Ch3B 1

[音樂] 所以呃讓我首先回憶一下 我們昨天討論的內容呃好吧所以呃 你知道回想一下在第二章中 嗯讓我們 看看好吧嗯所以呃在第二章中我們 表明你知道離散 時間信號和連續時間信號呃 您 始終可以將它們表示爲 移位脈衝的線性組合， 因此您知道如果將這些 信號通過線性時不變 系統，那麼輸出信號 也將是 具有相同縮放參數的這些移位脈衝的響應的線性組合 好的，在 這種情況下，如果您能夠獲得 這個線性時 不變系統的脈衝響應，您將能夠 在本章中完全表徵任何 uh 信號的輸入和輸出關係，而 不是使用這些 Delta 函數 將這些移位脈衝作爲 表示的基本信號分量， 您知道這些輸入信號，我們 想看看使用 這些復 指數作爲基本信號 分量，好吧，所以您想 看看 可以使用 這些表示的信號 現在，復指數作爲基本 信號 分量，這樣 做的主要動機 是，你知道，因爲這些 復 指數是線性 時不變 系統的 Pon 函數，所以我的意思是， 如果你將復指數作爲 輸入，那麼 你在輸出中得到的 也將是相同的復 指數 加，除了取決於 參數 s 的比例之外，所以想要查看 復 指數的原因是因爲這些函數 是線性時不變系統的 I 函數， 這意味着如果 你 輸入這個信號，你會 在輸出中得到相同的東西，除了前面的這個 附加常數。 現在你 可以通過 脈衝響應的積分乘以 你所計算的復指數的複共軛來評估這個呃尺度H ofs。 看看好的或類似的 離散時間情況下，當你 看到你知道這個特定的Z 時， 好的，那麼嗯，如果你說如果你 說你知道這個復 指數會產生一個與復 指數時間相同的輸出 這裏的 sk 的因子 h 那麼如果你輸入復 指數的線性組合，那麼你會期望 你也會得到 相同復 指數的線性組合，好吧，你知道 線性組合 係數， 好吧，那麼 呃，對，那麼那麼 問題是你 知道我們實際上可以用這種形式表示什麼類型的信號， 那麼 我們可以用這種形式實際表示什麼類型的信號， 如果你知道 我們可以用這種形式表示的這組信號 太小或者 只出現在 在極少數情況下， 我們可能不會感興趣， 但碰巧您 知道一大類信號，呃基本的 Al，您知道 我們在工程應用中可能遇到的幾乎所有信號都 可以以某種 形式表示，例如 好吧，這就是爲什麼這個 分析是這樣的，所以你知道實際上 很有趣， 好吧，呃，逐漸發展這個 想法，呃，讓我們從觀察 週期性信號開始， 好吧，因爲我們知道你知道這些復 指數，它們本質上是 正弦曲線，它們是 週期性的，具體取決於 你知道 頻率的選擇，所以如果你知道 採用這些復指數的線性組合， 你至少會 期望它們可以代表 你知道的 週期性的東西，所以假設我們首先看 一下 一個 週期性的信號，週期大寫 T 正確 意味着 T 的 X 等於 t 的 X 加上所有 T 的大寫 T，所以這裏 基本週期是最小的 大寫 t，使得該方程成立 ，然後您知道 2 pi 基本週期爲您提供 稱爲 Omega KN 的基頻 好吧，所以兩個呃您知道 具有 基頻 Omega KN 的週期性信號的基本示例您 知道正弦信號 餘弦 Omega t 或週期復 指數 e 到 J Omega T 好吧，現在假設我們首先看 一下這個復指數 e 到 J Omega t 好吧，這就是 你知道的週期信號，週期 大寫爲 T 好的，週期大寫 T 現在如果你採用 這個 基頻整數倍的復指數，那麼 你可以用 相同的 週期資本 T 來構造你知道的其他復指數 好吧，所以如果你將 所有這些復指數收集 在一起，那麼你擁有的是一組 所謂的調和相關的復 指數，所以這就是集合 復 指數的頻率等於你 知道 Omega KN 的整數倍 好吧，所以諧波相關復指數集合的一個有趣的屬性 是，所有這些 信號都是週期性的，具有相同的 週期資本 T 好吧，所以如果你採取 這些復指數的線性組合 如果你採用 這些諧波 相關的復 指數的線性組合，那麼這個線性 組合我們稱之爲 T 的信號 X 也必須是週期 資本 T 的週期，所以所有這些 單獨的分量都是週期 資本的週期 T 所以，如果你採用 它們的線性組合，它們在一起 也將是週期性的，週期爲 t 好吧，如果你知道通過 選擇這些 線性組合 係數的不同選擇，你可以 在 T 處構造所有不同類型的信號， 所以你 知道好吧 通過選擇這些 線性組合集，您可以知道 不可數無限，因此，通過僅 收集 信號 uh 以及這些線性組合係數的所有不同選擇， 您基本上就知道了一組 無限大的信號，可以 通過以下方式構建 這些 諧波相關的復指數的諧波線性組合 好吧，這就是說 你知道實際上可以用這種形式表示一大組信號， 所以如果你可以表示一個 信號，好吧，如果你可以通過表示來表示一個 信號，好吧，好吧 a 週期 T 的信號，以這種形式 呃，你 說這是 四年系列 表示的形式 好吧，所以通過以這種形式寫下 T 的 X， 你說這是 T 的 X 的四年系列表示， 所以呃進入 這個方向從 一組與 諧波相關的復指數開始，通過 讓您瞭解這些復指數的所有不同類型的 線性組合， 您可以構造一類非常 大的信號，這些信號可以 用其前級數表示來表示， 現在好嗎 你從另一個方向知道 假設給你一個 T 的信號 X 知道它有一個 fuor 級數 表示，那麼 有必要知道如何 確定這個表達式，即如何 確定 這個線性組合的係數， 所以這 是我們在昨天講座結束時討論的內容， 所以假設我們得到了 T 的週期信號 X 好吧，我們 想要找到它的前級數列 表示，即我們需要 找到這些線性的前級 結合係數 AK 以及我們應該如何正確地做到這一點， 通過我們昨天展示的這個 uh 推導， 我們發現爲了找到 第 n 項的係數，需要找到第 n 項的 Coe 係數或 案例項 uh N 的係數 項對應於 e 到 J N Omega KN t 的復指數 好的，要找到係數 a n uh，您可以取 t 的 X 相乘的平均值，即 T 的 X 相乘的一個週期的平均值， 我們感興趣的是複數指數的複共軛， 也就是說，你取 T 上的 1 爲一個週期內的平均值 t e 的大寫 t x 的積分 0 到負 J N Omega 現在不行，因爲積分內有這個信號 相對於 週期資本 T 是週期性的，因此，只要 這個積分延伸到長度資本 T 的區間，您知道在什麼範圍內取這個 積分並不重要， 您 應該得到相同的 結果，所以因此 我們通常不 指定這個積分的上限和下限，而是 在下標中寫下 uh this period 大寫 T 來表示這個積分在 一個長度大寫 T 的區間內，而不管起點是 什麼 嗯，如果給定線性 組合係數 uh AK，則可以 使用此處的表達式構造 T 的信號 X， 反之亦然，如果 給定 T 的信號 X，則 可以通過計算此積分來構造 fer 係數 AK uh 好吧， 用 XT 你可以找到 AK，用 AK 你 可以找到 T 的 X，所以這是一個你知道的 可逆關係， 好吧，所以這個呃 AK 這裏是一個 fer 級數，就是 所謂的 fer 級數 係數，或者有時也 稱爲 頻譜系數，因爲它是 對應於 T 的 X 在 頻率 K * Omega KN 處的頻譜分量的係數 好吧好吧，讓我們看幾個 例子 好吧，所以我們在這裏給出的是一個用於 查找線性 組合係數的通用表達式 EX 或者 給定 T 的週期信號 X 的 foror 級數係數 現在在某些情況下 uh 通過觀察這些線性 組合係數是非常明顯的，所以如果 從表達式中已經很明顯，那麼 您不一定必須應用 這個 uh 公式 這裏 好吧，呃，有幾個例子， 你知道明顯的情況，例如在 示例 3.3 中，我們有 t 的 X 等於 S Omega t 好吧，直接根據 ul 的 關係，你可以將其寫爲 1 / 2J e 到 J Omega T - 1 / 2 j e 到負 J Omega t 好吧，如果你把 e 到 J Omega T 減去 uh，用 e 到負 J Omega T 實部餘弦抵消 ，剩下的就是 虛部 J 的 2 倍 sin Omega t 好吧，所以 2J 是你知道的，除以 2J 你去掉前面的係數 ，然後你剩下的是 s Omega T 對，所以通過這個表達式，你 知道系列係數的 fre 是可以的，所以這些 是 一階諧波，這些是 基本 uh 分量，所以在這裏我們可以看到 A1 是 1 / 2 j 減一是 -1 / 2 J，其他一切都是零，所以 對於所有 K 不等於加，AK 爲零 或減去 1 好吧，所以只需通過觀察，我們就可以 直接找到這種情況下的 fre 係數， 現在這個呃示例 3.4 對於所有這些正弦曲線 s 餘弦 uh 來說都是相似的，我們可以 使用 uh ul 的 公式將它們 uh 分解爲復指數好嗎，所以特別是 uh 所以對於 S Omega Nott 來說，它與我們 上面的類似，即 1 / 2 2 j e 到 J Omega T 減去 E 到 Theus J Omega T 好吧，現在對於這一項 2 cosine Omega T 我們可以將其寫爲 e 到 J Omega t 加 e 減 J Omega 現在對這個 Co L 不太好，它 與第二項類似，但 前面沒有兩個，所以這變成 12 e 到 J 2 Omega t + < 超過 4+ e 到負 J 到 Omega t+ pi/ 4 好吧好吧，然後 uh 通過 觀察我們可以 找到係數 a0 uh ，它應該 對應於常數項應該 是 1 好吧，然後對於 A1 A1 對應於項 e 的係數 到 J Omega T 好吧，所以我們 在這裏和這裏都有 e 到 J Omega T， 所以 A1 是 1 除 2 J + 1 好吧，或者 如果你在 這個 uh 的分子和分母中都乘以 J，你可以重新組織這個權利 你 會得到 1 - 1 / 2 J J 好吧，同樣，對於 sub minus1，我們 看到這應該是 項 e 到負 J Omega t 的係數 好吧， 所以呃，這 變成 -1 / 2 J + 1 對，即 1 + 1 / 2 J 好吧嗯，所以除了 這些基本成分之外，我們 這裏還有二階諧波，所以對應於 A2 的係數是 J pi/ 4 的 12 倍 e 好吧，所以這 也是這也可以拆分 前面的一個因子是 e 到​​ J pi/ 4 好吧，所以 e 到 J pi over 4 是 cosine pi over 4 右餘弦 pi over 4 是 1/ s < TK 2 plus J sin pi over 4 這是 同樣 1 over s < tk2 好所以這 變成 < tk2 over 4 of 1 + J 好所以對於這個 uh 二階諧波 e 到 Theus 2 Omega T 的 係數 a 減 2 是 12 e 到負 J Pi / 4 好所以 如果 你評估這個，這將變成 < TK 2 over 4 1 minus J 好吧，所以通過在這個例子中的觀察， 你可以直接獲得 a0 uh 的級數係數， 現在對於所有其他來說，加或減 1 和加或減 2 項係數 爲零 好吧，所以對於所有 不等於 z+ -1 和加 - 2 的 K，a 等於 0 好吧，所以這些是明顯的例子，現在 我們可以看一下呃不太明顯的 例子 好吧，現在假設我們正在看 這個週期性的方波，所以我們 有這個方波 R 波，一個 從負 T1 到 T1 的方波，並且每個大寫 T 都重複一次， 好吧，每個 大寫 T 的整數倍都重複， 所以這是一個週期信號，所以 在一個週期內 從數學上講，在一個 時期內，好吧，讓我們說 從負 t/ 2 到 t/ 2 呃，你可以 在這裏用這種形式表達 T 的 X 好吧，所以 T 的 X 是 1，因爲你知道 T 介於負 大寫 T1 和 T1 之間， 否則 現在可​​以 um 現在讓我們假設 這個 信號 有一個四年系列 表示，那麼我們 假設 四年 系列 表示 存在， 所以如果 foror 系列表示 存在，我們可以使用 這裏的公式找到它，或者 這裏的公式，所以 嗯 好吧，也許讓我們 首先看一下 K 等於 0 的情況，所以在這種情況下 uh a0 是 1 / T 一個週期內的積分 uh 讓我們 選擇它減去 t/ 2 到 t/ 2 好吧，X 的 T DT 好吧，現在 T 的 X 等於 1，從 負 T1 到 T1 好吧，所以這變成了 uh 1 / T 減去 T1 T1 DT，它是 2 T1 除 資本 T 好吧，所以常數項右邊的 常數項本質上是 平均值 一個週期內的信號 好吧 現在我們可以看一個更復雜的 情況，你知道 K 不等於 0 好吧，所以如果 K 不等於 0 那麼好吧，讓我們看看你需要對 X 進行 k = 1 / T 積分 X t e 到負 J K Omega kn T DT 好吧，現在 T 的 x 又只是 負 T1 到 T1 之間的一個，所以你可以用 1 替換 t 的 X 並將 積分限制在負 T1 到 T1 之間，所以如果你這樣做，那麼你 只是 在這個區域上對這個複雜的 X 指數進行積分，所以你 得到的是 -1/ J K Omega KN t e 到 負 J K Omega T 從負 T1 到 T1 好吧，所以你知道如果 你可以把它插入你會得到 這個 用 T1 減去與減去 T1 相同的東西 好吧，所以根據 的公式，這 會給 你 2J 超過 J K Omega KN T1 哦， 對不起，對不起，這應該沒問題， 這裏應該是大寫 T， 因爲 這個好吧，所以這 是嗯，你知道 2J 超過 J K Omega 大寫 t s K Omega KN T1 現在可以，因爲 Omega KN 不好，或者可以，因爲 Omega KN 是大寫 T 的 2 pi 好的，所以如果你把它插入 右邊，這會減少 到 2 大寫 t s 2 pi 超過大寫 t k T1 超過 2 pi 超過大寫 t k 好吧， 好吧，嗯，讓我 在這裏寫一個 T1，在這裏寫一個 P1 好吧， 所以如果你 正確地看這個公式，那麼在分子中你 就有這個符號函數了，在 新的和分母你有這個 項等於 符號 函數的內部好吧所以這基本上是 嗯 好吧 所以這基本上就是我們 所說的同步函數好吧它被 定義爲 x/x的Sin 好吧所以當X是 在 Pi 的整數倍處 如果 x 是 Pi 的整數倍， 則符號等於 0 好吧，所以如果 可以 如果 x 是 Pi 的整數倍， 則 s 等於 0 好吧，除了 X 爲零的情況 好吧，如果 x 等於 0，那麼分子 和分母都爲零，好吧，那麼 你必須通過對分子和分母求微分來應用 lol 規則 um，在這種情況下，它將 等於 1，所以一般來說對於 同步 同步函數看起來 像 這樣 um 所以同步函數看起來 像這樣 當 x 等於 0er 時它等於 1 但在 Pi 的整數倍處它等於 0 比如說 Pi 2 pi 3 pi 和 依此 類推， 好吧，現在正弦波在 1 和負 1 之間振盪，但 X 隨着 X 增加，1 /x 變得越來越 小，因此您會看到一個信號 在正負之間振盪， 但隨着 X 增加而逐漸減小， 因此如果同步函數 看起來 像 這樣，嗯， 好吧，所以你從這一點開始， 在 Pi 處歸零，在 2 pi 處歸零 ，然後在 3 Pi 處歸零，所以這是 pi 好的，然後在 4 pi 處再次歸零， 依此 類推， 現在好吧 如果你看一下這個，這本質上就是對 同步函數進行採樣， 所以這本質上是對 函數 2t1 / t s Omega T1 對 Omega T1 進行採樣，以 2 pi 對大寫 T 的整數倍進行採樣，所以你可以查看這個 作爲對 Omega 的 uh Pi 2 Pi / t 的整數倍採樣此同步函數， 好吧，所以呃，你可以在這裏看到，你 知道這裏的同步函數是 按 T1 縮放的，所以不是看起來 完全像這樣，它是按 T1 縮放的 好吧，當你按 T1 縮放時，這意味着 你的信號傳輸速度很快， 因此信號會縮小 T1 的倍數