數學史 【數學史】初等概率論的起源

老師 您教的近視線沒有用的東西 我不允許你這麼說自己 哎 數學史裏有一個東西 對它進行基礎研究其實很簡單 難的是人類得先意識到它的存在 這個東西就是概率 概率這玩意兒 其實本質上是個很難讓古人接受的存在 只不過我們從小就生活在現代世界 所以這個難點上來直接就消失了 一個小學數學課本里 理論上最爲抽象 並且出現最晚的東西 竟然因爲題目好做 而成爲了小學生最喜聞樂見的章節 概率這個概念 無論是在中國還是在外國 被人提出與接受的時間 其實都非常遲 一千多年來 只是說說可能不可能不太可能 從來沒有人說 我們把它量化一下 提出一個叫概率的東西 這個思維定式其實挺正常的 就像我們之前聊運動學的時候一樣 大家都能意識到 一匹馬一天跑一千里挺牛的 但是大家不會意識到 必須要去提出一個叫速度的東西 概率論的最早研究 可以追溯到16世紀的卡爾達諾 他是個文藝復興時期的學者 主要從事醫學數學 還有占星術 他最出圈的人物設計師 自己占卜出來 自己會在某一天去世 結果發現自己好好的活到了那一天 爲了保證自己預言的準確性 他竟然主動去世了 這故事沒有一手文獻記載 聽個樂不保證 卡爾達諾曾經長期混跡於賭場 一來二去實現了他致富的夢想 他意識到 雖然骰子扔出來什麼情況都有可能 但是有的可能就是比其他可能更有可能 比如三個骰子扔出三個不一樣的點數 就是比扔出豹子更常見 卡爾達諾覺得 這背後肯定有什麼奇妙的規律 在支配着這一奇妙個球 單純就是因爲豹子的組合 遠少於三個不一樣的組合數量 所以這本書現在說起來 是卡爾達諾寫的 該理論的起源之作 但那時候 他其實只是一個 研究排列組合數的玩意 那研究幾個數字有幾種組合的 全世界多了去了 發明過骰子的文明 都研究過這個問題 之所以卡爾達諾這本書 被數學史專門挑出來當榜樣了 是因爲書裏多幹了一件事情 他把出現特定情況的次數 除以了所有可能的次數 比如三個骰子 豹子有六種組合情況 總共有216種組合情況 所以他寫出了1比36這個比值 也成爲了第一個 試圖量化概率的行爲 但是這種歪門邪道 又沒啥意義的東西 很快就被人忘記了 就這樣過了好幾十年 數學界才重新有大佬 研究起了賭博與決策問題 那麼是誰呢 哎 都是熟人 首先是那位最近隔一期出現一次的 經典背景版 黑馬 另一位數學家是 帕斯卡 就是那個帕斯卡三角 以及壓強單位的那個帕斯卡 1654年 法國有個叫德莫勒的賭博上癮選手 提了好些現在看起來 非常簡單的賭博問題 求解答 帕斯卡和黑馬就經常寫信 聊這個敗價玩意 提出那些問題 他們在此期間提出了一個詞 叫期望值 哦 這又是一個有趣的小細節 數學史上是先提出數學期望 後提出概率的 所以帕斯卡他倆聊期望的定義的時候 還是用機會這個詞來描述的 就是說 如果我們開個骰子的賭盤 那個敗價玩意來了 怎麼定賠率合理呢 哎 可以跟他說 扔一次骰子 如果是6 就給他兩塊錢 如果不是6 他就得給咱一塊錢 那他參與這個遊戲所能賺到的錢的期望值 就是1 6的機會乘以2 加上5 6的機會乘以-1 算出來等於-1 2 所以對他來說 這個遊戲單次的價值 如果你們覺得這些問題很無聊 那是非常正常的 這時候的初等概率論 研究的不是骰子 就是硬幣 他們的特點是 結果非常可控 也非常弱智 如果真要說這裏面什麼東西 能有點技術含量的話 那就是 這個過程需要掌握階層和組合數概念 帕斯卡說 啊 就那玩意啊 早整出來了 一個正整數的階層 就是指小於及等於該數的正整數的基 後來的符號記成這樣 比如3的階層就是 3乘2乘1等於6 6的階層等於 6乘5乘4乘3乘2乘1等於720 這很明顯在告訴我們 這玩意只能用來算正整數 屬於經典的離散數學的範疇 大腦正常的人類 是很難想象的到 去研究什麼0.75個確有幾種取法 那3.14的階層等於多少的 然後就是組合數 對於整數而言 這玩意一出來直接終結比賽了 我們之前也說過 這個叫做二項式定理的東西 其實另一個視角看 就是組合數的計算規律 只要組合數公式不記錯 正常的賭博期望問題 那根本都用不到數學天賦 研究這玩意 簡直白瞎了費馬寶貴的注意力 除此之外還有一個問題 概率這個東西除了賭博 到底還能有什麼用呢 這個時候世界上除了 骰子硬幣撲克牌 哪有能直接把所有情況一除 算出來概率的玩意兒 那這時候有點頭腦的數學學習者 就會跟自己的導師吐槽了 老師 您教的竟是些沒有用的東西 眼看概率論即將因爲毫無卵用 而要夭折的時候 這使得歐洲在政治上和科學上 同時發生了兩件大事 殖民擴張和科學革命 殖民主義對世界政局 造成的影響有多深遠 就不用多說了 不瞭解的可以去翻翻中國近代史 那鬼佬們的殖民和遠洋航行 跟概率論有什麼關係呢 當年的場景大概是這樣的 一群水手或者商人 在酒館找了個位子隨便坐 聊起了今天又有哪幾只皇家艦隊 出去搶劫或者做生意 他們就開始賭 說我押100塊錢 這艘船回不來 或者說我押1000塊錢 那艘船肯定能回港口 這比搖色子有意思多了 這個行爲 就是後來銀行保險業務的前身 著名的 有着三個多世紀曆史的保險市場 倫敦勞合社 就是起源於海上保險業務 那他們在進行投資決策的時候 和大量金融資本掛鉤的概率問題 也就變得非常有現實意義了 之前的搖色子概率 對散戶賭徒來說 沒有意義的核心原因是 就算費馬和帕斯卡 給你計算一通數學期望 說80%的概率你能賺 但你最後就是賠了 你上哪說了一圈 你還想說在其他四個平行世界裏 你都賺了嗎 就哪怕放到現代 你抽個卡 遊戲公司說 按照數學期望 你抽30次就能出貨 結果你就是抽了100次 你上哪說了一圈 頂多在看到結果之後 發個帖子之類的 暴雨概率95%就是達晴天 瓜葛概率3%就是你重修 你上哪說了一圈 這就是概率學 在正常人的生活裏沒用的原因 它本來就不應該用來對個體世界負責 但是在開賭盤的莊家 保險公司計算師的幫人手裏 它的用處就顯現出來了 因爲這些人 他們要經手的是大量的個體世界 而且要進行真金白銀的決策 所以概率在和統計結合之後 它纔能有比較實際的意義 考研考過數學一的可以尋思一下 爲什麼考研數學概率論那部分 全稱叫概率論與數理統計 高保險的 如果一翻某個組織的統計記錄 他們歷史上每次派出去的船隊都回不來 那這些人從概率學上講 也不願意給這些組織投保了 這種根據歷史觀察結果和經驗數據 得出的概率叫做後驗概率 哎 這玩意兒才容易理解 不像前者那麼抽象啊 之前那個投色子和硬幣的概率 被稱爲先驗概率 指的是在還沒有看到具體數據 證據或結果之前 我們基於已有的知識經驗或者理論假設 直接估算某個事件的概率 這兩種概率有着非常微妙的關係 對於這兩種概率的理解 甚至影響到了我們如今看待世界的方式 它也奠定了科學革命之後 人類對於該信什麼 不該信什麼的思維基礎 我們先問大家一個學生時代 絕對見過的概率題 一枚硬幣正反面的概率都是二分之一 它連續投了100次都是正面 那麼它下一次扔出去 是不是很大可能是反面 老師跟你們講的標準回答應該是 不對 別說100次了 就算連續1萬次都是正面 它和下一次結果都沒有關係 第1014依然是正反兩面概率各二分之一 哎 我懂 這道題是出題者 爲了讓大家分清楚概率和頻率的區別 這咱都能理解 但是這個提示 是我覺得整個學生時代裏 概率題目最傻逼的提示沒有之一 你們想想看 如果一個硬幣連續投1萬次都是正面 它哪來的屁臉 好意思說自己的概率是二分之一 就像我們回到前面說的那個倫敦勞合社 假設有一個商行領袖 帶着一筆錢登門拜訪 工作人員說喜歡您來 請問有什麼可以幫您 然後領袖說 我要給我們商行的這隻船隊投保 它能平安回來的概率是二分之一 然後工作人員一打聽 好傢伙 抽海了1萬次沒有一次活着回來的 他跟領袖說 滾啊 雖然不知道你們商行是怎麼活到今天的 但是我們是絕對不會承保的 然後領袖繼續不要臉的說 雖然已經失敗1萬次了 可是它和下一次結果一點關係都沒有 它只有回來和不回來兩種情況 所以是二分之一 這個提示同時也是對伯努利大叔定律的一種變相侮辱 這個定律來自伯努利家族的哥哥 雅各布伯努利 同時他也是第一個使用並定義概率這個詞的數學家 他在自己的著作猜多數里 首先確實無奈地表示 很多事情確實是不可能算出來鮮豔概率的 他說 我問一下子 誰能告知所有疾病的種類 算出所有可能的病例 然後說哪個病比另一個病更致命呢 或者誰能取出大氣層每天的無數變化 然後預測此後一個月甚至一年的天氣呢 但是很多問題是能通過觀察事實得到厚顏概率的 在獨立重複實驗中隨着試驗次數趨近於無窮 隨機事件的頻率會收斂於其理論概率 這就是伯努利大叔定律 雖然會有出題者對之前那個扔了一萬次硬幣的提示進行找補 說只是區區一萬次而已 離伯努利說的無窮次還差得遠呢 道理沒錯 但是現實生活中誰跟你扔無窮次 你連續十幾次證明 你就會高度懷疑這硬幣是不是沒有反面啊 這個時候如果你還雷打不動地堅持着 硬幣就是二分之一的概率 那麼你就屬於經典概率的立場 模型不變 概率不變 別說其他有的沒的 但是這時候如果你產生了動搖 那麼恭喜你 你在無意識中已經具備了當今科學界最現代化的一種思維方式 你已經踏入了貝葉斯主義的大門 貝葉斯 18世紀英國神學家 他的老本行是牧師 但是在大主教貝克萊攻擊牛頓威擊鋒的論證中 他挺身而出 從哲學角度爲爵爺辯護 這場論戰我們在後面講到爵士大戲第二次數學危機的時候 會從頭到尾重新講一遍 貝葉斯爲牛頓辯護而寫的書 讓他受到了英國皇家學會的邀請 成爲了學會的議員 不過除了這項工作 他生前確實沒有發表什麼其他數學方面的文章 只在死後留下了一個 後來被稱爲貝葉斯定理的結論 請看大屏幕 貝葉斯定理寫成這樣 這四個P分別指的是A事件的概率 B事件的概率 在發生了A的前提下B的概率 在發生了B的前提下A的概率 如果感覺有點繞 我們也可以這麼看 只看黃色這部分 這個式子就是一個怎麼把先驗概率PA 經過一系列和B相關的事實觀測調整 算出後驗概率PA-B的過程 不知道大家有沒有聽過一個網上流傳挺廣的概率論問題 有兩個預言家 一個預言成功的概率是80% 一個預言成功的概率是5% 他倆同時預言明天世界毀滅 求明天世界真的毀滅的概率 我直接說結論 這題出錯了 題目缺條件 因爲按照貝葉斯定理和已知數據 算出來的結果長這樣 你不預設一個世界毀滅這個事情的先驗概率PA的話 這題沒有準確答案 我們現在拿這個公式 再來解釋一下100次硬幣那個題目的反常性 事件A我們把它標爲它是假幣 或者有人出老千有吸鐵石 反正就是硬幣有問題 事件B我們把它標爲頭100次都是正面 作爲老實人 我們一般肯定覺得投硬幣有問題的概率很小 誰家好人造假幣造的是硬幣 那麼我們就假設PA是1萬分之一 懷疑度那麼小很給你面子了吧 那我們來看看在B這個 頭100次都是正面的事情發生之後 懷疑度PA-B還有沒有那麼小 PB-A就是如果它是個雙正面的假幣 那麼它連續100次都是正面的概率 那還說啥了 你都雙正面了 你還想支出反面不成 所以這是1 PB就是頭100次都是正面的概率 這裏要用一下全概率公式 也就是我們要同時考慮一下各種情況下 幣實現的概率 然後把它加起來 這個幣有兩種情況可能實現 一種是假幣 一種是真幣 假幣的情況就是 雖然萬分之一 但是一假就毫無懸念 真幣的情況就是 雖然我非常相信你是真的 但是你要經得起 癌因次的二分之一實驗考驗哦 我們依次往癌因裏代數字 當它等於2的時候 也就是莊家和你玩 扔了兩次是正面 總概率算出來是0.0003999 你對莊家嘻嘻笑笑說 啊 我感覺你這裏有萬分之四的概率 投出來全是正面呢 也許投了十次的時候 一直壓反面的你 明顯感覺有點不爽了 你拿貝葉斯一算 你的PA-B已經飆升到0.929了 你眉頭一皺 和莊家說 啊 我感覺你已經有將近十分之一的概率 在出老千了 如果你真不信邪的 跟人家玩了100次全是正面 你現在心裏覺得硬幣有問題的 後延概率是多少呢 嘿嘿 零後面個26.9 你突然釋懷着笑 啊 你坐着拜託我去廚房給你拿點錢 在這個過程中 你原本的先延概率PA 可以視爲你的原始信念 這個信念可能來自於你的人生經歷 教育認知 以及一切你能用來進行預先判斷的影響因素 如果在剛剛那個硬幣賭局裏 你上來對於對面是個什麼人 一無所知 本人也沒有什麼立場 意思就是你一開始的PA 就不是萬分之一 是二分之一 那隻需要連續證明四次 你的懷疑率就已經能飆到94%了 我們也能回頭解釋一下 最開始那個提示 爲什麼邏輯本質上沒啥問題 因爲在那個語境下 題目裏的硬幣就不可能有任何概率是假幣 那既然先延概率PA都是零了 你無論觀測到什麼證據 你把B玩出花來 你的後延概率P A-B都是零 這其實也代表了現實世界中的三種態度 所有和真實世界相關的理論 它是絕對真理的概率 都不可能是百分之百的 只有類似邏輯學和數學 這種不依賴具體物質或現象的形式科學 才能出現百分之百 比如說 真命題不爲假的概率 任意實數的絕對值不是負數的概率 剛剛這最後一種 在現實世界中屬於狂熱的迷信分子 也就是任何現實證據都不可能動搖 它對某個事件的信任概率 這裏的迷信不一定是宗教 也可能是迷信某個人 某個群體 甚至迷信某科學理論本身 比如相信書本和老師絕對不可能犯錯 相信上帝絕對是存在的 相信地心說絕對不可能有問題 這種時候 所有外界信息 包括擺事實講道理 進行理性分析 對他們來說都是沒有用的 第二種屬於原本對某個事情 就沒有太多理論儲備和事實經驗的群體 貝葉斯公式告訴我們 這樣的群體 很容易在某些事上 受到簡單的幾個個例影響 而產生極大的搖擺 你看任思思正面就覺得 初老先概率是94%了 這也告訴了我們 爲什麼要學習更多的知識 或進行更多的實踐 甚至要去了解 那些和我們的觀念相悖的群體的思想成因 只有這樣 我們才能獲得對一些事情而言 比較全面而可靠的鮮豔概率 做出更準確的判斷 如果能做到這一點 原本的第二種群體 就會演化爲最開始提到的第一種 它屬於最爲正常的科學認識觀 也是幾百年來 絕大部分科學家的處事邏輯 就是說 我們基本相信 前人畫了幾十代人得到的結論 但是依然保有1% 或者萬分之一的懷疑態度 一旦我們在自己的研究生涯中 發現了影響我們信任程度的事件B 那麼我們對曾經十分尊崇的A的懷疑度 就會增加 比如牛頓力學 在18世紀末和19世紀初 經過無數天文觀測與實驗驗證 它的正確概率 在科學家的心中高到近乎100% 但是在水星近日點勁動被觀測到之後 這個概率開始微微下降 會開始有一些人考慮 是修改一下牛頓的理論 還是斷定這些反常現象只是觀測問題 當愛因斯坦的廣義相對論 成功解釋了水星近日點勁動之後 我們對牛頓力學在低速弱暢條件下的 適用性信心又升高 因爲它被確認是更廣義理論的近似形式 經驗科學上的結論永遠是暫時的 已經證僞的理論如果出現新的證據 依然可以重回大衆視野 而即便是現在 我們也可以自信地說 只要人類文明不斷發展下去 愛因斯坦的理論也不會是最後的真理 總有一天會被更先進的理論所取代 不過那個新理論 一定要經受住那個時候的一堆現象B的考驗 因此 概率論雖然在18世紀才被正式納入研究議程 表面上源於賭博和銀行保險 但其更深層的動因卻是科學革命 它爲評估一個科學理論的可信程度 提供了衡量的尺度 當然 作爲一個與現實緊密相關的概念 圍繞它的質疑從未停息 比如 休莫就曾經在《人類理智研究》中 問過類似這樣的問題 就算太陽連續幾百萬年都照常升起 可是這和它明天升不升起 有什麼理性上的必然關聯嗎 除了休莫的這個問題 那些其他現象上的問題 也都很難使用依靠貝葉斯理論 支撐的現代科學進行有效的解答 說到這裏 在視頻的最後 我們還得提一件哲學史上的事情 作爲最早研究概率論的數學家之一 帕斯卡提出了著名的帕斯卡賭注 他一方面相信現實世界中各種事件的偶然性 另一方面用仕途 用數學期望來論證 每個人都應該選擇信仰上帝 在帕斯卡的著作《思想錄》的第233節 他構建了一個四項線的決策矩陣 分別對應是否信仰 以及上帝實際上是否存在 按照他的說法 如果信仰且存在 那麼上天堂的受益復職就是正無窮 如果信仰且不存在 那需要進行的犧牲 也就只是一些現實境遇行爲 可是如果不信仰且不存在 看起來是現實可以隨心所欲 無所顧忌 但是下地獄永世不得超生的受益復職 可以說是負無窮了 這樣一來 無論上帝存在的概率是多少 也無論怎麼計算 都是選擇信仰更划算一些 他通過正無窮與負無窮這樣的復職 抵消了上帝存在的概率影響 這種論調在後世的神學與哲學討論中 引發了廣泛的爭議 比如伏爾泰認爲 這種表述粗俗而幼稚 也對證明上帝存在毫無幫助 神學家們更是認爲 通過像賭博那樣計算收益和回報 選擇是否皈依 完全背離了純粹信仰的初衷 而真正的數學家們看熱鬧不嫌事大 說 帕斯卡你這樣列的不嚴謹 你應該同時考慮到基督教 佛教 伊斯蘭教 道教 印度教 猶太教 先教等 所有神明的條件概率 然後再進行數學期望的計算 各路大佬衆說風雲 總之 這段並不嚴格屬於數學史和科技史的 四項小插曲也非常有意思 至於該信誰該如何抉擇 就要留給每個人自己去權衡了 畢竟面對這類形而上的問題 貝葉斯定律 給不了我們一個準確的鮮豔概率 它需要每個人根據自己的人生軌跡 找到屬於自己的立場