啟蒙奧數動畫全集教程：從"牛吃草問題"到"旋轉體問題進階"， #包括行程問題、 #比的概念、 #排列組合等， #一站式數學學習平台！ #十字交叉法, #最佳會合點, #往返接送, #多邊形角度 39 五年級應用題4

在這個視頻裏我要說說正比和反比 那什麼是正比呢?先看個例子吧 一輛汽車以100的速度前進 開一小時就行駛了100千米 開兩小時就行駛了200千米 開三小時呢就是300 四小時呢就是400 時間越長路程越大 而且時間增加爲原來的幾倍 路程也就增加爲原來的幾倍 像這種兩個量之間同增同減 且增減倍數相等的關係就叫做正比 在這,路程與時間就成正比 兩個量成正比的例子有很多 像一個寬固定爲2的長方形 它的面積和長就成正比 長方形面積等於長乘寬 如果長變爲原來的兩倍 那面積也會變爲原來的兩倍 如果長變爲原來的三倍 那面積也會變爲原來的三倍 所以面積和長就是同增同減 且倍數相等的兩個量 自然就成正比了 當兩個量成正比時 它們之間的比值一定是固定的 像剛纔路程和時間的比值就等於速度100 而面積和長的比值就等於寬2 不過有的情形看上去很像正比 其實壓根就不是 比如圓的面積和半徑 儘管它倆是同增同減的關係 但半徑變爲原來的兩倍時 圓的面積就變爲原來的四倍了 這可不符合倍數相等的要求 所以面積和半徑就不成正比 正比講完了該輪到反比了 那什麼是反比呢 還是拿剛纔這輛車來說事 它要從A開到B 如果按正常速度開 一小時就能到 如果以兩倍的速度開 則只要一半的時間 如果以三倍的速度開 則需要三分之一的時間 如果以四倍的速度開 則需要四分之一的時間 你發覺速度越快時間越短 而且倍數正好成倒數關係 像這種一增一減 且倍數互爲倒數的關係 就叫做反比 這裏速度和時間就成反比 反比的例子還有很多 比如一個面積爲60的長方形 如果寬爲1 那長就是60 如果寬爲2 那長就是30 如果寬爲3 那長就是20 你發覺寬擴大爲原來的幾倍 長就變爲原來的幾分之一 所以寬和長就成反比 當兩個量成反比時 它們的成績一定是固定的 比如剛纔速度和時間成反比 它們的成績就等於AB的距離 而寬和長成反比 它們的成績就等於長方形的面積 好了 以上就是正比和反比的概念 當兩個量的比值一定時 它們就成正比 成正比的兩個量 一定是同增同減 且倍數相等的 當兩個量的成績一定時 它們就成反比 成反比的兩個量 一定是一增一減 且倍數互爲倒數的 要判斷兩個量 究竟是正比還是反比 就看它們倆究竟是比值一定 還是成績一定 怎麼樣明白了嗎 如果明白了 就自個兒動手試試吧 週末到了 蹦蹦和跳跳又要出去玩了 這次它倆準備去北海公園 如果蹦蹦和跳跳早上同時出發 速度比爲3比2 那蹦蹦就比跳跳早20分鐘到公園 根據這些條件 你能分別求出它倆路上花的時間嗎 來分析一下 由於都是從家到公園 因此它倆的路程相同 當路程相同時 速度與時間就成反比 現在知道速度比是3比2 那時間比就是2比3了 差的正好是一份 又知道蹦蹦比跳跳早20分鐘到 那差的這一份就是20分鐘了 有了一份量 剩下就好辦了 蹦蹦的時間是兩份 那就是2乘20得40分鐘 跳跳的時間是三份 那就是3乘20得60分鐘 在剛纔的例子中 因爲兩人的路程相同 所以纔有兩人的速度與時間成反比 因此 想要利用速度和時間成反比的關係來解題 就必須找到路程相同的兩個過程 但有的時候這樣的過程會比較隱藏 舉個例子吧 還是蹦蹦和跳跳去公園 跳跳先出發8分鐘 然後蹦蹦出發16分鐘後追上了跳跳 通過這兩個條件 你能算出他倆的速度比嗎 要求速度比可以找兩個路程相同的過程 出來比一比時間 再利用速度時間成反比來求解 但圖中的三個過程 哪兩個過程的路程相同呢 如果你這麼找是找不出來的 因爲還有一個過程你沒看出來呢 那就是把跳跳前後兩段合起來的總過程 這個過程纔是和下面蹦蹦路程相同的過程 你把這兩個過程拿出來 纔有時間速度成反比的關係成立 那接下來就比比時間唄 跳跳的時間是8加16的24 蹦蹦的時間則是16 那時間比就是3比2了 相應的速度比則是2比3 剛纔的過程 最關鍵的一點就是將跳跳前後兩個過程合二爲一 否則你是無法找到兩個路程相同的過程的 看來以後在做題時 你得能把分開的過程合二爲一纔行 以上就是我要講解的內容 最關鍵的有兩點 第一 當路程相同時 速度與時間就成反比 利用這個反比關係可以實現速度比與時間比的轉化 第二 在有些題目里路程相同的過程比較隱藏 但只要能把分開的過程合起來看 就能找到路程相同的過程 怎麼樣明白了嗎 如果明白了就自個兒動手畫圖找找相同的路程吧 在之前的視頻裏 我介紹過在兩個過程中 如果速度時間和路程其中有一個是不變量 那另外兩個量就成正比或反比 因此想要用正反比解形成問題 就必須找到有兩個不變量的形成過程纔可以 不過如果兩個過程中速度路程時間都發生了改變 沒有不變量 那正反比這個神器就不好使了 這時該咋辦呢 下面我就來帶你看一個例子 小胖參加英國杯鐵人兩項賽 途中要經過游泳汽車這兩個比賽階段 他這兩隊的速度分別是一米每秒和兩米每秒 時間比則是三比四 那根據速度和時間這兩組條件 你能求出啥呢 條件裏有兩個過程 一是游泳 二是汽車 很明顯 他們的速度比是一比二 兩者並不相同 他們的時間比是三比四 兩者也不相同 至於路程條件也沒說他們有啥關係 所以這兩個過程之間沒有不變量 因此用不了正反比 那你現在能幹嘛呢 回憶一下有了速度比和時間比 你能求啥呢 對啦 你可以用符合比 由於路程等於速度乘時間 那路程比就等於速度比乘時間比了 速度比等於一比二 時間比是三比四 那路程比就是一乘三比二乘四 也就是三比八 看來沒有不變量的兩個過程 還是可以用比例來分析的 只是不能用正反比 而得用符合比 現在有了路程比 你就可以求出更多結果 比如告訴你游泳的路程是六 那根據路程比 汽車路程就是十六 全程就是六加十六得二十二 類似這種利用符合比進行分析的情況 還有很多 比如小胖又參加了樂樂杯鐵人三項賽 途中要經過游泳汽車長跑 這三個階段的比賽 這三段比賽的路程比爲一比二比三 而小胖這三段的速度比爲二比三比四 那你能由此求出時間比嗎 時間等於路程除以速度 所以時間比就等於路程比除以速度比 由此可得時間比 就是一除以二比二除以三比三除以四 也就是二分之一比三分之二比四分之三 化爲最簡整數比 結果就是六比八比九 有了時間比就可以進一步分析求解了 比如我還告訴你 這次鐵人三項共耗時四十六分鐘 那你把四十六分鐘的時間 按照六比八比九分配一下 就可以求出三段的時間分別是十二十六和十八了 以上就是形成過程中的符合比問題 當條件中的形成過程之間沒有不變量時 正反比分析法就不奏效了 此時就必須使用符合比 所以以後在比較形成過程時 遇到不變量就用正反比 沒有不變量就用符合比 怎麼樣你學會了嗎 如果學會了就趕緊去賺金幣吧 最近蹦蹦和跳跳迷上了騎自行車 早上他倆分別從奧迪公園和亞雲村同時出發 相向而行 速度比爲四比三 結果途中蹦蹦的自行車爆胎了 他停下來修車花了十分鐘 最後他倆恰好在終點相遇 那你能分別求出他倆在路上騎車的時間嗎 這題的特別之處在於蹦蹦在途中停了十分鐘 所以他的過程就被分成兩段 那這兩段是分開看好還是合起來看好呢 如果分開看這兩段速度相同 但時間比路程比都不知道不好做 那你就不妨把他們合起來看 把他和跳跳走的路程比較一下 誒,他倆路程相同 有不變量 可以用正反比 而且這倆過程的速度比也是有的 就是四比三 看來還是合起來看好 根據路程相同 速度與時間成反比 那速度比四比三轉化成時間比就是三比四了 兩者正好差一份 那差的一份又是多長時間呢 由於蹦蹦停了十分鐘 這說明他比跳跳少騎了十分鐘 那時間差就是十分鐘了 有了一份量 再求他倆騎車的時間就簡單了 蹦蹦的時間是三分 就是三十分鐘 跳跳的時間是四分 就是四十分鐘 至此問題搞定 剛纔的問題之所以能順利求解 最重要的就在一個字 合 雖然蹦蹦的行程過程被中途停車一分爲二 但你還是得把他們合二爲一 因爲這樣做就能找到兩個路程一樣的行程過程來進行比較 不過有的問題光明白這個還是不夠的 因爲題目還會在時間差這個條件上跟你繞來繞去 如果你繞不清楚也不行 再來看個例子吧 這回蹦蹦和跳跳打算舉行一次騎自行車比賽 從奧體公園出發 看誰先到終點 由於蹦蹦覺得自己比較快 就讓跳跳先出發15分鐘 結果跳跳在騎到終點的時候 自行車爆胎了 他同樣花了十分鐘修車 最終蹦蹦比跳跳提前七分鐘到達終點 如果再告訴你 他倆的實際速度比是7比5 那你能求出他倆在路上騎車的時間嗎 同樣的 不管停沒停 你仍然把跳跳騎車的過程看成一個整體 不能看出他倆的路程相同 那你就可以用正反比了 分析一下就是速度與時間成反比 又因爲速度比是7比5 那時間比就是5比7了 減一減正好差了兩份 可是兩份是多久呢 這就有點繞了 咱得耐心分析一下 跳跳先出發15分鐘 說明他比蹦蹦多騎了15分鐘 修車又花了十分鐘 說明他又比蹦蹦少騎了十分鐘 最後蹦蹦提前七分鐘 說明跳跳又多騎了七分鐘 這樣跳跳就比蹦蹦多騎了12分鐘 這就是時間差兩份的大小 那一份就是12除以2等於6了 有了一份量 再求他倆的騎車時間就很簡單了 蹦蹦的時間是五份 那就是5乘6得30分鐘 跳跳的時間是七份 那就是7乘6得42分鐘 以上就是我要講解的全部內容 有兩點要提醒你注意 第一 儘管中途停車會把一個人的過程一分爲二 但在實際處理時 你還得能把他們合二爲一纔行 第二 當時間差比較繞時 你要仔細把它繞清楚 這樣才能進一步求解 怎麼樣明白了嗎 如果明白的話就自個兒動手試試吧 在接下來幾個視頻中 我要來講講不確定問題 那啥是不確定問題呢 比如像這題 悟空和八戒打妖精一共幹掉了一百多個 這一百多就是不確定條件 因爲101是一百多 199也是一百多 像這種還有不確定條件的問題就叫做不確定問題 那遇到這種問題該打球呢 接着看題 他倆乾的妖精比爲61比30 那悟空乾的就是61份 八戒乾的就是30份 一共乾的就是61加30得91份 總分數是91 那如果再知道妖精的總和就可以求出一份量了 那總和能是101嗎 你除一除 一份就是1又91分之10 咋出現分數了 總不能是91分之10個妖精吧 看來總和不能隨便選 你得保證一份量是整數纔行 那怎麼保證呢 這也簡單 只要總和是91的倍數就成 既然總和是91的倍數又是100多 那就只能是91的兩倍 182滿足條件了 因此他倆一共幹了182個 在上述過程中 最重要的就是利用比例分數 搞清楚總和是誰的倍數 有了這個倍數就不難確定總和了 這道題只有一組比 那如果有多組比又該咋辦呢 比如現在沙僧也來一起打妖精 三人一共幹掉了400多 還知道八戒沙僧乾的妖精比爲20比17 那三人一共幹掉了多少妖精呢 爲了解決問題 你還得找總和是誰的倍數 那還是先從比例關係入手吧 由悟空和八戒的妖精比 以及八戒和沙僧的妖精比 你可以求出他們的連比 將八戒的分數進行統一變成60 那30變60得乘2 所以61也得乘2得122 20變60得乘3 那17也要乘3得51 因此化成連比就是122比60比51 有了這個比你就可以求總分數了 算一算得233 由於總分數和總和對應 要想保證一分量是整數 那總和就得是233的倍數 因爲總和是400多 因此就只有233的兩倍466滿足條件 那三人就一共幹了466個 好了 關於分析總和是誰的倍數 我已經講差不多了 那如果要分析的是差 方法又如何呢 比如我把總和400多這個條件去了 改成悟空比沙森多達了300多個 那你能準確求出悟空比沙森多達的個數嗎 由於現在給的是差 那你就要找這個差是誰的倍數了 根據剛纔的結果 悟空與沙森的分數差是122-51得71 那兩人的數量差就是71的倍數 又知道數量差是300多 那就只有71的5倍 355滿足條件了 因此悟空和沙森的差就是355 而相應的一分量就是5 那悟空八戒和沙森各自的妖精數也就可以求了 把分數乘5即可 分別是610 300以及255 以上就是與比例有關的不確定問題 其中最重要的就是利用比例分數 搞清楚總和或數量差是誰的倍數 有了這個倍數 再結合條件中的大小範圍 你就可以確定具體數量是多少了 怎麼樣不難吧 如果明白了就自個兒動手賺金幣去吧 在上個視頻中 我講的與比例有關的不確定問題 其中最關鍵的就是利用比例分數 搞清楚總和或數量差是誰的倍數 不過有的時候題目給的條件不是比例而是分率 處理方法其實是類似的 比如咱還是拿悟空八戒沙森打妖精來說事 話說這回他們又遇到一波妖精 有兩百多個 悟空幹掉了其中的十分之七 八戒幹掉了其中的十二分之一 沙森幹掉了十五分之二 剩下的妖精全跑了 要求悟空打了多少妖精 由於悟空幹掉的是全部妖精的十分之七 那隻要知道總和就可以求出相應的妖精數了 條件說有兩百多 那兩百零一行嗎 把二零一乘十分之七 咦 沒法約分 結果是分數 這顯然不行 看來總和必須能跟十約分纔行 所以必須是十的倍數 那是不是光有十的倍數就行了 未必 咱接着看八戒和沙森 他倆幹掉的妖精數也得是整數 八戒乾的是總和乘十二分之一 因此總和得是十二的倍數 沙森乾的是總和乘十五分之二 因此總和得是十五的倍數 由此可見 總和既是十的倍數又是十二和十五的倍數 也就是十十二十五的公倍數 至此咱得到了本題最爲關鍵的結論 根據這個結論 你就可以把妖精總和輕鬆求出 不難看出十十二十五的最小公倍數是六十 因此公倍數一定是六十的倍數 再根據總和兩百多 那就只能是六十的四倍二百四了 總和知道了 那悟空幹掉的妖精就好辦了 拿二百四乘十分之七 結果就是一百六十八 在勝數過程中 最重要的就是利用分率 確定總和是誰的倍數 由於在計算過程中總和要與分母進行約分 因此總和必須得是分母的倍數纔行 以上就是我要講的與分率有關的不確定問題 其中最關鍵的一步跟上個視頻類似 仍然是確定總和是誰的倍數 只不過這回在確定倍數時得看分率的分母了 怎麼樣 不難吧 如果明白了 就自個兒動手做題賺金幣吧 在這個視頻中 我接着來講悟空八戒殺僧打妖精 比如這回他們幹掉了八十個妖精 總數確定 其中殺僧幹掉的是八戒的兩倍 而悟空幹掉的比八戒的三倍還多 那八戒最多幹掉幾個呢 爲了求解方便 咱用線轉圖來表示 八戒是一份 殺僧是兩份 悟空則是三倍還多 至於多多少就不確定了 最後三人的總和是八十 看一看是不是蠻眼熟的 這不就是三星級講過的合倍問題嗎 只不過這裏多出來的部分不確定罷了 如果用合倍問題的方法 你只要從總數八十當中把多出來的部分減掉 然後再除以總分數六 就可以得到一份量了 那多出來的部分是幾呢 一行嗎 代入計算 79除以6得不到整數 二行嗎 代入計算 78除以6得13 恰好可以 接着往下試 你會發覺8也行 72除以6稍微12 除此之外還有很多答案 那究竟哪個纔是對的呢 還是看題吧 題目問的是八戒最多幹掉幾個 八戒的數量就是一份量 要讓一份量多 那減去的這部分就得少 因此你得讓這部分最小纔行 所以二纔是題目要的結果 於是一份量就是13 八戒最多幹掉13個 在上述過程中 最關鍵的一步是通過線段圖 把問題轉爲幾倍多幾的合倍問題來解決 這樣你就可以很清楚的看到隱藏的倍數關係 即把80減去多出來的部分 必須得是總分數6的倍數 剛纔的不確定性在於悟空比八戒的三倍還多 多多少不知道 如果我把它改成比三倍還少 少多少不知道 同時把問題改成八戒至少幹掉多少個妖精 你又該咋算呢 還是先畫圖 這回得用虛線表是少的 接着仍然用合倍問題的方法 把80加上少的這部分 然後再除以總分數6就等於一份量 又由於八戒幹掉的是一份 要求儘量少 那加上了這部分也得儘量少 試一試 至少要加4纔是6的倍數 相應的一份量就是14 因此八戒至少幹掉14個 前面的題目都只有一個不確定條件 如果我把這個條件改成二倍還多 右邊這個是三倍還多 相應的訓練圖就得是這樣 那這回八戒的情況又如何呢 還是老法子 看成合倍問題 將多數的部分減掉 那80與這兩部分的差就是6的倍數 又由於八戒幹掉的是一份 要求儘量多 那減掉的這兩部分就要儘量少了 試一試 至少要減2 那他倆都取1就行 相應的一份量就是13 因此八戒最多幹掉13個 以上就是我要講的與倍數有關的不確定問題 與前面的視頻類似 你還是要找到隱藏的倍數關係 只不過這次得通過合倍問題畫線段圖 來找到這個倍數關係了 並且還得搞清楚 把總和減去或者加上誰纔是總分數的倍數 由於答案不爲一 因此題目往往只要求最大和最小就行 怎麼樣聽明白了嗎 如果明白的話 就自個兒動手試試吧 在這個視頻中 我要來講講分段計費問題 比如樂樂去超市買可樂趕上促銷 如果買10瓶或10瓶以下每瓶5元 如果買10瓶以上超出10瓶的部分每瓶4元 像這種對位於不同數量區間的商品 以不同的價格計費 就是所謂的分段計費 比如樂樂只買了8瓶 那8瓶就都位於這個區間 按每瓶5元來算 總共就是5乘8得40元 如果樂樂買了16瓶 那其中的10瓶就還位於這個區間 按每瓶5元來算 而多出來的6瓶則位於這個區間 得按每瓶4元來算 要求總錢數就把兩個加起來 上面這段是6乘4得24 下面這段是5乘10得50 兩者相加就是總錢數74 比較下兩個結果 樂樂後來比開始多花了34元 而差的這34元對應的可樂就是8瓶 但這8瓶單價並不相同 原因是它們位於不同的計費區間 其中有2瓶單價是5元 有6瓶單價是4元 加在一起就是2乘5加6乘4得34元 剛纔這個例子我給的具體數量 你就可以分析總錢數 以及不同購買方案下的錢數差 那如果反過來給你錢數差 你能求出具體數量嗎 比如樂樂先後兩次去超市買可樂 第二次比第一次多花了22元 要你求兩次各買了多少瓶 條件說多花了22元錢 可這22元錢所對應的可樂 單價是不確定的 既有可能都是5元一瓶 也有可能都是4元一瓶 還有可能一部分是5元 一部分是4元 因此你必須按平數所在的計費區間不同 進行分類討論 先看第一種兩次都不超過10瓶 那前後兩次相差的這部分就都是5元一瓶 這樣相差的錢數就得是5的倍數 而22顯然不是因此不行 再來看第二種兩次都超過10瓶 那前後兩次相差的部分肯定是4元一瓶 這樣相差的錢數就得是4的倍數 而22也不是因此也不行 最後看剩下這種第二次超過10瓶 第一次沒超過 那相差的部分既有4元一瓶也有5元一瓶 兩部分加起來等於22 那22裏包含幾個4幾個5呢 如果包含一個5 那剩下的得是17 17不是4的倍數 不行 如果包含兩個5 那剩下的得是12 12正好是4的三倍 可以 如果包含三個5 剩下的部分是7 不行 包含四個5 剩下的部分是2 還是不行 由於22最多也就包含四個5 因此只有一種情況滿足條件 不難看出在這種情況下 前後兩次差的是5瓶 其中超出10瓶的部分是3 低於10瓶的部分是2 所以第一次購買的就是10減2得8瓶 第二次購買的就是10加3得13瓶 在上述過程中 最重要的是按瓶數所在的計費區間進行分類討論 有可能在同一區間 也有可能在不同區間 在不同區間時 你一定要留意錢數差的組成結構 看看到底包含幾個4幾個5 以上就是我要講的分段計費問題 如果給了數量 讓你求錢數 你只要按分段計費的方式直接求即可 如果給了錢數差反求數量 那你就要按瓶數所在的計費區間分不同情況討論了 怎麼樣明白了嗎 明白的話就自個兒動手試試吧 在這個視頻中 我要來講講不確定問題中的大小分析 比如院子裏有雞和鴨共24只 雞比鴨多多多少不知道 問你雞最少多少隻 如果雞鴨相等 那雞鴨就各佔一半 現在雞比鴨多 那雞就比一半多 鴨就比一半少 24的一半是12 那雞就大於12 也就是大於等於13 鴨就小於12 也就是小於等於11 因此雞最少有13只 鴨最多有11只 24只你會了 如果換成25 那又該咋辦呢 還是先找一半 要25除以2就是2.5 哎 咋出現小數了 沒關係 你仍然讓雞比一半多 鴨比一半少就行 那雞就大於等於13 鴨就小於等於12 因此雞最少13只 鴨最多12只 在剛纔的過程中 當大小不同的兩個量合一定時 較大的一定比一半多 較小的一定比一半少 因此你只要找到一半 就能確定大小兩個量的範圍了 剛纔的大小關係只有一層 現在我再增加一層 知道母雞比公雞還多 問你母雞最少有多少隻 根據剛纔的結果 雞的支出大於等於13 現在母雞又比公雞多 那母雞就要比13的一半多了 也就是要大於等於7 因此母雞至少有7只 看來如果有多個不同層次的大小關係 你只要逐層分析即可 現在我再增加一個條件 又知道鴨的總數比母雞多5只 問你公雞有多少隻 根據剛纔的分析 母雞的支出大於等於7 而鴨的支出比母雞多5只 因此鴨的支出就得大於等於7加5得12 而根據之前的分析 鴨的支出小於等於12 那既要大於等於12 又要小於等於12 鴨就只能是12了 鴨的支出確定了 再根據總數是25 那雞的支出就是25-12得13了 進一步的 你還可以求出母雞公雞的支出 由於鴨比母雞多5 那母雞就是12-5得7 公雞就是13.71得6 因此公雞有6只 在最後這個例子中 最關鍵的一點是 利用方向不同的大小關係 最終確定鴨的支出 這種方法又稱爲加逼法 以上就是大小分析的全部內容 這類問題的最大特點在於 你根據條件得到的數量關係不是等式 而是不等式 比如一個量大於幾小於幾 大於等於幾小於等於幾 所以你在考慮這類問題時 首先要考慮的不是每個量等於幾 而是它們的範圍 另外題目中往往還還有很多 不同層次的大小關係 你得逐層分析求出大小範圍 同時利用方向不同的大小關係進行加逼 你還能最終甩開不等號 得到這些量具體等於幾 怎麼樣明白了嗎 如果明白的話就自個兒動手試試吧 在這個視頻中 我要來講講不確定問題中人數的範圍分析 比如小山羊老師買了100塊巧克力 準備分給班上的同學 如果全部分給女生 那一部分女生分到四塊 還有一部分女生分到五塊 讓你求女生可能有多少人 由於題目中分到四塊的女生人數不確定 分到五塊的女生人數也不確定 因此不太好求 不過如果我把條件改成 所有女生都恰好分到四塊 那讓你求女生人數就太簡單了 用總數100除以每人四塊就是人數了 算一算得25 但這和實際並不相符 還有一部分女生分到五塊呢 比四塊更多 既然分到的更多 那人數就得更少 因此女生人數就得小於25人 也就是小於等於24人 這個24就是女生人數的最大值 也叫做上限 現在你搞定了人數上限 那人數有沒有下限呢 換句話講 人數是否必須大於等於幾呢 關於這點 你只要接着考慮另外一種極端情況即可 讓所有女生都恰好分到五塊 這樣女生人數就是100除以5得20人 而這和實際也不相符 還有女生分到四塊比五塊少呢 既然分到的少 就說明人數要更多 因此女生要多於20人 也就是必須大於等於21人 這樣你就找到了人數的下限 現在人數的上下限都有了 那你把它倆合在一起 就能確定人數了 可能是21,22,23,24 四種情況 在上述過程中 你通過考慮極端情況 分別求出了人數的上限和下限 從而求出了人數的範圍 不過這種解題思路 跟一般應用題還是有不少區別的 區別之處就在於 所得的結論不是等式 而是不等式 爲了幫你熟悉這個不太一樣的分析過程 我再把同樣的方法在男生身上用一次 話說這100塊巧克力全部分給男生 一部分男生分到了五塊 另一部分男生分到了六塊 要你求男生可能有多少人 方法相同 但先考慮一個極端 所有男生都恰好分到五塊 那男生就有100除以5得20人 而實際上還有男生分的比五塊多 因此人數就要比20少 也就是男生小於等於19人 接着考慮另一個極端 所有男生都恰好分到六塊 那男生就有100除以6得16又三分之二人 而實際上還有男生分的比六塊少 因此人數就要比這個多 也就是大於16又三分之二 即大於等於17人 注意這裏雖然是分數 但咱只是求範圍而已 所以無所謂了 現在人數的上限和下限都有了 那你把他倆合一起就能夠確定人數了 可能是17 18或19人 看來對於這類問題 你只要考慮極端情況 找到上下限就能輕鬆的確定人數範圍 不過如果我再加個條件 其實你就可以把人數確定下來了 比如我還告訴你女生比男生多7人 那你看一下男生女生人數的各種可能性 不難發現女生最大24 男生最小是17 他倆正好差了7 因此就只能是這種情況了 於是女生24 男生17人 結果就確定了 以上就是不確定問題中人數的範圍分析 其中最重要的方法 就是通過考慮極端情況 找到人數的上下限 從而確定人數的範圍 怎麼樣明白了嗎 如果明白的話就自個兒動手試試吧 在上個視頻中 我通過一輛時速100的車子給你解釋了啥叫正比 爲此我列了一張數表 將路程與時間一一寫出 如果你仔細觀察一下 就會發覺一個很有意思的規律 看這兩列 時間比是3比5 路程比也是3比5 看這兩列 時間比是4比7 路程比也是4比7 如果挑三列 這種比例相等的情況還成立 看來當路程與時間成正比時 路程比就等於時間比 其實不光路程時間如此 凡是成正比的兩個量 它們的比例關係都相同 這一點在計算比例時非常管用 比如阿呆在週六週日兩天都去超市買蘋果 價格5元一斤 而且這兩天買蘋果所花的錢數比爲4比5 那這兩天所買到的蘋果重量比是幾比幾呢 困難看出錢數除以蘋果重量就等於單價5元一斤 因爲單價固定 所以錢數與重量比也就固定 那這樣的兩個量就成正比了 而成正比的兩個量比例相同 因此重量比就等於錢數比 答案得4比5 你看有了正比關係 你就可以由錢數比算出重量比了 正比你會用了 接下來該輪到反比了 在上個視頻中 我同樣用這輛車子向你展示了啥叫反比 爲此我也列出了一張表 將速度與時間這兩個成反比的量一一寫出 如果看這兩號速度比爲2比3 時間比就是1 2比1 3 如果看這三號速度比爲3比4比5 時間比就是1 3比1 4分之1比1 5分之1 怎麼樣 是不是很有規律 這種規律用一句話來概括 那就是成反比的兩個量 比例互爲倒數 這一點在計算比例時也非常管用 比如甲乙丙三人加工同一批零件 他們的效率比是3比4比7 那他們獨自加工這批零件所需的時間比是幾比幾比幾呢 由於工作量等於效率乘時間 現在工作量固定就是同一批零件 那效率和時間就成反比了 而成反比的兩個量比例互爲倒數 所以時間比就等於效率的倒數比 也就是1 3比1 4分之1比1 7分之1 化簡之後等於28比21比12 以上就是如何利用正反比來轉化比例關係 無論哪種情況都是在用一種量的比去求另一種量的比 當遇到正比時 因爲比例關係相通 所以把數直接挪過去就行 而當遇到反比時 因爲比例互爲倒數 所以還得轉化爲倒數比才行 只要掌握上述兩點 你就掌握了正反比的簡單應用 怎麼樣明白了嗎 如果明白了就自個兒動手試試吧 在前兩個視頻中 我介紹了正反比的概念以及簡單的計算 在這個視頻裏 我接着來講講如何用正反比減應用體 話說阿呆阿瓜去超市買可樂 兩人帶的錢一樣多 阿呆買大可樂每瓶五元 阿瓜買小可樂每瓶三元 兩人最後把錢都花光了 而且阿瓜比阿呆還多買了四瓶 你能求出呆瓜二人各買幾瓶可樂嗎 分析這種問題 你首先得找到不變量判斷正反比 由於兩人帶的錢一樣多 所以總錢數就是那個不變量 而可樂的單價和平數在兩人身上都有變化 由於平數乘單價就等於總錢數 所以這兩個量是乘反比的 大小可樂單價比爲五比三 那兩者的平數比就得是五分之一比三分之一 算算正好是三比五 又因爲阿瓜比阿呆多買了四瓶 因此四瓶對應的就是五減三得兩分的差 容易算出一分就是四除以二得兩瓶 於是阿呆的三分就是三乘二得六瓶 阿瓜的五分就是五乘二得十瓶 至此問題搞定 回顧一下剛纔的過程 最關鍵的一步就是利用單價和平數的反比關係 由單價比算平數比 有了比例之後 剩下的其實就是一個簡單的比例應用題而已 如果我再進一步問你 他倆每人所帶的總錢數各是多少 其實你也能立馬求出 你看阿呆吧 他買了六瓶大可樂 每瓶五元 那總錢數自然就是五六三十元 好了 以上就是如何利用正反比減應用題 最關鍵的有兩點 首先你得找到題中的不變量 利用比不變或者積不變判斷正反比 其次你得能利用其中一個量的比求出另一個量的比 有了這兩點 剩下的就只是簡單的比例應用題而已 怎麼樣不難吧 自己動手賺金幣吧 比除號和分數線三者有着天然的聯繫 比如五比三就相當於五除以三 算得的分數答案三分之五就被稱爲比值 在這個視頻裏 我就要說說如何由分數轉化爲比 先從簡單例子講起 話說大毛二毛兩人蔘加吃漢堡大賽 二毛吃的個數是大毛的五分之三 根據這個條件 你就可以寫出兩人的個數比了 所謂二毛是大毛的五分之三 就是把大毛吃的漢堡平均分爲五份 二毛相當於佔了其中的三份 那兩人的個數比就是五比三了 進一步的 如果我告訴你二毛吃了十二個 那大毛吃的就是十二除以三 再乘五得二十個 如果我告訴你大毛吃了五十個 那二毛吃的就是五十除以五 再乘三得三十個 發現沒比例關係比分數關係更加直觀 所以以後再看到分數關係 你就應該主動將其轉化爲比例關係了 再比如吃漢堡大賽比了兩天 大毛第二天吃的比第一天多了九分之四 二毛第二天吃的比第一天少了七分之三 那第一句話的意思就是 大毛第一天吃的是九份 第二天比第一天多了四份 所以就是九加四得十三份 兩天的數量比就是九比十三 而第二句話的意思就是 二毛第一天吃的是七份 第二天少了三份 那就是七減三得四份 兩天的數量比就是七一比四 好了 以上就是如何將分數關係轉化爲比例關係 只要能將誰是誰的幾分之幾 誰比誰多幾分之幾 以及誰比誰少幾分之幾 這樣的分數關係轉化爲比例關係 那你就能用更爲直觀的方法來解決分數應用題了 怎麼樣明白了嗎 如果明白了就自個兒動手試試吧 齒輪在生活中很常見 比如鐘錶裏有它 你手中的塗改帶也有它 它們相互咬合不停的旋轉 那這種相互咬合究竟有什麼數量上的規律呢 這也就是一對相互咬合的齒輪 咱們把咬合處放大來看 如果大齒輪轉過一個齒 那小齒輪也會轉過一個齒 如果大齒輪再轉一個齒 那小齒輪也就會再轉一個齒 看來大齒輪轉過的齒數與小齒輪轉過的齒數始終相同 這就是相互咬合的齒輪背後所隱藏的數量關係 而有了這一點 你就可以解釋爲什麼小齒輪轉的比大齒輪還快了 比方說大齒輪有六十個齒 小齒輪有二十個齒 大齒輪轉一圈正好轉過一乘六十得六十齒 那小齒輪也就得轉過六十齒 可小齒輪一圈只有二十個齒 所以轉一圈不夠 得轉六十除以二十得三圈纔行 三圈是一圈的三倍 那小齒輪自然就轉的快了 由此可見小齒輪轉的快的原因就是因爲它齒數少 爲了保持和大齒輪轉過的齒數相同 它必須多轉幾圈 如果要把齒輪轉過的齒數以及它自身所擁有的齒數 還有它轉過的圈數 三者的關係更精確的寫出來 那就是轉過的齒數等於齒數乘圈數 而相互咬合的齒輪轉過的齒數一定相等 那每圈的齒數和圈數之間就成反比了 像剛纔大小齒輪每圈的齒數比爲六十比二十得三比一 那圈數比就是一比三 如果它們每圈的齒數比爲五比三 那圈數比就會是三比五 也就是大齒輪轉三圈 小齒輪轉五圈 反過來 如果我告訴你大齒輪每轉六圈 小齒輪轉19圈 那你就可以反推出兩者的齒數比爲19比6 有了這一點 你就可以輕鬆解決各種齒輪咬合問題了 比如有大中小三個依次咬合的齒輪 大齒輪每轉五圈 中齒輪就會轉七圈 而小齒輪則會轉13圈 那根據齒數與圈數成反比 齒數比就等於五分之一比七分之一比十三分之一 化簡一下就是91比65比35 反過來 如果我告訴你 它們的齒數比是十比八比五 那它們的圈數比就得是十分之一比八分之一比五分之一 化簡一下得四比五比八 也就是說大齒輪轉四圈 中齒輪就轉五圈 小齒輪就轉八圈 進一步的 如果我還告訴你大齒輪轉了二十圈 那根據四比五比八的關係 中齒輪就得轉二十除以四乘五得25圈 小齒輪就得轉二十除以四乘八得四十圈 好了 以上就是齒輪咬合問題中的正反比 最關鍵的一點就是相互咬合的齒輪齒數與圈數成反比 只要你抓住了這一點就能輕鬆搞定這些問題了 怎麼樣 簡單吧 趕緊動手試試吧 小高在打怪物史萊姆升級 如果效率提高了四分之一 那提高前後的效率比是多少呢 所謂效率提高了四分之一 實際上就是說現在的效率比原來的效率多四分之一 那就相當於把原來的效率平均分成四分 現在的效率多了一分 也就是四加一得五分 那原來的效率比現在的效率就是四比五了 小高要提高打怪效率 那自然是想節省一些時間 所以我就要問問你了 提高前後的時間比又是多少呢 分析這種問題 你首先要找到不變量 判斷正反比 小高每次打的都是這群怪物 所以需要打的怪物總量就是不變量 而打怪總量就等於打怪效率乘上打怪時間 那時間和效率這兩個量就成反比了 前面說到原來與現在的效率比是四比五 那時間反過來就成等於五比四 說時遲那時快 轉眼間這群怪物就都全掛了 小高一看錶 我這次打怪可比平常少用了十分鐘啊 那提高效率之前需要打多久才能幹掉這群怪物呢 由於原來的時間與現在的時間比是五比四 所以減少的十分鐘對應的就是五減四 也就是一分 一分就是十分鐘 那原來的五分就是五乘十得五十分鐘 這就是原來打怪的時間了 剛纔咱們對於打怪過程的分析 涉及的就是工程問題中的正反比 而要分析正反比 最爲關鍵的就是找到其中的不變量 一般來說 這個不變量就是工作總量 那在這種情況下 效率和時間就成反比 所以只要求出效率比反過來就是時間比 怎麼樣 你明白了嗎 明白了就去動手試試吧 在這個視頻中 咱接着來看小高打怪升級 爲了清楚直觀 你得先畫圖 小高打一波怪物 那這波怪物就可以用一條線段來表示 如果按計劃需要打二十個小時 那計劃的過程 你就可以用帶箭頭的線段來表示 然後標上時間 實際上小高打了一把二十個怪物後 效率提高了五分之二 結果提前了四小時 那實際的過程就得分兩段來畫 前一段效率不變 你就還是用普通線段來表示 並且標上怪物的數量一百二 後面的一段效率提高了 你就得用不同的線來表示 並且標上效率提高五分之二 提前四小時 最後題目問 這波怪物總共有幾個 問題看起來有點複雜 都不知道該求啥 那你不妨從條件出發 看看能求啥 從圖中不難看出有兩個過程 一個是計劃的 一個是實際的 那你就可以對這倆過程進行比較 那咋比較呢 舉個例子吧 你要比較倆人的身高差 比較土的辦法就是把倆人的身高都量出來 然後再算一算 還有一種方法 就是把倆人身高相同的部分全部砍掉 那剩下的部分就是他倆的身高差了 同樣的道理 你要比較這倆過程 也得把完全相同的部分去掉 看這兩段 他們一模一樣 效率時間和打怪數量都相同 既然如此 那就不用看了 只要比較後面這兩段不同的過程就可以了 換句話說 你要去掉一模一樣的 比較有所不同的 那這兩段有啥不同呢 很明顯效率不同 時間也不同 那有沒有什麼相同點呢 你會發覺他們一般差 也就意味着打怪的數量是相同的 而打怪數量又等於打怪效率乘打怪時間 因此這兩段的時間與效率就成反比 利用這個關係 你就可以實現時間比與效率比的轉化了 由於效率提高了五分之二 不妨設計劃效率就是五分 那實際效率就提高了兩分 因此提高後的效率就是七分 兩者的效率比就是五比七 有反比關係 時間比就是七比五 再有條件可知 實際比計劃提前四小時 那四小時對應的就是時間分數差兩分 而一分正好等於兩小時 那計劃的時間就是七分 也就等於七乘二得14小時 這裏要注意了 你求出的14小時是這一段 那左邊這段的時間呢 很簡單 用總時間20減去14就是6小時了 這一段是6小時 那這段一模一樣的也就是6小時 6小時打了120個怪 那一小時就得打120除以6等於20個怪 現在計劃的打怪時間和效率都有了 那你就可以求怪物的總數了 用20乘20正好等於400 因此怪物總共400個 問題解決了 有兩點需要提醒你注意 第一是怎麼畫圖 你得把計劃的過程與實際的過程分開畫 而且效率不同 還得用不同的線來表示 第二是怎麼比較計劃過程與實際過程 關鍵就一點 去掉一模一樣的比較有所不同的 怎麼樣明白了嗎 如果明白了就自個兒動手試試吧 路程等於速度乘時間這樣一個基本公式 相信你已經熟悉的不能再熟悉了 基於這個公式 你能得到三對極其有用的正反比關係 第一組是當路程相通時 速度與時間乘反比 比如東洞區爬山 上山速度爲4 下山速度爲9 來回總共26小時 在這裏上山下山倆過程的路程相同 因此速度就和時間乘反比 其中上下山的速度比是4比9 那時間比就是9比4了 不過還有個條件沒用 所以除了時間比9比4外還能求出更多呢 因爲上下山的總時間爲26小時 那隻要把26按9比4分配一下 就能得到上下山各幾小時了 算一算就是18和8 進一步的 你還可以把18和8跟相應的速度對應起來 利用速度乘時間算出路程 8乘9得72 那路程就是72千米了 剛纔講的是路程相同的情形 此時速度和時間乘反比 但如果時間相同 速度就得和路程乘正比了 比如甲乙兩人從相距500米的AB兩地 同時出發相向而行 速度比爲3比2 最後相遇在C點 那在這段相遇過程中 兩人的時間顯然是一樣的 那兩人的路程比就等於速度比都是3比2了 有了路程比 你還可以求什麼呢 你看全長500米 那你把500按3比2分配 不就可以求出AC和BC的長度了 算一算就是300和200 這其實也就是甲乙各自的路程 好了 時間相同的情形你也見過了 該輪到最後一類速度相同的情形了 此時時間與路程就乘正比 也就是說時間比是幾比幾 路程比也就是幾比幾 具體的例子我就不囉嗦了 跟剛纔速度路程乘正比的情形類似 好了 以上就是形成問題中的三對正反比關係 不管是哪種情況都會有某個量是固定的 所以要想搞清楚究竟哪兩個量乘正比或反比 必須先找到這個不變量纔行 所以在利用正反比關係解題時 一定要先找不變量 怎麼樣明白了嗎 如果明白了就自個兒動手試試吧 在上個視頻中你已經知道 如果時間相同 那路程與速度就乘正比 換句話說 當時間相同時路程比就等於速度比 比如蹦蹦和跳跳分別從天安門和動物園 同時出發相向而行 他倆的速度比爲三比二 那相遇時他倆的路程比也就等於三比二 如果是這一段是三分 那這一段就是兩分 蹦蹦比跳跳多走的就是一分 如果再告訴你 他倆的路程差是兩千米 那你就立馬可以求出全程了 一分對應的就是兩千米 那全程就是三加二等於五分 也就是十千米 在這個例子中 你先由速度比得到路程比 再由路程差和分數差求出所有路程 這兩步中的前一步沒啥特別 就是一個速度路程成正比的問題 但第二步中的路程差在不同的題目中 花樣可就多的去了 下面我就給你舉幾個例子 比如還是蹦蹦和跳跳比例條件不變 只是路程差沒有直接給了 而是告訴你相遇地點距離終點一千米 那你能把路程差求出來嗎 簡單不就差了一千米嗎 嘿嘿你這麼做可就錯大發了 如果你拿長的減去短的 就會發覺兩者的差比一千米還多出來一段呢 那這一段是多長呢 跳跳比一半少了一千米 因此這一段也就是一千米 那就是說他倆的路程差應該是一乘二得兩千米纔對 不能看出這兩千米對應的就是一份 有了一份量 你就可以把所有路程都求出來了 剛纔這個例子是典型的終點距離求差問題 它的關鍵在於必須把到終點的距離乘上二 纔是兩人的路程差 而有的問題不是給你相遇點到終點的距離 而是到終點的距離 那又該咋求呢 比如蹦蹦和跳跳同時從博物館出發回家 速度比仍然是三比二 不一會蹦蹦就先到家了 可跳跳還沒回來 於是蹦蹦立即返回去接他 在離家三千米的地方相遇 這回的路程差又是多少呢 是三千米嗎 還是用長的減去短的 你看不是三千米吧 而是兩個三千米 那路程差就應該是三乘二得六千米了 有了路程差 再讓你求博物館到家的距離 那就簡單了 由於時間相同 路程比就等於速度比三比二 如果說蹦蹦是三份 那跳跳就是兩份 差的一份就是路程差六千米 有了一份量 那兩人的路程和就好求了 等於二加三再乘六得三十千米 不難發現這三十千米是兩個全乘 因此一個全乘就是三十除以二得十五千米 以上就是我要講解的內容 除了要能在時間相同的情況下 利用速度比求路程比之外 最爲關鍵的就是找出路程差 如果告訴你相遇點距離終點的長度 那路程差就是這段長度的兩倍 如果告訴你相遇點距離這個終點的長度 那路程差就等於這段長度的兩倍 怎麼樣明白了嗎 如果明白了 就自個兒動手試試吧