啟蒙奧數動畫全集教程：從"牛吃草問題"到"旋轉體問題進階"， #包括行程問題、 #比的概念、 #排列組合等， #一站式數學學習平台！ #十字交叉法, #最佳會合點, #往返接送, #多邊形角度 43 五年級計數1

文老師的學生特別喜歡運動 每個人都喜歡踢足球或打籃球 文老師想知道班裏喜歡足球和籃球的人各有多少 於是在地上畫兩個圓 讓喜歡足球的站左邊,喜歡籃球的站右邊 結果小明沒有動 文老師很奇怪 一問才知道 原來他兩個都喜歡 不知道該站哪 總不能一隻腳站一邊來個劈叉吧 這下文老師意識到兩個圓應該重疊 於是重新畫了圓 小明總算有地方站了 像這個例子把具有相同特點的人或物體放在一起的圖 叫文氏圖 利用文氏圖可以直觀的判斷關係和極端數量 從上面的例子可以看出 文氏圖的圖形要有重疊 文氏圖中每一部分都對一類人 在這個例子中 左邊表示只喜歡踢足球的人 右邊表示只喜歡打籃球的人 中間的人兩者都喜歡 過了幾天文老師又在地上畫兩個圓 想統計喜歡可樂和喜歡果汁的人數 結果這次小明又沒有動 因爲他兩個都不喜歡 於是文老師在圓外面畫了一個框 小明只要站在框裏面就可以了 看來文氏圖不僅要重疊 又是還得帶框來統計兩者都不屬於的人 文氏圖不僅可以有兩個圓 也可以有三個圓 不過這時會有三個圓重疊的部分 就在圖的最中間 如果這三個圓分別表示文老師辦理喜歡可樂 咖啡和果汁的人 那最中間就是三種飲料都喜歡的人 下面我們來看一下其他幾部分的含義 最上面這部分人在紅色的圈內 在藍圈和紫圈外 說明他們只喜歡可樂 左邊這部分人在紅圈和藍圈內 而在紫圈外 說明他們喜歡可樂咖啡 但不喜歡果汁 類似的也可以知道其他四部分的含義 到此我們便學會了兩個圓和三個圓文氏圖的畫法 畫圓的時候要有重疊 有時外面還會有框 而在解題時還要能認出它們 知道每一塊對應哪一類 在這個視頻裏我來簡單說說數字構造問題 比方說給你四個數字0123 要你組成四位數 你能組成幾個 解決這個問題 只要依次給四個數字挑一個位置就行 0最特殊 不能放首位 只能放後三位 所以讓它先挑有三種選擇 不妨就把它放第三位吧 接着再看1 因爲有個位置已經被零佔了 只剩三個位置可選 所以1還剩三種選擇 不妨就把它放首位吧 再看2 它還有兩種選擇 最後看3 它只剩一種選擇 由乘法原理 這四步相乘就是最後答案 等於18 除了上述這種數字挑位置的方法外 位置挑數字也是可以的 3依次給每個位置挑一個數字 首位最特殊 不能填零 只能填123 所以必須它先挑 有三種選擇 不妨就挑3吧 接着輪到下一位挑 此時零又可以用了 可以有012三種選擇 不妨就挑零吧 然後再讓下一位挑 還剩兩種選擇 最後一位挑 只剩一種選擇 這四步相乘依然是3×3×2×1 得18 看來不管是數字挑位置 還是位置挑數字都能解決問題 只要優先考慮有特殊要求的數字或位置 就可以了 那是不是解決所有的數字構造問題 這倆法子都行呢 未必 比如還是給你這四個數字 要求組成的是兩位數 那就不能用數字挑位置了 因爲這些位置少了 必然有數字沒位置 你咋給它們挑呢 但如果用位置挑數字來算 那還是OK的 先考慮首位 有仨選擇 不妨就挑二唄 再考慮末位 還有仨數字可選 於是 3×3×9 共九種可能 這題是隻能用位置挑數字來做 還有的問題是隻能用數字挑位置來做 比如還是這四個數字 要求組成的是六位數 其中1可用三次 這種有重複數字的問題 如果用位置挑數字就掛了 不信咱試試 先看首位 它可以填1或者2或者3 有仨選擇 假如選1呢 這下一位還有0123四種選擇 假如選3呢 這下一位只剩0123種選擇了 究竟是三種還是四種 你根本沒法確定 所以啊 這法子沒戲 但數字挑位置就行 0最特殊 先讓它挑 有五種選擇 接着再讓1挑 只要從剩下五個位置中挑出三個來即可 答案是C53 接着再讓2挑 還有倆位置可選 最後是3 只剩一個位置 於是 答案就是5×C53×2×1 得100 好了 以上就是數字挑位置和位置挑數字兩大基本方法 有時候倆法子都能用 有時候只有一個法子可以 至於用哪個嘛 你試一下就知道了 怎麼樣 明白了嗎 明白就動手試試吧 在幾個圖形的技術問題中 最簡單的當初數線段和數三角形了 儘管線段和三角形完全是兩碼事 但它倆的數法卻非常相似 比方說有五個點 以它們爲端點 連線段 能連出幾條來呢 答案很簡單 就是五選二的組合數C52 如果以它們爲頂點連三角形 又能連出幾個來呢 答案仍然很簡單 就是五選三的組合數C53 爲什麼一個組合數就可以搞定雙數問題呢 咱們先來看看連線段吧 要想連一條線段必須得連兩個點 而只要挑出兩個點就一定能連出一條線段了 既然每挑兩個點就能連出一條線段 那隻要輸出挑兩個點的方法數不就可以了 所以答案就是C52了 至於三角形道理也一樣 要想連一個三角形必須得連三個點 而只要挑出三個點來就一定能連出一三角形 所以只要輸出挑三個點的方法數就可以了 答案就是C53 不過在某些情況下 數三角形會稍微複雜點 因爲挑出的三個點很有可能連不出三角形了 比方說這幅圖 圖中有八個點 如果你直接用C83來計算 那就算多了 因爲從八個點中隨便挑三個點出來 很有可能在同一直線上 這種三點共線的情況必須全部排除掉纔行 那怎樣計算三點共線的情況呢 其實所謂三點共線就是從這條直線上挑三個點出來而已 這條直線上有五個點 隨便挑三個點出來就是三點共線 因此三點共線的情況就是C53 把C83減去C53就排除了所有三點共線的情況 這樣就得到了本題的正確答案 好了 以上就是線段與三角形各處的計算方法 在計算時我們用的都是組合數 因爲不管是連線段還是連三角都跟順序無關 怎麼樣 明白咋算了嗎 如果明白就動手做題拿金幣吧 在上個視頻裏我講了如何數線段和三角 在這個視頻裏我得說說如何數長方形 這是一個四乘六的網格 沿着網格線能數出很多長方形 那總共有幾個呢 咱先從這些長方形的構造方式入手 任何一個長方形的構造都需要四條邊 倆豎線倆橫線 只要確定了它們這個長方形就定了 所以構造長方形只要分兩步 第一步選出倆豎線 第二步選出倆橫線 把這兩步的方法數相乘就能算出長方形的個數了 那這兩步的方法數又分別咋算呢 先看倆豎線吧 因爲圖中豎線共有七條 所以從中選出兩條來就應該是七選二的組合數C72 而選取倆橫線則是從圖中五條橫線中選出兩條來 答案是五選二的組合數C52 兩步相乘就是最後結果 等於210 我把剛纔的過程再重複一遍 先挑倆豎線 從七條豎線中選兩條方法數爲C72 再挑倆橫線 從五條橫線中選兩條方法數爲C52 最後兩步相乘 這就是一般長方形個數的計算方法 如果有特殊要求的長方形咋辦呢 比如我在裏頭畫了個星星 要你數出含星星的長方形有幾個 你又該咋數呢 還是先看含星星的長方形咋構造吧 要想構造這樣的長方形可以分四步 第一步選一條左側的邊 第二步選一條右側的邊 第三步選一條上方的邊 第四步選一條下方的邊 只要這四條邊圍繞着個星星就行 那左側的邊就必須在星星左側 所以是123三種可能 而右側的邊必須在星星右側 所以是1234四種可能 至於上方的邊就應該是122兩種可能 而下方的邊則是123三種可能 四步相乘結果等於72 好了以上就是網格中長方形的數法 對於一般長方形而言分兩步即可 第一步挑出倆豎線 第二步挑出倆橫線 而對於有特殊包含要求的長方形而言 需要分四步 第一步在星星左側挑一挑邊 第二步在星星右側挑一挑邊 第三步在星星上方挑一挑邊 第四步在星星下方挑一挑邊 怎麼樣明白了嗎 如果明白就自個兒動手試試吧 在上個視頻裏 我講了如何在網格中數長方形 在這個視頻裏 我得說說如何在一些有重疊的網格中數長方形 這是一個有兩個四乘六的網格 一橫一豎交疊而成的大網格 如果讓你數其中有幾個長方 你該咋辦呢 有人覺得這還不簡單 只要分成橫豎兩個網格去數 再把兩者的結果加起來不就可以了 如果你還記得上個視頻裏的結果 四乘六的網格可以數出210個長方形 那這道題的答案就是210加210 果真如此嗎 如果你真這麼幹 那就完蛋了 因爲這樣做會有大量重複 你看圖中這個長方形 它既包含在橫着擺的網格中 又包含在豎着擺的網格中 這樣一來豈不是數了兩次 所以你必須從中減去這種數重的長方形纔行 那這樣的長方形怎麼數呢 因爲這種長方形既含在橫着擺的網格中 又含在豎着擺的網格中 所以一定含在這兩種網格重疊的區域中 只要把這個網格里所含的長方形數清楚了 你就知道有幾個長方形數重了 那我們來數數 這是一個四乘四的網格 正好有五條橫線 五條豎線 先挑倆豎線 方法數爲C52 再挑倆橫線 方法數還是C52 兩者相乘總共100 也就是說 有100個長方形在剛纔的算法中被數重了 只要減去它們就可以了 所以正確的算式就是210加210再減去100 等於320 好了 以上就是如何在重疊網格中數長方形的方法 我們可以先把不規則網格拆成規則的網格去數 然後再把重疊部分的長方形數量減掉 這樣就得到了最後結果 怎麼樣 和之前學過的容式原理是不是很像 如果你明白了 就趕緊動手試試吧 在之前的視頻裏 我已經講過該怎麼數長方形 那正方形作爲一類特殊的長方形又該咋數呢 這是一個四乘六的網格 現在要從中數正方 那我們可以跟數長方一樣 先確定倆豎線 再確定倆橫線 把兩步的方法數相乘 就是最後結果 但現在的倆豎線倆橫線在挑的時候 就不能像長方形那樣隨意了 因爲它們之間的間距必須保證相等 而這個相等的間距就是正方形的邊長 所以在數正方形的時候 你得根據邊長的大小分類討論 邊長最小是1 還可以是2 也可以是3 但最多是4 我們先看邊長爲1的情況 當邊長爲1時 倆豎線有一二三四五六六種選擇 而倆橫線有一二三四四種選擇 兩步相乘有24種可能 這就是邊長爲1的正方形數量 接着再看邊長爲2的情況 當邊長爲2時 倆豎線有一二三四五五種選擇 而倆橫線則是一二三三種選擇 兩步相稱有15種可能 這就是邊長爲2的正方形數量 接着再看邊長爲3的情況 當邊長爲3時 倆豎線有一二三四四種選擇 而倆橫線只有一二兩種選擇 兩步相稱有8種可能 這就是邊長爲3的正方形數量 最後看邊長爲4的情況 當邊長爲4時 倆豎線有一二三三種選擇 而倆橫線只有一種選擇 兩步相稱結果爲3 這就是邊長爲4的正方形數量 四種邊長的正方形都數全了 把它們加一塊就是最後結果 得50 以上就是網格中正方形的技術方法 它跟長方形的不同之處在於 一定要先根據邊長大小進行分類 然後在每一類中利用乘法原理分兩步來算 怎麼樣 明白雜數了嗎 如果明白就自己動手試試吧 在這個視頻中 我來講講與整除有關的技術問題 比如1到200有多少個數能被9整除呢 看到整除 你可能會聯想到整除特性 不過在這裏它可不太好用 你得換個思路 將整除與倍數聯繫起來 一個數能被9整除 那它一定是9的倍數 因此你只要數出9的倍數就行 那雜數呢 每舉一下倍 9的一倍 9的兩倍 9的三倍 那一直到9的多少倍呢 這簡單 你拿200除以9 就一下子搞定了 乘22與2 這說明一直可以到9的22倍 因此總共有22個9的倍數 這就是答案了 在上述過程中 最關鍵的就是把整除問題看成倍數問題 能被誰整除 就是誰的倍數 一個數的情況你會了 咱再看看倆數的 比如現在不是被9整除 而是同時被4和6整除 那就說明要求的數 既是4的倍數 又是6的倍數 既4和6的公倍數 那它倆的公倍數有哪些呢 每舉一下12 24 36 48 不難看出這些公倍數都是最小公倍數12的倍數 因此你只要找到1到200中12的倍數有多少就行了 這也簡單 用200去除以12 所得的商就是個數了 答案等於16 看來要想找到4和6的公倍數 你只要找到最小公倍數12的倍數即可 不過這裏要提醒你注意數的範圍 剛纔的倆例子都是從1開始的 你用除法直接算就行 如果不是從一開始的 那又咋辦呢 比如現在問你同時被456整除的四位數有多少個 由於四位數是從1000到9999 範圍不再是從一開始了 這回又該咋辦呢 其實不難 你只要數出1到9999中滿足條件的數 然後刨去1到999中滿足條件的數不就可以了嗎 換句話說 現在要求的是後半段的個數 你只要用整段的減去前半段的就是要求的結果了 那咱先算算整段的個數吧 要想計算這個結果 你得先把456的最小公倍數算出來纔行 這也不難 你可以先算4和5的最小公倍數 也就是20 再求它與6的最小公倍數也就是60 因此456的最小公倍數就是60了 既然最小公倍數是60 那要找的就是60的倍數 先算整段包含的60的倍數 用9999除以60 所得的商就是要求的個數 再來算前半段的 用999除以60 同樣商就是前半段要求的個數 現在整段和前半段都有了 兩者相減就是要求的結果了 答案就是150 以上就是我要講解的全部內容 有兩點提醒你注意 第一要想找多個數的公倍數 你只要找最小公倍數的倍數即可 第二在找某數的倍數時 如果是從1開始的 你直接用除法算就行 如果不是從一開始 而是從中間開始的後半段 那你用整段去減前半段就可以搞定了 怎麼樣不難吧 自個兒動手賺金幣吧 一天學校組織聯歡 於是文老師請同學們吃水果 這回他準備了西瓜和蘋果兩種水果 假如在同學中 吃了西瓜的有25人 吃蘋果的有20人 那麼一共有多少人吃水果呢 25加20等於45 那總人數是不是就是45 如果每人只吃一種水果 那答案確實是45 但如果有5個人既吃西瓜也吃蘋果 就不是45了 那應該是多少 爲了回答這個問題 我們畫出此時的文字圖 來看看這45人到底是哪幾部分 吃西瓜的25人在左邊綠色的圓裏 吃蘋果的20人在右邊紅色的圓裏 很明顯 既吃西瓜又吃蘋果的5個人 在兩個圓的重疊部分 也就是中間這部分 再數左邊吃西瓜的25人時 中間這部分被算了一次 再數右邊吃蘋果的20人時 中間這部分又被算了一次 那麼用25加20的時候 中間的部分會被算兩次 多算一次 於是爲了得到正確答案 必須把多算的一次去掉 減去5後得到40 這纔是吃水果的人數 這個例子告訴我們 在計數時碰到AB兩類對象 要求他們的總數 一定不能把他們直接相加就不管了 還得減去重複的部分 也就是說 AB總數等於A的數量加B的數量 減去AB重複的數量 這就是兩個對象動用圈 這個原理在五年級的計數題中 會經常出現 大家一定要記了哦 大家還記得上次課嗎 文老師請同學們吃水果 然後我們學習了兩個對象動用圈裏 今天我們將在上次課的技術上 學習三個對象動用圈裏 這次文老師準備了西瓜 蘋果和葡萄三種水果 結果吃了西瓜的25人 吃了蘋果的20人 吃了葡萄的15人 那共多少人吃水果呢 有了上次課經驗 你肯定知道 雖然25加20加15等於60 但人數不一定是它 因爲肯定會有蟬貓吃了不止一種水果 下面我們就把吃兩種水果的蟬貓減掉 如果吃了西瓜和蘋果的有10人 吃了蘋果和葡萄的有5人 吃了西瓜和葡萄的也有5人 把它們減掉後得到40 這回總是吃水果的總人數了吧 很可惜也不是 咦 爲啥 哪錯了 要想知道哪錯了 咱還得回到文視圖 看看這40人到底是哪幾部分 吃西瓜的25人 在綠色的園裏 每部分都算了一次 在裏面寫上1 吃蘋果的20人 在紅色的園裏也都算了一次 同樣寫上1 哈哈 果然有算重的 吃葡萄的15人 在紫色的園裏也寫上1 接下來我們把吃兩種水果的減掉 既吃西瓜又吃蘋果的10人 在左邊兩個園的重疊部分中 減去後在裏面分別寫減1 既吃西瓜又吃葡萄的5人 在右邊兩個園的重疊部分 去掉他們後也在裏面寫減1 之後 既吃蘋果又吃葡萄的5人 是下面兩個園的重疊部分 把他們去掉後同樣寫減1 這時剩下的就是前面算出的40人 我們來合併一下 角上三塊只被算一次 沒有重複 邊上的三塊裏面有兩個加1和一個減1 抵消後還剩1 所以也只被算了一次 沒有重複 最後看看中間這部分 它裏面有三個加1和三個減1 合併後是0 說明這部分被算了零次 也就是說 我們數來數去居然少數了一塊 所以還應該把這部分人加上 這塊是三個園的重疊部分 表示三個種水果都吃了的人 如果這樣的人有兩個 加上他們後 可以算出共42人吃水果 這纔是最終結果 這個例子告訴我們 在計算三類物體的總數時 除了減去兩兩重的部分 還要把三個都重複的加回來 也就是說 ABC總數等於A加B加C減AB重複減AC重複 這就是三個對象的融合原理 很複雜吧 大家趕緊做做練習 鞏固一下吧 在這個視頻裏 我們先來簡單說說乘法原理的事 一天唐僧組織吃西瓜大賽 共有30個人參加 其中前三名可以得到超級大獎 那這三個人共有多少種不同可能呢 首先這30個人誰都能當第一名 一共有30種方法 然後確定第二名 這是剛纔得第一的那個人 肯定不能再當第二名了 留給我們的還剩下29個選擇 最後讓我們揭開第三名的面紗 這是還有28個沒得獎的可憐蟲 所以還有28種選擇 也就是說從30個人裏面選出三個人 排成一二三名 一共有30×29×28種方法 那麼如果改成前四名的得獎 從這30個人中選出前四名該怎麼辦呢 從30個人中選四個人排成前四名 方法和前面一樣 只是最後會多一個27 一共有30×29×28×27種方法 按照同樣的道理 如果要從30人中選出前四名的話 方法數共30×29×...×21種 在這幾個例子中 想出算式很容易 但寫起來好麻煩 尤其最後一個還有省略號 那有沒有簡單點的寫法呢 答案是yes 觀察這幾個算式可以發現 它們長得差不多 都是從30開始向下連續成幾個數 因爲長成這樣的算式很常用 所以數學家專門發明了一個符號來表示它們 第一個從30開始向下連續成三個數 可以寫成A33 第二個從30開始向下連續成四個數 寫成A34 第三個從30開始向下連續成十個數 寫成A3010 這種長成AMN的符號叫排列數 A是排列符號 來自排列的英文arrange 它表示從m個物體中選出n個排順序的方法數 等於從m開始向下連續成n個數 例如A13表示從10個人中選出三個排順序 也就是從10開始向下連續成三個數 等於10乘9乘8 A55則表示從5開始向下連續成五個數 等於5乘4乘3乘2乘1 好了 最後咱們看看A48應該怎麼算 有的同學可能會說 老師按照剛纔的說法 應該是從4開始向下乘8個數 也就是4乘3乘2乘1乘0 第5個是0 那接下來怎麼辦 當然是什麼都不辦了 這種寫法壓根就是錯的 同學們一定要記住 下面的數是總數 上面的數是從總數中選出的數量 肯定不可能大於下面的數 好了 排列就講到這裏 下次課我們會學習排列的兄弟組合 敬請期待 上個視頻講的是排列數 這個視頻就來說說組合數 組合與排列一樣 都是從若干個對象中挑出幾個來 那它們區別在哪呢 咱先看幾個例子 一次晚宴共有6盤不同的菜 張三李四各選其中一盤獨自吃 按乘法原理共有6乘5得30種情況 這實際上就是6選2的排列數A62 但如果他倆不是獨自吃 而是合在一起拼桌吃 那這個答案就不對了 因爲獨自吃的時候 他倆分別選烤鴨炸雞 和炸雞烤鴨是兩碼事 但現在拼桌的話就是一碼事了 因爲即使換了順序 倆人吃的也還是烤鴨炸雞 沒有區別 所以答案被算了兩遍 得除以二纔對 等於15 如果除了他倆 王五也選盤菜來拼桌 那答案又如何呢 假設他們獨自吃 按乘法原理有6乘5乘4 也就是A63種方法 現在拼桌跟前面一樣 還會有重複 那每種拼桌方法重複了幾次呢 比方說他們拼桌吃的是烤鴨炸雞和茄子 在剛纔的A63的算法中 張三李四王五分別選烤鴨炸雞茄子 算是其中一種 分別選烤鴨茄子炸雞 也算其中一種 如果選茄子炒鴨炸雞 還算其中一種 如果選茄子炸雞烤鴨 仍算其中一種 接着還可以是炸雞烤鴨茄子炸雞茄子烤鴨 數一數總共有6種 咦 這不正好是三個對象的全排列A33嗎 看來每種拼桌吃法 在獨自吃的算法中都被算了A33等於6次 所以只要再除以A33 也就是6 就可以了 在剛纔的例子中 獨自吃的行情就屬於排列 而拼桌吃的行情就屬於組合 兩者的區別在於 排列在挑選的時候 順序不同會有區別 而組合只要挑出來即可 根本不在乎順序 所以簡單的來說就是 排列講的是有順序的挑選 組合是沒順序的挑選 爲了便於表示和計算這種只管挑出東西 不管前後順序的情形 數學家專門發明的組合數用C表示 像剛纔張三李子從六盤菜裏挑兩盤出來拼桌的方法數 就是6選2的組合數 即做C62 而張三李子王五從六盤菜裏挑三盤出來拼桌的方法數 就是6選3的組合數 即做C63 再比如 從10個隊員中挑出4個組隊參加數學競賽 那挑選方法數也是一個組合數 答案是C14 那如何計算這種組合數呢 觀察剛纔幾個例子 我們可以分兩步來算 像C62 就可以先算排列數A62 然後通過除以A22 消除因排列順序不同而造成的重複 像C63 可以先算排列數A63 然後通過除以A33 消除因排列順序不同而造成的重複 至於爲什麼是分別除以A22和A33 剛纔兩個例子已經解釋過了 就是除以所挑出對象的所有排列方式 以此類推 C14的話 就應該先算A14 然後再除以A44 接下來把排列數寫開約分計算 在C62中 分子是A62 就是從6開始 向下連續成兩個數 而分母A22 則是從2開始 向下連續成兩個數 6和2約分 剩3 答案是3515 在C63中 分子是A63 就是從6開始 向下連續成三個數 分母是A33 則是從3開始 向下連續成三個數 6可以和3乘2約分 答案是4520 最後 在C14中 分子從10開始 向下連續成四個數 分母從4開始 也向下連續成四個數 8可以跟4和2約調 9可以跟3約 約完還剩3 最後答案就是10乘3乘7 得210 一般來說 組合數Cmn是兩個排列數的商 不過通常在計算時會跳過這步 直接寫開 分子從m開始 向下連續成n個數 分母從n開始 向下連續成n個數 然後先約分 再計算 好了 組合數的概念和計算就講到這裏 怎麼樣 明白了嗎 如果明白 就動手做點題吧 通過上個視頻 大家已經可以算出簡單的組合數了 例如C23 分子從20開始 分母從3開始 都向下連續成3個數 得到20乘19乘18 除以3乘2乘1 然後約分 18和2乘3約分 剩3 於是答案爲20乘19乘3等於1140 在這個例子中 C23表示從20個人中選出3個人 選的人少 所以好算 那如果選的人多呢 例如從20個人中選出17個人的話該怎麼算 從20人中選17人 有C27這種方法 按照運算規則 分子從20開始 向下連續成17個數 一直到4 分母從17開始 也向下連續成17個數 一直到1 這個算是看着好嚇人 但仔細看看 可以發現分子和分母中有重複的數 分子中有17 16一直到4 分母中也有17 16一直到4 這些重複的數可以直接約掉 這時分子剩下20乘19乘18 分母剩下3乘2乘1 好算多了 但是 大家有沒有覺得這個算是很眼熟 是的 就在這裏 剛纔算C23的時候也是這個算式 這說明C20 17和C23相等 這是巧合嗎 No 下面我們就從組合數的意義出手 來解釋它們爲什麼相等 老師從20個位同學中選出17人蔘加運動會 共有C20 17種方法 在20人中選17人蔘賽 說明有仨人沒去 那麼其實老師只要選出這沒去的仨人就行 有C23種方法 組合數C20 17和C23 分別從正反兩個方向 計算二次選17的方法數 自然相等 這說明 如果組合數Cmn中的n很大 可以用m減替換 答案是一樣的 例如C199 用100-99替換99 等於C110 再例如C50 48 因爲50-48等於2 所以等於C52 利用這個性質 我們還能得到一個有意思的結論 C88表示從8個人中選8個人 只有一種選法 而根據剛纔的性質 因爲8-8等於0 所以C88等於C80 說明C80等於1 這個結論乍一看好奇怪 但其實還是有道理的 因爲從8個人中選8個人是一個方法 一個人也不選也算一種方法 所以都等於1 利用這個結論 我們還可以得出C20等於1 C30等於1等等 好了 組合數的性質就講到這裏 大家加油做題賺金幣吧 排列與組合長得非常像 因爲算的都是從若干個東西中挑出幾個來 它倆唯一的區別 就是要不要考慮順序 排列也是挑出來之後還得再排一排 所以是要考慮順序的 而組合則挑出來就成 跟順序沒有關係 比如媽媽打算給大貓買兩個不同口味的甜筒 有香蕉草莓綠茶藍莓四種口味 問你有多少種不同的買法 像這個問題就不用考慮順序 假如媽媽選的是香蕉和草莓 那不管是先挑香蕉還是先挑草莓 都是大貓一個人吃 無所謂順序區別 所以答案應該是組合數 四種口味選兩種 答案就是C42 但如果媽媽是給大貓二貓倆兄弟買甜筒 每人一個 那就得考慮順序了 因爲甜筒得分給兩個人 順序不同當然不一樣了 因此相應的買法就得是排列數A42纔對 從上面這兩個例子 你應該感受得到問題究竟是否與順序有關 是要看條件所描繪的場景的 剛纔這兩個場景比較明顯 很容易想明白是否要考慮順序 但有的問題就很隱蔽 非常容易弄錯 比如把ABCD四個人分兩波舉行乒乓球雙打 問你有多少種不同的分波方法 很多人都會這麼做 第一步從四個人中挑出兩個來組成一波 方法有C42種 第二步讓剩下倆人組成一波 方法只有一種 兩步相乘答案就等於C42 結果得6 很可惜這是個標準錯誤答案 不信我就把剛纔C42 也就是六種不同的方法都給你沒舉出來 你就會恍然大悟 所謂C42就是四選二的組合 分別是AB AC AD BC BD CD 如果AB一波那另一波就是CD 如果AC一波那另一波就是BD 以此類推 看出來沒 第一種分波方法和第六種分波方法其實是一樣的 都是AB一波CD一波 唯一的區別是哪波先被挑出來 在雙打比賽兩隊地位平等 不存在誰先誰後 所以這兩種方法本質相同 只能算一種 同理第二種和第五種也相同 第三種和第四種還相同 所以剛纔的算法有重複 還得再除以二纔對 好了 以上就是技術問題中有關順序的討論 這種問題非常容易錯 所以很多人拿它沒轍 其實啊 當年我當學生那會兒也是老錯 只是錯的多了 把所有可能的錯都犯了一遍 進牢了 以後就不會再錯了 所謂失敗是成功他媽 就是這意思 現在你知道爲什麼樂樂課堂 在你做錯題的時候還給金幣的吧 因爲犯錯也有犯錯的價值 所以不要怕犯錯 放心大膽的動手拿金幣吧 在上一個視頻裏 我介紹了插控法 專門用來處理對象不能挨着的問題 在這個視頻裏 我要給大家講一個相反的方法 捆綁法 專門用來處理對象必須挨着的問題 比如有三對夫婦和一個牧師 站成一排照相 如果隨便排有A77種方法 但如果要求夫妻倆必須挨着 那就得特殊處理一下了 咱先用繩子把夫妻倆捆一塊 這樣就可以保證他們不會被拆開了 然後再把這三捆夫妻作爲三個對象 和那個牧師一起作爲四個對象 先排列一下 方法數爲A44 排好之後呢 還得考慮一下每一捆夫妻自身的左右順序 比如這捆夫妻換一下左右位置 可以有兩種不同的方法 所以還得乘以二 這捆夫妻換一下左右位置 也有兩種不同的方法 這捆夫妻換一下左右位置 還有兩種不同的方法 所以最後的算式是A44乘以二乘以二再乘以二 好了以上就是捆綁法的思想 你先把必須挨着的對象捆綁起來 作爲一個整體先參與排列 然後再考慮每捆對象內部的排列情況 這樣就可以把問題解決了 明白了嗎 明白了就動手做題拿金幣吧