就有四種狀態 還可以往下 就第三場 北京可以第三場繼續贏 連贏三場 北京有可能第三場輸了 W W L 然後就從這個節點 北京可以第三場贏了 那就變成W L W 然後也可能輸 也可能輸 就變成W L L 然後這個節點 先輸一場再贏一場之後 第三場如果贏了 就變成L W W 如果輸了 如果輸了就變成L W L 那這個情況 如果連輸兩場之後 第三場贏了 就變成L L W 如果連輸三場就L L L 到第三場比賽的時候 就已經是這個 八個狀態 那七場之後 七場之後是多少 是二到七次方的那麼多狀態 所以在這種情況 你會發現 你就變得難以分析 這個狀態數目越來越多 以指數性的增加 所以這叫維度的詛咒 碰到維度詛咒 一般我們這個就沒法處理 因為很快需要計算的數量 會變得非常的大 沒法處理 所以我們會採取一個辦法 這個辦法是什麼呢 也是我們在資產定價裡面 會用的辦法 就是我如果不在乎 你輸贏的順序 而只在乎你贏了多少場 輸了多少場 那就可以把一些節點 給它合併起來 比如這兩節點 都是北京贏一場輸一場 無非一個先贏一個後贏而已 但是最後 我們最後要看北京 比如七場比賽戰裡面 北京到底最後是贏了還是輸了 你其實就看在七場裡面 北京是不是先贏到了四場 所以至於說 他是先贏還是後贏 這不重要 我只在乎他贏了多少場 所以如果我們關心的是 最後北京和遼寧 這七排賽打下來 北京到底贏了還是輸了 那麼他輸贏的順序 是不重要的 所以像這個地方 我就把這個合併起來 這都是輸一場贏一場 我可以把這三個節點合併起來 這三節點都是北京贏兩場輸一場 這三個節點合併起來 是北京贏一場輸兩場 當然這兩個是獨立的 連贏三場連輸三場 我們看這樣畫的 如果把它合併起來 我們會把它畫成什麼樣的一個圖 一開始還是這樣的 贏一場輸一場 然後贏兩場 然後贏一場輸一場 輸兩場 所以在這個地方 WL就沒有次序的概念 就只是說你贏了一場輸了一場 有可能先贏一場 有可能先輸一場 再往下 變成連贏三場 接著贏兩場輸一場 贏一場輸兩場 連輸三場 這樣我就描述起來 北京和遼寧打了三場之後 他贏的場次 贏三場贏兩場贏一場 一場沒贏 我們再來看這個節點的數目 在第一場的時候兩個節點 第二場三個節點 第三場四個節點 一百場的時候 如果打一百場的話 那就101個節點 所以這時候這個節點數目就大大的下降了 所以我們會把這種 我來看這都是二叉數 都是binary tree 就是每一個節點都只分兩叉 但是這個 它就是把一些節點合併之後 所以這種二叉數 它叫做合併的二叉數 combined binary tree 這就是我們用來分析 分析資產價格的時候 我們就用這個東西 用它 就這種合併的二叉數 合併二叉數 這樣就分析起來比較簡單