名師精講【小學數學數論專題】 P4 - 【數論專題】02.1 數的整除（知識點）

各位同學大家好 我是李劍宇老師 今天我們開始學習數論專題 數論專題 它和初中的代數結合是非常緊密的 希望大家能夠認真學習 那麼我們來看它的第一個指點 也就是數的整除特徵 好了 那麼我們來看一下 都哪些數具有特殊的整除特徵 在這裏面 老師給大家總結了五類情況 好 第一類情況是什麼 來我們看一下 一個數的末位 就是最後一位 能被二或五整除 這個數就能夠被二或五整除 非常好理解 如果你的個位 比如說是二的倍數 整個數它就是二的倍數 如果各位是五的倍數 整個數它就是五的倍數 是這樣一個意思 來 給大家用一個標準的一個證明方式 證明一下 大家注意了 如果老師在這裏邊寫了一個a a乘b 各位我們來看一下 如果老師在這裏邊寫個a乘b 我怎麼寫 我是挨着寫 中間也不用打成號 也不用打點 對不對 但是我在a乘b的基礎上 我在上面打一個橫槓 代表什麼 代表它不是a乘b 代表它是個兩位數 其中10位是a 各位是b 它等於什麼 它是10a 加b 10a加b 那麼我們來看一下 10a加b 10是什麼 10既是二的倍數 也是五的倍數 所以說要想讓它是二的倍數 好了 我只需要讓b是二的倍數 就可以了 要想讓它是五的倍數 我只需要讓b是五的倍數 所以說 各位 也是末位 如果能被二或五整除的話 兩位數 它就能被二或五整除 好了 同樣道理 各位 我們再看一下 末兩位能被四或二十五整除 爲什麼 來給大家看一下這個邏輯 比如說 這是一個三位數 那麼它等於什麼 100a 加上 什麼 各位100a 再加上bc兩位數 我那個a是百位 它代表什麼 是100a 100是四和二十五的倍數 很明顯 這個數是不是四的倍數 100a已經是了 我只需要看什麼 後兩位構成bc是不是 這個數是不是二十五的倍數 注意100a已經是二十五的倍數了 還是看後兩位 所以說 末兩位能被四或二十五整除 這個數就能被四或二十五整除 同樣道理 來看末三位 假如說這個數是 比如說abcde 它可以顯示什麼 注意了 前兩位構成的ab 我給它乘1000 再加一個什麼 再加一個 cde 再加一個cde 後三位 那麼這個數 你看8乘125是1000 它如果是8的倍數 1000還是8的倍數 這個數就是8的倍數 它如果是125的倍數 它是125的倍數 它就是125的倍數 好了 所以說各位 末三位能被8或125整除 這個數 它就能被8或125整除 是這個意思 好了 來同學們 那麼這一塊是比較好理解的 這叫末幾位 末幾位 如果是末一位 看二和五的整除特徵 末兩位是四和二十五的整除特徵 然後末三位是8或125的整除特徵 記住4是什麼 4是2的平方 25是什麼 2的5的平方 8是什麼 8是2的三次方 125是什麼 5的三次方 就是三個二乘乘 三個五乘乘 大家有沒有發現 末一位 那就是對應2的1次方 5的1次方 末兩位對應2的2次方 5的2次方 末三位對應2的3次方 5的3次方 末n位 它對應的就是2的n次方 和5的n次方 當然考試 我們小學階段 不會記錄它太多了 就記錄到末三位是最多了 所以大家記到這就可以了 好了 那麼我們再看一下 一個數 各位數 數字盒能被三整除 這個數就能被三整除 一個數 各位數字盒能被九整除 那麼這個數就能被九整除 來我們來看一下 比如說我們就拿ABCDE 再次來舉例 首先注意A是什麼 A是萬位 所以說它等於 1萬個A 加1000個B 加100個C 加10個D 再加1 然後這個時候幹嘛 A加B加C加D加E 我把它單拿出來 每樣ABCDE 每一個拿出一個來 後邊是多少個A 9999A 多少個B 999B 多少個C 99C 多少個D 9個D 對不對 是不是這個邏輯 好了 ABCDE等於什麼 等於這一堆 那麼同學們我們注意了 這個部分是不是9的位數 99999999 它是不是9的位數 如果數字盒也是9的位數 9的位數加9的位數 它這個數是不是就9的位數 當然 它都是9的位數了 它一定是3的位數 你看9的位數 一定也是3的位數 所以說它不只是9的位數 它還是3的位數 它已經是3的位數了 如果數字盒是3的位數 這個數是不是有3的位數 所以說纔會出現 數字盒 被3整除 也就是是3的位數 這個數就能被3整除 數字盒被9整除 這個數就是被9整除 好了 所以說3或9看的是什麼 看的是數字盒 但是你能這麼說嗎 你說各位數字盒 能被3整除 這個數是9的 倍數 或者這個數能被9整除 不行 但是如果你說 這個數是 9的倍數 各位數字盒是9的倍數 那麼這個數一定是9的倍數 但這個數只要是9的倍數 那麼這個數也一定是幾的倍數 也一定是3的倍數 好了 接下來我們再看一下第三題 第三題是這樣的 如果一個整數的 奇數位上的數字盒 與偶數位上的數字盒的差 能被11整除 那麼這個數能被11整除 啥意思 它的意思就是 機位上的數字盒 與偶數位上的數字盒 這兩個數做差 如果是11的 倍數 或者說差能被11整除 這個數就能被11整除 我給大家舉個例子 注意在差這一塊 加上三個字 叫大減小 打一個括號 應該是 它的盒與它的盒 兩個盒子的差 括號 得是大減小的差 大減小的差 它能被11整除 舉個例子 比如說 730 737 咱說這個數 它是不是11的倍數 來 咋看 什麼叫奇數位置盒 從末位開始算 來 你看這是第一位 這是第三位 這是奇數位 7加7 奇數位置盒是14 偶數位就這一個3 好了 我用大的14 減小的3 等於11 11就是什麼 11本身就能被11整除 那麼這個數 它就一定能被11整除 但如果老師再寫一個 96254 它的基位的盒是什麼 4加2加9 是15 然後偶數位置盒 6加5 11 然後15減11 得多少 等於4 4是11的倍數嗎 不是11的倍數 它不是11的倍數 好了 所以說 它就不能被11整除 那麼第三問 它的理論依據是什麼 老師給大家簡單寫一下 老師簡單給大家寫一下 來 大家可以把這些都記下來 暫停一下 大家把上面記下來 然後老師給它擦掉 然後給大家講解一下 第三個 證明一下爲什麼 大家先把它記下來 好了 各位 我先把所有的內容 先給大家擦一下 好了 那麼我拿它拿什麼來舉例 這樣各位 我還是拿ABCDE來舉例 我還是拿它來舉例 它剛纔講的是什麼 它是不是1萬A 加100B 加10C 加 加1000B 加100C 加10B 再加1 加10B再加1 那麼我們來觀察一下 我們來觀察一下 也就是什麼意思 你發現了沒有 我在這裏邊叫造什麼 造11的位數 誰是11的位數 和1萬最接近的哪個數 是11的位數 和1萬最接近的有9999 還有10001 很明顯9999是11的位數 對吧 99是11位數 兩個99連在一塊4個9 是不是也11位數 所以說是9999A 加A 加上什麼 好了1000 1000和它最近的誰 999 還有1001 1001是11的位數 同學們注意記住 1001是7乘11乘13 這個我就不給大家分解了 大家把它記下來就行了 1001是11的位數 所以說它可以寫成1001 B 加 1001B減一個B 然後100C可以寫成99C 加C 10B可以寫成11B減B 再加一個B 在這裏邊我們把它整理一下 9999A加上1001B 加上99C 然後再加上11B 好了 你看 把這幾個東西 給它弄到一起 然後剩下的 A減B加C減D加E 就是A加C加E 減B 注意 這應該是D 10D 這應該是D 10D 這塊應該是D 好了 ABCDE 好 這塊應該是D 然後A加C A加C加E 減去B再減去D 注意 減去B再減去D 那就是減去B加D 好了 那麼同學們注意了 這個括號裏的東西 它已經是11的位數了 對不對 99991001 99和11 都是11的位數 我要想讓這個數是11的位數 我就得讓什麼 奇數位之和 減偶數位之和 這個差是11的位數 好 是不是這個邏輯 好了 第4個 如果一個整數的末三位 與末三位以前的數字組成的數 這個差能被71113整除 那麼這個數就能被71113整除 注意 這個性質 適用於71113 上面那個性質 只適用於11 所以說 你在判斷一個數 能否被11整除的時候 可以用他們倆當中的任何一個 但是你要判斷7和13 你只能用第4個 好了 那麼我們看末三位 與末三位以前的數字 啥意思 舉個例子 比如說這個數是12345 你說這個數 它是不是7的位數 怎麼判斷 好了 末三位和前面這塊中間隔一下 末三位是345 前面所有位是12 所以說是345-12 這個差是什麼 333 對吧 那我們看333是不是7的位數 算完之後不是 那它就不是7的位數 那它是不是11的位數 算完之後也不是 好 不是11的位數 那麼看完 它是不是13的位數 發現也不是13的位數 那這個數 它既不是7 也不是11 也不是13的位數 好了 那在這裏邊 到底爲什麼選擇第4個 來看好了 這個邏輯 假如說abcde等於什麼 看好了 abcde既可以像上面那麼寫 也可以怎麼寫 前兩個ab我乘1000 再加一個cde 可不可以這麼理解 ab000再加cde 可以這麼理解吧 然後它等於什麼 它是不是可以寫成ab乘上 1001 再加上cde 減去ab 1000個ab是什麼 是1001個ab 再減一個ab 對不對 我再說一遍 1000個ab 是不是可以寫成 1001個ab 再減一個ab 好了 剛剛說完 1001是什麼 71113的位數 這個部分 1001個ab 它是7 是11 是13的位數 那麼我爲了讓它也是 71113的位數 我只需要讓什麼 這個x 這個x是71113的位數 好了同學們 末三位與末三位外 前面所有位構成的x 如果是7的位數 那它是7的位數 那它就是7的位數 它如果11的位數 你發現它肯定是11的位數 它就是11的位數 它如果13的位數 那它也是13的位數 好了 所以說核心就在什麼 末三位減去 除末三位外 以前那個數字 對吧 你看末三位cde 以前數字是ab 是這樣一個意思 這樣一個意思 當然它不能交叉 它能被7整除 只能說是它能被 這個數能被7整除 7對應7 11對應11 13對應13 你不能說這個叉能被7整除 然後這個數能被11整除 這個數能被13整除 那不行 這個叉能被11整除 說明這個數能被7和13整除 也不行 好了 它一定是一個對應一個的 好 各位 那麼接下來 我再給大家看一下第5個 第5個 來 大家依然是把這些記下來 把這些記下來 暫停一下視頻 記下來 非常的重要 這個部分非常重要 我們在這多花點時間去講 那麼後面實際上 我們都會反覆利用到這些知識點 那後面在用的時候 我們就快了 我們可能第一講 這個知識點 這個視頻稍微長一點 大家一定要有耐心 好 暫停一下 把他們都記下來 來 接下來我們看一下誰 第5個 好了 第5個 說如果一個數能被99整除 這個數從後兩位開始 兩位解 兩位解所得的所有數 都應該是多少 所得的兩位解完所有數 解完了 然後從末位開始 這兩個疊加 加在一起 它是什麼 它就是99的倍數 99的倍數 好了 啥意思 這麼給大家看 比如說 1235 然後比如說是52 12352 這是幾位數 是6位數 看它是不是99的倍數 它能不能被99整除 怎麼看 記住 兩位一解 從末位開始 兩位解 好了 我把它結成幾段了 三段 然後把它們加在一起 12352 2加5加2得9 1加3加5 得9 和正好是99 也就是說這個和就是99的倍數 那就意味着它是99的倍數 好了 老師給大家舉個例子 比如說有這樣的一個 有這樣的一個數 是1匡2 7 匡 1匡2 3 3匡 26 1匡2 3匡26 1匡2 3匡26 幾位數 1234567 7位數 7位數注意了 有同學 不太認真 從左邊開始解 兩位解 那變成啥了 1匡23 匡2和6了 這不對 應該怎麼解 應該是 從末位開始解 26 解一塊 三塊解一塊 匡二解一塊 然後是1 應該是這麼解 從末位開始解纔對 那此時把它解成幾段了 4段 分別是什麼 1匡2 3匡26 那怎麼辦 來 1寫到這 然後匡2 寫到這 3匡寫到這 26寫到這 加起來是什麼 是99的位數 那很明顯 能得99就行了 來吧 1加2加6就是9 那說明這塊是什麼 這塊是0 2加3是什麼 5 那說明這塊是什麼 4 有同學一開心一興奮 40來寫了40 反了 對吧 沒反 有同學一開心 可能說把0寫到上面了 對吧 你這麼寫沒問題 它的4它的0 但有的時候你要注意什麼 各位有的同學一開心 沒有把底下的匡和上面的匡 對應起來 對吧 有的時候 你可能把4寫到這了 0寫到這了 這一定要注意 42來找這 在這 30早在這了 對不對 1423026 這纔對 好了 注意一定是從什麼 後兩位或者末兩位 纔開始結的纔可以 這是99的整合成 還是比較好理解的 好了 各位暫停一下視頻 把兩個例子都記下來 兩個例子記下來 好 接下來我們看一下整除的性質 這還是比較好理解的 比較好理解 被誰整除 其實就是是誰的倍數 比如說被8整除 意味着它是8的倍數 被13整除 意味着它是13的倍數 好 A和B都能被C整除 意味着A和B都是C的倍數 那麼他們的和 肯定能被C整除 叉能被C整除 這個沒問題 很好理解 A能被B整除 意味着A是B的整數倍 B又能被C整除 意味着B又是C的整數倍 那麼A肯定是C的整數倍 那A就能被C整除 如果A能被B和C的乘積整除 各位如果A能被B和C的乘積整除 啥意思 比如說A除以B乘C是整數 A都是B乘C的倍數了 那意味着A一定是B的倍數 A也是C的倍數 A能被B整除 A也能被C整除 好了 注意 如果A能被B整除 也能被C整除 然後BC互質 啥意思 舉個例子 A能被3整除 A能被5整除 那麼3和5是互質的 啥叫互質 3和5最大公因數是1 那說明3和5互質 通俗來講 3和5一個放在分子 一個放在分母 由於它倆互質 它倆約分不了 無法約分 那就意味着什麼 A既能被3整除 又能被5整除 意味着A就能被3乘5整除 A能被3乘5整除 也就是A一定能被B和C的乘積整除 好 比如說 你看各位 3能夠整除12 4能夠整除12 對吧 3和4還是互質的 所以說3乘4這個乘積12 就能夠整除12 是這個意思 這倆數只要互質 那它倆的乘積 是不是 就能夠整除它倆的公倍數 好了 然後如果A能被B整除 然後什麼意思 A的m倍也能被B的m倍整除 舉個例子 2 是什麼 2能夠整除誰 比如說2能夠整除6 或者說6能被2整除 6能被2整除 那60就能被什麼 20整除 600就能被200整除 是不是這個意思 好了 來看這 A能被B整除 C能被D整除 就是A是B的倍數 C是D的倍數 那麼A乘C 就能被B和D B乘D整除 很明顯就是A 是B的倍數 C是D的倍數 那AC就是BD的倍數 AC就是BD的倍數 好了 來 接下來我們看一下 舉個例子 975乘上935 再乘上972 再乘上一個方框 要想使連乘積的最後4個數字 都是0 使連乘積 它叫連乘積 連成在一起的 它這個結果 最後的4個數字都是0 那意味着 0是怎麼產生的 對不對 0其實代表的是10 對不對 他說最後4個數都是0 那意味着什麼 那整個乘積 一定是1萬的倍數 對吧 那1萬又是什麼 對不對 1萬是不是10乘10乘10乘10 幾個10相乘 4個10相乘 對吧 那每個10是什麼 2乘5 那有幾個2 4個2 幾個5 4個5 4個2和4個5相乘 它是1萬 1萬 所以說就要求什麼 我們如果把這幾個數 975 935 972 和這個方框 把它們全部因數分解 或者說全部分解之因數 產生什麼 4個2和4個5 才能讓 什麼 這個結果最後出現4個0 對不對 必須有4個2和4個5 來吧 分解一下 對吧 容易 來看這 我發現975 來 末兩位 你看到嗎 末兩位是誰的倍數 末兩位是 25的倍數 對不對 末三位是125的倍數嗎 975是125的倍數嗎 不是 對吧 1000是125乘8 對吧 比1000少了25 那能是125的倍數嗎 不是 所以說975不是125的倍數 那它誰的倍數 末兩位是25的倍數 那它是25的倍數 對不對 這個裏邊相當於會產生幾個5 產生個25 25是倆5 對不對 倆5 但是它不是125倍數 它不會產生三個5 好 935很明顯 35它不是25倍數 它就不是 整個數就不是25倍數 末兩位都不是25倍數 那935能是25倍數嗎 不是 最後怎麼着 好了 我們就看誰 末一位 它就只能是 5的倍數了 對吧 末兩位35不是25倍數 說明這個數就不是25倍數 那更不可能是125倍數 那它只能是5的倍數 那說明它只有一個5 972呢 各位 972 來 我們看一下 很明顯 末一位是2的倍數 說明它是2的倍數 末兩位呢 你看是不是4的倍數 72是不是4的倍數 是吧 但是972是8的倍數嗎 不是 872 872是8的倍數 再加上100 100不是8的倍數 那972 它就不是8的倍數 972 它就不是8的倍數 872是8的倍數 972就不是8的倍數 972不是8的倍數 那就說明什麼 說明它是什麼 它只能是4的倍數 末兩位是4的倍數 它只能是4的倍數 4的倍數 好了 那72 除以4的多少 18 那4的倍數 兩個2 注意它不是8的倍數 它不可能會產生3個2 因爲只有8纔會產生 2乘2乘2 纔會產生3個2 那你看 872是8的倍數 972不是8 對不對 它不是8的倍數 那推而求其次 它是不是4的倍數 是 末兩位是4的倍數 那它產生兩個2 那我要想產生4個數字的話 你看前面有幾個5了 1個2個3個 那我這塊至少還有一個5 前面有幾個2 兩個2 那我至少還要產生什麼 兩個2 是不是這個意思 來我們看 分解一下 975其實是5乘5乘39 935是5乘187 972是2乘2乘上243 所以說共有3個5和兩個2 所以說方塊裏邊 就要再有一個5和兩個2 一個5和兩個2 算完之後是20 所以說最後方框裏邊 應該填多少 填個20 至少要填個20 好了 好了同學們 那麼這個 它這個 直點我們就講完了 直點部分 那下一個視頻 老師會講解這個直點的立體