清華附小數學趣味動畫全集：探索勾股定理、面積計算、排列組合等多個主題，輕鬆學習，提升數學成績！ #清華附小 #數學趣味 #勾股定理 33 五年級數論1（

在整數運算中,兩個整數做加法,減法或乘法結果都是整數 但除法就不一樣了,兩個整數相除傷不一定是整數 例如,5除以2的傷2.5就不是整數 在實際生活中,我們遇到的數多是整數 所以很多時候會希望除得的傷也是整數 例如,6除以3等於2,那6個人就可以平均分成3組 但6除以4等於1.5,也就是說分4組的話每組就是1.5個人 這顯然不可能 像6除以3這種除得進的情況非常重要 所以數學家給它起了一個專門的名字,整除 6除以3除得進,就可以說成3整除6 這裏備除處要放到整除兩個字的右側,大家一定要注意 12除以4等於3除得進,所以4整除12 5除以5等於1也除得進,所以5整除5 這時肯定會有同學抱怨,整除兩個字比劃太多,寫起來好煩啊 其實數學家也喜歡簡單 所以專門發明了一個符號來表示整除,就是一條豎線 例如,3整除6就可以寫成這樣,但還是讀作3整除6 同樣可以寫出4整除12,5整除5 這裏再強調一遍,除出在左,備除在右,千萬不要寫反 還有一點要注意,這條豎線要劃的足夠長,不然容易跟1搞混 除得進叫整除,那除不進自然就叫不整除 例如3除以2傷1於1,除不進,所以2不整除3 10除以4傷2於2,也除不進,所以4不整除10 不整除這幾個字也很難寫 所以數學家就在整除上加一條斜線來表示不整除 於是上面兩個例子就可以簡寫爲2不整除3,4不整除10 以上就是整除的基本概念,我們再重複一遍 只要兩個整數相除,除得進,就叫整除 今天我們來說說質數與和數 那啥叫質數啥叫和數呢? 首先它們都得是整數,其次我們還得從拼圖說起 假如要你有兩個正方形拼一長方形 要求全得用上還不許撕,能拼出多少種形狀呢? 很顯然答案就一種,一乘二嘛 不過好少啊,是因爲給的正方形太少了嗎? 那就多給一張,湊仨試試 於是你拼啊拼啊拼啊拼,可答案還是隻有一種,一乘三 那就再來一張,變四張 哎呀,這回終於有倆形狀了 一乘四和二乘二,看來確實多一點好啊 那就再來一張,湊個五吧 接着你又繼續拼啊拼啊拼啊拼 咦?咋折騰了半天又變成只有一種了呢? 看來不是越多越好 那究竟給你幾個正方形才能拼出多種形狀來呢? 我們大致想象可以想出不少來 比如六,就可以拼出一乘六和二乘三 比如八,就可以拼出一乘八和二乘四 九,可以拼出一乘九和三乘三 十,可以拼出一乘十和二乘五 十二,可以拼出一乘十二,二乘六,以及三乘四 但像七,十一,十三這樣的數 就只能分別寫成一乘七,一乘十一和一乘十三 各一種情況了 根據這個不同我們就把數分成了兩種 像二,三,五,七,十一,十三這種 只能拼出一種形狀來的就叫做質數 像四,六,八,九,十,十二這種 可以拼出多種形狀來的就叫做合數 這就是所謂的質數與合數 當然真的在判斷時沒有必要去擺正方形 拿乘法算一下就可以了 像二隻能是一二得二,三隻能是一三得三 五隻能是一五得五,七隻能是一七得七 像這些數只能寫成一乘一自己就叫做質數 而四還可以寫成二二得四,八還可以寫成二四得八 九還可以寫成三三得九,十還可以寫成二五一十 這些數還能寫成其他乘法算式就叫做合數了 下面我們總結一下 所謂質數就是隻能分解成一乘自己的數 所謂合數就是除了能分解成一乘自己以外 還有別的分解方法的數 當然分解的時候注意必須使用整數 如果把三寫成2乘1.5那是不允許的 不過在這裏有一個非常重要的聲明 那就是自然數1 它長得挺像質數 但其實它既不是質數也不是合數 爲什麼呢 等將來學了質因數分解 待會自然就明白了 大夥學自然數 一開始學的就是數數 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,88888888 現在我們學了質數 那自然就有一個要求 你得會從小到大數質數 不過有同學立馬就問了 自然數有無窮多個 那質數是不是也是無窮多個呢 答案是肯定的 質數確實也是無窮多個 數是數不完的 所以簡單起見 大夥只要能把100以內的質數全都找出來 就可以了 下面我們就來看看怎麼找 這是一張0-99的數表 要找出所有的質數 就是把裏面所有不是質數的數 通通幹掉就可以了 而且乾的時候最好能夠成P成B的幹 這樣比較有效率 好了 咱接着看看 首先把0和1劃掉 這倆數啥也不是 既不是質數也不是合數 不干它纔怪 接下來是2 這個是質數得保留 但像2 2得4 2 3得6 2 4得8 2 5 1 10 等等等等這些2的倍數 那可就都是合數了 所以從2 2得4開始 我們把後面所有2的倍數通通幹掉 不知道大家發現沒有 這麼一來 偶數就通通被劃掉了 除了2以外 再也沒有偶數能成爲質數了 所以2是唯一一個既是偶數又是質數的數 用一句話來說 2是唯一的偶質數 2的倍數幹完 下面就該輪到3了 那從3的幾倍開始劃呢 3的1倍就是3 是質數 這個得保留 3的2倍是6 在剛纔2的倍數里頭已經被幹過了 所以不用再劃了 3的3倍是9 這個還在 那咱就從它開始 9往後應該是3 4 12 怎麼又已經被幹掉了 哦 因爲它是偶數 所有偶數都已經被幹掉了 所以3的偶數倍不用再考慮 只要考慮那些3的奇數倍就行 比如像誰呢 像3 5 15劃掉 3 7 21劃掉 3 9 27劃掉 就這麼一直劃一直劃 一直劃到3的33倍99爲止 3搞定了 接下來更輪到5了 5的話 我們直接從5的5倍開始就行 因爲之前的操作已經把5的2倍10 5的3倍15 5的4倍20 統統都給幹掉了 我們就從5 5 25開始 劃了25 下一個應該是5 7 35 再接下來分別應該是 55 65 85 95 咋都是5結尾的 這不顯然嘛 5的倍數當然是5結尾的 也不完全 還得有0結尾的 不過0結尾的都是偶數 早就被幹掉了 好了 5很快搞定了 接着該輪到7了 7的倍數划起來是不是比5還快呢 呵呵 你們猜對了 跟5類似 我們直接從7的7倍開始就行 因爲7的2倍3倍4倍5倍6倍 早就在剛纔的操作中被幹掉了 所以咱從7 7 49開始劃就行 劃完49之後 究竟還有哪些7的倍數得劃掉呢 你稍微觀察一下就會發現 其實只剩倆了 一個是7的11倍 77 一個是7的13倍 91 好 7搞定了 該輪到11了 11也一樣 只要從11的11倍開始就行 誒 不過11的11倍是121 已經超出100了 這說明什麼問題呢 說明100以內該幹掉的都已經被幹掉了 沒的可劃了 剩下的應該全是質數了 來來來來來 咱們趕緊圍觀一下 看看到底哪些是質數 從最小的開始 最小的是2 接着是3 然後是5 然後是7 然後是11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 最小是2 最大是97 從小到大數一數 總共會是25個質數 所以100以內總共有25個不同的質數 那這些質數當中 規律性還是很明顯的 你看絕大部分都是 97 31結尾 好像2結尾的只有21個 5結尾的也只有5一個 那從這個規律當中 你大致也會感覺出來 見到7 9 3 1這樣的數 很容易就會感覺它是一個質數 那這種感覺 往往會造成一些比較有問題的東西 這是什麼呢 就是把一些合數誤認爲是質數 我下面就要舉四個例子 這四個例子是100當中 你們非常容易誤以爲是質數的數 比如像51 像57 像87 像91 這四個數其實都是合數 前三個而且還都是三個倍數 5加1是6 6除以3顯然除得盡 所以51除以3也可以除得盡 57是5加7 等於12 12除以3除得盡 所以57除以3也除得盡 87呢是8加7得15 那這個15除以3是除得盡的 所以87除以3也能除得盡 至於這個91其實等於7乘13 它也是一個合數 這四個合數一定小心 不要把它認成是質數了 關於100以內的質數呢 我們今天就講這麼多 首先第一個要你們掌握的是25個質數 你們要能寫得出來 這25個質數要熟練到能倒背如流 不信你可以試着從大往小地去背 第二件事情呢 你要明白2是唯一的一個偶質數 在所有的偶數當中 2是唯一的質數 而在所有的質數當中 2是唯一的一個偶數 第三件事情是要認清這四個數 51 57 87 91 千萬不要把它誤認爲是質數 好了 關於100以內的質數就講這麼多 大夥趕緊練習練習鞏固一下吧 在之前的視頻裏我們已經介紹過 通過分解可以得到一個自然數的因數 比如把100分解爲10乘10 10就是100的因數 不過這樣的分解並不徹底 因爲10還能繼續分 比如分解爲2乘5 所以怎樣把分解進行到底 自然就成爲大夥關心的問題 要回答這個問題 首先得明白怎樣纔算分解到底 就來剛纔的例子來說 把10繼續分解得到2乘5 於是100就等於2乘5乘2乘5 那2和5還能分嗎 因爲它們都是質數 所以要分也只能分解爲1乘2和1乘5 可一旦1出現問題就來了 1的個數可以任意多 可以是1個1 也可以是2個1 還可以是3個1 等等等等 這樣一來分解就沒完沒了 更別提什麼分解到底了 因此像1乘2 1乘5這種 用到1的分解絕對不能出現 只要分解到2和5這樣的質數就OK了 所以所謂分解到底 就是分解到質數爲止 像以上這種把自然數分解爲1系列質數相稱的做法 就叫做質因數分解 不過剛纔這個分解式啊 有那麼點亂 咱還得整理一下 把2都放一起 5都放一起 寫出來就是2乘2乘5乘5 這樣看起來好多了 不過可以再精練一點 那就是用乘方 像這裏 兩個2連乘 咱就記爲2的二次方 兩個5連乘 咱就記爲5的二次方 這樣100就等於2的二次方乘以5的二次方 這樣子寫總算是簡單明瞭了 這種把同種質因數合併起來 寫成乘方的寫法 是質因數分解的標準寫法 大夥今後寫分解式 一定要按照這個規矩寫哦 絕對不能把質因數散着放 講到這兒 有的同學可能會覺得分解的要求和步驟太多了 能不能簡單點呢 當然可以 用短除法就很方便 就那180來說 要把它進行質因數分解 咱先寫個L型的短除號 然後再想想它出於哪個質數可以出現 2應該可以 咱就在短除號的左邊寫上2 180除以2 傷90 這個傷就寫在短除號的下方 接着再看90 90可以出於哪個質數呢 3應該可以 那就除以3吧 90除以3得30 30還可以除以質數3 得到的傷爲10 10呢還可以除以質數5 得到的傷爲2 2已經是質數了 所以到此爲止 從上到下的這幾個質數 就是180所有的質因數 數一數正好是兩個2 兩個3 一個5 所以180就等於2的二次方乘以3的二次方乘以5 你看還挺簡單的吧 以上就是質因數分解 大夥聽明白了嗎 明白就動手試試吧 質因數分解大夥已經學過了 它給大夥帶來的不僅僅只是一個算法 而是一種看待自然數的觀念 以前看到10那就是10 現在有了質因數分解 我們看到10就想到2乘5 而2乘5就是10的組成結構 它告訴我們 只要一個2和一個5就能組成一個10 所以掌握質因數分解就好比有了一把手術刀 能幫我們更精準地剖析自然數的內部結構 今天我們就要發揮一下這把手術刀的威力 這是一個把22一直乘到29的連乘式 要比算出它的答案那還是蠻囉嗦的 但如果要問你 答案的末尾有幾個連續的0 那幾乎不怎麼動筆都可以 爲什麼呢? 就憑10等於2乘5 只要乘數中含有質因數2和質因數5 每一對25相乘就會在末尾產生一個0 所以我們只要分析乘數里面質因數2和5的個數就可以了 像這裏只有25含5 那我們就把它分解爲5乘5 然後把這倆5寫到後頭 有了倆5還得配上倆2 2多的是像2428都有不少2 隨便弄倆就行 那就讓28給吧 它正好是7乘2乘2 不多不少兩個2 再把7寫前頭 兩個2寫後頭 怎麼樣? 現在看得出來乘機末尾有幾個連續的0嗎? 對了 就是倆0 前面這一大串雖然不知道它是幾 但可以肯定的是 它的末尾絕對不是0 因爲這裏頭已經沒有質因數5了 光有一堆的2 怎麼乘也乘不出10了 而後面的5252正好配成兩對 每對都乘出一個10 在尾巴上正好能添倆0 你看我們不用算出最後答案 也能迅速搞定末尾0的個數吧 你只要搞定2和5的個數就行 類似的例子還有很多 像把1一直乘到2014 求它末尾有幾個0 同樣可以用2和5的個數來搞定 其實吧連2都可以不用管 只要看5就行 因爲2的個數肯定比5多 求5的個數不就完了 但究竟怎麼求呢 在這裏得給大夥介紹一個簡單實用的方法 叫做乘除法 方法如下 我們把2014先除以5 商爲402 餘數不管 再把402除以5 商爲80 餘數同樣丟掉 然後把80除以5 商爲16 16再除以5 商爲3 3比5小 就此打住 接着我們把這幾個商加起來 402加80加16加3等於501 這就是1一直乘到2014所含5的個數 怎麼樣是不是很簡單 那究竟是什麼道理呢 時間關係 這就沒法多說了 關於乘除法 將來還會有個單獨的視頻來詳細講解 大夥現在只要知道怎麼用就行 在用的時候 有兩個地方特別需要注意 首先這串連乘的自然數必須從1開始 如果是從什麼8 9啊10啊開始 那就不能直接用了 其次這串數還得是連續自然數纔行 比如像1乘3乘5乘7乘9這種奇數連乘 也不能直接用 好了 這個視頻的內容就到此爲止了 大夥看完之後一定得明白兩件事 第一乘積末尾0的個數 只跟算式所含質因數2和5的個數有關 有幾對2和5 末尾就會有幾個0 第二 對於從1開始的自然數連乘 質因數5的個數 可以用乘除法迅速算出 明白了這兩點 就可以趕緊開始動手試試了 上次課我們學習了整除的概念 判斷兩個數能否整除可以直接做除法 例如143除以11.13 所以143能被11整除 211除以13等於16於3 所以211不能被13整除 看來判斷整除挺easy的 但如果你覺得這樣可以解決所有問題 那就大錯特錯了 例如100個9能不能被13整除 這個除外數是可要做死人了 那有沒有判斷整除的簡單方法呢 在下面這對數中 你能不能一眼看出來誰能被2整除 誰不能被2整除呢 很明顯 60 250 314 368 682和846的個位都是雙數 自然能被2整除 而75 89 113 181 427和465的個位都是單數 所以不能被2整除 同樣這對數 你能不能也一眼看出來哪些數能被5整除呢 很簡單 60和250的個位是0 75和465的個位是5 都能被5整除 看來判斷2或5的整除性只需要看個位即可 一眼就能搞定 那有沒有需要兩眼才能看出來的 也有 4和25 例如3412可以寫成3400加12 3400等於34個100 所以3400既能被4整除 也能被25整除 於是3412能不能被4或25整除只需要看12 12除以4等於3 所以能被4整除 12除以25除不盡 所以不能被25整除 同樣 1450等於1400加50 莫兩位是50 50除以4除不盡 所以1450不能被4整除 但50除以25等於2 所以能被25整除 4和25的整除性只需要關注莫兩位 看來確實只要看兩眼就行 看在這裏 有同學自然就問了 有沒有需要三眼才能看出來的 還真有 8和125 例如29160的莫三位是160 160能被8整除 但不能被125整除 所以29160也能被8整除 但不能被125整除 31500的莫三位是500 500能被125整除 但不能被8整除 所以31500也一樣能被125整除 但不能被8整除 於是我們知道了 有時候判斷整除性只需要看莫幾位 25看莫位 425看莫兩位 8125看莫三位 繼續下去的話 16625看莫四位 32和3125看莫五位等等等等 其中小學常用的只有前三個 學會了這些 當你的小夥伴還在很費勁的 列數式找答案的時候 你只用你犀利的眼神就看出了答案 是不是很拉風 上次課我們學習了莫位判別法 學會了如何判斷一個數 能不能被2 4 5等數整除 今天我們將學習一個新的方法 來把2和4中間的3搞定 那什麼樣的數可以被3整除呢 爲了回答這個問題 我們先列幾個能被3整除的數 看看有什麼規律 369比較簡單 342 3515 3618 3721 3824 3927 繼續的話 30 33 36等等 這些數都能被3整除 我們來看看它們有什麼特點 橫着看似乎沒有什麼 那我們換個角度 豎着看看 第一列的數是3 12 21和30 咦 好像都和3有關係 1加2等於3 3加0等於3 果然這些數的數字盒都是3 第二列是6 15 24和33 數字盒恰好都是6 第三列是9 18 27和36 數字盒都是9 而369都能被3整除 說明這些能被3整除的數 數字盒也能被3整除 這是巧合嗎 那我們就再找幾個數 看看是不是也有這個規律 例如192和3615 192除以3等於64 數字盒是1加9加2等於12 能被3整除 3615除以3等於1205 而數字盒是3加6加1加5等於15 也能被3整除 看來這並不是巧合 於是我們發現 能被3整除的數 數字盒同樣能被3整除 這個特點給了我們一條捷徑 只要一個數的數字盒能被3整除 這個數就能被3整除 例如4275的數字盒是18 能被3整除 所以4275也能被3整除 通過列數式可以發現 4275確實能被3整除 反之 如果一個數的數字盒不能被3整除 那這個數也就不能被3整除 例如3121的數字盒是7 不能被3整除 所以3121也就不能被3整除 通過列數式可以發現 3121除以3於1 確實不能整除 所以判斷3的整除性 只需要看數字盒能不能被3整除 除了3 9的整除性也可以用數字盒判斷 例如153 數字盒是1加5加3等於9 能被9整除 所以153也能被9整除 而131的數字盒是1加3加1等於5 不能被9整除 所以131也不能被9整除 以上就是整除中的數字求和法 只需要看一個數的數字盒 能不能被3或9整除 就可以判斷出這個數 本身能不能被3或9整除 好了 我們就先講到這裏 在下段視頻裏 我們還會學習一個 判斷3和9整除性的方法 現在趕緊去做練習吧 上次課我們學習了數字求和法 瞭解到判斷一個數 能否被3或9整除 只需要看它的數字盒 能不能被3或9整除 例如31521 數字盒是3加1加5加2加1等於12 於是可以判斷出 31521能被3整除 但不能被9整除 數字求和法簡單實用 但也不是無敵的 比如下面兩個數 用數字求和法判斷 能否被9整除就非常麻煩 因爲數字求和法不夠強大 所以今天我們學習兩個新方法 棄9法和亂切法 先說棄9法 棄9 顧名思義就是把9丟掉 指的是把一個數合爲9的數字丟掉 例如54182 因爲5加4等於9 1加8等於9 於是可以把5418劃掉 這時還剩下2 說明這個數不能被9整除 再例如135279 因爲1加3加5等於9 2加7等於9 所以可以把這些數字劃掉 而9也可以劃掉 此時什麼都不剩 說明原數能被9整除 回到剛纔的例子 我們來用棄9法判斷 上面的數能否被9整除 記住 只要看到合爲9的數字 就把它們劃掉 8加1等於9 劃掉 9劃掉 後面 7加2等於9 6加3等於9 5加4等於9 3加6等於9 2加7等於9 都劃掉後還剩下6 說明這個數不能被9整除 但能被3整除 而它的數字和69 也表明這個結果是正確的 而對下面這個數 棄9法也無能爲力 因爲它數字太多 多的都得用省略號 這樣的數我們可以用亂切法對付它 什麼是亂切法 就是把一個數 隨意地切成幾段 再求和 然後只需要判斷 和能否被3或9整除即可 例如1234 我們可以把它切成 1 2 3 4 這相當於算數字和 也可以切成 1 23和4 也可以切成 12 3和4 還可以切成 1和234 無論哪種切法 都可以判斷出 1234不能被9整除 雖然叫亂切 但在使用時 通常是按照規律來切 回到前面的例子 通過觀察可以發現 這個數是把1到100 寫成一行得到的 那麼可以把它切成 12345 一直到100 1到100的和是5050 而5050的數字和是10 不能被9整除 所以元數1 不能被9整除 怎麼樣 是不是很厲害 下面我們來總結一下 判斷一個數 能否被3或9整除 除了數字求和法 還可以使用棄9法和亂切法 棄9法的核心思想 是把和爲9的數字去掉 然後看剩下的部分 能否被3或9整除 而亂切法則是 把數按照規律 切成若干段 再求和 然後判斷和 能否被3或9整除 當數字很少時 可以直接算數字和 稍微多點的話 可以用棄9法 如果多到了出現省略號 那麼亂切法會更好用 9的整除性 可以通過數字和來判斷 那99和999的整除性 能否也通過某種和來判斷呢 答案是肯定的 下面我們就來仔細講講 究竟要的是什麼樣的和 首先來說99 給你一個6位數 208791 要判斷它能否被99整除 只要把它從右往左 兩位兩位斷開 變成一系列兩位數 求這些兩位數相加所得的和 就可以了 像這裏 就是把208791相加 個位是7加1得8 十位是2加8得10 再加9得19 正好是198 我們只要知道 198能否被99整除 就知道原來那個6位數 208791 能否被99整除了 那我們來算一下吧 198除以99 等於2 誒 正好能被99整除 這說明208791 也一定能被99整除 如果你不信 咱可以拿計算器再按一下 208791除以99 等於2109 你看 商市整數確實能除淨吧 剛纔這種用兩位斷開 再求和的方式 來判斷99整除性的方法 就叫斷開求和法 斷開的時候 有些注意事項 得跟大家強調一下 首先是斷開的方向 必須是從右往左 絕不能搞反 比如把五位數10295斷開 正確答案應該是 95 021 如果你從左往右斷開 就變成10295了 這就完蛋了 另外斷開未必都是兩位數 像11只有一位 所以只能寫成一位數1 而02的首位爲0 寫成02 其實也只有一位 這些地方都得要注意 好了 99的兩位斷開講完了 接下來該說999了 其實999和99差不多 只要把剛纔的兩位斷開 改成三位斷開 其他照舊就可以了 還是拿208791來說 把它從右往左三位斷開 得倆三位數 791 208 咱列個數式給加一下 1加8得9 9加0得9 7加2也得9 正好999 能被999整除 所以208791 也就能被999整除 至此 我們已經學完 999999 這三個數的整除性判別法 它們都是用求和的方式來解決的 9是求數字和 相當於一位一位斷開再求和 99是兩位數 所以是兩位兩位斷開再求和 999是三位數 所以是三位三位斷開再求和 怎麼樣 是不是很有規律 那4個9又怎麼樣 5個9又如何呢 我估計大家已經猜到了 4個9 就應該是四位斷開再求和 5個9 就應該是五位斷開再求和 總之有幾個9 就是幾位斷開再求和 這麼強的規律 究竟背後有什麼道理呢 這個大夥不用急 等將來學的語數問題自然就明白了 不過最後還得再強調一句 不管你是幾位斷開 方向一定得從右往左 千萬不要搞反 好了 斷開求和法講完了 大夥明白了嗎 11整除性的判別方法相對複雜一些 因爲它既有加法也有減法 在詳細講解之前 我們先熟悉兩個概念 多位數的幾位與偶位 寫出一個多位數106392 把它的數字從右往左依次編號 分別記爲第一位 第二位 第三位 第四位 第五位 第六位 像第135位這種編號爲奇數的位置 就叫做奇數位 簡稱幾位 像第246位這種編號爲偶數的位置 就叫做偶數位 簡稱偶位 注意這裏幾位和偶位是指編號的既有性 而不是數字本身的既有性 像數字2雖然是偶數 但因爲編號爲1 所以仍然是幾位數字 我們把幾位數字全加起來得到的和 就叫做幾位和 簡寫爲Sg 把偶位數字全加起來得到的和 就叫做偶位和 簡寫爲So 比如這裏的幾位和就等於2 加3 加0 等於5 偶位和就等於9 加6 加1 等於16 我們只要把幾位和與偶位和相點做差 這個差能否被11整除 就決定了原來的多位數能否被11整除 比如這裏的幾位和是5 偶位和是16 所以幾位和與偶位和的差就等於16-5 得11 11顯然能被11整除 所以原來的6位數也就能被11整除 這個方法就是今天我們要講的 幾偶位差法 我們把這個過程再回顧一遍 首先把多位數從右往左依次編號 然後再把幾位數字相加得幾位和 偶位數字相加得偶位和 再求幾位和與偶位和的差 拿這個差去除以11 看能否整除即可 如果能整除 說明原來的多位數也就能被11整除 如果不能整除 說明原來的多位數也就不能被11整除 這就是幾偶位差法 同學們會算了嗎 如果給你一個三位數314 讓你判斷它能不能被7整除 那你只要列個數式除一下就行 但如果給你的不是三位數 而是一個把3-14寫成一排的是7位數 你還想列數式嗎 我估計大多數人都會冒出一個想法 如果有簡便算法該多好 嘿嘿恭喜你 這個算法是有的 下面我們就來說一說 這個算法叫三位結斷法 總共分爲三步 第一步是斷開 第二步是求和 第三步是做差 咱一步步來說 先說斷開 把這個多位數從右往左三位三位斷開 第一段是314 第二段是121 第三段是11 第四段是891 第五段是567 第六段是34 其中第一段 第三段 第五段 因爲編號爲奇數就叫做奇數段 而第二段 第四段 第六段 因爲編號爲偶數就叫做偶數段 得到一系列奇數段與偶數段之後 就該輪到第二步求和了 那求的是什麼和呢 求的就是奇段和與偶段和 所謂奇段和 就是把奇數段相加所得的和 像這兒 就是把567 加上11 加上314 算一下等於892 所謂偶段和 就是把偶數段相加所得的和 像這兒 就是把34 加891 加121 算一下等於1046 好 求和完畢該輪到做差了 那求的又是誰和誰的差呢 估計有人已經猜到了 就是剛纔求的奇段和與偶段和的差 咱們把這倆和放一塊看誰大 拿大的去減小的就成 在這兒 就是1046-892 算一算正好等於154 這個差154 就是最終被用來判斷整除性的 如果他能被7整除 那原來那個多位數也就能被7整除 如果他不能被7整除 那原來那個多位數也就不能被7整除 咱們趕緊來除一下吧 154除以7 上2得14 減一減得1 14再除以7 正好上2 2714餘威靈 正好整除 這說明原來那個多位數也能被7整除 以上就是三位截斷法 這個方法是目前爲止 大夥學過最麻煩的一個判別法 保險起見咱們趕緊回顧一下 免得忘了 第一步是斷開 從右往左三位三位斷開 得到了一系列奇數段與偶數段 接着是求和 把奇數段相加偶數段相加 分別得到奇段和與偶段和 最後是做差 把剛剛算出來的奇段和與偶段和相減 大減小得到差 拿這個差去除以7 看是否整除 就可以斷定原來那個數能否被7整除 總之是三步 斷開 求和 做差 好了 方法就講到這 大夥趕緊動手試試吧 在上一段視頻裏 我們學習了三位截斷法 這個方法不僅對7管用 對13也一樣奏效 比如給你一個五位數51062 要想知道它能不能被13整除 只要把它從右往左三位斷開 然後把基段偶段減一減 用這個差來判斷就可以了 來咱們一塊算一下 基段等於62 偶段則是51 62-51 差爲11 11除以13顯然除不盡 所以原來那個五位數也不能被13整除 好了 三位截斷法到現在算是些完整了 它既能用來判斷7 又能用來判斷13 貌似挺強大的 就是步驟有點多 算起來有點煩 解決五位數貌似還成 如果要解決一道這樣的問題 估計很多人都要崩潰了 要判斷這個6000多位的傢伙 能不能被7或13整除 哎呦的媽呀 甭想了 還是直接蒙吧 其實大夥不用那麼悲觀 這個數只是長得嚇人而已 前面這一大串250 其實可以一個不留 全部刪掉 爲啥呢 因爲每兩250所組成的六位數 250 250 一定能同時被7和13整除 不信咱除一下 25除以7 上3得21 減一減得4 40除以7 上5得35 減一減得5 52除以7 上7得49 減一減得3 35除以7 上5得35 怎麼樣 果然整除了吧 其實13也一樣整除 這就不細算了 那整除意味着什麼呢 意味着剛纔這段除法 沒有任何餘數 而沒有任何餘數 就意味着對後面的除法 也不會有任何影響 後面的除法過程 相當於完全重新開始 究竟除成啥樣 最後能不能整除 跟前面這段也沒啥關係 既然如此 我們乾脆把它劃了得了 反正也不影響最後的結果嘛 好 那這樣兩個250就被幹掉了 那接下來兩個250呢 顯然他們一樣能劃呀 道理是一樣的嘛 於是這一大串250 就這樣兩個兩個的劃掉了 怎麼樣 劃得很爽吧 2000個250 正好可以兩個兩個劃完 最後就剩一91了 能不能整除 就取決於它 那咱來瞧瞧 看91行不行 其實很巧 91正好是7×13 既是7的倍數 又是13的倍數 所以原來那個多位數 既能被7整除 又能被13整除 到此 問題解決 剛纔這個問題解決的關鍵 就是250 250 能被7和13同時整除 其實你把任何一個三位數 ABC連寫兩遍 所得的六位數 ABC ABC 都能被7和13同時整除 因爲這種形式的數 奇數段與偶數段永遠相等 都是ABC 兩者的差始終是零 零起來能被7和13同時整除了 所以ABC ABC 也就能被7和13同時整除 以後再看到這種數 大夥兒只管劃了就是 那除了ABC ABC 這種形式的數以外 還有沒有別的數呢 答案是肯定的 還有兩種 一種是把一個兩位數連寫三遍 類似12 12 12這種 AB AB AB類型的數 另一種就是把一個四位數連寫三遍 類似2014 2014 2014這種 ABCD ABCD ABCD類型的數 像這個有八個連續的12 那你就三個三個的劃 123一劃 劃掉六個以後 就剩兩12 簡單多了吧 再比如這個 有七個連續的2014 那你也一樣三個三個的劃掉 123一劃 劃掉六個 剩下一個2014 也簡單不少吧 好了 講差不多了 我們再把這三種情況重複一遍 第一種是ABC ABC 一個三位數連寫兩遍 第二種是AB AB AB 把一個兩位數連寫三遍 第三種是ABCD ABCD ABCD 把一個四位數連寫三遍 大夥可千萬要記住哦