啟蒙奧數動畫全集教程：從"牛吃草問題"到"旋轉體問題進階"， #包括行程問題、 #比的概念、 #排列組合等， #一站式數學學習平台！ #十字交叉法, #最佳會合點, #往返接送, #多邊形角度 41 五年級幾何1

在四年級,我們已經學過很多直線形的面積計算方法 像長方形面積就等於長乘寬 正方形面積就等於邊長的平方 也等於對角線的平方除以2 平行四面形面積等於底乘高 三角形面積等於底乘高除以2 梯形面積等於上底加下底乘以高除以2 另外還有正方形隔點面積公式 內點加邊點的一半再減1 這些算法各有不同 但都有一個共性 就是它們都在利用面積公式進行求解 所以用一句話來講 這些方法都屬於公式求解 而五年級的直線形計算不是這個路數 它更多的是在利用圖形間的關係進行求解 所謂關係就是和差關係與倍數關係 比方說這是一個三角形 我告訴你左邊這部分面積是1 右邊這部分面積是2 那總面積就是1加2等於3 這就是和差關係 再比如這是一個面積爲2的紅色長方形 它右側這個綠色長方形寬和它一樣 但長是它的三倍 所以綠長方形的面積也是它的三倍 等於2乘3得6 這就是倍數關係 五年級幾乎所有的直線形計算 都是依靠類似這種和差倍關係的分析來進行求解的 所以用一句話來概括 那就是關係求解 從今天開始 大家就必須把分析重點放在圖形與圖形之間的關係上了 這是今後直線形計算的關鍵 希望大家牢牢記住 接下來我們就先來講一類最簡單的關係 長方形中的倍數關係 剛纔那個紅綠長方形的例子就很有代表性 兩個I字的長方形有一條邊相同 但另一條邊不同 那它們的面積倍數就等於這另一條邊的長度倍數 比方說這兩條邊的長度是三倍關係 那它倆的面積也就是三倍關係 反過來它倆的面積是三倍關係 那這兩條邊的長度也就是三倍關係 在剛纔這個例子裏 長度倍數與面積倍數可以相互轉化 其實面積倍數之間也是可以相互轉化的 比如這是一個長方形 它被橫一刀豎一刀分成了四個小長方 其中三塊的面積分別爲4,6,10 那第四塊藍色長方形是什麼面積呢 你看綠色長方形與紅色長方形是挨着的 所以它倆的面積倍數就等於這兩條邊的長度倍數 算一下等於6除以4得1.5 而這兩條邊的長度倍數 其實也等於藍色長方和紫色長方的面積倍數 所以藍色長方面積也就是紫色長方面積的1.5倍 等於10乘以1.5得15 你看我們把綠色與紅色長方的面積倍數 轉化爲了藍色與紫色長方的面積倍數 所以將這樣相互挨着的四個長方形 其面積倍數也是可以相互轉化的 上述兩類倍數關係的轉化方式就是長方形中的簡單倍數關係 下面再回顧一下 兩個挨着的長方形 其面積倍數就等於另一條邊的長度倍數 而四個挨着的長方形 上面這倆的面積倍數就等於下面這倆的面積倍數 怎麼樣 明白了這裏面的倍數關係了吧 如果明白就趕緊動手做點題吧 上一個視頻咱學了燕尾模型 SE比S2等於BD比DC 燕尾模型看着很漂亮 那它啥時候用呢 在三角形ABC中畫一對交叉線AD和BE 這種三角形裏有一對交叉線的圖形 就是燕尾模型大顯身手的場所 以知BD比DC等於2比1 AE比EC等於1比2 三角形AOB面積是6 那麼四邊形EODC的面積是多少呢 首先把OC連起來 這樣圖中就出現了兩個燕尾 分別是這個和這個 在第一個燕尾中 AOB和AOC的面積比 等於底邊上的BD比DC 也就是2比1 所以AOC的面積是AOB的一半 也就是3 然後在AOC中應用等高模型 上下兩個小三角形的面積比 等於底邊AE和EC的比 是1比2 所以AOE的面積是1 EOC的面積是2 接下來我們用第二個燕尾 AOB和BOC的面積比 等於AE和EC的比 是1比2 所以BOC的面積是AOB的兩倍 是12 然後因爲在BOC中 左右兩個三角形的面積比 等於BD比DC 也就是2比1 所以左邊是8 右邊是4 於是四邊形EODC的面積是2加4 等於6 在上面的球鞋中 我們不僅用到了兩個燕尾模型 還用到了兩個等高模型 實際上 在這裏每個線段比都對應着三個面積比 比如BD比DC 由燕尾模型它等於上面兩個三角形的面積比 而根據等高模型 它等於左右兩個大三角形的面積比 還等於下面兩個小三角形的面積比 那麼在解題時 如果你在某個地方卡住了 不知道接下來怎麼做 一定要看看圖中 還有沒有你沒用過的面積比 上面的例子中 AOB的面積已知 於是可以直接用燕尾模型求解 如果條件中沒有給AOB的面積 就要先把AOB的面積設爲合適的份數 然後再用燕尾模型求解 例如 已知BD比DC等於3比1 AE比EC等於2比3 在第一個燕尾中 左右的面積比是3比1 所以需要把AOB設爲3的倍數 然後在第二個燕尾中 這兩個的面積比是2比3 於是需要把AOB設爲2的倍數 那隻要設AOB是6份 接下來就可以用燕尾和等高 算出其他所有部分的面積了 在上面兩個例子中 已知的兩個線段比AE比EC和BD比DC 都在三角形的外圍 叫外比 而圖中還有兩對線段比 AOBOD和BOBOE 它們在三角形的裏面 叫內比 這個視頻我們講了已知兩個外比的情形 在下一個視頻裏 我們將會學習已知一個外比 和一個內比的情形 敬請期待 在上次的視頻中 我們學習了這個圖形中已知兩個外比的情形 那這個視頻 我們就來學習已知一個外比和一個內比的情形 在圖中 BD比DC等於2比3 AOBOD等於2比1 三角形AOB面積爲24 那麼EODC的面積是多少呢 和上次一樣 首先要把OC連起來 因爲AO比OD等於2比1 所以左邊兩個三角形的面積是兩倍關係 於是BOD的面積是12 再根據BD比DC等於2比3可知 下面兩個三角形的面積也是2比3 左邊的面積12是2的6倍 於是右邊的面積是3的6倍 等於18 而右邊兩個三角形的面積比 也是AO比OD等於2比1 所以AOC的面積是DOC的兩倍 等於36 題目問EODC的面積 那還需要知道OEC的面積 這怎麼求 注意到我們還沒有用過燕尾 那就看看在這個燕尾中 我們能知道什麼 上面的面積是24 下面的面積是12加18等於30 面積比是24比30等於4比5 於是AE和EC也是4比5 那有等高模型可以知道 AOE和EOC也是4比5 因爲它們的面積合是36 根據按比分配 上面的面積是16 下面是20 那麼EODC的面積是20加18 等於38 至此我們就算出了四邊形EODC的面積 在這裏最關鍵的一步是利用這個燕尾 返修AE和EC的比 然後再利用等高模型計算AOE和EOC的面積 所以如果你在解題時被卡住了 一定要去看看每個燕尾和每個等高 你是否都用過了 這樣就能找出下一步突破口 本題中已知AOB的面積 可以直接用等高算出這三塊的面積 如果條件沒有給出它的面積 就要先把它設爲合適的份數 然後再計算 例如已知BD比DC等於3比5 AO比OD等於2比1 因爲左邊兩個三角形的面積比是AO比OD 等於2比1 所以要把AOB設爲2的倍數 又因爲AOB比AOC等於BD比DC是3比5 所以要把AOB設爲3的倍數 於是可以設AOB是6份 然後根據這個比 可以算出OBD的面積是3份 再根據BD比DC 可以算出ODC是5份 最後由AO比OD等於2比1 知道AOC是10份 接下來再用這個燕尾 就可以算出AE比EC 也就能算出AOE和EOC的份數了 好了 今天的一外一內的情形就講到這裏 趕緊去做做練習 鞏固下吧 這次咱要學的視頻和上次一樣 都是學習這個圖形中 已知一外比和一內比的情形 那這個視頻和上個視頻有什麼區別呢 上個視頻我們學的一外一內 已知BD比DC和AO比OD 這兩條線段組成了一個倒置的T字 而這次我們學習的一外一內 已知BO比OE和BD比DC 這兩條線段組成了一個角 這就是兩者的區別 已知BD比DC等於2比3 BO比OE等於2比1 三角形AOB面積爲20 那麼四邊形EODC的面積是多少呢 和之前一樣 首先要把OC連起來 因爲BD比DC等於2比3 所以在這個驗位中 左右的面積比也是2比3 左邊是20 那麼右邊是30 又因爲BO比OE等於2比1 根據等高模型 AOE的面積是AOB的一半 是10 那麼EOC的面積就是30-10 等於20 接下來 在這個等高模型中 兩個三角形的面積比等於BO比OE 也就是2比1 所以下面這個三角形的面積是20的兩倍 等於40 最後 在這個等高模型中 左右的面積比是2比3 根據按比分配 左邊是16 右邊是24 所以四邊形EODC的面積是20加24 等於44 在這個例子中 AOB的面積已知 可以直接算出其他部分的面積 但如果題目沒有告訴AOB的面積 就得先設出它的份數 再計算了 例如 在這個圖形中 BD比DC等於3比4 BO比OE等於2比1 那麼在這個眼尾中 左右的面積比等於BD比DC 等於3比4 所以需要把AOB設爲3的倍數 而在這個等高模型中 左右兩個三角形的面積比是BO比OE 等於2比1 所以要把AOB設爲2的倍數 於是可以設它爲6份 之後再用眼尾和等高 就可以算出其他所有部分的面積了 結合這個視頻和前兩個視頻 可以發現 無論是已知兩外比的情形 還是已知一外比和一內比的兩種類型 AOB都是最重要的起點 只要知道這塊的面積 就可以利用眼尾和等高 算出其他所有部分的面積 所以在用眼尾解題時 一定要優先考慮它的面積 如果這部分已知 直接計算 如果未知 那就設成合適的份數 然後再計算 好了 這個視頻就講到這裏 下個視頻 我們會學習眼尾的最後一講 已知兩內比的情形 敬請期待 經過前幾個視頻的學習 我們知道 在這個圖形中 有兩個外比BD比DC AE比EC 還有兩個內比AO比OD BO比OE 在這四個比中 只要知道兩個 就可以算出圖中四塊的面積關係 之前我們已經學了已知兩外比 和一外一內的情形 這個視頻 我們就來學習已知兩內比的情形 在這個圖中 已知AO比OD等於2比1 BO比OE等於1比1 AOB面積爲4 那麼EODC的面積是多少呢? 因爲BO比OE等於1比1 所以這兩個三角形的面積相等 左邊是4 所以右邊也是4 又因爲AO比OD是2比1 所以BOD的面積是AOB的一半 等於2 接下來把OC連起來 得到兩個新三角形 設上面的面積爲X 下面的面積爲Y 根據BO比OE是1比1可知 下面這兩個三角形的面積相等 所以2加Y等於X 又因爲AO比OD等於2比1 所以右邊這兩個三角形的面積比也是2比1 所以4加X比Y等於2比1 這時得到一個二元一次方程組 解這個方程組可以求出X等於8 Y等於6 於是EODC的面積是8加6 等於14 這樣我們就從兩內比算出了圖中所有部分的面積 它和前面學過的三種情形有所不同 一是要設位之數 用方程糾結 二是這裏不需要用閹尾 只用等高模型就能搞定 同樣 如果題目沒有告訴AOB的面積 就先設分數 再計算 例如 以至AO比OD等於2比1 BO比OE等於5比2 因爲左右兩個三角形的面積比等於5比2 所以需要把AOB的面積設爲5的倍數 又因爲這兩個三角形的面積比是2比1 所以要把它設爲2的倍數 於是可以設它是10份 這樣根據BO比OE是5比2 可以算出AOE的面積是4份 再根據AO比OD等於2比1可知 BOD的面積是5份 然後設剩下兩部分的面積分別是X和Y 因爲這兩個三角形的面積比等於2比1 所以4加X比Y等於2比1 又因爲這兩個三角形的面積比是5比2 所以5加Y比X等於5比2 接下來解方程 就能算出X和Y是多少了 講到這兒 我們就學完了這個圖形中的四種題型 兩外比 兩種一外一內和兩內比 它們的解題關鍵都是這塊的面積 如果已知 就直接用驗尾和等高求解 如果未知 就先設分數 再計算 而我們今天要談的 如何分析和計算這種切分 當然一切得從最簡單的先行開始 如怎樣兩等分一個三角形 要實現這個目的 最簡單的方法就是過一邊的中點和它對面的頂點 沿着直線切一道 雖然分出的倆三角形形狀未必相同 但面積一定一樣 因爲它們的高是相等的 又因爲下面的分點是中點 所以底也一樣 高一樣 底一樣 面積自然也一樣 當然 如果切分的時候不過中點 而是過一個靠右的三等分點 那結果又如何呢 其實只要我們把另一個三等分點也連一下 答案就很清楚了 現在圖中有三塊小三角形 高仍然一樣 而底也保持相同 所以三塊的面積仍然一致 左側有兩塊 右側有一塊 那左側的面積就是右側的兩倍 如果我們再換一個分法 讓分線過最靠右的五等分點 那面積關係又如何呢 用同樣的方法 我們連接另外幾個五等分點 整個三角形就被等分成了 一二三四五五塊 左側有四塊 右側有一塊 所以左側就是右側的四倍 不過老連那麼多線太麻煩 能不能簡單點呢 其實大家仔細觀察就會發現 左側之所以有四塊 就是因爲左側的底有四份 而右側的底只有一份 一份長度恰好對應一份面積 所以四倍的長度就會對應產生四倍的面積 看來只要知道這兩段的長度倍數 就能求出相應的面積倍數了 這就省去了很多劃線的煩惱 比如 過最靠左的十等分點做分線 左側這段是一份 右側這段是九份 那麼左側的面積就是一 右側的面積就是九 兩者就是九倍關係 你看是不是很簡單 再比如 我們這麼分一個三角形 這回沒有過上方的頂點 而是過下方的頂點了 那怎麼求呢 其實我們只要轉一下 就會發覺和剛纔的情形是類似的 我們只要求出這兩段的長度倍數 就可以求出這兩塊的面積倍數 比如這兩段的長度是七倍關係 那麼這兩塊的面積也就是七倍關係 以上就是三角形內的簡單倍數關係 總的來說就是一個三角形 被過它頂點的直線一分爲二 利用分得的長度倍數 就可以求出相應的面積倍數 同學們記住了嗎 前兩次課 我們學習了三角形和長方形中的倍數關係 今天我們就利用三角形中的倍數關係 來學習幾何中的一類特殊模型 風車模型 風車大家都見過 有這樣的 這樣的 還有這樣的 那我們今天學的模型和風車有什麼關係呢 這個得從畫圖說起 首先有一個三角形 然後從三角形的三條邊伸出三個手臂 你看現在的樣子像不像一個有三個葉片的風車 所以叫風車模型 然後把剩下三條線連起來 就是完整的圖形 以至中間小三角形ABC面積爲1 而且各邊都延長一倍 也就是說BC等於CE CA等於AF AB等於BD 接下來我們在風車模型中計算三角形DEF的面積 除了中間部分 整個圖形還有三個三角形 那麼只要能算出這三部分的面積 就能求出整個圖形的面積 我們先計算右邊三角形CEF的面積 它的面積無法直接計算 所以先把A也連起來 把它切成兩個小三角形 因爲ABC和ACE是等高三角形 它們的底BC等於CE 於是三角形ABC和ACE面積相等都是1 接下來看看上面的部分 由於AEF和ACE也是等高三角形 DEF等於AC 所以面積也相等 說明AEF面積也是1 於是右邊的三角形面積是2 計算左邊三角形ADF的方法和前面一樣 把BF連起來 因爲AC等於AF 所以ABF和ABC面積相等是1 又因爲AB等於BD 所以BDF和ABF面積也相等都是1 所以左邊三角形面積也是2 左右的面積都是2 這是肯定會有同學猜 下面的三角形面積也是2 沒錯 猜對了 把CD連起來 因爲AB等於BD 所以三角形BCD和ABC面積相等 又因爲BC等於CE 所以三角形CDE和BCD面積也相等 於是它們都是1 那麼總面積就是2 至此 我們已經算出三角形DEF中每一部分的面積 相加之後便可以得出DEF的面積是7 從上面的例子可以看出 求解風車模型 關鍵是通過天壓輔助線 算出外面三個三角形的面積 在這個例子中 因爲三個風車葉片都是延長一倍 所以面積都是2 下面我們來看一個延長倍數不同的 中間小三角形ABCA面積爲1 把BC延長一倍到E C延長兩倍到F AB延長三倍到D 得到大三角形DEF 這時外面三個三角形面積不同 但求解方法和前面相同 連BF 因爲AF是由AC延長兩倍得到的 所以AF是AC的兩倍 於是ABF的面積是ABC的兩倍 12 而BD是AB的三倍 說明BDF面積是ABF的三倍 16 再連AE 因爲BC等於CE 所以ACE面積等於ABC的面積 11 又因爲AF是AC的兩倍 所以AEF的面積是ACE的兩倍 12 最後連CD 因爲BD是AB的三倍 所以BCD的面積是ABC的三倍 13 又因爲BC等於CE 所以CDE和BCD面積相等 也是3 此時已經求出DEF中每部分的面積 把它們相加 便可以算出DEF的總面積 18 根據這兩個例子 我想各位同學也對等高三角形 風車模型是等高三角形的重要應用 學好這個 對今後大家學習三角形的比例 包括燕尾模型 沙漏模型 都會有很好的促進 上次課我們實現了三角形中的風車模型 今天我們更進一步 來看看四邊形中的風車模型 在四邊形ABCD中 把AB BC CD和DA分別延長一倍 得到一個風車 然後把四個點連起來 得到四邊形EFGH 以至中間小四邊形ABCD面積爲1 接下來計算大四邊形EFGH的面積 四邊形中的風車模型和三角形中的有一點不同 對四周的三角形 無法單獨求出其中任意一個的面積 但可以分組計算 把它們分成兩組 左右一組 上下一組 然後計算每組的面積之和與中間四邊形的面積關係 先看左右這組 連BD 把ABCD切成兩個三角形 設它們的面積分別是X和Y 連接DF 三角形BCD和CDF是等高三角形 它們的底BC和CF相等 所以面積也相等 都是Y 而CDF和DFG也是等高三角形 底CD等於DG 所以CDF和DFG面積也相等 是Y 這時我們發現 右邊三角形一共有兩個Y 是BCD的兩倍 下面回到左邊 看看AEH和ABD之間有什麼聯繫 連BH 因爲DA等於AH 所以ABD和ABH面積相等 是X 又因爲AB等於BE 所以ABH和BH面積也相等 也是X 於是左邊的三角形面積爲2X 是ABD的兩倍 把左右兩個三角形的面積相加 得到2X加2Y 恰好是ABCD的兩倍 而ABCD面積爲1 所以左加右等於2 接下來連AC 計算上下兩部分和ABCD的面積關係 把AG和CE連起來 因爲CD等於DG 所以這兩個三角形面積相等 又因爲DA等於AH 所以這兩個三角形面積也相等 於是上面的三個三角形面積相同 因爲AB等於BE 所以這兩個三角形面積相等 又因爲BC等於CF 所以這兩個三角形面積也相等 所以下面的三個三角形面積也相同 於是上下兩個三角形面積和也是中間的兩倍 共2 左右的面積和是2 上下的面積和也是2 再加上中間四邊形的1 所以EFGH總面積是5 根據這個例子 我們可以歸納出四邊形風車模型的一般解法 先連BD 然後看左右兩個三角形的面積之和 與中間四邊形的關係 然後再連AC 看上下兩個三角形面積和與中間四邊形的面積關係 最後相加即可 前幾次課我們學習了比例 於是大家在三次年級學過的合倍 差倍這種與倍數有關的應用題 就都變成了比例應用題 同樣的 以前學過的幾何中的倍數關係 也就都變成了幾何中的比例關係 一個面積爲50的三角形 被一條線切成兩塊 如果底邊被切出的兩段是4倍關係 根據學過的知識 上面的兩個小三角形的面積也是4倍關係 那如果被切出的兩段不是4倍 而是3比2會怎麼樣呢 圖中的3比2意味着左邊三角形的底邊長三份 右邊三角形的底邊長兩份 把左邊的三角形三等分 把右邊的三角形二等分 這時得到的五個三角形底邊長都是一份 所以面積相等 而左邊有三個小三角形 右邊有兩個小三角形 所以左右兩個三角形的面積比也是3比2 於是我們發現 即使把倍數換成比 面積和底邊的關係依然相等 底邊是3比2 那面積也是3比2 這就是等高三角形中的比例關係 在有些題目中 這個性質會多次使用 例如下面這個問題 三角形ABC面積是14 BD比DC等於2比5 AE比EC等於3比2 由於BD比DC是2比5 所以左右兩個三角形的面積比也是2比5 總面積是14 所以左邊面積爲4 右邊面積爲10 又因爲AE比EC是3比2 那麼紅藍兩個三角形的面積比也是3比2 它們的面積和是10 所以紅色三角形面積是6 藍色三角形面積是4 這樣我們就求出了每個小三角形的面積 在等高三角形中 底的B等於面積比是高年級起和中右的最多的結論 大家一定要熟練掌握 在下兩次課 我們還會學習兩個新的模型 鳥頭模型和風箏模型 好了 接下來就動手做點題吧 在這個視頻裏 我會講一個簡單實用的模型 鳥頭模型 一個三角形被一條不過頂點的線段一分爲二 這個圖形就是鳥頭模型 你看這個樣子像不像一個鳥頭 鳥頭模型主要用來計算上面這個小三角形和整個大三角形的面積比 那具體怎麼算呢 下面我就來說說算法 比方說D是AB終點 那AD就是AB的二分之一 你在AD旁邊直接寫二分之一即可 而E呢 則是靠近A的三等分點 那AE就是AC的三分之一 你在AE旁邊直接寫三分之一即可 有了二分之一和三分之一 你就可以很方便的算出小三角形ADE是大三角形ABC的幾分之幾了 方法就是把它們相乘 二分之一乘三分之一得六分之一 所以小三角形ADE就是大三角形ABC的六分之一 再比如這樣一個橫着擺的鳥頭 告訴你這兩段的比是一比二 這兩段的比是二比三 那AE比AC就是一比一加二 即三分之一 而AD比ABE就是二比二加三得五分之二 兩者相乘就得到小三角形是大三角形的十五分之二 看來只要知道小三角形這兩邊分別是大三角形這兩邊的幾分之幾 就可以相乘得面積是幾分之幾了 這就是鳥頭模型的算法 那剛纔這個算法的道理是什麼呢 這個可以通過等高模型來證明 不過過程有點長 我就不細講了 你重點要掌握的是這個算法怎麼用 這個算法不僅可以求三角形之間的面積關係 還可以求三角形和平行四邊形之間的面積關係 像剛纔我已經求出了三角形ADE是三角形ABC的十五分之二 而三角形ABC本身又是平行四邊形ABFC的一半 所以ADE就應該是平行四邊形ABFC的十五分之二乘二分之一 也就是十五分之一 對於更復雜的星星 鳥頭模型一樣能派上用場 比如這樣一幅圖 告訴你每條邊都被分成了兩段 比例分別是一比二三比四以及五比六 要你求中間這個小三角形是大三角形的幾分之幾 你就可以把它分拆爲三個鳥頭模型 求出上面左邊以及右邊分別是大三角形的幾分之幾 再把它們減掉就可以求出中間是幾分之幾了 不過我特別提醒你注意邊的分數關係絕對不能搞錯 像這條邊它是整條邊的二加一分之二 也就是三分之二 而這條邊則是整條邊的三加四分之三 也就是七分之三 千萬別弄錯 好了 以上就是鳥頭模型 通過把小三角形兩邊佔大三角形兩邊的幾分之幾相乘 就能迅速算出小三角形面積是大三角形面積的幾分之幾 怎麼樣明白了嗎 如果明白就自個兒動手試試唄 之前我們已經學過了長方形中的面積關係 實際上在一般四邊形中也有一種特殊的面積關係 例如在這個四邊形中 兩條對角線把它切成四個小三角形 假設這四個三角形的面積分別是S1到S4 由於上面兩個三角形是等高三角形 所以BO比OD是它們的面積比 S1比S2 而下面兩個三角形也是等高三角形 所以BO比OD也是它們的面積比S3比S4 於是S1比S2就等於S3比S4 這就是一般四邊形中的比例關係 有了這個關係 只要能知道圖中三個三角形的面積 就可以求出最後一個三角形的面積 例如在這個例子中 已知其中三個的面積分別是8,6,12 那麼有8比6等於12比S4 接下來交叉相乘 有8乘S4等於6乘12等於72 於是S4就等於72除以8得9 這個圖形一般稱爲風箏模型 你看多漂亮的一個風箏 在風箏模型中 除了這個結論 還有一個結論也很重要 在這個圖中 BO比OD等於上面兩個三角形的面積比8比6 也就是4比3 左邊兩個三角形的面積之和是20 右邊兩個三角形的面積和是15 20比15也是4比3 這說明BO比OD就等於左右兩個大三角形ABC和ABC的面積比 有了這個結論 就可以在風箏模型中把面積比轉化爲線段比了 例如這個圖中 ABC的面積是70 ADC的面積是50 OD的長爲10 那麼根據風箏模型 由BO比10等於70比50 可以算出BO等於14 好了 至此我們就學完了風箏模型中的兩個知識點 最後總結一下 第一個是S1比S2等於S3比S4 第二個是BO比OD等於左右兩個大三角形的面積比 掌握了這兩點 你就可以解決與風箏模型有關的所有問題了 怎麼樣 明白了嗎 明白就自己動手做點題吧 在今天的視頻裏 我們將會學習幾何中的一個重要定理 勾股定理 在直角三角形中 兩條直角邊A和B的平方和等於斜邊C的平方 這個結論就是勾股定理 爲啥這個定理叫勾股定理呢 這是因爲在古時候 數學家把直角三角形中較短的直角邊稱爲勾 較長的直角邊稱爲谷 斜邊稱爲弦 在公元前一世紀的《周筆算經》中 有勾三谷四弦五的記載 意思是 如果一個直角三角形的短直角邊是三 長直角邊是四 那麼斜邊的長度是五 勾股定理最早的證明是古希臘數學家畢達格拉斯 在公元前五世紀給出的 所以在國外也稱爲畢達格拉斯定理 相傳他證出這個定理後非常高興 沙利白頭牛進行慶祝 於是也有人稱他爲百牛定理 下面我們看一下勾股定理是怎麼證出來的 左右兩個大正方形邊長都是A加B 面積相等 在左右各山區四個相同的直角三角形後 剩下的面積還是相等的 這時左邊剩兩個正方形 面積和是A方加B方 右邊剩一個正方形 面積是C方 所以A方加B方等於C方 瞭解到這些後 我們就能用勾股定理計算線段長度了 例如在這個圖中 C方等於5的平方加12的平方等於169 而169等於13的平方 所以C等於13 說明斜邊的長度是13 而在這個圖中 A方加15的平方等於17的平方 可以算出A方等於64 所以A等於8 如果三個自然數ABC滿足A方加B方等於C方 就稱它們是一組勾股數 像剛纔提到的345 52 13 85 17都是勾股數 而且它們的倍數也是勾股數 比如680 10 24 26等 因爲勾股定理在小學的幾何計算中會經常用到 所以常用的勾股數大家一定要能背下來 除了剛纔三組外 7 24 25 9 40 41也很常見 好了 勾股定理就先講到這裏 是不是感覺收穫很大 接下來就去做練習賺金幣吧 這次的視頻 我們將會學習燕尾模型 什麼是燕尾模型呢 我們先來看一個例子 三角形ABC被AD BE和EC分成了四個部分 面積分別是S1 S2 S3和S4 如果以這S1等於12 S2等於9 S3等於4 那麼S4是多少呢 左邊兩個三角形的面積是12和4 是三倍關係 由於面積比等於底邊長度比 說明AE和ED也是三倍關係 而它們是三倍 說明右邊兩個三角形的面積也是三倍 於是9是S4的三倍 所以S4等於3 這樣咱就根據等高三角形搞定了這個問題 那這和燕尾模型有什麼聯繫呢 剛纔的四塊面積咱是豎着比較的 現在我們換個方向 橫着看看 上面的兩個三角形 面積比是12比9 等於4比3 下面的兩個三角形 面積比也是4比3 而根據等高模型 這個4比3恰好是底邊BD和DC的比 於是我們發現 上面兩個三角形的面積比 等於底邊長度比 也就是S1比S2 等於BD比DC 這個結論就是燕尾模型 你看這塊像不像個燕子尾巴 所以叫燕尾模型 有了燕尾模型 我們就可以通過底邊長度比 計算上面的面積比了 比如在這個圖形中 BD等於5 DC等於2 右邊的三角形面積是10 左邊的三角形面積是S 根據燕尾模型 兩個三角形的面積比等於底邊長度比 所以S比10等於BD比DC 也就是5比2 於是S等於25 同樣在燕尾模型中 我們還可以根據面積比計算線段比 在這個圖中 左邊三角形的面積是21 右邊是12 DC等於8 那麼BD是多少呢 根據燕尾模型 上面的面積比等於下面的線段比 所以21比12等於BD比8 得出7比4等於BD比8 所以BD等於14 好了 燕尾模型咱就講到這裏 燕尾模型的結論是 S1比S2等於BD比DC 利用它可以轉化線段比和麪積比 在下一個視頻中 我們會學習燕尾模型更廣泛的應用 敬請期待