Số 0 - Bản Chất Của "Không Có Gì" Và Tại Sao Nó Phá Vỡ Phép Chia

Bạn thử tưởng tượng một thế giới không có số 0 Không có nút 0 trên bàn phím Không có cuột chục, cuột trăm, cuột nghìn Không có tài khoản còn không đồng Nghe thì kỳ cục Nhưng đó chính là thế giới mà phần lớn nhân loại đã sống trong hàng nghìn năm Người Ai Cập Cổ Người La Mã Người Hy Lạp Không ai trong số họ có một con số riêng để chỉ không có gì Họ biết không có là một trạng thái Nhưng họ không coi đó là một con số Số 0 là phát minh đến muộn nhất trong các con số quen thuộc Và khi nó xuất hiện, nó đem theo một thứ rất kỳ lạ Một lỗ hổng trong phép chia mà cho đến nay Sau gần 1.400 năm Vẫn không ai có thể vá lại một cách chọn vẹn Hôm nay chúng ta sẽ nói về số 0 Tại sao nó khó được coi là một con số đến vậy Tại sao chia cho 0 lại không có nghĩa Dù bạn nhìn ở góc nào Và tại sao chính cái lỗ hổng đó Lại là minh chứng cho thấy Toán học không phải là một mớ quý ước tùy tiện Mà là một hệ thống chặt chẽ Trước khi nói về phép chia Bạn cần hiểu vì sao số 0 lại khó đến thế Hãy nghĩ thử Nếu bạn là người cổ đại đếm cừu Con số đầu tiên bạn cần là gì Đương nhiên là 1, 2, 3 Bạn có 1 con cừu, 2 con cừu Bạn không bao giờ cần đếm 0 con cừu Vì nếu không có cừu thì bạn đếm cái gì Số 0 không có ích gì khi đếm Đó là lý do người La Mã không cần số 0 Hệ chữ số La Mã có I, V, X, L, C, D, M Nhưng không có ký hiệu nào cho 0 Họ tính toán, xê cầu Làm sổ sách hoàn toàn ổn mà không cần đến nó Vấn đề chỉ xuất hiện khi người ta bắt đầu viết những con số rất lớn Hãy thử viết 305 Theo cách viết cột Bạn cần ghi cột trăm là 3 Cột trục là gì đó để báo chống Rồi cốt đơn vị là 5 Nếu không có gì để đánh dấu cột chống Người đọc sẽ nhầm 305 với 35 Người Babylon đã nhận ra vấn đề này từ rất sớm Họ nghĩ ra 1 ký hiệu riêng Đặt vào giữa con số để báo hiệu ở đây chống Nhưng với họ Ký hiệu đó chỉ làm đúng 1 việc là giữ chỗ Nó không bao giờ được viết ở cuối 1 con số Và cũng không ai dám cộng Trừ nhân với nó như 1 con số bình thường Bước nhảy thật sự đến từ Ấn Độ Vào khoảng thế kỷ thứ 7 Nhà toán học Brahmagupta viết 1 cuốn sách Trong đó số 0 lần đầu tiên được đối xử Như 1 con số nang hàng với các số khác Ông định nghĩa Bất kỳ số nào cộng với 0 thì giữ nguyên Trừ chính nó cho chính nó thì bằng 0 Nhân với 0 thì bằng 0 Đây là lần đầu tiên trong lịch sử Không có gì được nâng lên thành 1 đối tượng toán học Từ Ấn Độ Ý tưởng này lan sang thế giới Hồi giáo Được các nhà toán học Ả Rập Như Al-Khwarizmi tiếp nhận và mở rộng Rồi cuối cùng theo chân Fibonacci Về châu Âu vào đầu thế kỷ 13 Châu Âu mất thêm vài trăm năm nữa Mới chấp nhận hoàn toàn Khi nói về số 0 Thực ra bạn đang nói về 2 thứ rất khác nhau Vai trò thứ nhất là giữ chỗ Đây là vai trò đơn giản hơn Trong số 305 Số 0 chỉ đơn giản nói rằng Cột trục đang trống Nó là 1 ký hiệu của hệ đếm vị trí Giữ bạn phân biệt 35 với 305 Với 3050 Vai trò này thần túy là 1 chiều ký hiệu Vai trò thứ 2 Mới là vai trò khó Số 0 còn là 1 con số thật Nằm trên trục số Ngay giữa các số dương và số âm Nó là kết quả của 5 trên 5 Là số phân tử của 1 cái rổ rỗng Là điểm gấp của hệ tọa độ Brahma Gupta là người đầu tiên dàm nói 0 không chỉ là giấu giữ chỗ Mà là 1 con số đứng riêng Có thể tham gia vào phép tính Và ngay từ lúc đó Ông đã gặp phải bài toán mà chúng ta sắp nói tới Phép chia Bạn để ý điều này Số 0 hòa nhập rất tốt với phép cộng Phép trừ, phép nhân Cộng số nào với 0 thì dưỡng nguyên 7 cộng 0 vẫn là 7 Số 0 trong phép cộng đóng vai trò Phân tử trung lập Nó không làm thay đổi đối tác của mình Trừ cũng vậy, lấy 7 trừ 0 ra 7 Lấy 7 trừ 7 ra 0 Mọi thứ đều ăn khớp Nhân thì hơi đặc biệt 1 chút Nhưng vẫn nhất quán Bất kỳ số nào nhân với 0 cũng ra 0 Bạn có thể hình dung trực quan Nếu bạn có 7 cái rổ Và mỗi rổ có 0 quả táo Thì tổng cộng bạn có 0 quả táo Hoặc nếu bạn có 0 cái rổ Và mỗi rổ có 7 quả táo Kết quả vẫn là 0 Số 0 trong phép nhân là 1 cái hố đen Hút mọi thứ về chính nó Nhưng đến phép chia thì câu chuyện sụp đổ Brahmagupta viết rằng 0 chia cho 0 thì bằng 0 Sau đó vài trăm năm Một nhà toán học Ấn Độ khác là Bhaskara Nói thẳng rằng chia 1 số cho 0 Cho ra vô cực Và ông gọi nó là Kahara Nghĩa là đại lượng có mẫu là 0 Nhưng cả 2 đều sai Theo nghĩa hiện đại Hoặc nói chính xác hơn Không 1 định nghĩa nào trong số đó Hoạt động 1 cách nhất quán với phần còn lại của số học Vậy chuyện gì đã xảy ra? Để hiểu tại sao chia cho 0 lại hỏng Bạn cần nhìn lại phép chia là gì Phép chia về bản chất là phép nhân ngược Khi bạn viết 12 chia 3 bằng 4 Bạn đang nói Tồn tại duy nhất 1 số gọi là 4 Sao cho 4 x 3 bằng 12 Phép chia chỉ đơn giản là Đi tìm cái thừa số bị thiếu trong 1 phép nhân Bây giờ áp dụng Định nghĩa đó cho phép chia cho 0 Giả sử bạn muốn tính 12 chia 0 Bạn đang đi tìm 1 số nào đó Gọi là x Sao cho x x 0 bằng 12 Nhưng bạn vừa thấy ở phần trước rồi Mọi số nhân với 0 đều ra 0 Không có x nào trên đời này Nhân với 0 lại cho ra 12 Cái x đó đơn giản là không tồn tại Phép chia 12 cho 0 Không phải là khó tìm câu trả lời Nó là không có câu trả lời nào để tìm Còn 0 chưa 0 thì sao? Bạn đang đi tìm x Sao cho x x 0 bằng 0 Nhưng lần này thì ngược lại Mọi số x đều thở mãn 1 x 0 bằng 0 2 x 0 cũng bằng 0 1 triệu x 0 vẫn bằng 0 Có vô số đáp án Phép chia theo định nghĩa Phải cho ra 1 kết quả duy nhất Khi có vô số đáp án Kết quả không thể xác định Đó là lý do trong toán học người ta nói 12 chia 0 là không xác định Theo nghĩa không tồn tại đáp án Còn 0 chia 0 Là không xác định Theo nghĩa có quá nhiều đáp án 2 loại không xác định khác nhau Nhưng cả 2 đều khiến phép chia Mất đi cái thứ làm nên giá trị của nó Tính duy nhất Có một cách khác để cảm nhận Vì sao chia cho không học Đó là nhìn xem chuyện gì xảy ra Khi bạn chia cho một số rất nhỏ Càng lúc càng gần 0 Bạn lấy 1 chia cho 0.1 Kết quả là 10 Chia cho 0.01 Kết quả là 100 Chia cho 0.001 Kết quả là 1000 Càng chia cho số nhỏ Kết quả càng to Có vẻ như nếu bạn chia cho 0 Kết quả sẽ là vô cực Nhưng bây giờ bạn thử tiếp cận từ phía bên kia Lấy 1 chia cho 0.1 Kết quả là 10 Chia cho 0.01 Kết quả là 100 Càng chia cho số âm nhỏ Kết quả càng âm to Tiếp cận 0 từ phía âm Kết quả tiến về âm vô cực Vậy 1 chia 0 nên bằng dương vô cực Hay âm vô cực Tùy bạn tiếp cận từ phía nào 2 con đường khác nhau dẫn đến 2 kết quả mược dấu Nên bản thân điểm đến không tồn tại như 1 con số duy nhất Đây là lý do trong giải tích Người ta nói giới hạn của 1 trên x Khi x tiến về 0 là không tồn tại Nó không phải là 1 số nào đó kỳ lạ Nó đơn giản là không có Còn với 0 trên 0 Bạn thậm chí không cần 2 con đường khác nhau Cũng đã thấy rắc rối Bạn có thể xét hàm x trên x Khi x tiến về 0 Thì kết quả luôn là 1 Bạn có thể xét hàm 2x trên x Kết quả luôn là 2 Bạn có thể xét x bình phương trên x Kết quả tiến về 0 Cùng dạng 0 trên 0 Nhưng đáp án có thể là bất cứ số nào Tùy hàm số Đó là lý do dạng 0 trên 0 Được gọi là dạng vô định trong giải tích Đến đây có thể bạn nghĩ Vậy thì quyết định nghĩa luôn 1 chia 0 bằng vô cực cho xong Có gì đâu mà phải làm phức tạp Vấn đề là nếu bạn làm vậy Toàn bộ hệ thống số học sẽ dạng nứt Bạn hình dung thế này Trong số học bình thường có một quy tắc rất quan trọng Nếu A chia cho B bằng C Thì C x B phải bằng A Đây là cái dạng buộc Phép chia và phép nhân lại với nhau Bây giờ giả sử bạn định nghĩa 1 chia 0 bằng vô cực Vậy thì vô cực x 0 phải bằng 1 Nhưng nếu vậy bạn cũng phải định nghĩa 2 chia 0 bằng vô cực Vì lập luận tương tự áp dụng được Vậy thì vô cực x 0 cũng phải bằng 2 Cùng một đều thức Vô cực x 0 lại bằng cả 1 và bằng cả 2 Vô lý Hoặc bạn có thể đi đường khác Giả sử bạn chấp nhận 1 chia 0 bằng vô cực Và vô cực là một con số Vậy thì vô cực x 1 bằng bao nhiêu Vô cực x vô cực bằng bao nhiêu Mỗi câu trả lời bạn đưa ra Sẽ phá một quy tắc nào đó Hoặc bạn phải bỏ luật giao hoán Hoặc bỏ luật kết hợp Hoặc bỏ luật phân phối Toàn học không phải không cho phép bạn định nghĩa 1 chia 0 Toàn học chỉ nói rằng Nếu bạn định nghĩa nó, bạn phải đánh đổi Bạn phải bỏ một thứ khác May tính làm gì khi bạn Mắt nó chia cho 0 Trong các ngôn ngữ lập trình làm việc với số nguyên Chia một số nguyên cho 0 Thường khiến chương trình lỗi và dừng lại Đây là cách trung thực nhất May nói thẳng, tôi không tính được Nhưng với số thực, theo chuẩn IEEE 754 May tính có một cách xử lý đặc biệt Một số dương chia cho 0 Cho ra infinity Một số âm chia cho 0 Cho ra negative infinity Và 0 chia 0 cho ra một thứ gọi là n-a-n Viết tắt của Not a number N-a-n có một tính chất rất kỳ Nó không bằng chính nó Nếu bạn so sánh n-a-n với n-a-n May tính sẽ trả về sai Cách xử lý này không phải vì IEEE 754 Đã giải được bài toán chia cho 0 Nó chỉ là một quy ước thực dụng Để chương trình không bị treo Bản chất toán học của vấn đề vẫn còn đó Chỉ là được đồng gói lại thành một giá trị đặc biệt Để may tính không sụp đổ giữa chừng Số 0 Là một trong những phát minh quan trọng nhất Của toán học Không có nó, bạn không có góc tọa độ Không có đạo hàm, không có may tính Nhưng kèm theo phát minh đó là một danh giới Bạn không được chia cho nó Mỗi lần ai đó cố vượt qua Hệ thống đều bắt trả giá Một quy tắc khác phải bị bỏ đi Để đổi lấy phép chia mới Đó là lý do thép chia cho 0 Không phải một điều cấm tùy tiện Nó là cái lỗ duy nhất trong số học Và chính cái lỗ đó cho thấy phần còn lại Đã được dệt chặt đến mức nào Cảm ơn bạn đã xem hết video Hẹn gặp lại bạn ở video tiếp theo