【張旭工程數學】微分方程 [9] 參數變換法|觀念、例1
參數變換法可以說是從公式法衍生而來,解一階線性常微分方程時,同樣是先求出積分因子 I,只是參數變換法是直接將所求的解 y 令為 u(x)/I ,再代回原微分方程可以找到 u(x) 進而求出解 y,解法上還是有些許不同,考試時若有指定方法還是需要依照需求作答
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#微分方程 #微分方程 #differentialequation
嗨 我是阿碩老師
那我們今天來講主題9
用參數變換法去解一階線性常規方程
參數變換法叫做variation of parameter
OK 那上個主題呢
我們教的方法是用積分因子
或者叫公式法來解一階線性常規方程
那我們現在用另外一種方法
但是這一個另外一種方法呢
其實是啟蒙於或者是起源於這個公式法來的
好不好 我們來看一下怎麼來的喔
OK 首先我們要解的對象一樣是這個一階線性常規方程
好不好 它長相依然要叫做y'加上pxy等於q
OK 形式都要不變
好 然後再來呢這個方法還是得算積分因子
那麼積分因子跟上一個主題講的一模一樣
exponential積分 p of x dx
可以吧 拿這個p拿出來積分放次方取exponential
這個時候上一個主題跟你講
如果你有背公式的話它就會長得像這樣
y就會等於1i 這個i就是積分因子i
然後再乘上積分iq的積分可以吧
那有些公式有些補習班會講
這邊要加個c
那其實要加c不加c都無所謂啦
答案一樣是對的
好 那現在呢我不是要用這個方法算喔
我也不要用前面的方法算喔
那我要怎麼從這裡面得到啟發呢
那我就是這樣子
首先這個公式裡面一定會有一個1i對不對
沒錯吧 我們的1i算出來之後1i放這邊嘛
但是後面這個積分你不想算嘛對不對
那沒關係啊 既然不想算我就把它定成什麼
定成u就好啦 就是偷懶
所以這個等於說有點像代定係數法
把後面這個東西變成另外一種參數
把它變成u
可以嗎 把後面定成u把它定成這樣子
所以我們可以先假設這個通解叫1i乘上u
然後呢這個y是假設成這樣之後
那怎麼樣得到這個u呢
這個y是這個的解嘛
所以我們要把它代進去
把它代進去
原式那要合嘛
合了之後解這個u
再代回去好了
所以某種程度就是
有時候我不太想要解後面這個積分
然後我就改成另一個u給它
就是很像我們一般人嘛
看到困難的時候對不對
先睡覺再說對吧
那你先睡覺再說
其實你還是得面對這個問題
所以你先選擇睡覺
最後你還是得把它代進去去解它
只是兩種思路的不同
ok好
那現在的話呢
怎麼操作怎麼解這個u呢
來我們直接看一個立體你就知道了
好那一樣的跟之前那個立體一模一樣
可以吧
這樣才能比較一下兩個招式的一個優劣
好不好
我們看一下
以這題來講的話呢
我們要用參數變換法來解它
那一樣要先解積分因子
要解積分因子的話
一樣先把p跟q找出來
特別是這個p
p跟積分因子特別有關
所以這個p先把它找出來
那q其實在參數變換法裡面不重要
因為反正等一下要另成u
ok所以這個
但是我們還是寫一下
只是說它不是這麼重要
好
那再來的話呢
第一步還是要解積分因子
i等於exponential積分
p的這個2
然後dx
這樣子可以吧
這就是我們的積分因子
它的答案就是1的2x加c
那我們取多少呢
我們取1的2x就好
好再來要注意
我不是要把它乘進去
不是上一個方法
接下來呢
我要假設
設通解
為什麼
這個y等於1i
ux
等於1i就是1的-2x次方
然後ux
好那接下來呢
這個東西叫通解
代進去就要和
代入原式得
得什麼呢
來把它代進去
第一個微分
微分的話兩個相乘的微分開始操作
來-2e的-2xu
加上呢
這個是1的-2xu的微分
對不對
然後再加上2y
2y的話就是2e-2xu
然後呢再來後面是什麼
後面是5
長這樣對不對
好那你可能會覺得這很複雜對不對
這一點都不複雜
這個之所以會拿出來變成一個招式
就是因為它很多地方可以消
特別是這裡有沒有看到
這個把它代進去這邊有個-2
這邊有個加2
這兩個怎麼樣
不見了
所以是不是隻剩下這個
1的-2xu的微分等於5
那現在我要解的是u
我的目標是解這個u
所以我們把1的-2xu乘過去
變成u的微分
要叫做5e2x
對不對
那既然u的微分長這樣子
那不就代表說u本身長什麼樣子
u本身就長得像這個的積分
這個的積分就是多少
來先算一下好不好
答案叫做2分之5
1的2x加c
是不是長這樣子
那最後我們是不是隻要把這個u的部分
長這樣子嘛
帶回去後面這個u
不就結束了嗎
因為y就長得像這樣
u不就解出來
把這個帶回去就好啦
所以最後的答案是幾
來我們寫在這邊
你會發現呢
跟之前我們教主題8的時候
是一模一樣的
你可以比對一下
最後的答案
y等於這個1的-2xux
對不對
可是1的-2x是多少
就是1的-2x
u是多少
u是2分之5
1的2x再加c
所以最後答案是2分之5
再加上ce-2x
跟之前的解是一樣
你可以比較一下這兩個算法
看你喜歡用哪個都可以
但是當學校老師指定
你使用參數變換法的時候
你就得使用參數變換法
所以特別來講
如果你們學校有教這個方法的話
一定要會好嗎
不要說傻傻的拿這個題目
反正全部用公式法
全部用積分因子法就好了
不行
有時候老師會指定你使用什麼
variational parameter
指定要使用這個方法
你就得使用這個方法
ok
那如果你們學校沒有教這個方法的話
這個部分就可以跳過沒有關係
因為這個東西不是每個學校都有教的
ok
好那這個方法呢
跟大家介紹到這邊
等一下我們還有一個立體2
那我們等一下見

