Monotonieverhalten bestimmen: So geht's! - Studyflix

du möchtest wissen wie du das monotonieverhalten einer Funktion bestimmen kannst dann bleib dran du willst die besten Lernvideos für Schüler und Studenten dann komm auf studyflix.de oder hol Dir unsere kostenlose App schau Dir einmal diesen Grafen an mit dem monotonieverhalten beschreibst du wann der Graf steigt oder fällt um die Monotonie zu berechnen schaust du dir immer die erste Ableitung der Funktion an gilt F von X größer 0 dann ist die Funktion strengmonoton steigend gilt dagegen F von X kleiner 0 dann ist die Funktion strengmonoton fallend aber wie kannst du das monotonieverhalten rechnerisch bestimmen schau dir das direkt an einem Beispiel an Du möchtest das monotonieverhalten von der Funktion f vonx = 2x hoch 3- 3x² bestimmen dazu gehst du folgendermaßen vor als erstes bildest du die erste Ableitung der Funktion das geht hier ganz einfach mit der Potenz und faktorregel du erhältst F von X = 6x² - 6x jetzt bestimmst du die Nullstelle in der ersten Ableitung setze dazu F von x = 0 und löse nach X auf mit Hilfe der Mitternachtsformel erhältst du X1 = 0 und x2 = 1 das sind die Extremstellen des Grafen gut gemacht jetzt möchtest du herausfinden ob sich bei deinen Extremstellen um hoch oder Tiefpunkte handelt wenn du kurz wiederholen willst was das ist haben wir dazu ein eigenes Video um hoch oder Tiefpunkt zu bestimmen brauchst du die zweite Ableitung von F du bekommst sie indem du fich noch mal ableitest f2= 12x - 6 anschließend setzt du die Nullstellen von F in F2 ein du erhältst F2 von 0 = -6 und F2 1= 6 ist die zweite Ableitung negativ wie bei x = 0 hast du einen Hochpunkt ist F2 positiv wie bei x = 1 hast du einen Tiefpunkt super jetzt bist du fast am Ziel du musst deine Ergebnisse nur noch grafisch interpretieren du weißt dass der Graf bei x = 0 einen Hochpunkt hat das bedeutet er steigt bis dahin und fällt anschließend wieder ab du weißt außerdem dass dein bei x= 1 einen Tiefpunkt hat das bedeutet der Graf fällt nur bis dorthin danach wird er wieder steigen gar nicht so schwer oder wenn du das Berechnen der Ableitungen lästig findest dann gibt es auch noch eine praktischere Methode für dich die monotoniabelle denn hier benötigst du nur die erste Ableitung schau dir das gleich mal an dem Beispiel FX = 2x 3- 6x an zuerst berechnest du auch hier F von X das ist 6x² - 6 danach bestimmst du die Nullstellen von F durch Umformungen erhältst du X1 = -1 und x2 = 1 jetzt kommt die monotonabelle ins Spiel dazu schaust du zuerst in welche Intervalle die Nullstellen den Grafen unterteilen hier hast du einerseits das Intervall das von Usus unendlich bis -1 geht das Intervall zwischen den Nullstellen -1 und 1 und das Intervall von 1 bis plus unendlich jetzt füllst du die Tabelle aus indem du aus jedem Intervall einen Wert nimmst und ihnen F von X einsetzt ein Wert aus dem ersten Intervall ist z.B -2 für F von-2 erhältst du + 18 das Vorzeichen übernimmst du in deine Tabelle aus dem Intervall -1 1 kannst du die 0 nehmen F von 0 -6 deshalb schreibst du ein Minus in die Tabelle für das letzte Intervall kannst du die 2 verwenden F von 2 ist + 18 du übernimmst also das Plus super du musst deine Tabelle nur noch interpretieren das Plus für das Intervall minus unendlich bis -1 sagt dir dass der Graf dort steigt im Bereich zwischen -1 und 1 wird er fallen das siehst Du am Minus und im Intervall von 1 bis plus unendlich steigt er wieder super jetzt kennst du dich mit dem Monotonie Verhalten bestens aus die Monotonie ist Teil der Kurvendiskussion bei der du das Aussehen eines Grafen untersuchst du möchtest alles Wichtige zur Kurvendiskussion zusammengefasst haben dann schau dir doch gleich unser Video dazu an dir hat das Video gefallen für mehr kostenlose Videos komm auf studyflix.de und hol dir unsere App