【北京大學】《金融經濟學》北大最受歡迎的課程！經濟學必修! P17 - 17.第3講-07債券價值分析起步——即期利率、遠期利率

所以現在我們有個問題 現在我市場上就這兩個債券了 然後現在我再在市場上新發行出來的一個債券 C這個債券 這個債券的價格信息是這樣的 Face還是100 Face value 100 也是兩年期到期的 Maturity 2 但它的不同就是 它的coupon不是5 而是6 就每年給你的利息是6塊錢 而不是B債券的5塊錢 所以現在我們的問題是什麼呢 它現在值多少錢 我新發一個債券 現在市場上已經交易這兩個債券了 交易出來這樣的價格 95 97 所以接下來我們就要說 這個新發債券它現在應該定多少錢 定多少價 這是個問題 這個問題怎麼回答呢 啊 已經4.45了 我的天哪 完了 我加快 要回答這個問題 就你給資產定價的時候 有一個原則 什麼原則呢 很簡單 這個資產現在值多少錢 就是它未來的支付折現到現在 折現到現在 就比如這個 我們再說這個C這個債券 它的現金流是這樣的 C這個債券呢 它的現金流是012 是6塊錢 然後6加100 我不知道它現在的債券多少 它現在價格多少 所以這個時候我就應該用某種折現率 來把未來的這兩個現金 收益 6和106 折現到現在來 折到現在來 就是它現在應該的價格 為什麼呢 因為如果折現 打個比方說 打個比方 比方說現在這個債券 比如現在是99塊錢 我隨便亂寫的 然後它現在99塊 然後折下來未來這兩個6和106 現值比如說是101塊錢 大家發現這個賺錢的機會來了 那大家都會去買這個債券對吧 都會買這個債券 所以都會買 這樣就會使得這債券價格上升上升上升 最後一定上升到它未來折現的101塊錢 反過來如果說這個債券 現在103塊錢 而它未來折現這個收益只有101塊錢 現值 大家就不會買這個債券 就賣這個債券 債券價格就會慢慢慢慢賣下來 就一定到它未來折現下來101塊錢 所以這個債券的現價 就應該等於這個債券未來帶來的收益pay off 這個地方就講pay off pay off的折現值之和 就是這個債券現在的價格 就是它現在的價格 像這是我們所有資產都是這麼定的 各類資產它的價格 現在價格都是它未來的pay off的折現和 都是折現和 但是最關鍵的問題是說 折現率 discovery用什麼 我用什麼樣的折現率來把10克的現金和20克的現金折現到現在來呢 在這段我們還看到兩個rate 一個是一年期零息債券的收益率5.26 一個是我兩年期的債券的收益率6.65 那是不是我用5.26來折6塊錢 用6.65來折這個106塊錢就得到現在的價格了呢 不是的 為什麼呢 為什麼不是呢 因為這個6.65啊 這個利率它其實裡麪包含了10克的現金和20克的現金 所以你可以這麼理解啊 這個6.65呢 是10克折現率和20克折現率的一個加權平均的數 並不是那麼純粹的20克現金流折到1零時刻的一個折現率 所以我們要去折現的時候呢 我們一定要注意啊 我們要用的折現率一定就是精確的對應於我要折現的這兩個時點 只能包含兩個時點 所以如果是零息債券 因為零息債券它只有兩個時刻有現金的流動 一個現在一個未來到期的時候 所以零息債券的這個收益率啊 零息債券收益率啊 是可以用來直接折現的 就5.26來折6是沒問題的 因為這個5.26就是用這個零時刻與一時刻之間的這兩個現金來計算出來一個折現率 那如果說這個市場還有一個兩年期的零息債券 那個零息債券呢 兩年期間在零時刻發行 一時刻沒有利息支付 二時刻纔有支付 如果有個兩年期的零息債券呢 那麼用那個兩年期的零息債券來折這106也是可以的 所以我們就引入一個概念啊 在做折現的時候 在做這個現金流折現的時候啊 不在做discount的時候啊 我們要用一個discount rate 這discount rate一定要用什麼呢 一定要用我們叫做季期利率 spot rate 叫做季期利率 季期利率 或者也可以叫做zero rate 零率也可以 也叫做zero rate 就是零息債券的收益率 就zero rate 就spot rate 這就是零率 用它纔可以來算這個現金流的折現 那麼一年期的零息債券的收益率零率是可以拿得到的 一年期以內的 因為有直接的這樣的零息債券的交易 可以算出這些債券的收益率 就是季期利率或者說是零率 但是長於一年的季期利率 是無法直接在市場中的債券價格中可以看到的 這時候怎麼辦呢 就得把它算出來 所以就要從yield to maturity 要從yield to maturity yield to maturity一般就簡稱為yield yield來算spot rate 然後纔能夠折現 纔能夠來pricing bond 所以現在我們要做的就是怎麼從yield 從這個持有到期收益率來算季期利率 這個算法這樣算的 這個算法叫做 這個利率叫什麼 這個中文名我忘了 叫bootstrap method bootstrap method叫什麼我忘了 就是來做這個事情的 yield to spot 怎麼算呢 我們現在這個R1 R2 我們把這個就定義為spot rate R1很簡單 因為有一年期的零息債券在的 所以就等於100除以95再減1 就是我們剛纔算出來這個5.26 不言而喻 兩年期的這個zero rate怎麼算呢 就可以用這個b這個債券 用b這個債券 b這個債券的這個信息可以算出來 b這個債券怎麼算我們怎麼算呢 注意啊 這邊關鍵方程出來了 b這個債券現在交易價格97塊錢 為什麼它現在能交易97塊錢 一定是因為它未來帶來的兩個收益 5和105 折現到現在值97塊錢 所以它現在價格才會是97塊錢 所以它97塊錢裡面一定包含兩部分內容 一部分是對應的5塊錢折到現在的現值 這5塊錢折到現在的現值是多少呢 我這已經有一年期的這個spot rate有了 就是5除以1加5.26 百分比5.26 那還剩下一部分 就是我這個20克的105塊錢 20克的105塊錢折到現在的現值 而折到現在的現值用的這個折現的spot rate多少呢 不知道 我把它寫成r2平方 這是一個只和r2的方程 就把r2解出來 解出r2等於多少呢 6.69 注意啊 r2不等於yb 這是這個兩年期債券它的這個收益率 是6.65 但兩年往現在折的這個零息債券的零率 zero rate或者季息利率 季息利率是6.69 不是6.65 所以你用6.65來折就錯了 用6.65來折就錯了 所以如果我把兩年期的零率就算出來 如果要算三年期的零率呢 你如果給我一個三年期的債券 我就可以如法炮製把三年期的零率也算出來 三年期零率出來之後我就可以用四年期債券收益率 來算出四年期零率多少 所以這樣我就可以通過這樣的方式從短到長 挨個挨個去算 把所有期限的零率都算出來 所以所有期限就是0時刻到1時刻的零率 0時刻到2時刻的零率都算出來 這樣任何一個未來的時刻的限值都可以把它算出來 就用我用的這個R1 啊 怎麼寫R1 R1 R2來折就行了 所以如果N7也是類似的 所以這樣我就把折現率算出來了 所以現在我們可以來算 C債券現在應該值多少錢 PC就很簡單 PC現金流在這 第一年有個6塊錢的收益 6塊錢的這個Coupon 除以我的一年期的這個零率 1加5.26% 再加上我二年末的時候有個106塊錢的本息 再除以我這邊二年期算出來的這個零率 1加上6.69%的平方 算出來得多少呢 98.83 所以這個C這個債券現在應該值98.83 如果這個債券比98.83便宜 現在交易的就趕緊去買 如果比它貴就把它賣掉 這就我們可以有個這個債券定價了 所以在這段其實我們在做的是一種什麼定價呢 做的是一種無套利的定價 這段其實我在做無套利定價 就根據A和B的債券價格來推出C的債券應該是多少 如果C的價格不是98.83 我算出來的東西我就可以套利了 買入或者賣出這個C這個債券來套利 所以這段其實我在做一個無套利的分析 但這個地方其實我的重點是什麼呢 我重點是告訴你怎麼算利率 你會發現到這段利率的概念已經很多了 這個概念的引述都有它的道理 最後再講一個東西 再講一個東西 我們在這個地方我們看到了 這個利率它是在變化的 R1畫這兒來 從0時刻到1時刻的這個R1是5.26 0律5.26 從0時刻到2時刻 就0、1、2 這個R2的這個0律是6.69 都是年律 都是折年的 所以這地方0.26、0.69、1加6.69的平方 咱們都是年律 你會發現這個0律在變化 0律在變化 從5.26變成6.69 為什麼會變化呢 是因為市場預期 未來的一年期的利率會發生變化 這預期是什麼東西呢 我用換一個粉筆 就這是我站在0時刻看到的利率 那麼現在假設我過了一年了 我站在這個時點 站在1時刻了 我現在已經變成1時刻了 那麼從1時刻到2時刻之間的利率應該是多少呢 這又是一個0律 這也是個0律 這從1時刻到2時刻之間的0律 但在0時刻中這個利率現在1時刻還沒到 所以這個是我預期的未來的一個0律 未來的一年期0律 我把它記為叫遠期利率F2 所以F2應該是多少呢 我們來做一個套利率 就假設我有100塊錢 我有兩種辦法 100塊錢直接用這個兩年期的0律存 就直接買個兩年期的這個zero coupon bond 把它轉換到2時刻去 那麼這100塊錢到兩年末之後就應該變成 1加6.69 M6.6 平方 還有一種辦法呢 就是我把它用一年期的這個zero coupon bond 存兩次 買一個零時券 從0時刻到1時刻 然後1時刻再買一個一年期的零時券 把它從1時刻轉換到2時刻 這時候它應該得到的錢應該是100乘以1加上5.26 再乘上1加F2 如果這兩個方式之間是無套利的 就這兩個東西應該是相等的 這樣相等的 那麼這樣算出來這個F2應該等於8.13 8.13 所以啥意思 所以這地方我們算出來應該是8.13 所以為什麼我們現在在現在市場裡面看到的這個零期0律 或者說這個季期利率會上漲 一年期的零期利率是5.26 兩年期的零期利率是6.69 為什麼會上漲 是因為市場在預期 在一年之後就站在這個時點上 那個時候市場上的一年期零期利率會漲到8.13 所以8.13是什麼呢 這個8.13是我根據現在市場上的債券價格所推算出來的 市場對未來的一年期的季期利率的預期 這些東西你可以把它理解為是一個expectation expectation 這就forward rate 這個是叫遠期利率 forward rate 但是你們其實有個問題 有同學可能會問我說 你這地方哪有兩年期的零期債券 你怎麼能夠實現這個途徑 用一個兩年期的零期債券直接把100塊錢從0.10克轉化到20克去 今天我們就不展開了 我只是告訴你可以的 我們可以用A債券和B債券 可以構造出來一張兩年期的零期債券 來實現這個交易 這是可以做到的 那麼最後這兩東西一定應該是無套利的 否則定價就有問題 所以就可以推算出市場預期的未來一年期的零期季期利率 就FR就遠期利率 所以到這個地方我們就講到這了 其實還有一個東西我沒講 這個97 97就大家回去自己看書了 這97也很重要 但我們對這個利率稍微再花兩分鐘 我們再回顧一下 summarize一下 因為這比較復雜 我們實際上問了三個問題 第一個問題 就怎麼去比較不同的債券 比如我去篩選債券投資的時候 我要去比較哪個債券好哪個債券差 我得有個比較的指標 顯然債券價格是不行的 債券價格是不對的 所以能夠用來比較不同債券的 是債券的yield yield to maturity 就是債券的內部收益率 債券內部收益率 但這地方有個問題 在投資債券的時候 像再投資風險是不能忽略的 不能忽視的 所以其實這個yield to maturity 它並不是精確代表你投資這個債券能夠獲得的回報率 但它好歹是個刻劃的指標 所以在市場上我們當然不能講債券收益率是多少有多少的時候 比如我們說現在實現息國債收益率3.1 講的是什麼 講的就是它 然後有了它之後 我們現在就 我匯算債券收益率還不夠 我需要能夠去給新的債券定價 就我問第二個問題 怎麼給新的債券定價 而這個問題的關鍵就是 我怎麼去把未來的現金流折現到現在來 或者說把未來現金流折現到現在 用的折現因子應該是多少 而這個折現因子我們前面講了 不能是yield 不能是債券yield to maturity 一定要是零息債券的yield纔行 所以我們引入一個新的概念叫做spot rate 引入的概念叫spot rate 或者叫zero rate 所以我們從yield to maturity到spot rate 為什麼要到spot rate 就因為我需要來折現未來的現金 所以我們現在告訴大家這個折現怎麼算 用這個bootstrap method 可以用現在的債券 市場上債券的價格 來算出各個期限的spot rate 最後可以形成一個spot rate的curve spot rate的一個收益率曲線 就可以對所有的任何期限的現金流來折現 也就可以對所有債券來定價了 所以我們可以把PC 可以就把這個C這個債券折下來 然後有了這個spot rate之後 我有了各個期限的spot rate 然後有了從0到1的spot rate 有了0到2的spot rate 我就可以把市場裏面預期的 從1到2的spot rate也給它算出來 這就是遠期利率 反應是市場對未來利率的預期 所以這時候你去看 我們做宏觀分析經常會說 下一階段利率會怎麼走 這時候一個參考的指標 就是我去看市場上的遠期利率 或者這個forward rate是多少 這就反映了市場對未來利率走勢的一種預期 所以通過這個forward rate 來把這個市場對未來利率走勢的預期 就萃取出來了 最後其實我們還有一個東西 其實也很重要 就是一個duration 就債券的這個 9期 債券9期 因為我們時間關系我就不講了 簡單來說債券9期就是一個債券 它平均的到期的期限 什麼叫平均到期期限 因為這個債券它現金流是發生在好幾個時點上的 比如這個債券 一時刻要給錢 二時刻要給錢 所以最後我要等到這個債券 完全到期 因為它其實有5塊錢已經在兩年之前就已經到了 一年就到了 所以它平均的到期期限其實不是兩年 比兩年要少一點 那就是duration duration有一個很重要的概念 有很重要的一個性質 就是duration 一個債券的duration 它的9期 這個叫9期 9期 決定了這個債券價格對利率變動的敏感性 對利率變動敏感性 所以像我們 比如我們在業界我們要做債券投資的時候 我們討論很多怎麼我們現在整個債券賬戶 9期應該放到多長 如果我預期未來收益率會下降 利率會下降 市場利率會下降 這時候我就會把我債券賬戶的9期往上推 這樣的話我會掙錢 反過來說如果我預期未來利率會上升 我就應該把我的整個債券賬戶的9期要縮短 所以我們在我們內部開投機會的時候 討論很多討論我們現在賬戶的9期 應該放在什麼樣的一個長度上 這叫9期策略 為什麼是這樣的 大家回去看我的書 9期雖然我在課上沒講 但是在我們的考試範圍之內 所以今天我們來看看 就給大家初步展現 雖然是第二次課 就初步展現了我們金融的魅力 你說就一個簡單概念的利率 它給你整出這麼多花樣來 同學們 而且這個概念每一個之間相互相關 但卻有非常細微而又重要的差異 但這些東西引入我們來想想 不是說我沒事找事非要去引入個概念來 每一個概念的引入都有它的道理的 都有它的原因的motivation的 然後引入這些概念確實能夠幫助我們 釐清對很多問題的認識 比如最起碼同學們回去 現在你可以問問 你們同學們有沒有去搞京東白條的 然後告訴他們你發現你承擔的利率是多高 你以為是0.5嗎 月薪0.5 其實不是 這就已經進步了 然後女同學們這個也會回去算算 你們這個髮廊裏面辦的那個理髮卡 到底它的IR是多少 讓你自己知道你的承受的這個利率是多少 然後今天作業 這有個重要的事情 作業homework 作業是 有沒有書上的 寫哪啊 寫這吧 3.1 3.2節 作業 同學們作業 後天交 就是週一交 交的時候必須要交紙質版的 這個不能電子版的 好 今天這個課就在這裏 下課