Intégrale ♦ changement variable ♦ cours + exemples ♦ méthode & comment rédiger ♦ intégration prépa

Bonjour et bienvenue sur j'ai compris.com. Dans cette vidéo, on va découvrir une technique très efficace pour calculer des intégrales. Il s'agit du changement de variable. Donc déjà, on va calculer ces deux intégrales à l'aide d'un changement de variable pour voir concrètement comment ça se passe dans la pratique. Ensuite, on fera le lien avec cette formule qui est dans votre cours. Et enfin, on verra comment rédiger. Donc, allons-y. Calculons cette intégrale à l'aide de ce changement de variable. Donc pour le moment, on va apprendre à utiliser un changement de variable qu'on nous donne pour calculer une intégrale. Et quand on sera à l'aise, et bien plus tard, on apprendra à trouver tout seul le changement de variable. Alors, je vous ai remis ici la formule de changement de variable qui est dans votre cours. L'idée, c'est que dans f de x, et bien on va remplacer x par phi de t. C'est exactement ce qu'on va faire ici pour calculer cette intégrale. On va remplacer x par cos t. C'est bien une fonction de t. Et du coup, il va falloir remplacer aussi le dx par phi prime de t dt. Alors, comme ça, ça peut paraître compliqué, d'autant qu'ici, il n'y a pas de x. Et bien, justement, on utilise une présentation, toujours la même, qui rend les calculs très sains. C'est ce qu'on va expliquer maintenant. Alors, vous allez voir, les calculs sont très intuitifs. Première chose à avoir, dx. Et comme ici, on a x, pour avoir dx, et bien il y a juste à dériver. Et donc, on écrit dx égale, et il y a juste à dériver cos t. Et la dérivée de cos t, c'est moins sin t dt. Donc voilà, dx, il est égal à moins sin t dt. Et maintenant, regardez ce qu'on a ici. On a sin t dt. Et nous, on a quoi ? On a moins sin t dt. Donc ici, on va rajouter un moins pour avoir exactement moins sin t dt. Mais si on rajoute un moins ici, il faut rajouter un moins devant pour ne rien changer. Et du coup, ici, on a moins sin t dt. Moins sin t dt, exactement ce qu'on a là. Et moins sin t dt, on peut le remplacer par dx. Donc ici, on met dx. Et au dénominateur, regardez ici, on a cos t, cos t au carré. Et cos t, on peut le remplacer par x. Donc ça fait 1 plus cos t, je remplace par x, donc plus x au carré. Je rajoute l'intégrale et je remets le moins qu'il ne faut pas oublier. Et donc ceci, cette intégrale, elle est égale à celle-là. Maintenant, reste à s'occuper des bornes. Vous allez voir, c'est très simple. Quand t prend la valeur 0, je l'écris, t prend la valeur 0, je l'écris ici. Du coup, x vaut cos 0. Et cos 0, ça fait 1. Donc ça veut dire que x, dans ce cas-là, prend la valeur 1. Donc la borne du dessous devient 1. Maintenant, on s'occupe de la borne du dessus. Quand t prend la valeur pi, je l'écris, quand t prend la valeur pi, du coup x, ça fait cos pi. Et cos pi, ça fait moins 1. Et donc ça veut dire que dans ce cas-là, x va prendre la valeur moins 1. Et donc la borne du dessus, elle vaut moins 1. Maintenant, vous voyez que la borne du dessus, moins 1, est plus petite que la borne du dessous. Et donc on va permuter les bornes. Et donc ça va me donner l'intégrale de moins 1 à 1. Et vous savez que quand on permute les bornes, ça fait apparaître un signe moins. Et comme on a déjà un signe moins, moins fois moins, ça fait plus. Et donc ça fait, finalement, sauter ce signe moins. Et donc qu'est-ce qui reste ? A l'intérieur, il n'y a rien qui change. Donc ça fait dx sur 1 plus x au carré. Et là, pour qu'on y voit mieux, le dx, je vais le mettre derrière. Je le mets derrière. Et du coup, ici au numérateur, j'ai 1. Maintenant, il faut calculer l'intégrale de cette fonction. Mais cette fonction, vous la reconnaissez, 1 sur 1 plus x carré. Vous connaissez une primitive, c'est arctanx. Et donc l'intégrale de cette fonction, c'est tout simplement une primitive de 1 sur 1 plus x carré. Il y a arctanx entre moins 1 et 1. Et maintenant, il n'y a plus qu'à remplacer. Ça fait arctan1 moins arctan-1. Et vous savez que arctan1, ça fait pi sur 4. Moins arctan-1, vous savez que arctan-1, ça fait moins pi sur 4. Donc ça fait pi sur 4 moins moins. Donc ça fait plus pi sur 4. Et pi sur 4 plus pi sur 4, ça fait pi sur 2. Et voilà, on a réussi à calculer cette intégrale grâce à ce changement de variable. Maintenant, ce qu'il faut comprendre, c'est que les calculs qu'on a fait ici pour trouver pi sur 2, on les a fait sans se soucier de cette formule de changement de variable qui est dans votre cours. Mais en fait, cette formule, on l'a utilisée sans s'en rendre compte. C'est ce que j'aimerais vous expliquer maintenant. Alors déjà, la fonction qui nous a servi pour le changement de variable, cos t, on va lui donner un nom, on va l'appeler phi. Donc ici, on a phi de t. Et là, on l'a dérivé. Donc ici, on a phi prime de t. Et la fonction sur laquelle on a terminé, cette fonction-là, on va l'appeler f. Donc ici, on a f de x. Et maintenant, regardez mon intégrale de départ. Je vais la réécrire légèrement différemment. Je vais séparer le numérateur. Et donc, qu'est-ce qui me reste ? Le moins, je n'y touche pas. L'intégrale de 0 à pi, toujours. Et donc, je sépare le numérateur. Et donc, il va me rester déjà 1 sur 1, plus cos carré t. Et donc derrière, si je sépare le numérateur, il me reste donc moins sin t des t. Moins sin t des t. J'ai juste séparé le numérateur. Et maintenant, regardez ce qu'on a là. Ici, on a moins sin t. Moins sin t. On a donc phi prime. Ici, on a phi prime de t. Et là, regardez ce qu'on a par rapport à f. Regardez, c'est la même structure. Simplement, à la place d'avoir x, on a cos. Autrement dit, ici, on a f. On a pris f et on a remplacé x par cos. Donc, on a f de cos t. Mais cos t, c'est phi. Autrement dit, ici, on a f de phi de t. f de phi de t. Et regardez, du coup, on a f de phi de t que multiplie phi prime de t. On a exactement cette partie-là dans la formule du cours. Et cette intégrale, grâce au changement de variable, on est tombé là-dessus l'intégrale de f. On est tombé là-dessus. Autrement dit, on est passé de cette ligne à celle-là. On est passé de cette partie-là à l'intégrale de f. On a utilisé, sans s'en rendre compte, cette formule dans ce sens-là. Donc, retenez bien, pour calculer cette première intégrale, on a utilisé cette formule dans ce sens-là, de la droite vers la gauche. Et notez au passage que quand on fait les calculs, ils sont très naturels. On ne se soucie pas de cette formule. On écrit le changement de variable. On dérive. On change les bornes. Ensuite, on remplace jusqu'à obtenir une forme connue. Et ensuite, on trouve la valeur de l'intégrale. Et à aucun moment, on ne s'est soucié de cette formule. Et donc, les calculs avec cette méthode de changement de variable, ils sont très naturels. Et, dernière chose très importante, cette intégrale existe sous réserve que la fonction qui est à l'intérieur de l'intégrale soit continue sur l'intervalle a, b. Et donc, en particulier, phi prime doit être continue sur l'intervalle a, b. Et dire que la dérivée est continue, ça veut dire que phi, la fonction du changement de variable, elle doit être de classe c1 sur l'intervalle a, b. Et ça, ça fait partie, c'est écrit sur votre cours, dans les conditions à vérifier avant d'utiliser cette formule. Et donc, ici, il faut vérifier que notre fonction phi, la cos t, est c1 sur l'intervalle 0, pi. Quand on dérive phi, on obtient moins sinus t. Et moins sinus t, la dérivée, elle est bien continue sur r. Donc, en particulier, sur 0, pi. Mais c'est très important d'écrire sur votre copie que vous avez bien vérifié que phi est c1 sur l'intervalle a, b. Donc, ici, sur l'intervalle 0, pi. Donc, pour rédiger, je commence par écrire mon changement de variable. Ensuite, je dérive. Ensuite, j'appelle phi la fonction qui m'a servi au changement de variable. Et donc, ici, on a phi prime. Et comme phi prime est continue, ça veut dire que phi est de classe c1 sur l'intervalle 0, pi. C'est important de l'écrire. Et ensuite, je remets exactement le calcul qu'on avait fait. Donc maintenant, passons au calcul de la deuxième intégrale avec ce changement de variable. Et ce qui est très important de noter, c'est que pour le calcul de la première intégrale, la variable qui était dès le départ dans l'intégrale, c'était t. t, c'était notre ancienne variable. Et x, c'était notre nouvelle variable. Et maintenant, regardez dans ce deuxième changement de variable. Quelle est la variable qui est dès le départ dans l'intégrale ? C'est x. Donc x, c'est l'ancienne variable. Et donc t, c'est la nouvelle. Et donc, par rapport à la première situation, on est exactement dans la situation inverse. Ici, on a la nouvelle variable en fonction de l'ancienne. Et là, c'est le contraire. On a l'ancienne en fonction de la nouvelle. Et dans cette deuxième situation, là encore, on utilise cette formule. Mais cette fois-ci, on va l'utiliser dans l'autre sens. Donc maintenant, on va faire notre changement de variable. Et toujours pareil, première chose à trouver, dx. Et comme ici, on a x. Pour avoir dx, et bien toujours pareil, il suffit de dériver. Et donc, on dérive sin t. Et la dérivée de sin t, c'est cos t dt. Et donc, cette intégrale, elle est égale à l'intégrale, les bornes, on va s'en occuper après. Donc 1 sur 1, moins x, mais x, c'est égal à sin t. Donc on remplace x par sin t, au carré. Le tout à la puissance 3,5. Et le dx, on le remplace par cos t dt. Donc que multiplie cos t dt. Maintenant, on va s'occuper des bornes. Commençons par la borne du dessous. Quand x prend la valeur 0, je l'écris. Quand x prend la valeur 0, et bien quelle valeur il faut donner à t pour que le sinus de t me donne 0 ? Par exemple, tout simplement 0. Parce que sinus 0, ça fait bien 0. Donc on va prendre pour t la valeur 0. Donc quand x prend la valeur 0, et bien t prend la valeur 0. Donc la borne du dessous n'a pas changé. Maintenant, pour la borne du dessus. Quand x prend la valeur 1,5, je l'écris. Quand x prend la valeur 1,5, et bien quelle valeur il faut donner à t pour que le sinus soit égal à 1,5 ? Si vous n'êtes pas à l'aise, on fait un cercle trigo. On veut que le sinus soit égal à 1,5. Donc on se met à 1,5 sur l'axe des ordonnées. Et donc, par exemple, on peut prendre pi sur 6. Parce que sinus de pi sur 6, et bien ça fait pile 1,5. Donc quand x prend la valeur 1,5, ça veut dire que t prend la valeur pi sur 6. Donc 1,5, la borne du dessus devient pi sur 6. Maintenant, il n'y a plus qu'à arranger. Alors 1 moins sinus carré t. Vous savez que ceci, ça fait cos t au carré. Et le tout est à la puissance 3,5. Et vous savez que quand on prend la puissance d'une puissance, ça se multiplie. Et du coup, ça fait 2 fois 3,5. 2 fois 3,5, les deux se simplifient. Et donc ça fait 3 ici. Il reste 3. Donc ça fait 1 sur cos t. Donc le tout puissance 3 au cube. Et il ne me reste que multiplier cos t, dt. Petite parenthèse, ici on applique des règles sur les puissances avec des puissances qui ne sont pas entières. Et donc il faut s'assurer que le nombre dont on prend la puissance, ici cos t, est bien positif. Et c'est le cas parce que t varie entre 0 et pi sur 6. Si vous êtes sur 0, pi sur 6, sur cet intervalle, et bien le cosinus qui est sur l'axe des abscisses, il est bien positif. Donc cos t ici est bien positif. Et donc on a bien le droit d'appliquer les règles sur les puissances. Et donc voilà sur quoi on arrive. Et maintenant ce cos t, il va venir se simplifier avec un cos t du dénominateur. Et donc ça va nous donner, ici ça se simplifie, et du coup là ce ne sera plus 3 mais 2. Et donc au final on tombe sur l'intégrale de 0 à pi sur 6 de 1 sur cos t au carré des t. Et c'est maintenant qu'on voit l'intérêt de ce changement de variable, c'est qu'on arrive sur 1 sur cos t au carré. Et 1 sur cos t au carré, on connaît une primitif, c'est dans le tableau des primitifs, c'est tangent t. Et donc cette intégrale, elle est égale à tangent t entre 0 et pi sur 6. Et maintenant il n'y a plus qu'à remplacer, ça nous fait tangent pi sur 6, tangent pi sur 6, moins tangent 0. Tangent 0 ça fait 0, et tangent pi sur 6 ça fait racine de 3 sur 3. Et donc voilà à quoi est égale cette intégrale. Donc vous voyez, on a réussi à calculer cette intégrale grâce à ce changement de variable. Mais dans les calculs, on ne s'est pas soucié de cette formule. Et donc maintenant, ce qui serait bien, c'est de comprendre ce qui se cache derrière ces calculs et de faire le lien avec cette formule. Et bien regardez ici, pour faire notre changement de variable, on a utilisé cette fonction sinus t qu'on va appeler phi. Donc ici on a phi de t, et là on l'a dérivée. Donc ici on a la dérivée de phi de t, on a phi prime de t. Donc phi prime de t c'est égal à cos t. Et regardez justement ici dans cette intégrale, on a cos t, autrement dit ici on a phi prime de t. Maintenant regardez ce qu'on a ici et là. Entre ici et là, c'est exactement la même structure, simplement ici on a x, alors que là on a sinus t, mais sinon c'est la même structure. Donc si ceci je l'appelle f de x, et bien là, comme j'ai remplacé x ici par sinus t, en fait ici j'ai calculé f de sinus t. J'ai remplacé le x par le sinus t. Donc ici j'ai f de sinus, et sinus t c'est phi de t. Donc ici à la place de sinus t, je peux mettre phi de t. Donc je le fais, voilà. Ici j'ai phi de t. Et du coup regardez ce qu'on a ici. On a f de phi de t, que multiplie phi prime de t. Ici on a exactement la partie droite de la formule. Ici on a la partie droite de la formule. Et regardez ici, c'est l'intégrale de f de x. L'intégrale de f de x, et bien ceci, ça correspond à la partie gauche de la formule. Et comme on est passé de cette ligne à celle-là, et bien ça veut dire qu'on est passé de la partie gauche à la partie droite. On a bien utilisé cette formule, cette fois-ci dans ce sens-là. Et donc retenez que quand vous faites un changement de variable, soit vous avez la nouvelle variable en fonction de l'ancienne, soit le contraire. Mais dans les deux cas, vous utilisez cette même formule, soit dans un sens, soit dans l'autre. Et ensuite pour rédiger, toujours pareil, avant de faire les calculs, il faut expliquer que la fonction qui nous a servi à faire le changement de variable, cette fonction-là que j'ai appelée phi, et bien qu'elle est c1. Et faites attention à l'intervalle. Ici, la variable ct et t, faites attention, y varient entre 0 et pi sur 6. Donc cette fonction, il faut expliquer qu'elle est c1 sur 0, pi sur 6, et non pas sur 0, 1,5, parce que 0, 1,5, ça concerne x. Or nous, ici, la variable pour phi, ct, donc c'est sur l'intervalle 0, pi sur 6. Faites bien attention à cette subtilité. Donc voilà ce que je voulais vous dire. Alors qu'est-ce qu'il faut retenir ? Eh bien premièrement, quand on fait un changement de variable, eh bien pas la peine de se soucier de cette formule. On commence par écrire notre changement de variable, ensuite on dérive, ensuite on n'oublie pas de s'occuper des bornes, et on n'oublie pas non plus, c'est très important, de vérifier que la fonction phi, qui a servi à faire le changement de variable, eh bien de vérifier que cette fonction, elle est c1 sur l'intervalle a, b, et il faut l'écrire sur sa copie. Encore une dernière chose, parfois on voit que la fonction phi du changement de variable, elle doit être bijective, mais pour appliquer cette formule, ça n'est pas du tout nécessaire. Donc maintenant, il n'y a plus qu'à s'entraîner, et pour commencer, je vous propose cet exercice. Et remarquez au passage, qu'ici, je ne vous donne pas le changement de variable, c'est à vous de le trouver tout seul. Et si vous ne le trouvez pas, eh bien je vous donnerai une indication. Donc cherchez bien cet exercice, et vous aurez la solution dans la prochaine vidéo. Et en attendant, comme d'habitude, si vous avez apprécié cette vidéo, n'hésitez pas à la liker, et à vous abonner à la chaîne, pour ne pas rater les nouvelles vidéos.