啟蒙奧數動畫全集教程：從"牛吃草問題"到"旋轉體問題進階"， #包括行程問題、 #比的概念、 #排列組合等， #一站式數學學習平台！ #十字交叉法, #最佳會合點, #往返接送, #多邊形角度 44 五年級計數2（

你還記得怎樣判斷一個數能不能被十一整除嗎 其中最好用的就是基偶位差法了 咱來回顧一下 首先把這個數一位一位截斷 然後從個位開始依次編號 編號爲基數的就是基位 編號爲偶數的就是偶位 然後用基位數字和減偶爲數字和 如果所得的差是十一的倍數 那這個數就能被十一整除了 基偶位差法咱複習完了 現在你就可以進一步用它來解決問題了 比如用數字一三五七各一個 能組成多少個被十一整除的四位數呢 根據基偶位差法 只要保證基位和與偶位和的差是十一的倍數就可以了 比如一一二二三三等等等等 注意千萬不要忘了零 它也是十一的倍數 那這些結果中哪些成立呢 先不忙做判斷 我問你一個有意思的問題 它倆的差可能是多少 你已經知道了 那它倆的和又是多少呢 嘿嘿 這簡單 它倆的和不就是所有數字的數字和嗎 算一算就等於16 現在這是和這是差 那你就可以用和差公式來判斷出哪些差成立了 怎麼判斷呢 先看看十一吧 根據和差公式 交大的數就等於和加差除以二 算算得13.5 咦 基位和怎麼可能是小數呢 看來沒戲 再看看零 用和加差除以二得8 又因爲基位和等於偶位和 那偶位和也就等於8了 看來差爲零是可以的 再看22 不難發現 這個差比總和都大了 肯定不行 再往上就更沒戲了 看來只有差爲零的時候是對的 並且此時基位和與偶位和都是8 有了這個結果 那你再找滿足條件的數就簡單了 比如1和7就可以湊成8 而剩下的3和5也能湊8 所以3157就符合體 當然17互換位置 35互換位置也是可以的 因此共有2乘2也就是4種可能 那4個就是最終結果了 嘿嘿 你要是這樣認爲就大錯特錯了 因爲基位與偶位還可以整體換位置 因此還得再乘2 這樣滿足條件的數就是8個了 在剛纔的過程中 最關鍵的就是要確定基位和與偶位和的差等於幾 而想要確定這個差 你只要利用數字和以及和差公式 就能迅速做出判斷 4個數字的你會了 但再看看5個數字的 爲了判斷基位和與偶位和的差 你還是得先把數字和求出來 算一算等於25 再利用和差公式就可以判斷哪個差成立了 先試試0 和加差除以2 除不開 不行 再試試11 和加差除以2得18 和減差除以2得7 看來可以 再試試22 和加差除以2 除不開 還是不行 再往上差就比和大了 肯定沒戲 看來差只能是11 此時基位和與偶位和分別是18和7 利用這個結果 你就可以湊一湊了 先湊7吧 它只要考慮倆數就行 比較簡單 看一看 只有2和5可以 那剩下的就只有378了 就由於378可以互換位置 2和5也可以互換位置 因此總共有A33×2 也就是6×2得12種 注意 這裏的基位與偶位就不能整體交換了 因此答案就是12 以上就是我要講解的全部內容 其中最重要的就是確定基位和與偶位和的差 而想要確定這個差 你只要利用數字和與和差公式 就能快速做出判斷 怎麼樣明白了嗎 如果明白的話 就自個兒動手試試吧 在這個視頻中 我要來講講豎正圖中的大小排列問題 如圖從1到8選6個數填入圓圈 要求每條線對到兩端上面都比下面大 問你有幾種填法 顯然第一步你就得先選6個數出來 從8個數中選6個有C86種選法 那選出6個之後又有幾種填法呢 簡單起見 你不妨用1到6試試 首先仍然用箭頭標出大小關係 從大至小想 如果把箭頭想象爲水流 那就有左右兩個分支 它們都以最上面這個圈爲起點 最下面這個圈爲終點 顯然起點最大終點最小 所以起點填6終點填1 接着看剩下咋填 比如將四五填上二三填下 那是不是上面這倆圈一定比下面這倆都大呢 這可不一定 你把三四交換一下 一樣滿足條件啊 因爲根據條件 只要沿着箭頭的方向從大到小就行 而這倆圈又沒有箭頭相連 且位於不同的水流分支上 誰大誰小無所謂啊 看來只有當圓圈位於同一水流分支上時 纔會有大小關係 否則就像它倆和它倆 各自位於不同的水流分支上 相互之間就沒有大小關係了 所以你不用擔心左邊兩圈填完之後 對右邊兩圈的大小有啥影響 也不用擔心右邊兩圈填完之後 對左邊兩圈的大小有啥影響 頂多就是一邊用過的數 另一邊不能再用罷了 因此你不妨先填好一邊 再填另一邊 分兩步來填 比如先看左邊 而選出來的不管是誰 只有上大下小這一種填法 因此左邊兩圈的填法數 就是C42乘1等於6 再看右邊 剩下倆數只能上大下小 填法是唯一的 因此左右兩邊最終的方法數 是6乘1得6種 現在選法和填法都有了 那你把它們乘一起就是最終結果了 算一算得168 在上述過程中 最關鍵的一點就是要明白 位於兩個不同水流分支上的圓圈 相互獨立 你在處理時只要先填完一波 再填另一波就可以了 剛纔這題只分叉了一次 如果分叉多次 你還能搞定嗎 比如這張圖 除了這裏分叉外 左邊還有分叉 那將1到6填入其中 大小要求不變 又有多少種填法呢 首先還是利用箭頭標出大小關係 不難看出這個圈是終點 因此最小填1 接下來就得分叉處理了 由於它倆相互獨立 那就分開填 先填左邊 從剩下五個數中任意選殺 有C53種選法 不妨假設是235吧 將這仨填入有多少種方法呢 底下這個圈很明確 一定是最小填2 但剩下倆圈位於不同的分支 大小就隨意了 可以互換 有兩種填法 因此左邊這個分叉一共有C53×2 得20種填法 再看右邊這個 將剩下倆數填入其中 只能上大下小方法爲一 那最後左右結合 全部的方法數就是20×1得20 以上就是豎層圖中的大小排列技術 其中最重要的是如何處理分叉 由於分叉的兩部分相互獨立 你把它們分開處理即可 如果遇到多次分叉 你可以根據較大的分叉 把圖分爲獨立的兩撥 然後再處理每一撥時 繼續根據較小的分叉 把一撥再分爲獨立的兩撥即可 怎麼樣明白了嗎 如果明白的話 就自個兒動手試試吧 現在我有四張卡片 一二四五 讓你從中選出兩張 使得成績是三的倍數 那你有多少種選法呢 選他倆還是他倆 或是他倆 肯定啊 一個三的倍數都沒有 根本沒法選 那我如果再給你兩張三的倍數 現在有法子了吧 可以選三乘一 三乘二 三乘四 三乘五 三乘六 共五種 也可以選六乘一 六乘二 六乘三 六乘四 六乘五 也是五種 注意 這裏六乘三重複了 那你得把它劃掉 結果就是五加四 總共九種 看來要使倆數成績是三的倍數 那其中至少得有一個是三的倍數纔行 現在我把卡片增加到九張 那又有多少種選法呢 由於倆數中至少得有一個是三的倍數 那就有兩種可能 一種是隻有一個數是三的倍數 另一種是倆數都是三的倍數 既然這樣 你就可以按這兩類來分別討論 先看第一類 固然看出三的倍數有三六九 那你從中選一個 再從不是三的倍數中選一個 就有三乘六得十八種方法 再看第二類 從三的倍數中選兩就行 也就是三種 現在兩類情況都有了 那你把它們加一加就行 結果是二十一 在剛纔的過程中 最關鍵的就是把要找的情況分爲兩類 而這樣分類恰好能做到不重不漏 成績是三的倍數你會了 現在我把問題變成是六的倍數 又該咋求呢 根據前面的分析 如果兩數中有六的倍數 那成績肯定是六的倍數 又由於一到九中六的倍數只有它自己 因此你只能選它了 另外一張呢隨便選 總共有八種選法 倆數中有六的倍數肯定可以 但如果沒有六的倍數一定不行嗎 那就來看看沒有六的情況如何 你看二乘三可以吧 八乘九也可以吧 看來倆數成績是六的倍數 並不意味着一定得有六的倍數 這咋和數字三不一樣呢 其實也不難理解 由於三是質數不能再分解了 因此倆數的成績是三的倍數 一定得有三的倍數纔行 而六是合數可以分解爲二乘三 因此只要倆數中一個是二的倍數 另一個是三的倍數 那成績就是六的倍數了 按照這個結論 你只要找到二的倍數和三的倍數 從中各選一個即可 不難看出二的倍數有二四八 三的倍數有三和九 從中各選一個 結果就是三乘二的六種 現在有六的和沒六的都算過了 那你把它們加一加就行 答案就是14種 在剛纔的過程中 我把所有情況分爲有六和沒六兩類情形進行分析 這種分析方法叫做有無分類法 你在解題時可以學着用有 以上就是有關成績整除性的全部內容 其中最關鍵的結論是 如果倆數成績是質數的倍數 那其中至少得有一個數是它的倍數纔行 如果倆數成績是合數的倍數 那你還可以通過分解找到滿足條件的數 怎麼樣聽明白了嗎 如果明白了就自個兒動手試試吧 8這個數字很吉利 888的諧音就是發發發 那咱就把含有數字8的自然數稱爲吉利數吧 那你知道在0-299中有多少個吉利數嗎 如果挨個沒舉還挺麻煩的 有沒有更好的法子呢 其實如果直接找含8的數不好辦 你不妨反過來找不含8的數 只要你算出不含8的有幾個 然後用總數減去它就是含8的了 那咱就先找0-299中不含數字8的有幾個吧 爲了求解方便 咱把0-299都用三位數來表示 比如0就表示爲000 1就表示爲001 10就表示爲010 100則還是寫爲100 有了這個表示方法 接下來你就可以用乘法原理輕鬆算出不含數字8的有幾個了 具體來說 百位數字有012三種選法 十位呢 除了8以外 0-9隨便選有九種選法 而個位和十位相通也有九種選法 因此總的就有3x9x9的243個 這就是不含數字8的有幾個了 現在不含8的已經知道了 那用總數300減去它們 剩下的就是含8的了 結果等於57 現在0-299中的吉利數 你已經知道了 如果我把範圍改一改 去掉0加上300 也就是問1-300有多少個吉利數 那你會算嗎 這也簡單 由於0和300都不含數字8 所以它倆多了誰少了誰都不會影響含有數字8的個數 因此答案還是57個 現在我把吉利數的含義再擴大一些 不但包括含數字8的還包括能被8整除的 那1-300中有多少個吉利數呢 由於包含數字8的個數剛剛已經算出來了 也就是57個 那你只要再算出8的倍數就行了 這也簡單 用300除一除就行 所得的商就是要求的結果 也就是37個 現在含數字8的和能被8整除的都有了 那你把他們加一起不就是最後結果了 你要是這樣想就大錯特錯了 不要忘了 還有即使8的倍數又含數字8的呢 這一部分被算了兩次 必須減去一次纔行 那這種數有幾個呢 你不妨就從含數字8的數中把8的倍數找出來唄 先看各位是8的 其中最小的一定是8 接下來182838都不是 48纔是 然後586878也不是 88纔是 發覺沒 你只要每次加40就可以 所以再往下每舉就是128168208248288 總共8個 各位是8的搞定了 再看10位是8的 它可以是08幾18幾28幾 共三種 先看08幾 那就有080 088兩種可能 至於18幾就只有184一種可能 而28幾則有280 288兩種可能 注意088和288重複了 得劃掉 所以最後是三個 現在各位是8和10位是8的都有了 那你把它們加一起就是相應的結果了 總共11個 好了 重複的個數都有了 那你再減去這些重複的 正確結果也就有了 算一算等於83 以上就是關於吉利數的全部內容 其中的要點 我再給你總結一下 首先要求含數字8的有幾個 你只要用總數減去不含數字8的就可以了 其次要求含數字8的或能夠被8整除的總共有幾個 你必須在分別算出它倆的個數後 把重複的部分減掉 怎麼樣 明白了嗎 如果明白的話 就自己動手試試吧 在這個視頻中我要來講講上升數 那啥是上升數呢 像這種從左到右依次增大的數就是上升數 比如235就是一個三位上升數 1357就是一個四位上升數 那你知道四位上升數有多少個嗎 咱們每舉一下 從最小的開始 1234 1235 1236 1237 好多呀 得每舉到啥時候啊 有沒有更好的法子呢 其實你從1到9這九個數字中任選四個出來 就可以組成唯一的一個上升數 比如選2356這四個數字 要想組成上升數就只能是2356 如果選3578這四個數字 那能組成的上升數也只能是3578 這就意味着一種選法恰好對應一個上升數 有多少種選法就有多少個上升數 明白了這個道理 接下來就簡單多了 你只要算出有多少種選法就行 從九個數字中任意選出四個來 有C94種選法算一算等於126 因此四位上升數就126個 四位上升數你會算了 那五位上升數也就很好求了 同樣的道理 你從九個數字中選出五個來 就能組成唯一的一個上升數 所以有多少種選法就有多少個上升數 九個數字選五個應該有C95種選法 因此五位上升數就有C95個 同樣三位上升數就有C93個 六位上升數就有C96個 幾位上升數就是C9幾 前面幾個例子都是從1到9 這九個數字中隨便選 但有時如果有特殊要求 你就沒法隨便了 比如我問你首位是3的4位上升數有幾個 由於現在首位確定了是3 那後面的三位數就都必須比3大才行 也就是隻能從4到9這六個數字中選 比如選456就能組成唯一的一個上升數 再選469也能組成唯一的一個上升數 看來只要從4到9中任選三個出來 就能組成唯一的一個上升數 於是結果就是從4到9這六個數字中 選三個的方法數 即C63 由此可見當首位固定時 你只要關注後面幾位就行 而其中最需要關注的就是他們的選擇範圍 必須都比首位大 前幾個例子都在求個數 但有時題目也會換一個問法 讓你求某個上升數是從小到大第幾個 比如把四位上升數從小到大排成一行 問3456是第幾個 解決這個問題 其實只要算出它前面有幾個數就行 換句話講 就是要算出比它小的上升數有幾個 咱不妨先看看首位是1和首位是2的 如果首位是1 那後三位就只能從2到9這八個數字中選 總共是C83得56個 如果首位是2 那後三位就只能從3到9這七個數字中選 總共是C73得35個 再看看首位是3的 第一個首位是3的上升數就是3456 那它前面就只有首位是1和首位是2的了 加一加也就是91個 那3456自然就是第92個了 以上就是有關上升數的全部內容 其中最核心的算法是利用組合數來計算上升數的個數 而這個算法的道理就在於一種選法只對應一個上升數 有多少種選法就有多少上升數 怎麼樣不難吧 如果明白了就自個兒動手試試吧 在這個視頻的開頭 我先念兩句詩 發覺這兩句詩的特點了嗎 對了 不管你從左看還是從右看 結果都一樣 像這樣的詩就叫做迴文詩 文學裏有迴文詩 數學裏也有迴文數 像808911952325以及0到9這些一位數 也都是左看右看都一樣 它們就叫做迴文數 知道啥是迴文數了 那你能算出六位迴文數有多少個嗎 根據迴文數左右對稱的特點 如果首位是1 那末位也是1 這位是2 那這位也是2 這位是幾 那這位就是幾 看來只要前三位定了 後三位也就定了 因此你只要確定它的前一半就行 那前一半的方法數啥球呢 這簡單乘法原理唄 先看首位 由於不能填0 那就1到9隨便填 有9種填法 再看第二位 這回0可以填了 那就是0到9隨便 有10種填法 再看第三位 也是0到9隨便 有10種填法 因此就有9乘10乘10 共900種填法 那六位迴文數就是900個了 在上述過程中 由於迴文數左右對稱 你只要考慮一半即可 不過這一半可不一定是嚴格意義上的一半 比如現在要你求七位迴文數有多少個 那你就不能完全半皮了 除了考慮前三位外 還得考慮中間位置 因此這裏的一半就得是前四位 明白了這個道理 接下來繼續用乘法原理 首位不爲0 有9種填法 第二位0到9隨便有10種填法 第三位也同樣是10種填法 最後中間這位還是10種填法 因此最後相稱有9000種填法 那七位迴文數就是9000個了 普通迴文數的個數你見識過咋算了 那有特殊要求的迴文數又如何呢 比如現在問你七位迴文數中基數有多少個 那你就得針對基數做特殊處理了 由於是基數 各位只能填13579 再根據對稱性 首位也只能填13579 因此只有五種填法 特殊位置考慮完了 剩下的就和剛纔一樣了 第二位第三位第四位仍然是0到9隨便填 因此各有10種填法 再把它們相稱就是5000種填法 因此七位迴文數中基數有5000個 以上就是有關回文數的全部內容 有兩點提醒你注意 第一要求迴文數的個數 只要考慮前一半的位置即可 當然有時還得考慮中間數 第二如果有特殊位置 你仍然只需考慮一半 不過此時必須優先考慮特殊位置 怎麼樣明白了嗎 如果明白了就自個兒動手試試吧 數字謎你一定很熟悉 不過在這個視頻中 我要講的數字謎比較特殊 填法都不爲一 比如這個加法數式 方框中是6到8種的數字 要使數式成立填法就有很多 那你知道有幾種填法嗎 由於守衛相對簡單 咱就先看它 你看和的守衛是7 那這個框也是7嗎 嘿嘿 這可不一定 因爲後面還可能進位呢 由於十位的兩個框只能填6到8 所以最小是6加6得12 最大是8加8得16 無論怎麼填都會向前進1 那百位就不是7 而得是6 就一種填法 百位搞定了 接着看十位 同樣你得考慮各位有沒有進位 顯然各位的兩框也只能填6到8 所以也一定會向前進1 因此十位的兩框相加就不是15 而得是14 於是你可以填77 也可以填68 不過68可以上下交換 所以總共有三種填法 十位搞定了 最後看各位 由於向十位進位 所以他倆的和是13 試着填一下 只有6加7得13 相互交換位置 總共有兩種填法 現在百位十位各位的方法都有了 那根據乘法原理 你把他們乘在一起就是總的方法數了 也就是6種 在上述過程中 最重要的就是通過進位 判斷每一位的數字和 進而算出每一位的填法數 至於最後一步相乘 不過是簡單的乘法原理罷了 沒啥技術含料 所以判斷進位 以及每一位的數字和 纔是解決此類問題的關鍵 這個關鍵不僅對兩個加數的問題成立 對三個加數的問題也一樣 如圖方框中都是2到5中的數字 要使數式成立 問你有多少種填法 那咱就從各位開始 一位一位的分析進位 各位的三個框和最小是3個2得6 最大是3個5得15 如果各位不進位 那三個框的和就是2 比6還小 不可能 因此一定有進位 並且只能進1 此時各位的數字和爲12 再看10位 和的範圍也在6到15之間 如果不進位 那三個框的和得是5 5也比6小 所以不可能 因此一定進位 此時10位數字和爲15 然後看百位 他倆的和最小是2個2得4 最大是2個5得10 如果有進位 那這兩個框的和得是16 比10還大 不可能 因此沒有進位 標上0 那數字和就是6了 最後看千位 因爲百位不進位 所以千位就是3 現在每位的數字和都知道了 那你就可以分別算出每位的填法了 先看各位 相加得12 可以是552 543 444 如果填552相互交換位置 有三種填法 如果填543相互交換位置 有a33得6種填法 如果填444 那就只有一種填法 因此各位總共有3加6加1 得10種填法 再看10位 相加得15 只有555 就一種填法 再看百位 相加得6 可以是24 33 如果填24 相互交換有兩種填法 如果填33 那就只有一種填法 因此百位共有2加1 得三種填法 最後看千位 只有一種填法 現在每一位的填法數都有了 那利用乘法原理 把它們相乘 就可得結果30 以上就是加法數式迷中的技術問題 其中最關鍵的就是利用進位 判斷每一位的數字和 進而求出每一位的填法數 怎麼樣明白了嗎 如果明白的話 就自個兒動手試試吧 既有數是啥 你肯定知道 在這個視頻中 我要來講講和基友數有關的填數字問題 比如將1到4填入圖中的方框中 要求相鄰的格子基友性不同 問你有多少種填法 試着填填看 這裏基友基數又有偶數 那到底填基還是填偶呢 不太確定 那不妨用染色來表示基友吧 比如第一個格子染成黑 那旁邊這個格子的基友性就必須和它相反 那就染成白 然後再旁邊這個格子基友性又和白格子相反 那還染成黑 最後這個格子又跟黑格子基友性相反 那還染成白 看來只要基友間隔排列就符合要求 現在搞定了基友排列 那你就接着可以算出可能的填法數了 將1 3填入兩個基數格子有兩種方法 將2 4填入兩個偶數格子也是兩種方法 那利用乘法原理二二得四 答案就是四種 而右面這種情況和左面完全對稱 所以也是四種 再把兩者相加 答案就是八了 在上述過程中 最關鍵的一步是利用黑白染色 確定表格中的基友排列規律 然後再進一步算出可能的填法數 四個格子的你會了 如果我再加一個格子將一到五填入其中 仍然要求相鄰的格子基友性不同 那又有多少種填法呢 首先還是利用黑白染色 確定基友排列 前面四個不變 最後一個染成黑色 注意這種染色方法也表示兩種情況 分別是三基兩偶或三偶兩基 由於一到五中恰好是三基兩偶 因此只有這一種情況成立 基友排列確定了 接下來就可以確定具體的填法了 將一三五填入基數格子 有A3三種填法 將二四填入偶數格子 有兩種填法 因此一共有A3三乘二得12種方法 一行格子的問題你會了 那如果有多行格子又該咋算呢 比如將一到六填入二乘三的格子中 要求不變問你有多少種填法 還是老法子 仍然用染色來判斷基友排列 先看左上角 如果染黑色 那與它相鄰的兩個格子就只能染白色 接下來的兩個格子就只能染黑色 而最後這個剩下的就只能染白色 看來本題中的基友間隔排列是這個樣子的 長得是不是很像國際相機盤 好了回到基友性 如果黑基白偶結果就是這樣 如果黑偶白基結果就是這樣 由於一到六中恰好三基三偶 因此兩種情況都成立 又由於它倆填法完全對稱 所以你只要算出一種再乘二即可 不妨看它吧 將一三五填入基數格有A3三種方法 將二四六填入偶數格也有A3三種方法 因此共有A3三乘A3三得36種方法 那總的方法數就是36乘2得72種了 以上就是我要講解的基友排列問題 其中最關鍵的就是利用黑白染色的方法 確定基友排列規律 然後再進一步算出可能的填法數 怎麼樣不難吧 自個兒動手賺金幣吧