啟蒙奧數動畫全集教程：從"牛吃草問題"到"旋轉體問題進階"， #包括行程問題、 #比的概念、 #排列組合等， #一站式數學學習平台！ #十字交叉法, #最佳會合點, #往返接送, #多邊形角度 42 五年級幾何2（

大毛他爸買了四根一模一樣的圓木棍 爲了拿着方便 他用橡皮筋把它們捆成了這個樣子 如果這些圓的半徑都是1 你能求出橡皮筋有多長嗎 仔細觀察一下這根皮筋 不難發現它既有直線部分又有曲線部分 如果要求它的長度 必須把曲直分開來求 那曲線和直線的分界點在哪呢 咱把這個局部放大來觀察一下 如果讓一個點先沿着橡皮筋的曲線部分移動 那它就是繞着圓心轉 到圓心的距離始終都是半徑1 可一旦當它移動到直線 就不再是繞着圓心轉了 到圓心的距離就會變得越來越大 像圖中這個樣子 那這兩種運動狀態的分界點在哪呢 不能看出 就在半徑與直線垂直的那一剎那 從這個狀態起 動點與圓心的連線就開始拉長了 所以這就是你要尋找的曲直分界點 它恰好是半徑與直線在垂直狀態下的交點 同理 你可以把其他曲直分界點也都畫出來 在右上角就是這個點和這個點 在右下角就是這個點和這個點 在左下角就是這個點和這個點 在左上角還差這個點 這樣橡皮筋就被這8個點分成了4段圓弧與4條線段 你只要分別求出它們的長就有總長了 先看曲線吧 每條曲線都是半徑爲1的90度圓弧 如果把它們都拼到一起 恰好就是一個半徑爲1的整圓 所以弧長就是2π×1得2π 至於直線 每條線段都恰好等於兩條半徑相加 所以長度都是1加1得2 那4條線段就得是2×4得8 曲線和直線都有了 再相加就是總長 所以答案就是2π加8 除了能求總長 面積其實你也能求了 看出來沒 有的曲直分界點 你能很自然的把整個圖形分爲4個扇形 4個長方以及1個正方 把它們分別求出面積再相加 就可以得到整個圖形的面積了 由此可見 曲直分界點是解決所有問題的關鍵 所以我得把分界點的畫法再跟你強調一遍 就是半徑與直線在垂直狀態下的交點 用這個思路 你還可以解決更復雜的問題 比方說這幅圖類似一個六邊形 你把這個局部放大 找一下曲直分界點 根據剛纔所說 必須是半徑與直線在垂直狀態下的交點 所以曲直分界點不是這個 而得是這個 用同樣的法子 你還可以畫出其他曲直分界點 最終會畫出12個分界點 利用這12個分點 你就可以精準地對邊界進行分段求解了 好了 關於捆圓的周長與面積 我就簡單講到這 只要你知道怎麼尋找曲直分界點 剩下的事都好辦 怎麼樣明白了嗎 如果明白就自個兒動手試試吧 在這個視頻裏 我要教你解決兩類極其簡單的捆圓問題 一是讓圓沿着直線滾動 二是讓圓沿着圓周滾動 先看沿直線滾 假如一個半徑爲1的圓 沿直線滾動4的距離 那它所掃過的區域就是這一整塊 你能求出這塊區域的周長和麪積嗎 只要稍加觀察 你就會發現這塊區域是由三部分組成的 左右兩邊是半圓 中間部分是長方 如果要求周長 只要把倆半圓弧再加上倆直線段就可以搞定了 至於面積嘛 也只要把倆半圓再加上一長方就可以求出來了 我接着就來求一求 先看周長 周長等於倆半圓弧加上倆直線段 這倆半圓弧肯定拼一起好算 因爲就是一完整的圓周 長度等於2πr 而半徑r就是1 所以答案就等於2π 至於這倆線段 它們都正好等於圓所滾過的距離4 所以加起就是8 把8加上2π就得周長2π加8 再看面積 面積等於倆半圓加一長方 這倆半圓肯定也得拼起來湊成一整圓 面積就等於πr² 而半徑r等於1 所以答案就是π 至於中間這個長方形 長等於圓滾動的距離4 寬則等於圓的直徑2 所以面積就是2 4得8 好了 這兩部分有了 最後加一起 記得總面積π加8 這樣你就把圓沿直線滾動的問題給搞定了 解決問題的關鍵就在於你把圖分成這樣的三塊 如果我現在不是讓圓沿直線滾 而是沿另一個大圓滾 那結果又如何呢 你看 這時動圓掃過的區域就是一圓環了 圓環的內部半徑就是這個大圓的半徑 而圓環的外部半徑則等於大圓的半徑加上小圓的直徑 注意可是小圓的直徑哦 別搞錯了 比如大圓的半徑是4 小圓的半徑是1 那整個圓環的外半徑就等於4加1再加1得6 而圓環的內半徑就等於大圓的半徑4 有了圓環的內外半徑 你就可以很容易的求解圓環面積 以及圓環的外周長和內周長了 至於具體計算嘛 我就不囉嗦了 你還是做題的時候自個兒算吧 好了 以上就是圓沿直線和圓周滾動的問題 前者的關鍵是把圓掃過的區域分爲這樣的三部分 後者的關鍵則是把掃過的區域 也就是這個圓環 它的內外半徑全都搞清楚 抓住這些關鍵 這兩類問題都易如反掌 怎麼樣 明白了嗎 如果明白就自個兒動手試試吧 在上個視頻裏 我講了圓如何貼着直線和圓周滾 在這個視頻裏 我要講講圓如何貼着多邊形的邊界滾 這也是一個半徑爲1的圓 讓它繞着邊長爲6的正方形滾動一週 它所掃過的區域是個啥形狀呢 當圓貼着正方形一邊滾動時 情況跟貼着直線滾非常像 圓形走的呢始終是直線 而圓和正方形的接觸點也始終以同樣的速度沿直線前進 這個接觸點所在的直線 但當它運動到正方形頂點位置時 這種貼邊的滾動就得停下來了 因爲圓和正方形的接觸點已經走到了頭 前頭無路可走了 這時該咋辦呢 雖然接觸點已經無路可走 但圓心還想繼續前進呢 於是他倆商量了一下 就讓接觸點固定不動得了 而圓心呢就繞着接觸點轉吧 於是整個圓都開始繞着接觸點轉動起來 那這種轉動可以一直持續下去嗎 非也 只要圓轉到了正方形的這條邊上來 就又得貼邊滾動了 而它轉到這條邊上來的標誌 就是接觸點所在的直徑 與正方形的這條邊垂直了 你看 只要一垂直 接觸點和圓心就又能以同樣的速度 沿着直線手拉手前進了 不過當圓運動到正方形的這個頂點時 就又得再次繞頂點轉動了 而這個轉動會一直持續到接觸點所在直徑 與下面這條邊垂直爲止 然後圓繼續貼邊滾動 直到運動到這個頂點爲止 這時圓又得開始繞頂點轉動 直到接觸點所在直徑 再次與這條邊垂直爲止 接着圓繼續貼邊滾 一直運動到出發時的那個頂點 最後再繞着這個頂點轉動90度 就回到了開始的位置 你看 整個過程就是貼邊滾 繞點轉 貼邊滾 繞點轉 交替出現 而這兩種狀態切換的關鍵 就在接觸點以及接觸點所在的直徑上 當接觸點在正方形某條邊上時 圓的運動就是貼邊滾 而當接觸點在正方形某頂點時 圓的運動就是繞點轉 而繞點轉動從開始到結束 都只要盯着接觸點所在直徑看就行 開始的時候 這條直徑跟正方形的這條邊垂直 結束的時候 這條直徑跟正方形的這條邊垂直 所以繞點轉動其實就是從一個垂直 到另一個垂直 好了 運動過程講差不多了 該輪到算面積了 面積就分爲兩部分算吧 一部分是長方形 長就是6 寬則是圓的直徑2 另一部分是扇形 半徑都是圓的直徑2 度數得算一下 這是直角 這也是直角 這還是直角 所以扇形的圓心就是360度減去3直角 結果還是直角 把四個直角扇形拼一起 其實就是一個整圓 不過半徑可得小心了 不是原來這個圓的半徑 而是它的直徑 怎麼樣 明白如何分析圓沿拖邊形邊界滾動了嗎 如果明白 就自個兒動手試試吧 在生活中你見過沙漏嗎 比如像這樣的這樣的都是沙漏 那在數學中長什麼樣的圖形才能叫沙漏模型呢 比如像這個樣子或者這個樣子就是沙漏模型 而像這樣的或者這樣的就不是 半徑它們之間有什麼區別嗎 你看這組有平行線 而另一組沒有 所以這組是沙漏 而另一組不是 由此可見 有沒有平行線是你判斷沙漏模型的關鍵 好了 沙漏模型你認識了 接下來該說說它有啥用了 在沙漏模型中 最有用的就是它所包含的比例關係 上面三角形的三條邊 與下面三角形的三條邊是對應成比例的 具體來說 就是AB比CD等於AO比OD等於BO比OC 比如AB比CD等於2比3 那麼AO比OD和BO比OC也就等於2比3了 看來只要知道沙漏三角中任意一組邊的比 你就立馬可以求出另外兩組邊的比了 在這裏 我必須提醒你注意 千萬別把這兩條和這兩條當成對應邊了 你記牢 這兩組對應邊都得是同一直線上的兩條邊纔行 下面我就來說說怎麼利用沙漏三角中的比例關係來解題 現在已知AB等於9 CD等於15 那你就可以利用AB比CD等於9比15 算出上下兩個三角形對應邊的比了 化簡一下也就是3比5 在實際做題時 你像這樣把對應邊的比例分數直接寫上即可 剛纔的過程是利用線段長來求比例 其實你也可以利用比例來求線段長 還是接着這題往下說 我進一步告訴你AD等於16 那你能求出AO和OD的長嗎 這也簡單 16對應的就是它倆的分數和 那一份就等於16除以3加5 算算等於2 有了一份量 那AO長三份就等於3乘2得6 OD長五份就等於5乘2得10 以上就是沙漏三角的基本內容 下面我再給你總結一下 首先是如何判斷沙漏三角 在判斷時重點不在交叉線而在平行線 其次在沙漏三角中 對應邊是成比例的 也就是AB比CD等於AO比OD等於BO比OC 如果你已知其中任何一組邊的比 立馬就能夠得到另外兩組邊的比了 怎麼樣 你明白了嗎 如果明白了 就自個兒動手賺金幣吧 沙漏模型除了存在於T型之外 在其他圖形中也很常見 比如這是兩個並排放置的正方形 連接BF和EG 你能看出圖中有幾個沙漏呢 要想找到沙漏 首先得要找到平行線 比如AD和BE就是一組平行線 不過它倆之間並沒有沙漏 爲什麼呢 因爲在它倆之間還缺一組合適的交叉線 看來要構造沙漏 除了要有平行線之外 還得有交叉線纔行 比如GF和BE平行 它倆之間就有交叉線 這樣你就找到了一個沙漏 不過除了這組交叉線外 它倆之間還有另一組交叉線呢 這樣你就可以找到另一個沙漏 看來對於同一組平行線 當你選擇不同的交叉線時 就會找到不同的沙漏 好了 橫着的平行線看完了 該輪到豎着的了 比方說這條 它們就和這組交叉線一起構成了沙漏 那還有沒有別的呢 所以沙漏的總數就是兩個加一個等於三個 在上述過程中 你通過先找平行線 再找交叉線的方式 找到了總共三個沙漏 那沙漏你會找了 接下來就該說說該怎麼利用它解決實際問題了 還是這幅圖 我再告訴你 這倆正方形的邊長分別是10和5 那你能求出陰影部分的面積嗎 貌似直接求不好求 不過你很容易算出 包含它的這個大三角形的面積 由於它恰好是正方形的一半 所以面積就是10乘10除以2等於50 又由於這倆三角形等高 如果再知道它倆底的比 那就不難求出陰影部分的面積了 那咋求這兩條線段的比呢 這就可以用到你剛剛找到的沙漏了 不難發現豎着的以及橫着的這兩個沙漏都包含它倆 那用哪個好呢 先看橫着的吧 看看哪組對應邊的比已經有了 貌似還都沒有了 那就沒戲 再看看豎着的吧 同樣看看哪組對應邊的比是直道理 哎 好像平行的這組邊知道 上面這條正好是10 下面這條正好是5加10的15 既然上下兩條平行邊都知道了 那你就可以求對應邊的比了 化解之後得2比3 既然GF比BE是2比3 那GO比OE也就是2比3 現在倆三角形底的比已經有了 那面積比也就是2比3了 因此 陰影三角形就算整個三角形的五分之三 整個三角形的面積是50 那50乘5分之3 結果就是30 以上就是平行線間沙漏三角的應用 其中的關鍵有兩點 第一是如何找到沙漏 方法就是先找平行線 再找交叉線 缺一不可 第二是如何利用沙漏求陰影部分的面積 其中最主要的就是算陰影部分佔已知圖形面積的大小 而要求這個比例就要利用沙漏了 怎麼樣 聽明白了嗎 如果明白了 就自個兒動手試試吧 古埃及的金字塔相信你一定見過 那數學中的金字塔又長成啥樣呢 這裏有大小兩個三角形 形狀完全相同 如果我把小三角形按比例放大 就可以得到大三角形 反過來把大三角形按比例縮小 就可以得到小三角形 也就是說大小兩個三角形對應邊是成比例的 如果我把這倆三角形像這樣疊放在一起 那這個圖形就是金字塔模型 在金字塔模型中同樣存在平行線 只有找到平行線才能找到金字塔 那在金字塔中有哪些重要的結論呢 與沙漏模型類似 最重要的結論就是剛剛提到的大小兩個三角形對應邊成比例 具體來說就是AD比AB等於AE比AC等於DE比BC 比如AD比AB等於2比3 那AE比AC與DE比BC也就等於2比3 利用這個結論就可以由一組邊的比立馬得到另外兩組邊的比了 除了對應邊成比例外 還有一組線的比也很常用 圖中大三角形的兩條邊都被分成了兩段 這兩組線段的比也是相等的 具體來說就是AD比DB等於AE比EC 比如AD比DB等於1比1 那AE比EC也就等於1比1 注意這組邊的比可不是兩三角形對應邊的比 因爲DB和EC壓根就不是三角形的邊 所以你千萬別傻了吧唧的認爲DE比BC也是1比1 那DE比EC應該是幾比幾呢 這就得把真正的對應邊找出來纔行 AD是小三角形的邊 它所對應的大三角形的邊應該是AB 不能看出AB的分數等於1加1得2 所以AD比上AB應該是1比2纔對 這纔是兩三角形對應邊的比 所以DE比BC也就是1比2了 線段比講完了再說說面積比和沙漏類似 金字塔中兩三角形的面積比也等於對應邊比的平方 比如DE比BC等於2比3 那小三角形與大三角形的面積比就等於2的平方比3的平方 也就是4比9 一般的如果對應邊的比爲A比B 那倆三角形的面積比就等於A方比B方了 以上就是金字塔中有關的線段比和麪積比 而這些比的核心就是三角形對應邊的比 答出了這一點你就可以解決很多問題了 比如這幅圖 D平行BC AD等於4 DB等於15 小三角形的面積是24 要你求大三角形的面積 解決這個問題一定先求對應邊的比 因爲AD比DB等於10比15 也就是2比3 那AB就是2加3得5份 這樣對應邊AD比AB就等於2比5了 那倆三角形的面積比就等於2的平方比5的平方 也就是4比25 有了這個面積比 再根據小三角形的面積24 就可以算出大三角形的面積等於24除以4乘25得150 以上就是金字塔模型的簡單介紹 其中最爲重要的結論就是大小兩個三角形對應邊乘比例 有了這一點 你不僅可以處理線段間的比例關係 還可以把對應邊的比平方之後算出面積比 怎麼樣明白了嗎 如果明白的話 就自己動手賺金幣吧 在之前的視頻中 我講了沙漏模型和金字塔模型 你會發現它倆有很多相同點 首先它倆都有平行線 其次它倆都有對應邊乘比例 最後它倆都有面積比等於對應邊比的平方 其實有這麼多相同點也不奇怪 如果你把沙漏上面的三角形翻下來 它就變成金字塔了 反過來 你把金字塔中的三角形翻上去 它就變成沙漏了 看來這倆模型還真是關係密切 而且在有些題目中 沙漏和金字塔還會同時出現的 比如像這幅圖 DC與AB平行 觀察一下就會發現圖中既有沙漏也有金字塔 如果我告訴你AD比DE等於2比1 那你能求出DO與OD的比嗎 乍一看這兩組線段沒啥關係啊 這也沒事 咱就從這兩組線段分別出發分析一下 先來看DO和OB吧 不能看出它倆是沙漏中的一組對應邊 再來看AD與DE 它倆是金字塔中的一組線段比 現在已知的是金字塔中的線段比 而要求的是沙漏中的線段比 那怎麼把沙漏和金字塔聯繫起來呢 這簡單 只要找到同時被沙漏和金字塔所包含的線段就可以了 不能發現 DC和AB這組平行線就滿足要求 它倆既是沙漏中的對應邊 也是金字塔中的對應邊 那咱就來分析它倆 先把它倆放到金字塔中 算算長度比是多少 根據條件ED比DA等於1比2 那EA就是1加2得3份 所以對應邊ED比EA就等於1比3 那DC比AB這組對應邊也就等於1比3了 好了 這組線段在金字塔中的比例搞定了 接着就該把它倆放到沙漏中去了 不能看出要求的線段DO比OB也是一組對應邊的比 它和DC比AB這組對應邊是一樣的 因此答案就是1比3 至此問題解決 在上述過程中 最重要的一點就是找到沙漏和金字塔之間的聯繫 而要找到這種聯繫 只要找到同時包含於這倆模型中的線段就可以了 好了 線段比我已經講完了 接下來該輪到面積比了 先來看這個T型吧 每塊的面積份數依次爲11得1 13得3 33得9 接着再看DEC 由於這倆三角形等高 那面積比就等於底的比2比1 三角形CDA的面積爲4份 那三角形CDE的面積就是4除以2的兩份 以上就是我要講的全部內容 總的來說有兩點 第一 你要記牢沙漏和金字塔中的各種比例關係 其中最重要的是對應邊乘比例 第二 如果題目中既有沙漏又有金字塔 那就得去找同時存在於這倆模型中的線段 通過對這組線段的分析 把沙漏和金字塔聯繫起來 怎麼樣聽明白了嗎 如果明白了就自個兒動手試試吧 天熱的時候大家都用過扇子 它可以有一條線展開成這樣 我們這個視頻就來講一下這個圖形扇形 扇形是圓形的一部分 由兩條半徑和它們夾着的部分組成 兩條半徑夾着的曲線叫做弧 而它們所夾的角叫圓形角 它衡量了扇形展開的大小 例如這個扇形的圓形角是240度 而這個扇形的圓形角是90度 由於扇形是圓的一部分 所以它們之間的面積周長有着密不可分的關係 首先看面積 這個90度的扇形比較簡單 它是一個圓的四分之一 所以面積也是四分之一 圓的面積是πr² 所以扇形面積是πr² 再乘四分之一 90度好算 那這個53度的扇形怎麼辦 它不能由一個圓直接切出 但我們可以化整爲0 把它切成53個圓形角是一度的扇形 這53個扇形面積相等 由於周角是360度 所以一度的扇形面積是所在圓的三百六十分之一 那麼合起來就是圓的三百六十分之五十三 所以53度的扇形面積是πr² 乘三百六十分之五十三 圓形角53度 面積就是三百六十分之五十三 那如果圓形角是n度 面積就應該佔三百六十分之n 所以扇形面積是πr² 乘三百六十分之n 說完面積 再說說周長 扇形有兩條半徑和一條弧爲程 那麼周長自然是它們的和 半徑好說 那弧長該怎麼算 弧是圓周的一部分 和麪積一樣 一個圓形角是n度的扇形 它的弧長就是所在圓周長的三百六十分之n 因爲圓周長是2πr 所以弧長就是2πr乘三百六十分之n 有了弧長 再加上兩條半徑就是周長 好了 扇形就講到這裏 扇形是圓形的一部分 有兩條半徑和一段弧爲程 扇形的面積與弧長都是所在圓的三百六十分之n 只要明白這一點 那扇形的面積和弧長公式就不難記了 接下來就去做做練習 鞏固下吧 在上個視頻 我們敘析了扇形的面積公式 它由圓面積乘三百六十分之n得出 除了這個 扇形還有一個面積計算公式 就是弧長乘半徑除以2 這樣在已知弧長和半徑時 可以直接計算扇形面積 例如一個扇形的弧長是10 半徑是6 那它的面積是10乘6除以2等於30 反過來 在這個公式中 把除以2移到左邊 變成乘2 再把乘半徑也移到左邊 變成除以半徑 得到這個式子 然後交換順序 就可以得出扇形的另一個弧長計算公式 它等於面積乘2除以半徑 這樣就可以通過面積和半徑計算弧長了 例如一個扇形面積是20 半徑是4 那麼它的弧長是20乘2再除以4等於10 現在返回去看一下第二個面積公式 你有沒有覺得和三角形的面積等於底乘高除以2很像呢 把這個三角形的兩邊向上彎 可以得到一個扇形 這是三角形的底變成扇形的弧長 三角形的高變成扇形的半徑 於是底乘高除以2變成弧長乘半徑除以2 這就是扇形面積 怎麼樣 這個公式你記住了嗎 記住了就去做做題吧 前幾個視頻我們學習的圓 和以前學習的正方形一樣 都是很規則的圖形 因爲它們都很規則 所以在題目中經常同時出現 這個視頻我們就來學習兩個與它們有關的模型 首先看一下這個圖形 一個正方形套在一個圓的外面 這個圖形叫做方中圓 那在這兒 方和圓的面積有什麼關係呢 如果圓的半徑是a 那麼圓面積是π乘a的平方 由於正方形的邊長是圓的直徑 也就是2a 所以正方形的面積是2a乘2a 等於4乘a的平方 於是方和圓的面積比等於4a方比πa方 消掉a方 得到4比π 這就是方與圓的面積關係 有了這個關係 我們就能根據圓面積求正方形的面積了 例如圓面積是3π 那麼4比π等於方的面積比3π 3π和π是三倍關係 所以正方形的面積是4的三倍 也就是12 反過來 知道正方形面積可以算出圓面積 例如正方形面積是20 那麼4比π等於20比圓的面積 20是4的五倍 於是圓面積是π的五倍 等於5π 除了方中圓 圓中方也是很常見的圖形 接下來我們算一下這裏面方和圓的面積關係 假設圓的半徑是a 那麼圓面積是πa方 此時正方形的對角線是圓的直徑2a 因爲正方形面積等於對角線的平方除以2 於是等於2a乘2a除以2 等於2a方 所以方與圓的面積比是2a方比πa方 小掉a方得到2比π 同樣在這個模型中 也可以根據一個圖形的面積算出另一個圖形的面積 例如圓的面積是3π 那麼方比3π等於2比π 3π是π的三倍 所以正方形面積是3乘2得6 反過來如果正方形面積是10 那麼10比圓等於2比π 由於10是2的五倍 所以圓的面積是π的五倍 等於5π 圓中方和方中圓是重要的幾何模型 在這裏你不用知道圓半徑 只根據正方形面積就能算出圓的面積 是不是很神奇 好了 接下來繼續做做練習 鞏固一下吧 上個視頻我們學了方中圓和圓中方 在方中圓 方和圓的面積比是4比π 而在圓中方 圓與方的比是π比2 這個視頻我們還是學習這兩個圖形 只不過要把它們組合起來 比如這個方圓方 在這裏 大正方形和圓的面積比是4比π 而圓和小正方形的面積比是π比2 組合起來 可以得出它們三個的面積比是4比π比2 這時可以發現 大正方形面積是4份 小正方形是2份 正好是兩倍關係 所以當出現方圓方這種情況的時候 大正方形面積正好是小正方形的兩倍 除了有方圓方 還可以有圓方圓 把方中圓縮小一點 放到圓中方里組合起來 就得到了圓方圓 在圖中 大圓和正方形的面積比是π比2 而正方形和小圓的面積比是4比π 把上面的比兩邊同時乘2 得到2π比4 然後把這兩個比合並 可以得出三個圖形的面積比是2π比4比π 在這裏 大圓面積是2π 小圓是π 也是兩倍關係 所以當出現圓方圓這種情況的時候 大圓面積正好是小圓的兩倍 無論是方圓方 還是圓方圓 最大的圖形和最小的圖形都是兩倍關係 這個特點在解決方圓套中套的問題時 非常有用 例如這個圖形中 最大圓的面積是中間這個圓的兩倍 而中間這個圓是最小圓的兩倍 所以最大圓是最小圓的四倍 如果這裏套的方和圓更多 規律也還是如此 不停地用兩倍計算即可 好了 這個視頻就講到這裏 趕緊去做做練習 賺金幣吧 之前我們學習了圓和扇形的面積公式 用它們能夠求出規則圖形的面積 但在平時做題中 見到更多的是像這樣的不規則圖形 這時就需要對面積進行加減計算了 陰影部分的面積沒法直接計算 但把它加上這個空白部分的半圓 就是整個圖形 而它正好由一個大半圓和一個小半圓組成 這說明陰影面積等於大半圓加上小半圓 再減去中半圓 根據條件 中半圓的直徑是8 小半圓的直徑是4 大半圓的直徑是它倆的直徑之和 也就是8加4等於12 有了直徑 就可以求出這三個半圓的面積 也就能算出陰影部分的面積了 通過用整體減空白 我們直接算出了陰影部分的面積 這種方法簡單實用 大家在解題時 通常要優先考慮這種方法 不過有時圖形會比較複雜 這時直接加減會很困難 例如這個圖形 這裏正方形是整體 但空白部分不規則 沒法算 這咋辦 其實陰影部分積在上面這個扇形裏 也在下面這個扇形裏 像不像之前學過的容器原理 如果你用左下的扇形 加上右上的扇形 那屬於左下扇形的這兩部分就各算了一次 屬於右上扇形的這兩部分也各算了一次 於是陰影部分就被算兩次 空白部分則各算一次 那這時只要把陰影和空白各減一次 就得到陰影面積了 而空白 陰影各一次 正好是一個正方形 所以減去正方形即可 由此可得 陰影面積就等於兩個扇形相加 再減去一個正方形 這種使用容器原理求解的方法 就叫重疊法 它的核心在於搞清楚如何加減 可以得到陰影部分 通常是把包含陰影的部分都加起來 再減去不要的部分 明白了這個 我們來看一個更復雜的圖形 在這個圖形中 陰影部分很分散 但它們都在兩個半圓中 所以先用左邊的半圓加上下面的半圓 這樣屬於左面半圓的三部分各算一次 屬於下面半圓的三部分也各算一次 這是不要的部分 包括兩個空白和左下角的陰影 它們正好組成這個等腰直角三角形 於是只要再減去等腰直角三角形 就可以把不要的部分去掉 於是陰影部分等於左邊的半圓 加下面的半圓 再減去等腰直角三角形 好了 以上就是整體減空白和重疊法的全部內容 怎麼樣 是不是感覺收穫很大 那就趕緊去做題賺金幣吧 上個視頻 我們一起學了重疊法 學習瞭如何用容器原理計算曲線性面積 這個視頻 我們將會學習另一種方法 割布法 什麼是割布法呢 顧名思義就是先割再補 比如在這個圖形中 在中間豎着割一刀 可以把陰影切成兩塊 然後把右邊的扇形補到左邊 就拼成了一個正方形 它的邊長是2 所以面積爲4 瞭解了什麼是割布法 咱下面一起看一個常見的割布圖形 就是圖中的這塊藍色弓形 它由直角扇形減去等要直角三角形得出 在割布的題目中 經常要把它挪動位置 補到其他地方 例如這個圖形 右邊的陰影是一個弓形 現在把OA連起來 這樣在左邊也出現了一個弓形 而且是空白的 那把右邊的弓形移過來 就正好能補在這裏 這是陰影部分拼在了一起 就形成一個等要直角三角形 那麼陰影面積就很好算了 這個圖中原本就有弓形 所以直接補過去即可 但如果圖中沒有弓形 就需要自己相割再補了 例如這個例子 首先把左下的這個葉子形陰影從中間切開 然後把切出來的兩個弓形都補到右邊 拼成這樣 這是陰影部分拼在一起 正好拼成一個大弓形 接下來只要用扇形面積減去等要直角三角形的面積 就能算出陰影部分面積了 好了 以上就是割布法的主要內容 如果題目中的陰影很分散 而且樣子不規則 就可以用割布法糾結 在割布時一定要注意哪些部分能夠拼到別的地方 尤其是這種弓形 這種弓形在割布法中有着舉足輕重的作用 大家一定要在解題時用心留意它們 好了 這個視頻就講到這裏 大家加油做題吧 在這個視頻裏 我要講講圖形繞定點旋轉的問題 這個問題看着挺陌生 其實你早就見過了 回憶一下 原是咋畫的 不就是一條線段繞着一個端點旋轉一週得來的嗎 這個端點就是定點 而圓的半徑就恰好等於這條線段的長 所以繞點旋轉的問題並不陌生 只是用來旋轉的圖形不止線段那麼簡單而已 比如現在給你的是一個長方形 ABCD 長爲4 寬爲3 讓它繞着A點轉一圈 你覺得少數的圖形應該是啥呢 對了 還是一個圓 只不過半徑多大得好好想想 是這麼大嗎 還是這麼大 我估計最後這個你肯定覺得不對 因爲太大了 都跑到長方形外頭去了 那會是這個半徑爲3的圓嗎 你肯定又覺得太小了 都沒能把長方形完全蓋住 那半徑爲4可以嗎 還是太小 因爲還有部分長方形在圓外頭 看來只能是這個以AC爲半徑畫出的圓了 仔細一想其實也對 因爲在長方形ABCD中 離A最遠的點就是C 最遠的那個點經過的曲線纔是這個區域的邊界 那AC又等於幾呢 這也簡單 根據勾股定理 勾3 鼓4 弦5 AC就是5 它所掃過的就是一個半徑爲5的圓 剛纔的例子屬於整個圖形繞點旋轉的 但除此之外還有其他情形了 比如把狗拴柱子上 讓它到處跑的情況就是 這是一個邊長爲10米的正方形建築物 我在定點處用20米長的繩子拴住一條狗 它可以到處瞎跑 但跑動的範圍就被繩子限制住了 我讓這條狗跑得儘可能遠 那它所經過的曲線恰好就都是圓弧 當它這麼跑的時候 圓弧的圓心就在這兒 可當它跑到這兒的時候 繩子就跟建築物的牆面貼合了 再跑下去的話 圓心就會變 變成這個點了 而半徑也縮短了 變成了20-10等於10 由此可見 狗的跑動區域是由一系列扇形組成的 只要你把每個扇形的圓心 半徑以及圓形角都搞清楚 面積就很容易求了 好了 繞點旋轉的問題就講到這兒 不管是整體旋轉還是一條狗拴着跑 都得考慮清楚圖形的邊界 而考慮邊界 只要考慮距離定點最遠的情形就可以了 怎麼樣明白了嗎 如果覺得明白了 就自個兒動手試試吧