NOMBRE COMPLEXE • AFFIXE d'un point • Lien entre nombres complexes et points du plan • Maths expert

Alors dans cette vidéo, on va apprendre à faire le lien entre les nombres complexes et les points du plan. Et l'intérêt, c'est que quand on aura des exercices de géométrie avec des points, au lieu de travailler sur les points, on travaillera sur les nombres complexes. Et on verra que ce sera très pratique. Mais avant ça, il faut faire un lien entre les nombres complexes et les points. Alors vous savez qu'un nombre complexe Z, il peut s'écrire sous forme algébrique A plus IB. Donc un nombre complexe, ce qui est très important de comprendre, c'est que ça a deux parties, une partie réelle et une partie imaginaire. Et par ailleurs, vous savez qu'un point du plan M, ça a également deux parties, l'abscisse et l'ordonnée. Et bien il était naturel que la partie réelle, on l'associe à l'abscisse, et que la partie imaginaire, on l'associe naturellement à l'ordonnée. Et voilà le lien qu'on va faire entre les nombres complexes et les points. Quand on aura un nombre complexe de la forme A plus IB, on va lui associer tout à fait naturellement le point M de coordonnées A et B. Et donc écrivons le lien qu'on va faire. Si on a un nombre complexe Z, qui est égal à A plus IB, A et B étant réels, on va lui associer à ce nombre complexe le point M de coordonnées A et B. C'est-à-dire que A correspond à la partie réelle de Z, et B correspond à la partie imaginaire de Z. Et réciproquement, quand on aura un point M de coordonnées A et B, on va lui associer le complexe Z A plus IB. Donc ça marche dans les deux sens. Et ce nombre complexe Z égal à A plus IB, on dit que c'est l'affix du point M de coordonnées AB. Donc ici, c'est l'affix de M. Et ce mot affix, on va le retrouver partout où il y aura des complexes et de la géométrie. Donc c'est extrêmement important que vous compreniez bien ce que ça veut dire que Z est l'affix de M. Alors beaucoup d'exercices commencent de la façon suivante, on vous dit soit M d'affix Z. Donc c'est extrêmement important que vous compreniez ce que ça veut dire. Ça veut dire très simplement d'abord que M et Z vont être complètement liés par la relation suivante. Ça voudra dire que si M a pour coordonnées AB, et bien Z ici sera égal à A plus IB. Et ça voudra dire que si on connaît Z qui vaut A plus IB, et bien le point M ici aura pour coordonnées AB. C'est-à-dire que les coordonnées de M dépendent de Z, et Z dépend des coordonnées de M. Alors souvent dans les exercices, au lieu d'écrire M d'affix Z, on écrit de la façon suivante, on écrit soit M entre parenthèses Z. Quand on utilise cette notation, ça veut dire soit M d'affix Z. Et j'insiste encore, ça veut dire quoi ? Ça veut dire que les coordonnées de M dépendent de Z, et ça veut dire que Z dépend des coordonnées de M. Alors maintenant qu'on a appris à faire le lien entre les nombres complexes et les points, on va passer à la pratique. Alors j'ai représenté ici un repère OUV. Alors première remarque, on n'utilise pas en général de repère OUJ. Tout simplement pourquoi ? Parce qu'on aurait le I des vecteurs, et le I complexe de A plus IB. Du coup, ça serait une source d'erreur entre le I des vecteurs et le I complexe. Voilà, donc c'est pour ça qu'on utilise un repère qu'on a appelé OUV. Deuxième chose à signaler, c'est que quand on représente des nombres complexes dans un repère, le repère OUV, c'est un repère orthonormé. C'est-à-dire que les vecteurs U et V sont orthogonaux et ont la même norme. Ici on voit que U et V ont la même norme. Et donc ici, juste pour être sûr que tout le monde ait bien compris, ici je suis à 1 par définition, et je suis ici également à 1. Donc ici, dans mon schéma, deux carreaux représentent une unité. Alors ici, j'ai placé un point A, et je vais me poser la question, quel est son affixe ? C'est-à-dire, quel est le nombre complexe qui correspond à A ? Eh bien A, ses coordonnées, c'est 2 et 1, 2, 3. Donc les coordonnées de A, c'est 2 et 3. Donc le nombre complexe qui correspond à A, c'est 2 plus 3I. Et donc on dira, on peut écrire de plusieurs façons. Soit on écrit que A, son affixe, c'est 2 plus 3I. Soit on peut écrire que Z indice A, parce qu'en général l'affixe de A, on l'appelle Z indice A, c'est 2 plus 3I. Voilà, c'est aussi simple que ça. On peut faire l'inverse, on se donne un nombre complexe. Cette fois-ci, je vais me donner le nombre complexe Z égale I, et je vais me poser la question, quel est le point qui a pour affixe I ? Eh bien pour le savoir, il suffit d'écrire I sous la forme A plus IB, comme ici. C'est-à-dire que je vais l'écrire 0 plus une fois I. Et donc le point qui correspondra à I, c'est le point de coordonnée 0, 1. 0, 1. Et si je place ce point M de coordonnée 0, 1, il est exactement ici. Et c'est très important de retenir, parce que I, c'est quand même un nombre fondamental dans les complexes, le nombre complexe I, le point qui lui correspond, c'est le point M qui est ici. Donc ça, vous devez le retenir. Ce point-là, c'est le point qui correspond à I. Alors, pour voir si vous avez bien compris, si je me donne un nombre complexe qui est réel, c'est-à-dire un nombre complexe qui vaut A plus IB, tous, et s'il est réel, ça veut dire que la partie imaginaire vaut 0. Donc si je me donne un nombre complexe qui est réel, c'est-à-dire qu'il s'écrit Z égale A, sous-entendu, c'est A plus 0I. Donc si un nombre complexe est réel, quel est le point qui va correspondre à ce nombre complexe ? C'est un point qui aura pour coordonnées A et 0. Et si ce point a pour coordonnées A et 0, ça veut dire que son ordonnée vaut 0, donc ça veut dire que c'est un point de l'axe des abscisses. Et donc, ce qu'il faut retenir, c'est que si un nombre complexe est réel, le point qui va lui correspondre, ça sera sur l'axe des abscisses. Et c'est pour ça que l'axe des abscisses, on l'appelle aussi l'axe des réels. Et j'écris ici que l'axe des abscisses, c'est aussi l'axe des réels. De la même façon, cette fois-ci, si je me donne un nombre complexe qui est imaginaire pur, c'est-à-dire qu'il s'écrit sous la forme IB avec B réel, ça sous-entend qu'il s'écrit 0 plus IB. Ça veut dire que ce nombre complexe, il correspond au point de coordonnées 0 et B. Donc si on a un nombre complexe qui est imaginaire pur, le point qui lui correspond, c'est un point qui aura pour abscisse 0, c'est-à-dire un point de l'axe des ordonnées. Et c'est pour ça que cet axe, on l'appelle l'axe des imaginaires purs. Donc vous devez retenir la chose importante suivante. Si par exemple, je prends un point C sur l'axe des abscisses, l'affix de C, c'est-à-dire le nombre complexe qui lui correspond, ce sera un réel. Et de la même façon, si je prends un point D sur l'axe des ordonnées, son affix, c'est-à-dire le nombre complexe qui correspond à D, ce sera un imaginaire pur, c'est-à-dire un nombre complexe de la forme IB avec B réel. Et ça, c'est extrêmement important que vous le compreniez bien parce qu'on l'utilisera dans de très nombreux exercices. Alors pour être sûr que tout le monde ait compris, avant de continuer, je vais placer un ou deux points. Donc, plaçons ce point-là, que je vais appeler E. Quelle est l'affix de E ? Tout simplement, c'est très simple, c'est pour être sûr que vous avez compris. E, ses coordonnées, c'est "-2, 0". Donc l'affix qui correspond à E, c'est "-2". C'est un réel. On peut écrire également ZE égale "-2". Je place F ici maintenant. Quelle est l'affix de F ? Eh bien, F, ses coordonnées, c'est 0, "-1, "-2, "-3". Comme ses coordonnées, c'est 0, "-3", son affix, ce sera "-3i". On peut écrire aussi ZF égale "-3i". Et si maintenant, je vous donne le nombre complexe "-2, i", on peut se poser la question, où est le point d'affix "-2, i". Et si ce point, on l'appelle G, eh bien comme Z, c'est "-2, i", les coordonnées du point d'affix "-2, i", ce sera "-2, 1". C'est-à-dire que le point qui correspond, ce sera "-1, "-2", voilà. Ça sera ce point-là. Il faut comprendre que le nombre complexe "-2, i", il correspond à ce point-là. Donc voilà, j'espère que vous avez bien compris la notion d'affix. Pensez que dans les exercices, il y aura souvent marqué soit M d'affix Z. Ça veut dire quoi ? Ça veut dire que si on connaît Z et que Z vaut A plus IB, le point M qu'a pour affix Z, ses coordonnées, ce sera IB. Mais ça veut dire aussi le contraire, c'est que si on connaît M, et que ses coordonnées, c'est A et B, ça voudra dire que Z, c'est A plus IB. Donc M et Z sont liés. Les coordonnées de M dépendent de Z, et Z dépend des coordonnées de M. C'est très simple, mais c'est extrêmement important de bien le comprendre. Alors maintenant, on va se poser la question sur... On prend un point M d'affix Z, et maintenant, je vais l'écrire comme ça, c'est beaucoup plus rapide, soit M d'affix Z. Eh bien, je vais considérer maintenant le point M' d'affix Z'. C'est-à-dire que M' a pour affix le conjugué de Z. Et la question est, où est-ce que va être M' si je connais l'emplacement de M ? Donc je vais placer un point M. Par exemple, ici, 1, 2 et 3, voilà, je place M. Et ma question est, où est-ce que M' d'affix Z' le conjugué de Z ? Alors, c'est simple, Z, je peux toujours... C'est un nombre complexe, donc il s'écrit A plus IB. Donc si Z s'écrit A plus IB, ça veut dire que le point M qui lui correspond, eh bien, il aura pour coordonnées A et B. Et Z', du coup, il vaudra combien ? Eh bien, si Z vaut A plus IB, Z' vaut A moins IB. Et donc, le point M' qui correspond à Z', il aura pour coordonnées A et moins B. Ça veut dire quoi ? Ça veut dire que les points M et M' auront la même abscisse et auront des ordonnées opposées. Donc si M' aura la même abscisse que M, donc il sera sur sa droite et aura une ordonnée opposée. C'est-à-dire qu'ici, on est à 1, 2, 3. Il sera donc à moins 1, moins 2, moins 3. Voilà où est M'. Eh bien, donc, qu'est-ce qu'il faut retenir ? Si vous avez deux nombres complexes qui sont conjugués, les points qui leur correspondent sont symétriques par rapport à l'axe des abscisses. Et ça, c'est extrêmement important. On l'utilisera encore dans de nombreux exercices. Donc retenez bien que si deux nombres complexes sont conjugués, les points qui auront pour affixe Z et Z' seront symétriques par rapport à l'axe abscisse. Et inversement, si vous avez deux points qui sont symétriques par rapport à l'axe des réels, ça voudra dire que l'affixe du point M et l'affixe du point M' seront conjugués. Alors maintenant, je vais considérer le point M' d'affixe moins Z. Et ma question est, où est-ce que se situe le point M' si je connais le point M ? Eh bien, moins Z, si je connais Z qui vaut A plus IB, eh bien moins Z, ce sera moins A moins IB. C'est-à-dire qu'on multiplie tout par moins 1. Et donc, le point M' qui correspond à moins Z, ses coordonnées, ce sera moins A et moins B. Ça veut dire que l'abscisse va être multipliée par moins 1 et l'ordonnée va être également multipliée par moins 1. Ici, vu que si on avait les coordonnées 2 et 3, ça va me donner moins 2 et moins 3, moins 1, moins 2 et moins 3. Voilà où se situera le point M''. On peut mettre entre parenthèses d'affixe moins Z. Ici, je peux rajouter à côté, entre parenthèses, ici c'est le point M' d'affixe Z et le point M' d'affixe Z'. Eh bien, qu'est-ce qu'on retient ? Quand on passe de Z à moins Z, c'est-à-dire qu'on multiplie un nombre complexe par moins 1, ça correspond à une symétrie par rapport à l'origine. Et réciproquement, si vous avez deux points M et M'' qui sont symétriques par rapport à l'origine, ça veut dire que leurs affixes sont opposés. J'espère que vous avez bien compris ce que c'était que l'affixe d'un point. Maintenant, si vous avez compris ça, on va pouvoir passer à l'étape suivante. Dans la prochaine vidéo, on va apprendre à traiter des problèmes de géométrie qui utilisent des points, mais au lieu d'utiliser les points pour résoudre les problèmes, on va travailler sur leurs affixes. On va utiliser les affixes et on va voir que ce sera très pratique.