清華附小數學趣味動畫全集：探索勾股定理、面積計算、排列組合等多個主題，輕鬆學習，提升數學成績！ #清華附小 #數學趣味 #勾股定理 34 五年級數論2

今天我們學習因數和倍數 一個數的幾倍這種說法 大家很早就學過了 例如2的1倍是2,2的2倍是4 2的3倍是6,2的4倍是8等等 像2,4,6,8這樣的數 它們都是2的整數倍 我們把它們通稱爲2的倍數 同樣,3的1倍是3,3的2倍是6 3的3倍是9,3的4倍是12 3,6,9,12都是3的整數倍 所以都是3的倍數 這樣的倍數關係還有很多 例如5的4倍是20 所以20是5的倍數 7的8倍是56 所以56是7的倍數 當然,對於剛纔的乘法算式 其實還有另外的解釋 5乘4等於20 也可以理解爲4的5倍等於20 所以20也是4的倍數 7乘8等於56 也可以理解爲8的7倍等於56 所以56也是8的倍數 因此,對於任何一個整數乘法 a乘b等於c 都會同時存在兩個倍數關係 c是a的倍數 同時也是b的倍數 再看一下我們一開始寫的這幾個乘法算式 2乘1等於2 2是1的2倍 所以2是1的倍數 2也是2的1倍 所以2也是2的倍數 同樣的,因爲3乘以1等於3 所以3即是1的倍數 也是3的倍數 從這兩個例子可以發現 對於每個整數a 都有a等於1乘a 所以a即是1的倍數 也是a本身的倍數 例如2014等於1乘2014 所以2014即是1的倍數 也是2014的倍數 4096等於1乘4096 所以4096即是1的倍數 也是4096的倍數 學完倍數 我們再來看看什麼是因數 因數的概念其實很簡單 就是倍數的反面 例如在上面的例子中 20是4和5的倍數 所以4和5就是20的因數 56是7和8的倍數 那麼7和8都是56的因數 這說明對一個整數乘法a乘b等於c 除了有兩個倍數關係 還有兩個因數關係 a是c的因數 b也是c的因數 例如4乘7等於28 所以4和7都是28的因數 7乘9等於63 那麼7和9都是63的因數 1乘3等於3 所以1和3都是3的因數 1乘2等於2 所以1和2都是2的因數 相信大家都注意到了最後兩個算式 其實對每個整數a都有a等於1乘a 所以1和a都是a的因數 知道了因數和倍數的概念 那怎麼快速判斷一個數 是不是另一個數的因數和倍數呢 答案很簡單 除就行了 例如要判斷60是不是3的倍數 只要看60是3的幾倍即可 爲此我們拿60除以3 商正好是20 除盡了 說明60是3的整20倍 那麼60就是3的倍數 而3反過來就是60的因數 再比如要判斷3是不是16的因數 也只要看16是3的幾倍即可 同樣計算一下16除以3 結果商5餘1 這說明16不是3的整數倍 所以16不是3的倍數 那3也就不是16的因數 於是判斷兩個數有沒有倍數或因數關係 只需要做除法 看能否除盡即可 除盡了 相互之間就存在因數倍數關係 除不盡就沒有因數倍數關係 最後要注意一點 因數和倍數都只針對大於0的整數 所以雖然5除以2.5等於2 商也是整數 但因爲2.5是小數 所以不能說5是2.5的倍數 同樣雖然0除以3等於0也除得盡 但絕不能說0是3的倍數 大家只要牢記 凡是遇上小數或者0 所謂的因數倍數關係通通不成立就可以了 兩個整數做除法時 有時會除不盡 出現餘數 例如32除以10 商3餘2 這樣的除法叫帶餘除法 在帶餘除法中 餘數必須小於除數 反過來用除數乘商 再加餘數就可以得到倍除數 例如在剛纔這個算式中 用10乘3再加2 就可以得出倍除數32 有了這兩個算式 在已知餘數時 就可以反求倍除數或除數了 例如已知倍除數是32 餘數是12 根據第二個算式 除數乘商等於32-12 得20 把20拆成兩個整數的乘積有很多種方法 例如20乘1 10乘2 4乘5等 但因爲在帶餘除法中 餘數必須小於除數 所以除數要大於12 那就只能拆成20乘1 其他的都不行 於是除數是20 商是1 有時你面對的題目不會像制導題那樣直接 需要用方程求解 例如這個例子 在一個帶餘除法中 商是3 餘數是2 倍除數和除數的和是82 因爲倍除數等於除數乘商加餘數 假設除數是x 那麼倍除數是x乘3加2 得3x加2 由於倍除數和除數的和是82 所以x加上3x加2等於82 解方程可以得出x等於20 所以除數是20 接下來只要用82減去20 就能算出倍除數等於62了 帶餘除法是餘數計算的基礎 也是核心 它展現了倍除數 除數 商和餘數之間的聯繫 需要能靈活運用 而在解題時 一定要記住除數大於餘數這點 它經常是題目中的陷阱 一定要特別留意 這個視頻 咱開始學習怎麼求餘數 餘數和整除有着緊密的聯繫 在之前 我們學過了很多整除判定 例如尾數判別法 2和5看個位 4和25看末兩位 8和125看末三位 這三條判定 可以直接用來求餘數 例如要計算28453除以4的餘數 只需要看末兩位53 53除以4商13餘1 所以元數除以4也餘1 而要計算它除以8的餘數 只要看末三位 453除以8餘5 所以元數除以8也餘5 除了這三條 還有三條整除判定 也可以直接用來求餘數 分別是3和9的數字求和法 99的兩位斷開求和法 999的三位斷開求和法 例如要計算28453除以9的餘數 只需算出它的數字和除以9的餘數 28453的數字和是2加8加4加5加3 等於22 它除以9餘4 所以元數除以9也餘4 而在計算它除以99的餘數時 只需要從右往左兩位斷開 得到2 84和53 它們的和是139 而139除以99餘40 所以元數除以99的餘數也是40 最後我們來求28453除以999的餘數 把它從右往左三位斷開 得到28和453 它們的和是481 而481除以999就餘481 說明元數除以999也餘481 好了 以上就是特性求餘的一些方法 它們和整數判定方法完全相同 在下個視頻 我們將會學習如何計算除以7 11和13的餘數 而這些和整數判定就有區別了 那區別是什麼呢 不用着急 下個視頻你就知道了 在學完上個視頻的特性求餘後 我們來一起看一下 如何利用整數性質計算除以11 首先看11 在整數中我們學過 一個數能否被11整除 只需要看它的基位和與偶位和之差 能否被11整除 而在計算餘數時 也是要計算它倆的差 但這裏不能隨便減 必須用基位和減去偶位和 不能反過來 例如1827 從右往左數7和8在基數位 於是基位和是8加7等於15 2和1在偶數位 於是偶位和是1加2等於3 這裏基位和比偶位和大 可以直接減 得12 12除以11於1 於是1827除以11的餘數也是1 這個例子中基位和比偶位和大 可以直接減 但如果比它小 不夠減怎麼辦 即使不夠減 也不能改變順序 而應該在後面加11 例如8172 它的基位和是1加2等於3 偶位和是8加7等於15 用基位和減偶位和得到3減15 不夠減 得加11 加11後還不夠減 就再加11 得到3減15加22 這等於10 說明8172除以11於10 以上就是11的餘數計算方法 用基位和減去偶位和 然後計算差除以11的餘數 如果不夠減 就加11 說完11 下面我們來看一下7和13 在整數中我們學過 判斷一個數能否被它們整除 首先要三位截斷 然後把基數段和偶數段分別相加 再看它倆的差能否被它們整除 而算餘數時 第一步和第二步沒有變化 但第三步有所不同 這裏也不能隨便減 必須用基段和減去偶段和 例如計算這個數除以7的餘數 首先從右到左三位截斷 得到4個三位數 其中基數段是135和234 和是369 偶數段是133和239 和是372 基段和減偶段和等於369減372 但不夠減 不夠減就加除數 也就是7 369加7等於376 再減去372得4 於是元數除以7餘4 好了 以上就是7 11和13的餘數計算方法 和整除相比 兩者只在做差的順序上有區別 這裏必須用積減偶 而不能反過來 如果不夠減就加除數 接下來就是練習時間了 加油做題賺金幣吧 前幾個視頻我們學了特性求餘 學會了如何計算數的餘數 這個視頻我們將會學習 如何計算一個算式的餘數 例如要計算這個加法算式除以9的餘數 你可以選擇硬算 兩數相加等於2814 算它除以9的餘數得用數字和 算一下 數字和等於15 除以9餘6 不過你也可以這樣算 第一個數的數字和是13 除以9餘4 第二個數的數字和是11 除以9餘2 餘4加餘2 答案是餘6 發覺沒 兩種算法答案完全相同 如果你再舉幾個例子 情況仍然如此 所以計算一個加法算式的餘數 可以先求出每個數的餘數 然後再相加 這就是餘數的可加性 除了加法 減法和乘法也可以這樣做 例如要計算剛纔兩個數的差除以9的餘數 由於第一個數除以9餘4 第二個數除以9餘2 4加2等於2 所以它們的差除以9餘2 而在計算它倆的乘積除以9的餘數時 直接把它們的餘數相乘即可 4乘2等於8 說明它們的乘積除以9餘8 以上也叫餘數的可減性與可乘性 熟練掌握這三個方法 在算餘數時可以節省很多功夫 在運算時 有時會出現超過除數的情況 例如計算這個算式除以4的餘數 第一個數目兩位5餘1 除以4餘3 第二個數目兩位8餘6 除以4餘2 第三個數目兩位8餘1 除以4餘1 3乘2加1得7 比4大 所以還要再除以4 7除以4餘3 所以原算式的餘數是3 這說明在結果大於除數時 只要再算一下餘數即可 另外計算時還會出現不夠減的情況 例如計算這個算式除以9的餘數 第一個數的數字核是4 除以9餘4 第二個數的數字核是15 除以9餘6 4減6不夠減 這時只要加上除數 加到夠減爲止 這裏除數是9 所以就加上9 可以算出結果是7 說明原式除以9餘7 上面的例子表明 對加法 減法和乘法 可以先算餘數再計算 這個方法叫做替換求餘 學了替換求餘 如果以後再碰到一個算式要求餘數 先求出每個數的餘數 再計算會節省很多時間 在這個視頻裏 我要專門講講乘方算式的餘數求解 比方說要求5的100次方除以7餘幾 估計你一看就被這個100給嚇到了 其實只要你有點做題經驗就該知道 凡是這種特別大的數都是唬人的 只要你從小到大找規律 就一定可以搞定它 我接下來就把規律找出來給你看 咱就從5的一次方開始吧 5的一次方除以7顯然餘5了 而5的二次方相當於在5的一次方的基礎上 再乘個5 根據餘數的可乘性 餘數也得相應乘5 得5525 可25比7大 所以真正的餘數應該是25除以7餘4 接着再在5的二次方上乘個5 得5的三次方 根據餘數的可乘性 餘數還得相應乘個5 20還是比7大 所以餘數應該是20除以7餘6 接着再在5的三次方上乘個5 得5的四次方 根據餘數的可乘性 餘數繼續乘5 得5630 30還是比7大 所以餘數應該是30除以7餘2 發覺沒 乘方每多乘一個5 餘數也就乘了個5 兩者完全同步 而我並不關心上面這些5的乘方設計 我只關心餘數 所以接下來我只管把餘數不停的乘5就可以了 2再乘5得10 10除以7餘3 3再乘5得15 15除以7餘1 1再乘5得5 餘數就是5 發覺沒 餘數重複了 那這個5的後面是誰呢 顯然還是4 因爲算法上仍然是乘5嘛 跟前面是一樣的 由此可見 再往後就都不用算了 一定和這個週期是一模一樣的 既然5的乘方除以7的餘數是6個餘週期 那要算5的乘方除以7餘幾 就只要知道100次方是一個週期的第幾項就行 100除以6餘4 所以100次方就是一個週期的第四項 餘數正好是2 因此5的100次方除以7就餘2 剛纔這種遊曉大道找規律的算法 其實就是利用乘方餘數的週期性求餘數 在算的時候 最關鍵的一點就是 你只要把餘數部分不停的乘上乘方里的這個乘數 一直乘到你找到規律爲止 至於上面這些乘方具體是幾 你完全不用理會 不過有的時候 疏忽給的比較大 仍然不好算 比如問你75的100次方除以7餘幾 按剛纔的算法 你把5都換成75 就意味着每次都得不停的乘75 也挺麻煩的 那能不能簡單點呢 其實75的100次方就是100個75相乘 而每個75除以7的餘數都是5 根據替換求餘 你可以把這些75都換成5來算 除以7的餘數不變 於是問題就又轉化爲了5的100次方除以7餘幾了 由此可見 當乘方里的這個乘數較大時 得先利用替換求餘把數變小 再進行計算 好了 以上就是週期求餘 當乘方里的乘數較小時 直接從一次方開始找餘數的週期規律即可 如果乘方里的乘數較大 則需要先用替換求餘把數變小 然後再從一次方開始找規律 怎麼樣 明白了嗎 如果明白就自個兒動手試試吧 前面我們學了特性求餘 替換求餘和週期求餘 這三個知識有個共同點 它們都是求餘數的 而這個視頻 咱換個方向 來看一下怎麼求倍除數 如果讓你寫一個除以7餘6的數 那太容易了 6就是嘛 第一個好寫 那下一個呢 下一個加7就行 是13 再加7可以得到第三個20 不停的加7 得到的數都除以7餘6 那如果再加一個條件 這個數還得除以5餘2 那該怎麼辦呢 由於這個數要同時滿足這兩個條件 那咱只要從剛纔寫的那些 第一個6不行 第二個13除以5餘3 不行 往後20也不行 第四個27末位是7 正好除以5餘2 於是這個數最小是27 咱找到了最小的 那下一個又是幾呢 要求下一個 只要給27加上兩個除數5和7的最小公倍數就行 5和7的最小公倍數是35 27加35等於62 這就是第二個 同樣要求第三個 就再加35 得97 不停的加35 就可以得出所有同時滿足這兩個條件的數 那如果這時候再加一個條件 除以3餘1呢 有了剛纔的經驗 我們只要從這些滿足前兩個條件的數里 找出除以3餘1的就行 第一個27是3的9倍 不行 第二個62除以3餘2 也不行 第三個97除以3餘1 好了 就是它 這就是最小的滿足這三個條件的數 有了最小的 如果要算下一個 和前面一樣 只要加除數的最小公倍數即可 357的最小公倍數是105 所以第二個是202 第三個是307等等 以上就是今天要學的求倍除數 也叫物不知數問題 在求解時 一般是從除數最大的條件開始 不斷把其他條件加進來 逐步找出滿足所有條件的數 下面我們再看一個例子 已知一個數除以7餘4 除以5餘3 除以3餘2 首先從最大的除數7開始找 除以7餘4的數有4 11 18 25等 其中第三個數18除以5餘3 滿足第二個條件 於是滿足前兩個條件的數最小是18 接下來加5和7的最小公倍數35 可以得出第二個 18加35是53 而53的數則是8 除以3餘2 正好滿足第三個條件 這樣我們就得出了滿足三個條件的最小數 53 接下來不停的加357的最小公倍數105 就可以得出其他滿足這三個條件的數了 在解這類問題時 一般是從最大的除數開始試 但有兩種特殊情況很好算 如果看到了要特別注意 一個是同餘型 例如一個數除以5餘1 除以3也餘1 這裏的餘數相同 那很顯然 它最小是1 之後不停的加3和5的最小公倍數15 就能得出所有滿足這兩個條件的數了 還有一種是同缺型 例如一個數除以5餘4 除以3餘2 這裏除數和餘數的差分別是5-4和3-2 都是1 說明除數和餘數的差相同 這是把被除數加上1 那麼它除以5和3的餘數也都加1 變成5和3 說明它既是5的倍數 也是3的倍數 最小是15 於是原來的被除數最小是15-1 得是4 之後不停的加15 就可以得出其他滿足這兩個條件的數了 好了 這次的視頻就講到這裏 最後我們來總結一下 在求解物不知數問題時 一般是從除數最大的條件開始 不斷把其他條件加進來 直到找出滿足所有條件的數 如果在條件中有同餘或同缺的條件 那麼可以先考慮這些條件 然後再處理其他條件 好了 接下來繼續做點練習 鞏固一下吧 這個視頻 我們將會學習餘數的最後一講 同餘問題 同餘就是指餘數相同 例如31除以3餘1 16除以3也餘1 因爲餘數都是1 那我們就說31和16對3同餘 同樣 因爲31除以4餘3 23除以4也餘3 那麼31和23就對4同餘 知道了什麼是同餘 那同餘有什麼性質呢 先看第一組 由於兩個數除以3都餘1 那麼用31-16的話 兩個餘1就抵消了 說明差是3的倍數 而31-16等於15 正好是3的5倍 而在第二組中 用31-23得8 也是除數4的倍數 通過這兩個例子可以發現 對同餘的兩個數做差 差正好是除數的倍數 知道了這個結論 那我們就可以在同餘問題中求除數了 例如 以之a大於1 76和37除以a的餘數相同 那麼a是多少呢 由於76和37對a同餘 直接對它倆做差 76-37等於39 根據剛纔的結論 它是a的倍數 那a是39的因數 可以是1 3 13和39 由於題目說a要大於1 所以不能是1 那麼a有三種可能 3 13和39 在上面的例子中 倍除數有兩個 可以直接做差 那如果倍除數比兩個多的話 也同樣是做差計算 例如87 52和31除以a的餘數相同 且a大於1 根據同餘的性質 87-52的差35是a的倍數 52-31的差21也是a的倍數 那麼a是35和21的公因數 因爲35和21的最大公因數是7 所以a是7的因數 可以是1或7 但因爲a要大於1 所以a是7 好了 同餘問題我們就講到這裏 只要碰到同餘 就做差 那麼這個差是除數的倍數 這樣你就能在同餘問題中求出除數了 好了 接下來就是練習時間了 加油賺金幣吧 在這個視頻裏 我們先來簡單說說怎麼求因數個數 大家在取其因數時已經知道 可以通過大小配對的方式 把所有因數都寫出來 比方說30 我們按順序來寫 可以把它分解爲1×30 2×15 3×10 4 哦4不行 30除以4除不進 5纔對 5×6 寫到這就可以打住了 因爲5×6已經挨着了 再往下寫就該輪到6×5 10×3 這就跟上面重了 所以就不用寫了 這樣我們就有了30的全部因數 數一數 1 2 3 4 5 6 7 8 總共8個 剛纔的過程其實就是用每句法求因數個數 這個法子相當於把所有因數寫出來數一遍 雖然很好懂 但相當死板 因爲你得把所有因數都寫出來纔行 因數少了還湊合 多可就麻煩了 比方說3600 它有45個因數 就算你每句神速平均兩毛一個 也得要一分半才能搞定 而且你還得保證 這45個因數一個都不能少 因爲少寫幾個就會少數幾個 這個就要求高了 估計很多人是搞不定的 那有沒有更好的方法 不用每句照樣搞定因數個數呢 答案是肯定的 通過質因數分解以及因數個數公式就可以了 拿3600來說吧 先分解質因數 3600等於60×60 60等於6×10 6等於2×3 10等於2×5 分解到最後就是4個2×2個3×2個5 寫成標準分解式 就是2的4次方×3的2次方×5的2次方 分解完了 接下來套一公式就行 算法如下 把這三個指數都加1 分別是4加1得5 2加1得3 我們把5×3×3這個乘積就是因數個數 算一下 33得9 5945 你看確實是45個吧 來再重複一遍 先把3600質因數分解 得2的4次 ×3的2次 ×5的2次 接着把指數都加1 得533 最後相乘 5×3×3得45 這就是因數個數 你看這個法子是不是比挨個沒拒好多了 如果你擔心這個法子有問題 我們可以把這個法子在30身上再用一遍給大夥瞧瞧 30等於5×6 6等於2×3 所以30分解就是5×2×3 它們都是一次方 我們把這些指數也都加上1 正好是3個2 2×2×2 恰好是8 和剛纔沒去的結果一致 怎麼樣靠譜吧 那這個算法的道理是什麼呢 這個嘛就得留到下一個視頻 公式進階中慢慢給大夥解釋了 現在先動手拿這個公式算幾道題吧 在上一個視頻裏 我們簡單介紹了因數個數公式 就是把一個數先分解 再把它之因數的指數都加1 然後相乘 這個乘積就是因數個數 那這個算法的道理是什麼呢 爲什麼非得把指數都加1呢 爲了回答這些疑問 我接下來就拿3600做個例子給大夥解釋解釋 3600包含三種之因數 我們從中挑出一些數來相乘 就可以構造出3600的因數 比如咱就挑一個2和一個3 乘一乘得6 這就是3600的一個因數 再比如咱不挑2 而是挑出兩個3和一個5 33得9 59 45 這也是3600的一個因數 又或者咱既不挑2也不挑5 就挑倆3 乘起來得9 這也OK 不知道大夥發現沒有 我們在對待235的時候就跟對待積木一樣 隨便挑出幾個來搭配一下 就可以寫出一個3600的因數了 因此 只要搞明白有多少種搭配方法 就知道有幾個因數 那究竟有多少種搭配方法呢 其實主要得看你挑235有多少種挑法了 先看2吧 你可以挑一個2 也可以挑兩2 還可以是3 但最多是4個 因爲3600只有4個2 再多你也挑不出來 那是不是正好是1 2 3 4 4種挑法呢 果料其實還有一種情況 那就是0 因爲你不挑其實也是可以的嘛 所以應該是4加1 總共5種挑法 2搞定了 再看3 因爲3600只有倆3 所以最多隻能挑倆 當然少一點 挑一個或者零個也是可以的 所以最後是2加1 總共三種挑法 同樣的 5也只能挑兩個 一個或者零個 也是三種挑法 這下你知道爲什麼要把指數加1了吧 就是因爲不挑也是可以的 所以得把零的情形也算進去 好了 現在我們知道2有5種挑法 3有3種挑法 5也有3種挑法了 那這三者搭配起來又有多少種呢 這個嘛利用之前學過的乘法原理 把5 3 3乘起來不就o了 所以最後結果就是5乘3乘3等於45 這就是因數個數公式背後的道理 明白了這個道理 我們就可以解決更復雜的問題了 比如問你3600有幾個偶數因數 簡稱偶因數 你現在就可以這麼算 要想構造偶因數 只要保證一定把2挑上就行 只要有2一定是偶數 只要沒2一定是奇數 所以2的挑法就不能包含零的情形 只能是一個兩個三個四個 總共四種 至於3和5嘛 挑不挑都行 因爲它們並不影響奇偶性 所以還是各三種挑法 這樣最後答案就應該是4乘3乘3 總共36個 偶因數會求了 那奇因數咋辦呢 其實很簡單 你挑的時候不挑2 只挑3和5不就行了 那3有三種挑法 5也有三種挑法 最後答案不就是3 3的9 總共9種方法唄 也就是9個奇因數 由此可以看出 如果要考慮的不是所有因數有幾個 而是某類特殊的因數 只要在知因數的挑法上做些變動就可以 就像剛纔要求偶因數呢 就得保證一定得挑2 要求奇因數呢 就得保證一定不挑2 好了 最後總結一下吧 要想理解因數個數公式 關鍵就在於想明白 你是如何將知因數當做積木 搭出形形色色的因數來的 只要想明白這一點 你就知道該如何用乘法原理 算出相應的因數個數了 因數的概念 大夥已經很熟悉 比方說沙 咱可以用大小配對的方式 寫出它所有的因數 分別是1和12 2和6 3和4 再比如30 它的因數分別是1和30 2和15 3和10 以及5和6 仔細瞧瞧 這裏頭是不是有很多重複 像1,2,3,6 這四個數 它們既是12的因數 又是30的因數 所以是雙方公共的因數 這種公共的因數就叫做公因數 在這些公因數中 6是最大的一個 所以也叫做最大公因數 好了 介紹完公因數 接下來該輪到公倍數了 所謂公倍數就是公共的倍數 你看12 它的倍數有24,36,48,60,72等等等等 而30的倍數有60,90,120,150等等等等 在這些倍數中 60就是一個公共的倍數 也就是所謂的公倍數 當然 公倍數並非只有61個 因爲一個數的倍數有無窮多 所以公倍數也是無窮多 比如30的倍數120 其實也是12的倍數 因此也是一個公倍數 再往上 像180,240,360 其實也是30和12的公倍數 不過無論你怎麼往大了寫 在公倍數中一定有一個最小值 像這裏就是60 這個最小值就叫做最小公倍數 最大公因數和最小公倍數是數論中非常核心的兩個概念 所以它們的求解方法也尤爲重要 接下來 我就來說說如何用短除法 迅速求解最大公因數和最小公倍數 就拿剛纔的12和30爲例 我們先把它們寫成一排 並畫上短除號 然後思考一下 12和30能夠同時除以誰呢 2肯定可以 因爲12和30都是偶數嘛 於是寫上2 12除以2得6 30除以2得15 那6和15又能同時除以誰呢 嗯,應該是3 於是再寫上3 6除以3得2 15除以3得5 至於2和5呢 就只能同時除以1了 所以就不用再寫了 我們把左側的2和3乘起來得到6 這就是最大公因數 那怎麼求最小公倍數呢 很簡單 只要把左邊的23和下面的25都乘起來就可以了 23得6 25一時再乘一乘得60 這就是最小公倍數 你看用短除法求最大公因數和最小公倍數還是很方便的吧 在這裏需要專門提一下短除號下面的2和5 這倆數只能同時除以1 除此以外也找不到別的數了 像這樣的兩個數有一個專門的名字來描述它們 叫做互質 互質的倆數還有很多 比如8和9就是互質的 18和25也互質 但20和25就不互質了 因爲它倆還能同時除以5呢 好了 到目前爲止已經介紹了五個新概念以及一個新算法 這五個概念分別是公因數 公倍數 最大公因數 最小公倍數 以及互質 算法則是用短除法求解最大公因數和最小公倍數 東西還是蠻多的 所以趕緊動手做題鞏固一下吧 在之前的視頻 我們學過了最大公因數和最小公倍數 還學習瞭如何利用短除法計算它們 但短除法有時並不好用 尤其當數比較多或比較大時 爲了解決這個問題 這個視頻我們將會學習一個新方法 分解之因數法 看名字就可以知道 使用這個方法時要先把所有的數分解之因數 那分解完以後呢 爲了搞清楚以後怎麼辦 我們先看一個簡單例子 首先看一下怎麼計算最大公因數 360的因數是由235像搭積木一樣拼出來的 700的因數則是由257拼出來的 由於最大公因數要能同時整出360和700 所以只能有它們都有的這因數 也就是2和5 360有三個2 700有兩個2 要想能同時整出它們 2最多隻能有兩個 同樣 360有一個5 700有兩個5 所以5最多隻能有一個 於是最大公因數由兩個2和一個5組成 乘起來等於20 從這個例子我們可以總結出 計算最大公因數時 要先找出所有數公有的質因數 然後在每種質因數中找出次數最小的 相乘就是答案 接下來看怎麼計算最小公倍數 因爲它是360的倍數 所以必須有質因數235 而它也是700的倍數 所以要有質因數257 於是2357都要有 因爲360有三個2 700有兩個2 要想是它們的最小公倍數 2要有三個纔行 360有兩個3 700沒3 所以最小公倍數里還要有兩個3 360有一個5 700有兩個5 於是還得有兩個5 最後 360沒7 700有一個7 所以還要有一個7 於是它們的最小公倍數由三個2 兩個3 兩個5和一個7組成 乘起來等於12600 此時可以總結出 計算最小公倍數時 要考慮所有的質因數 然後在每種質因數中 選擇次數最大的那個相稱 接下來 我們再看一個例子 這個例子要比前面的複雜很多 因爲有三個數 首先把這三個數分解質因數 注意把相同的質因數對齊 先計算最大公因數 找出它們共有的質因數2和5 在2裏面選擇次數最小的 是2的平方 在5裏面選擇次數最小的5 乘起來便可以算出 最大公因數是2的平方乘5等於20 接着計算最小公倍數 第一列選擇次數最大的2的三次方 第二列直接選擇3的平方 第三列選擇5的平方 最後一列選擇7的平方 於是最小公倍數是2的三次方乘3的平方乘5的平方乘7的平方 等於88200 這樣我們就講完了分解質因數法 怎麼樣 搞明白了嗎 如果搞明白了 就去做練習賺金幣吧 上個視頻 我們學習瞭如何使用分解質因數法求最大公因數和最小公倍數 在使用這個方法時 需要先將每個數分解質因數 但並不是每個數都那麼好分解 例如下面兩個數就很難分解 遇到這種情況 分解質因數法也無能爲力 這怎麼辦 不用擔心 這種情況 這是輾轉相處法大顯勝手的時刻 輾轉相處法主要用來計算兩個數的最大公因數 在使用時 先用較大的除以較小的算出餘數 然後用除數繼續除以餘數求出新的餘數 接着再用除數除以餘數不停循環 直到餘數爲零位置 此時的除數就是最大公因數 比方說這兩個數 首先用3139除以2117 傷1於1022 然後用除數2117除以餘數1022 傷2於73 接着繼續用1022除以73 傷14於0 餘數爲0 就此打住 此時的除數73 就是3139和2117的最大公因數 在算出最大公因數後 再利用短除法或分解之因數法 就可以算出它們的最小公倍數 3139除以73等於43 2117除以73等於29 所以它們的最小公倍數是73×43×29 等於91031 無論兩個數多大 用輾轉相處法都可以方便地求出最大公因數 是不是很厲害 這個方法 大家以後在學計算機編程的時候還會見到 到時你可以讓電腦用這個方法快速計算最大公因數 是不是很帥 在之前的視頻裏 我已經講過如何求解公因數公倍數了 在這個視頻裏 我要講講如何利用它們來解決實際問題 老師買了一堆蘋果 這堆蘋果既可以平均分給五個人 也可以平均分給七個人 那麼這堆蘋果會有幾個呢 首先這堆蘋果能夠平均分給五個人 那一定是五的倍數 其次還可以平均分給七個人 那一定也是七的倍數 既是七的倍數又是五的倍數 所以一定是五和七的公倍數 比如35 70等等都是可能的結果 如果要你求這堆蘋果至少有幾個 那其實就是在問五和七的最小公倍數 答案就是35 以上就是公倍數的簡單應用 下面我再帶你一起圍觀一下公因數的應用 老師給大家分水果 45個蘋果平均分給每個人 切好分完 75個橙子平均分給每個人也切好分完 問你一共會有多少人呢 蘋果切好分完 說明蘋果的個數45除以人數能夠除盡 因此人數是45的因數 同理75個橙子能夠分完 說明75除以人數也能除盡 所以人數也是75的因數 既是45的因數又是75的因數 那人數一定是它倆的公因數 45的因數有1 3 5 9 15 45 75的因數有1 3 5 15 25 75 其中1 3 5 15這4個數是45和75的公因數 那麼人數就有可能是1或3或5或15 共有4種情況 不過剛纔這種枚舉的方式有點麻煩 有沒有更簡單的方法呢 答案是肯定的 你只要求出45和75的最大公因數就可以了 用短除法 它倆最大公因數爲15 你接着把15的所有因數寫出來 分別是1 3 5 15 就能得到45和75的所有公因數了 剛纔的例子處理的是恰好分完的情形 如果分完之後還有剩餘又該咋辦呢 那就一起來看一下下面這個例子 老師發水果 共有78個蘋果107個梨 平均分完之後還剩3個蘋果7個梨 而且每種水果都不夠每人再多分一個了 問你一共有多少人呢 78個蘋果還剩3個 說明一共分出去75個 107個梨還剩7個 說明一共分出去100個 由此可見 學生人數既是75的因數也得是100的因數 所以就得是它倆的公因數 根據剛纔的方法 你要先求出它們的最大公因數 算一算得25 然後求出25的所有因數 1 5 25 就得到人數的所有可能了 由於剩下的蘋果和梨都不夠分 所以人數必須比剩下的水果還要多 也就是要大於3和7 所以只可能是25人 以上就是公因數公倍數在實際問題中的應用 怎麼樣明白了嗎 明白就自己動手試試吧 經過前幾次課的學習 大家對最大公因數和最小公倍數已經非常熟悉了 在前面的各種計算中 你可能會感覺它們毫不相干 那這兩個數到底有沒有聯繫呢 說到這兒 我們先回到短處法算一個例子 15和21 它們都是3的倍數 除以3得到5和7 於是最大公因數是3 最小公倍數等於3乘5乘7等於105 而15是3乘5 21是3乘7 仔細觀察 注意看等號右邊可以發現 15和21中共兩個3一個5和一個7 而3和105中也是兩個3一個5和一個7 完全相同 於是它們的乘積都是3乘3乘5乘7 也就是說15乘21等於3乘105 兩數乘積等於最大公因數乘最小公倍數 這個結論揭示了最大公因數和最小公倍數之間的重要關係 如果我們能求出其中一個 那另一個便可以直接算出 例如91和119 容易算出它們的最大公因數是7 然後用91乘119除以7 就可以直接求出最小公倍數 是1547 這裏要注意如果不是兩個數 就沒有這個關係了 例如234的最大公因數是1 最小公倍數是12 但2乘3乘4不等於1乘12 下面我們利用這個結論 來解決兩類常見的數論問題 以至兩個數的最大公因數是1 最小公倍數是72 那這兩個數分別是多少呢 根據上面的結論 這兩個數的乘積等於1乘72等於2的三次方乘3的平方 因爲它們的最大公因數是1 所以這兩個數沒有相同質因數 於是這三個2只能在同一個數里 這兩個3也只能在同一個數里 如果2的三次方和3的平方在一個數裏 那麼它等於2的三次方乘3的平方等於72 另一個數只能是1 如果2的三次方和3的平方在不同的數里 那麼它們分別是8和9 所以此題共兩組答案 在上面的例子中 最大公因數是1 所以最小公倍數就是乘積 但如果最大公因數不是1 那最小公倍數也就不是乘積了 例如下面這個例子 因爲最大公因數是6 所以這兩個數都是6的倍數 假設一個是6的a倍 另一個是6的b倍 有短除法 再加上最大公因數是6可以知道 ab不能再有相同質因數 也就是說ab互質 此時可以算出它們的最小公倍數是6×a×b 根據條件它等於72 所以a×b等於12 於是a×b可以是1×12 2×6或3×4 但其中的2×6不滿足ab互質的條件 所以只有兩種可能 於是元數可以是6×1和6×12 或者是6×3和6×4 也就是6和72 或者18和24 好了 以上就是這個視頻的全部內容 總共有兩點 首先兩個數的乘積 等於它們的最大公因數乘最小公倍數 這裏一定要注意 如果多於兩個數是沒有這個關係的 其次對已知最大公因數返修元數的題目 可以先用最大公因數設出元數 然後再根據條件進行計算 怎麼樣 以上內容搞明白了嗎 明白就動手做點題吧 這次課是公因數和公倍數的最後一講 在這個視頻 我們將更深入地瞭解兩個數 和它們最大公因數最小公倍數之間的關係 按照定義 兩個數的最小公倍數是它們的倍數 而這兩個數又是它們最大公因數的倍數 於是最小公倍數也是最大公因數的倍數 例如40和60的最小公倍數是120 確實是它們最大公因數20的倍數 不僅是最小公因數有這個特點 由於這兩個數都是最大公因數的倍數 所以它們的和與差也是最大公因數的倍數 例如兩個數的差是5 那麼5是它們最大公因數的倍數 於是最大公因數是5的因數 只能是1或5 而兩組數15 20 16 21的差都是5 第一組數的最大公因數是5 第二組數的最大公因數是1 恰好都是5的因數 再例如兩個數的和是49 那麼49是最大公因數的倍數 由於49的因數有1 7 49 但最大公因數顯然不能是49 所以最大公因數只能是1或7 而兩組數21 28 22 27的和都是49 第一組數的最大公因數是7 第二組數的最大公因數是1 恰好都和49有倍數關係 與和差有關的很多數學問題 都可以直接利用這個關係 鎖定最大公因數的範圍 之後做題就簡單多了 下面我們用這些原理來解決一道例題 有四個不同的正整數 它們的和差是253 那它們的最大公因數最大是多少呢 根據剛纔的結論 253是最大公因數的倍數 所以253等於最大公因數乘上一個倍數 要想最大公因數能儘量大 需要後面的倍數儘量小 那最小是幾倍呢 這四個數中 最小的那個至少是最大公因數的一倍 第二小的至少是兩倍 第三小的至少是三倍 第四小的至少是四倍 於是這四個數的和至少是最大公因數的十倍 由於253等於23乘11 所以倍數最小是11 這是原來的四個數 只要分別是23的一倍兩倍三倍和五倍即可 此時最大公因數等於23 是最大的情況 好了 這個問題就講到這裏 最大公因數和最小公倍數在各種考試中都是非常重要的考點 大家一定要好好掌握哦